小学数学精讲教案4_3_4 任意四边形、梯形与相似模型(二) 教师版

申明敬告: 本站不保证该用户上传的文档完整性,不预览、不比对内容而直接下载产生的反悔问题本站不予受理。

文档介绍

小学数学精讲教案4_3_4 任意四边形、梯形与相似模型(二) 教师版

任意四边形、梯形与相似模型 例题精讲 板块二 梯形模型的应用 梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”):‎ ‎①‎ ‎②;‎ ‎③的对应份数为.‎ 梯形蝴蝶定理给我们提供了解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道,通过构造模型,直接应用结论,往往在题目中有事半功倍的效果.(具体的推理过程我们可以用将在第九讲所要讲的相似模型进行说明)‎ 【例 1】 如图,,,求梯形的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 设为份,为份,根据梯形蝴蝶定理,,所以;又因为,所以;那么,,所以梯形面积,或者根据梯形蝴蝶定理,.‎ ‎【答案】9‎ 【巩固】 如下图,梯形的平行于,对角线,交于,已知与的面积分别为 平方厘米与平方厘米,那么梯形的面积是________平方厘米.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】填空 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,,可得,再根据梯形蝴蝶定理,,所以(平方厘米).那么梯形的面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】144‎ 【巩固】 如图所示,在梯形ABCD中,AB∥CD,对角线AC,BD相交于点O。已知AB=5,CD=3,且梯形ABCD的面积为4,求三角形OAB的面积。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛,决赛,15分,第3大题第,1题 【解析】 根据题意,AB=5,CD=3,CD:AB=3:5,‎ 则根据蝴蝶模型,令=25份,‎ 则梯形ABCD共有:9+15+25+15=64份。所以1份为:4÷64=,则三角形OAB的面积为×25=。‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 梯形的对角线与交于点,已知梯形上底为2,且三角形的面积等于三角形面积的,求三角形与三角形的面积之比.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,,可以求出,‎ 再根据梯形蝴蝶定理,.‎ 通过利用已有几何模型,我们轻松解决了这个问题,而没有像以前一样,为了某个条件的缺乏而千辛万苦进行构造假设,所以,请同学们一定要牢记几何模型的结论.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如下图,四边形中,对角线和交于点,已知,并且,那么的长是多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛 【解析】 根据蝴蝶定理,,所以,又,所以.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 梯形的下底是上底的倍,三角形的面积是,问三角形的面积是多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,,,‎ 所以.‎ ‎【答案】4‎ ‎【巩固】如图,梯形中,、的面积分别为和,求梯形的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】2星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,,所以,‎ ‎,,‎ ‎ .‎ ‎【答案】7.5‎ 【例 2】 在梯形ABCD中,上底长‎5厘米,下底长‎10厘米,平方厘米,则梯形ABCD的面积是 平方厘米。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】华杯赛,决赛,第4题,10分 【解析】 因为AD∥BC,故 又 ,故 ‎ 在与中,因其高相等,且BO:DO=2:1, 故 :=2:1‎ 而 ,故 。同理,在与中,‎ 因CO:AO=2:1,且在相应边上的高相等,故 :=2:1即 .‎ 在中,因AO:CO=1:2,且其在相应边上的高相等,故: =1:2。‎ 即综上,=10+20+10+5=45‎ ‎【答案】45‎ 【例 1】 如下图,一个长方形被一些直线分成了若干个小块,已知三角形的面积是,三角形的面积是,求四边形的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 如图,连结EF,显然四边形ADEF和四边形BCEF都是梯形,于是我们可以得到三角形EFG的面积等于三角形ADG的面积;三角形BCH的面积等于三角形EFH的面积,所以四边形EGFH的面积是.‎ ‎【答案】34‎ ‎【巩固】如图,长方形中,若三角形1的面积与三角形3的面积比为4比5,四边形2的面积为36,则三角形1的面积为________.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】人大附中,入学测试题 【解析】 做辅助线如下:利用梯形模型,这样发现四边形2分成左右两边,其面积正好等于三角形1和三角形3,所以1的面积就是,3的面积就是.‎ ‎【答案】20‎ 【例 2】 如图,正方形面积为平方厘米,是边上的中点.求图中阴影部分的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是边上的中点,所以,根据梯形蝴蝶定理可以知道 ‎,设份,则 份,所以正方形的面积为份,份,所以,所以平方厘米.‎ ‎【答案】1‎ ‎【巩固】在下图的正方形中,是边的中点,与相交于点,三角形的面积为1平方厘米,那么正方形面积是 平方厘米.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接,根据题意可知,根据蝴蝶定理得(平方厘米),(平方厘米),那么(平方厘米).‎ ‎【答案】12‎ 【例 1】 如图面积为平方厘米的正方形中,是边上的三等分点,求阴影部分的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是边上的三等分点,所以,设份,根据梯形蝴蝶定理可以知道份,份,份,因此正方形的面积为份,,所以,所以平方厘米.‎ ‎【答案】3‎ 【例 2】 如图,在长方形中,厘米,厘米,,求阴影部分的面积.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 方法一:如图,连接,将阴影部分的面积分为两个部分,其中三角形的面积为平方厘米.‎ 由于,根据梯形蝴蝶定理,,所以,而平方厘米,所以平方厘米,阴影部分的面积为平方厘米.‎ 方法二:如图,连接,,由于,设份,根据梯形蝴蝶定理, 份,份,份,因此份,份,而平方厘米,所以平方厘米 ‎【答案】3.5‎ 【例 3】 已知是平行四边形,,三角形的面积为6平方厘米.则阴影部分的面积是 平方厘米.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】学而思杯,六年级 【解析】 连接.‎ 由于是平行四边形,,所以,‎ 根据梯形蝴蝶定理,,所以(平方厘米),(平方厘米),又(平方厘米),阴影部分面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】21‎ 【巩固】 右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 【解析】 连接.‎ 由于与是平行的,所以也是梯形,那么.‎ 根据蝴蝶定理,,故,‎ 所以(平方厘米).‎ ‎【答案】6‎ 【巩固】 右图中是梯形,是平行四边形,已知三角形面积如图所示(单位:平方厘米),阴影部分的面积是 平方厘米.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】三帆中学 【解析】 连接.‎ 由于与是平行的,所以也是梯形,那么.‎ 根据蝴蝶定理,,故,所以(平方厘米).‎ 另解:在平行四边形中,(平方厘米),‎ 所以(平方厘米),‎ 根据蝴蝶定理,阴影部分的面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】4‎ 【巩固】 E是平行四边形ABCD的CD边上的一点,BD、AE相交于点F,已知三角形AFD的面积是6,三角形DEF的面积是4,求四边形BCEF的面积为多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 ‎【关键词】希望杯,5年级,复赛,第15题 【解析】 如图,在平行线中的蝴蝶中,蝴蝶翅膀相等都为6,而顶上的三角形为6×6÷4=9,“?”处的三角形面积为9+‎6-6-4‎=5从而所求四边形面积为5=6=11.‎ ‎【答案】11‎ 【例 1】 如图所示,、将长方形分成4块,的面积是5平方厘米,的面积是10平方厘米.问:四边形的面积是多少平方厘米?‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接,根据梯形模型,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是10平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为(平方厘米),所以长方形的面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】25‎ 【巩固】 如图所示,、将长方形分成4块,的面积是4平方厘米,的面积是6平方厘米.问:四边形的面积是多少平方厘米?‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 ‎ (法1)连接,根据面积比例模型或梯形蝴蝶定理,可知三角形的面积和三角形的面积相等,即其面积也是6平方厘米,再根据蝴蝶定理,三角形的面积为(平方厘米),所以长方形的面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).‎ ‎(法2)由题意可知,,根据相似三角形性质,,所以三角形的面积为:(平方厘米).则三角形面积为15平方厘米,长方形面积为(平方厘米).四边形的面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】11‎ 【巩固】 如图,长方形被、分成四块,已知其中3块的面积分别为2、5、8平方厘米,那么余下的四边形的面积为___________平方厘米.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,高年级组,初赛,4题 【解析】 连接、.四边形为梯形,所以,又根据蝴蝶定理,,所以,所以(平方厘米),(平方厘米).那么长方形的面积为平方厘米,四边形的面积为(平方厘米).‎ ‎【答案】9‎ 【巩固】 正方形的边长为,是的中点(如图)。四边形的面积为 。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,4年级,决赛,第4题,8分 【解析】 连结,,即,,所以。‎ ‎【答案】15‎ 【巩固】 如图,长方形中,是直角三角形且面积为54,的长是16,的长是9.那么四边形的面积是 .‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,初赛 【解析】 解法一:连接,依题意,所以,‎ 则.‎ 又因为,所以,‎ 得,‎ 所以.‎ ‎ 解法二:由于,所以,而,根据蝴蝶定理,,所以,‎ 所以.‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 如图所示,长方形内的阴影部分的面积之和为70,AB=8,AD=15四边形的面积为______.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】走美杯,六年级,初赛,第5题 【解析】 根据容斥关系:‎ 四边形的面积=三角形AFC+三角形DBF-白色部分的面积 三角形AFC+三角形DBF=长方形面积的一半即60,‎ 白色部分的面积等于长方形面积减去阴影部分的面积,即120-70=50‎ 所以四边形的面积=60-50=10‎ ‎【答案】10‎ 【巩固】 如图5所示,矩形ABCD的面积是24平方厘米,、三角形ADM与三角形BCN的面积之和是7.8平方厘米,则四边形PMON的面积是 平方厘米。‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 ‎【关键词】华杯赛,初赛,第9题 【解析】 ‎1.8‎ ‎【答案】1.8‎ 【例 2】 如图,是等腰直角三角形,是正方形,线段与相交于点.已知正方形的面积48,,则的面积是多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】解答 【解析】 由于是正方形,所以与平行,那么四边形是梯形.在梯形中,和的面积是相等的.而,所以的面积是面积的,那么的面积也是面积的.‎ 由于是等腰直角三角形,如果过作的垂线,为垂足,那么是的中点,而且,可见和的面积都等于正方形面积的一半,所以的面积与正方形的面积相等,为48.‎ 那么的面积为.‎ ‎【答案】12‎ 【例 1】 如图所示,是梯形,面积是,的面积是9,的面积是27.那么阴影面积是多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 根据梯形蝴蝶定理,可以得到,而(等积变换),所以可得,‎ 并且,而,‎ 所以阴影的面积是:.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 如图,正六边形面积为,那么阴影部分面积为多少?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 连接阴影图形的长对角线,此时六边形被平分为两半,根据六边形的特殊性质,和梯形蝴蝶定理把六边形分为十八份,阴影部分占了其中八份,所以阴影部分的面积.‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 如图,已知是中点,是的中点,是的中点.三角形由①~⑥这6部分组成,其中②比⑤多6平方厘米.那么三角形的面积是多少平方厘米?‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】3星 【题型】解答 【解析】 因为是中点,为中点,有且平行于,则四边形为梯形.在梯形中有③=④,②×⑤=③×④,②:⑤=: =4.又已知②-⑤=6,所以⑤=,②=⑤,所以②×⑤=④×④=16,而③=④,所以③=④=4,梯形的面积为②、③、④、⑤四块图形的面积和,为.有与的面积比为平方与平方的比,即为1:4.所以面积为梯形面积的=,即为.因为是中点,所以与的面积相等,而的面积为、的面积和,即为平方厘米.三角形的面积为48平方厘米.‎ ‎【答案】48‎ 【例 1】 如下图,在梯形中,与平行,且,点、分别是和的中点,已知阴影四边形的面积是54平方厘米,则梯形的面积是 平方厘米.‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接,可以把大梯形看成是两个小梯形叠放在一起,应用梯形蝴蝶定理,可以确定其中各个小三角形之间的比例关系,应用比例即可求出梯形面积.‎ 设梯形的上底为,总面积为.则下底为,.‎ 所以,.‎ 由于梯形和梯形的高相等,所以 ‎,‎ 故,.‎ 根据梯形蝴蝶定理,梯形内各三角形的面积之比为,所以;‎ 同理可得,‎ 所以,由于平方厘米,‎ 所以(平方厘米).‎ ‎【答案】210‎ 【例 2】 如图,在一个边长为6的正方形中,放入一个边长为2的正方形,保持与原正方形的边平行,现在分别连接大正方形的一个顶点与小正方形的两个顶点,形成了图中的阴影图形,那么阴影部分的面积为 ‎ .‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 本题中小正方形的位置不确定,所以可以通过取特殊值的方法来快速求解,也可以采用梯形蝴蝶定理来解决一般情况.‎ 解法一:取特殊值,使得两个正方形的中心相重合,如右图所示,图中四个空白三角形的高均为,因此空白处的总面积为,阴影部分的面积为.‎ 解法二:连接两个正方形的对应顶点,可以得到四个梯形,这四个梯形的上底都为2,下底都为6,上底、下底之比为,根据梯形蝴蝶定理,这四个梯形每个梯形中的四个小三角形的面积之比为,所以每个梯形中的空白三角形占该梯形面积的,阴影部分的面积占该梯形面积的,所以阴影部分的总面积是四个梯形面积之和的,那么阴影部分的面积为.‎ ‎【答案】14‎ 【例 1】 如图,在正方形中,、分别在与上,且,,连接、,相交于点,过作、得到两个正方形和,设正方形的面积为,正方形的面积为,则___________.‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】4星 【题型】填空 【解析】 连接、.设正方形边长为3,则,,所以,,.因为,所以.由梯形蝴蝶定理,得,‎ 所以,.因为,,‎ 所以,所以,.‎ 由于底边上的高即为正方形的边长,所以,,‎ 所以,则.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 下图中,四边形都是边长为1的正方形,、、、分别是,,,的中点,如果左图中阴影部分与右图中阴影部分的面积之比是最简分数,那么,的值等于 ‎ .‎ ‎ ‎ ‎【考点】梯形模型 【难度】5星 【题型】填空 ‎【关键词】迎春杯,高年级组,决赛 【解析】 左、右两个图中的阴影部分都是不规则图形,不方便直接求面积,观察发现两个图中的空白部分面积都比较好求,所以可以先求出空白部分的面积,再求阴影部分的面积.如下图所示,在左图中连接.设与的交点为.左图中为长方形,可知的面积为长方形面积的,所以三角形的面积为.又左图中四个空白三角形的面积是相等的,所以左图中阴影部分的面积为.‎ 如上图所示,在右图中连接、.设、的交点为.‎ 可知∥且.那么三角形的面积为三角形面积的,所以三角形 的面积为,梯形的面积为.在梯形中,由于,根据梯形蝴蝶定理,其四部分的面积比为:,所以三角形的面积为,那么四边形的面积为.而右图中四个空白四边形的面积是相等的,所以右图中阴影部分的面积为.那么左图中阴影部分面积与右图中阴影部分面积之比为,即,那么.‎ ‎【答案】5‎
查看更多

相关文章

您可能关注的文档