小学数学精讲教案6_1_1 归一问题 教师版

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归一问题 教学目标 本讲主要学习归一问题．通过本节课的学习，学生应了解归一问题的类型，以及解决归一问题的一般方法，掌握归一问题的基本关系式，并会将这种方法应用到一些实际问题中.‎ 知识点拨 归一问题 归一问题是一类典型应用题，这类问题是用等分除法求出一个单位的数值(单一量)之后，再求出题目所要求解的问题，解答归一问题的方法叫做归一法。‎ 归一问题可以分为两种：一种是求总量的，求出一个单位量之后，然后利用乘法求出结果，这种问题叫做正归一问题（也称正归一）；如：一辆汽车3小时行‎150千米，照这样，7小时行驶多少千米？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求几个单位数量是多少；另一种是求份数的，求出一个单位量后，再用包含除法求出所求的结果，这类问题叫做反归一问题（也称反归一）。如：修路队6小时修路‎180千米，照这样，修路‎240千米需几小时？解决此类问题的关键是先求出单位数量，再求一共包含多少个单位数量？‎ 正、反归一问题的相同点是：一般情况下第一步先求出单一量；不同点在第二步，正归一问题是求几个单一量是多少，反归一是求包含多少个单一量．‎ 解答归一问题的关键是求出单位量的数值，再根据题 中“照这样计算”、“用同样的速度”等句子的含义，抓准题中数量的对应关系，列出算式，求得问题的解决。有的问题一次归一不能解决，需要两次归一或与倍比相结合才能解决。‎ 归一问题的基本关系式：‎ 总工作量每份的工作量(单一量)份数 (正归一)‎ 份数总工作量每份的工作量(单一量) (反归一)‎ 每份的工作量(单一量) 总工作量份数 例题精讲 模块一、简单的归一问题 ‎ 【例 1】 某人步行，3小时行‎15千米，7小时行多少千米？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎（千米）。 答：7小时行35千米。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 一艘轮船4小时航行‎108千米，照这样的速度，继续航行‎270千米，共需多少小时？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 先求每小时航行多少千米，再求航行‎270千米需要几小时，最后求出共需多少小时。每小时航行多少千米：108÷4=27（千米）‎ ‎270千米需航行多少小时：270÷27=10（小时）‎ 共需多少小时：10+4=14（小时）‎ 综合算式：270÷（108÷4）+4=270÷27+4=10+4=14（小时）。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 小红骑车3分钟行‎600米，照这样的速度她从家到学校行了10分钟，小红家到学校有多少米？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 ‎（米）。‎ 答：小红家到学校有‎2000米。‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 一只小蜗牛6分钟爬行12分米，照这样的速度，30分钟爬行多少分米？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】1星 【题型】解答 【解析】 本题属于正归一，有两种解题思路．‎ ‎ (方法一)归一思想．为了求出蜗牛30分钟爬多少分米，必须先求出1分钟爬多少分米(单一数)，“照这样速度”说明小蜗牛每分钟爬行的速度是相等的，然后以这个数目为依据按要求算出结果．小蜗牛每分钟爬行(分米)，30分钟爬(分米)．‎ ‎(方法二)倍比思想．仔细观察题目中所给的条件，已知30分钟正好是6分钟的5倍，爬行的距离也应是12的5倍．即(分米)．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 一列火车从甲地开往乙地，开出2.5小时，行了‎150千米。照这样的速度，再行驶3小时到达乙地。甲、乙两地相距多少千米？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 先求火车每小时行多少千米，再求共行了几小时，最后求出共行了多少千米（即甲、乙两地距离）。‎ 火车每小时行多少千米：150÷2.5=60（千米）‎ 火车共行了多少小时：2.5+3=5.5（小时）‎ 甲乙两地相距多少千米：60×5.5=330（千米）‎ 综合算式： 150÷2.5×（2.5+3）=150÷2.5×5.5=60×5.5=330（千米）。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 一个打字员15分钟打了1800个字，照这样的速度，1小时能打多少个字？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 先求1分钟能打多少个字，再求1小时能打多少个字。‎ ‎1分钟能打多少个字：（个）。‎ ‎1小时能打多少个字：（个）‎ 综合算式：（个）。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 先根据条件提出问题，使它成为一步计算的应用题，再口头列式解答．⑴孙悟空3天吃了45个桃子， ？⑵学学买2支钢笔用了18元钱， _______ ？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 建议老师可以先让学生提出问题使它成为一步计算的应用题：⑴每天吃多少个？⑵每只钢笔多少元？再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题．如：⑴7天吃多少个桃子？⑵54元可以买多少只钢笔？使本道例题成为归一问题的最典型的题目，使学生感受归一问题的题型．‎ ‎【答案】答案不唯一：‎ ‎⑴每天吃多少个？⑵每只钢笔多少元？再让学生提出问题使它成为两步计算的应用题．如：‎ ‎⑴7天吃多少个桃子？⑵54元可以买多少只钢笔？‎ 使本道例题成为归一问题的最典型的题目，使学生感受归一问题的题型．‎ 【例 5】 绿化队3天种树210棵，还要种420棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种420棵树需要的天数是种210‎ 棵树的倍数为：(倍)，所以种420棵树需要的天数为：(天)，‎ 也就是完成任务共需（天）．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 绿化队4天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ‎（方法一）倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的天数是种200‎ ‎　棵树的倍数为：(倍)，所以种400棵树需要的天数为：(天)‎ ‎，也就是完成任务共需（天）．‎ ‎（方法二）归一思想．先求出一天种多少棵树，再求共需几天完成任务．单一数：（棵），总共的天数是：（天）．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 绿化队天种树200棵，还要种400棵，照这样的工作效率，完成任务共需多少天？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 倍比思想．因为工作的效率是一定的，所以可以求出种400棵树需要的天数是种棵树天数的：(倍)，所以种400棵树需要的天数为：(天)，也就是完成任务共需（天）．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 一个工人要磨面粉‎200千克，3小时磨了‎60千克．照这样计算，磨完剩下的面粉还要几小时？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 ‎(方法一)通过3小时磨‎60千克，可以求出1小时磨粉数量.问题求磨完剩下的要几小时，所以 剩下的量除以1小时磨的数量，得到问题所求．(小时)．‎ ‎(方法二)通过3小时磨‎60千克，可以求出1小时磨粉数量.磨完200千克面粉需要的时间为：‎ ‎(小时)，那么磨剩下的面粉需要时间即为：(小时)．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶‎630千克，照这样计算，8头奶牛15天可生产牛奶多少千克？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛15天产奶：(千克)．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 王奶奶家养了5头奶牛，7天产牛奶‎630千克，照这样计算，8头奶牛12天可生产牛奶多少千克？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 以1头奶牛1天产的牛奶为单一量，1头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛1天产奶：(千克)，8头奶牛12天产奶：(千克)。 ‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 ‎8个人10天修路‎840米,照这样算,20人修‎4200米,要_____天.‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 先进行两次归一，求出每人每天修多少米，然后再求出20人每天修多少米。‎ 综合算式：4200÷(840÷10÷8×20)=20(天).‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎5个人2小时植树20棵，6个人3小时植树多少棵？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要求6个人3小时植树多少棵，必须先求出5个人1小时植的棵数，再求出1个人1小时所植的棵数。‎ ‎20÷5÷2×6×3＝2×6×3＝36（棵）‎ 答：6个人3小时植树36棵。‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 ‎3名工人5小时加工零件90个，10名工人10小时加工零件多少个？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一个人10小时可以加工（个），10名工人10小时加工零件：（个）．‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 ‎3名工人5小时加工零件90个，要在10小时完成540个零件的加工，需要工人多少名？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎(方法一)3名工人5小时加工零件90个，就是说每人每小时加工（个），那么一 ‎ 个人10小时可以加工个，540个零件在10小时做完就需要(人)．‎ ‎(方法二)3名工人5小时加工零件90个，假设在时间相同的情况下3名工人10小时加工零件180个零件，要完成540个零件用倍比的思想，540个零件是180的3倍，时间相同，完成零件的数量是3倍，那么工人也是3倍的关系，(人)．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎5个人挖‎3米长的沟需要用3个小时，那么用50个小时挖‎50米的沟需要多少名工人？ ‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为5个人挖‎3米长的沟需要用3个小时，那么5个人用1个小时就可以挖‎1米长的沟，所以5个人用50个小时也就挖了‎50米长的沟．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎2台机器20分钟造纸80吨，照这样计算，1台机器1小时造纸多少吨？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎1台机器1分钟造纸：(吨)，1小时=60分钟，也就是1台机器1小时造纸：(吨)‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 如桌3台数控机床4小时可以加工960个同样的零件，那么1台数控机床加工400个相同的零件满要多长时间？．‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】希望杯，四年级，二试，第13题 【解析】 归一问题， 1台数控机床l小时加工960÷3÷4= 80个同样的零件；l台加工400个零件需要400÷80 =5小时．‎ ‎【答案】个小时 【例 2】 一个长方体的水槽可容水480吨.水槽装有一个进水管和一个排水管.单开进水管8小时可以把空池注满；单开排水管6小时可把满池水排空.两管齐开需多少小时把满池水排空？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 要求两管齐开需要多少小时把满池水排光，关键在于先求出进水速度和排水速度.当两管齐开时要把满池水排空，排水速度必须大于进水速度，即单位时间内排出的水等于进水与排水速度差.解决了这个问题，又知道总水量，就可以求出排空满池水所需时间。①进水速度：480÷8=60（吨/小时）②排水速度：480÷6=80（吨/小时）③排空全池水所需的时间：480÷（80-60）=24（小时）列综合算式：480÷（480÷6-480÷8）=24（小时），两管齐开需24小时把满池水排空。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 花果山上桃树多，5只小猴分200棵.现有小猴60只，按刚才的分法分后还余90棵，请算出桃树有几棵？‎ ‎【考点】简单的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 每只小猴分：(棵)，现在一共分：(棵)，一共有桃树：(棵)．‎ ‎【答案】‎ 模块二、复杂的归一问题 【例 4】 在梵文书《僧祗律》里有这样一段文字：一刹那者为一念，二十念为一瞬，二十瞬为一弹指，二十弹指为一罗预，二十罗预为一须臾，一日一夜有三十须臾。平时我们常说的“刹那间……”，一刹那是_____秒。‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 ‎60×60×24÷30÷20÷20÷20÷200.018 (秒)。‎ ‎【答案】秒 【例 5】 小红生病住院了，为了祝她早日康复，三(一)班和三(二)班一起为她叠千纸鹤，计划两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤。现在两个班级的同学同时开始叠，在相同的时间内，三(一)班叠了2430‎ 只千纸鹤，三(二)班叠了2370只千纸鹤．那么三(一)班和三(二)班每天各叠多少只千纸鹤？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎（方法一)三(一)班和三(二)班每天共叠千纸鹤：(只)，“相同时间”是：‎ ‎(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)．‎ ‎(方法二)这道题的已知条件可以分两层．第一层：两个班的同学3天一共叠了2400只千纸鹤，第二层：在相同的时间内，三(一)班叠了2430只千纸鹤，四(二)班叠了2370只千纸鹤.由这两个条件可以求出在相同的时间内，两个班共叠千纸鹤(个)；叠2400只用3天，叠4800只用几天呢？先求出4800是2400的几倍，也一定是3天的几倍，即“相同时间”．“相同时间”是：(天)，三(一)班每天叠的个数：(只)，三(二)班每天叠的个数：(只)．‎ ‎【答案】三(一)班每天叠的个数：只，三(二)班每天叠的个数：只 【巩固】 甲、乙两个打字员4小时共打字3600个．现在二人同时工作，在相同时间内，甲打字2450个，乙打字2050个．求甲、乙二人每小时各打字多少个？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎(方法一)甲、乙二人每小时共打字：(个)；“相同时间”是：(小 ‎ 时)；甲打字员每小时打字的个数：(个)；乙打字员每小时打字的个数：(个)．‎ ‎(方法二)这道题的已知条件可以分两层.第一层，甲乙二人4小时共打字3600个；第二层，在相同时间内甲打字2450个，乙打字2050个.由这两个条件可以求出在相同的时间内，甲乙二人共打字 (个)；打字 3600个用4小时，打字4500个用几小时呢？先求出4500是3600的几倍，也一定是4小时的几倍，即“相同时间”．“相同时间”是：(小时)；甲每小时打字：(个)；乙每小时打字：(个)．‎ ‎【答案】甲每小时打字：个；乙每小时打字：个 【例 1】 某车间用4台车床5小时生产零件600个，照这样算，增加3台同样的车床后，（1）8小时可以生产多少个零件？（2）如果要生产6300个零件几小时可完成？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 此题要求的两个问题都需知1台1小时生产的零件数，因条件中有小时和台数两个量，需用“两次归一”，即先求出4台1小时生产多少，再求1台1小时生产多少。‎ ‎600÷5＋4÷（4＋3）×8＝30×7×8＝1680（个）‎ ‎6300÷［600÷5÷4×（4＋3）］＝6300÷［30×7］＝30（小时）‎ 答：（1）8小时可以生产1680个零件。（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成。‎ ‎【答案】（1）8小时可以生产1680个零件，（2）如果要生产6300个零件30小时可以完成 【巩固】 学校买4套课桌椅，共用去480元，如果买同样的课桌椅7套，共需多少钱？如果有3000元，可以买进这样的课桌椅多少套？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎1套课桌椅的价钱是：（个），7套的价钱是：（个），3000元可以买到：（套）．‎ ‎【答案】7套的价钱是个，3000元可以买到套 【巩固】 王师傅2小时加工了62个零件，照这样计算，他每天工作8小时可以加工多少个零件？如果要加工372个零件，需要几小时？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 王师傅1小时加工零件：(个)，8小时可以加工零件：(个)，加工372个零件需要时间：(小时)‎ ‎【答案】8小时可以加工零件个，加工372个零件需要时间小时。‎ 【巩固】 ‎4名工人加工455个零件。开始的4天中有一名工人因事请假1天，结果共加工195个零件。如果以后无人清假，那么还要 天可以完成任务。‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯，5年级，决赛 【解析】 每人每天加工零件195÷(4×4-1)13(个)，剩下的零件还需加工 (455-195)÷(13×4)5(天)。‎ ‎【答案】天 【例 1】 某运输公司用6辆汽车运水泥，每天可运96吨。根据运输情况，现在增加4辆同样的汽车，每天一共运水泥多少吨？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎“增加4辆同样的汽车”，每天一共运水泥多少吨，应是增加的汽车运输量与增加前的运输量的和，即10辆汽车的运输量。96÷6×（6+4）=16×10=160（吨）。答：每天可运水泥160吨。‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎7辆“黄河牌”卡车6趟运走336吨沙土．现有沙土560吨，要求5趟运完，求需要增加同样的卡车多少辆？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎(方法一)要想求增加同样卡车多少辆，先要求出一共需要卡车多少辆；要求5趟运完560吨沙土，‎ 每趟需多少辆卡车，应该知道一辆卡车一次能运多少吨沙土．一辆卡车一次能运沙土：(吨)；560吨沙土，5趟运完，每趟必须运走：(吨)；需要增加同样的卡车：(辆)．‎ ‎(方法二)在求一辆卡车一次能运沙土的吨数时，可以列出两种不同情况的算式： ‎ ‎①，②.算式①先除以6，先求出7辆卡车1次运的吨数，再除以7求出每辆卡车的载重量；算式②，先除以7，求出一辆卡车6次运的吨数，再除以6，求出每辆卡车的载重量．在求560吨沙土5次运完需要多少辆卡车时，有以下几种不同的计算方法：‎ ‎⑴(辆) (其中112是所需的卡车一趟运走的吨数)‎ ‎⑵(辆) (其中70是运走560吨沙土需要的车次)‎ ‎⑶(辆) (其中40是一辆卡车5次运走的吨数)‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 ‎5台拖拉机24天耕地12000公亩．要18天耕完54000公亩土地，需要增加同样拖拉机多少台？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎1台拖拉机1天耕地：(公亩)，18天耕完54000公亩土地需要拖拉机：(台)，需要增加 (台)拖拉机．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 ‎4辆大卡车运沙土，7趟共运走沙土336吨．现有沙土420吨，增加了3辆相同的卡车，问：几趟可以运完？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 ‎1辆卡车1趟运沙土：(吨)，现在有(辆)卡车，需要(趟)就可以运完．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 孙悟空组织小猴子摘桃子．开始时，16只小猴子2小时摘桃子640个，照这样计算，孙悟空要求它们在3小时内继续摘桃子1200个，那么需要增加多少只小猴子一起来摘桃子呢？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 要求增加多少只小猴子，必须先求出需要多少只小猴子去完成孙悟空布置的任务．根据要求，3小时摘桃子1200个，可以先求出1小时共摘桃的个数，即：(个)．再根据每只小猴每小时摘的个数，即：(个)——单一量，就可以求出所需要的小猴数量，即：(只)，最后求出增加的小猴只数：(只)．‎ ‎【答案】‎ 【例 5】 ‎8个工人3小时制作机器零件360个，如果人数缩小了2倍，时间增加了5小时，可制作机器零件多少个？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 此题中人数缩小了2倍指现在的人数是8÷2=4（人）；时间增加了5小时指现在的时间是 ‎3＋5=8（小时）。‎ ‎360÷8÷3×（8÷2）×（3+ 5）＝15×4×8= 480（个）‎ 答：可制作机器零件480个。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 甲有桌子若干张，乙有椅子若干把。如果乙用全部椅子换回相同数量的桌子，那么需要补给甲320元；如果乙不补钱，就会少换回5张桌子。已知3张桌子比5把椅子的价钱少48元。求乙原有椅子多少把？‎ ‎【考点】复杂的归一问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯，四年级，二试，第17题 【解析】 如果乙不补钱，就少5张桌子，补钱的话需要补320，那么5张桌子320元，桌椅单价64元，椅子的单价为(64×3+48)÷5=48元，原来椅子有320÷(64-48)=20‎ ‎【答案】‎