小学数学精讲教案6_2_7 溶液浓度问题（二） 教师版

小学数学精讲教案6_2_7 溶液浓度问题（二） 教师版

溶液浓度问题（二）‎ 教学目标 ‎1、明确溶液的质量,溶质的质量,溶剂的质量之间的关系 ‎2、浓度三角的应用 ‎3、会将复杂分数应用题及其他类型题目转化成浓度三角形式来解 ‎4、利用方程解复杂浓度问题 知识精讲 浓度问题的内容与我们实际的生活联系很紧密，就知识点而言它包括小学所学2个重点知识：百分数，比例。‎ 一、浓度问题中的基本量 溶质：通常为盐水中的“盐”，糖水中的“糖”，酒精溶液中的“酒精”等 溶剂：一般为水，部分题目中也会出现煤油等 ‎ 溶液：溶质和溶液的混合液体。‎ 浓度：溶质质量与溶液质量的比值。‎ 二、几个基本量之间的运算关系 ‎1、溶液=溶质+溶剂 ‎2、‎ 三、解浓度问题的一般方法 ‎1、寻找溶液配比前后的不变量，依靠不变量建立等量关系列方程 ‎2、十字交叉法：(甲溶液浓度大于乙溶液浓度)‎ 形象表达：‎ 注：十字交叉法在浓度问题中的运用也称之为浓度三角，浓度三角与十字交叉法实质上是相同的．浓度三角的表示方法如下：‎ ‎3、列方程解应用题也是解决浓度问题的重要方法．‎ 例题精讲 模块一、利用十字交叉即浓度三角进行解题 三种溶液混合多次 【例 1】 有甲、乙、丙三个容器，容量为毫升．甲容器有浓度为的盐水毫升；乙容器中有清水 毫升；丙容器中有浓度为的盐水毫升．先把甲、丙两容器中的盐水各一半倒入乙容器搅匀后，再把乙容器中的盐水毫升倒入甲容器，毫升倒入丙容器．这时甲、乙、丙容器中盐水的浓度各是多少？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 列表如下：‎ ‎ ‎ 甲 浓度 溶液 开始 第一次 第二次 乙 丙 浓度 溶液 浓度 溶液 所以此时甲容器中盐水的浓度是，乙容器中浓度是，丙容器中浓度是．‎ 小结：在做有关浓度的应用题时，为了弄清楚溶质质量、溶液质量的变化，尤其是变化多次的，‎ 常用列表的方法，使它们之间的关系一目了然．‎ ‎【答案】甲容器中盐水的浓度是，乙容器中浓度是，丙容器中浓度是 【例 2】 在甲、乙、丙三缸酒精溶液中，纯酒精的含量分别占、和，已知三缸酒精溶液总量是千克，其中甲缸酒精溶液的量等于乙、丙两缸酒精溶液的总量．三缸溶液混合后，所含纯酒精的百分数将达．那么，丙缸中纯酒精的量是多少千克？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (法1)方程法．设丙缸酒精溶液的重量为千克，则乙缸为千克．根据纯酒精的量可列方程：‎ ‎，‎ ‎ 解得，所以丙缸中纯酒精的量是(千克)．‎ ‎(法2)浓度三角法．由于甲缸酒精溶液为50千克，乙、丙两缸酒精溶液合起来也是50千克，所以如果将乙、丙两缸酒精溶液混合，得到的酒精溶液的浓度为．‎ 那么乙、丙两缸酒精溶液的量之比为：，而它们合起来共‎50千克，所以丙缸酒精溶液有千克，丙缸中纯酒精的量是(千克)．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 有、、三种盐水，按与数量之比为混合，得到浓度为的盐水；按与数量之比为混合，得到浓度为的盐水．如果、、数量之比为，混合成的盐水浓度为，问盐水的浓度是多少？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 与按数量之比为混合时，浓度仍为，而这样的混合溶液也相当于与按数量之比为混合后再混入三份盐水，则盐水浓度为．盐水的浓度为．再根据、、三种溶液混合的情况，那么盐水的浓度为： .‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 已知三种混合物由三种成分、、组成，第一种仅含成分和，重量比为；第二种只含成分和，重量比为；第三种只含成分和，重量之比为.以什么比例取这些混合物，才能使所得的混合物中、和，这三种成分的重量比为？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 注意到第一种混合物中、重量比与最终混合物的、重量比相同，均为.所以，先将第二种、第三种混合物的、重量比调整到，再将第二种、第三种混合物中、与第一种混合物中、视为单一物质.最终配成的物质；‎ 第二种混合物不含,的含量为，第三种混合物不含,的含量为，所以倍第三种混合物含为，倍第二种混合物含为，‎ 即第二种、第三种混合物的重量比为；于是此时含有，，‎ 即,而最终混合物中，所以第一种混合物的质量与后两种混合质量和之比为，所以三种混合物的重量比为.‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 ‎、、三个试管中各盛有克、克、克水．把某种浓度的盐水克倒入中，充分混合后从中取出克倒入中，再充分混合后从中取出克倒入中，最后得到的盐水的浓度是．问开始倒入试管中的盐水浓度是百分之几？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 整个过程中盐水浓度在下降．倒入中后，浓度变为原来的；倒入中后，浓度变为中的；倒入中后，浓度变为中的．所以对于一开始倒入中的盐水浓度可以用倒推的方法，，即一开始倒入中的盐水浓度为．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度和盐浓度相等?‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 一千克甲种溶液中含有酒精‎0.1千克，盐‎0.3千克，盐比酒精多‎0.2千克；而一千克乙种溶液中含有酒精‎0.5千克，盐‎0.1千克，盐比酒精少‎0.4千克．所以只需要‎0.5千克的乙种酒精将其与甲溶液混合后所得溶液中两种物质含量相等，即浓度相等．‎ ‎【答案】0.5‎ 【巩固】 有两种溶液，甲溶液的酒精浓度为，盐浓度为，乙溶液中的酒精浓度为，盐浓度为．现在有甲溶液千克，那么需要多少千克乙溶液，将它与甲溶液混和后所得的溶液的酒精浓度是盐浓度的3倍？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 可以这样来看，将溶液中的水剔出或者说蒸发掉，那么所得到的溶液就是盐溶在酒精中．(事实上这种情况不符合物理规律，但这只是假设)．这时的处理后甲溶液盐浓度为，处理后乙溶液的盐浓度为，需要配置的溶液的盐浓度为，由这些得出的条件使用十字交叉法得到两种处理后溶液的质量比应该为：‎ ‎。一千克原甲溶液中有的处理后甲溶液，即千克，所以另需要千克的处理后乙溶液，而每千克原乙溶液中含有的处理后乙溶液，即千克，所以只需要千克的乙溶液就能构成千克的处理后乙溶液．所以需要千克的乙溶液．‎ ‎【答案】‎ 模块二、列方程解浓度问题 【例 1】 使用甲种农药每千克要兑水‎20千克，使用乙种农药每千克要兑水‎40千克。根据农科院专家的意见，把两种农药混合使用能提高药效。现有两种农药共‎5千克，要配药水‎140千克，其中甲种农药需药______千克。‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设甲种农药x千克，则乙种农药（5-x）千克。列方程：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 甲、乙两瓶盐水，甲瓶盐水的浓度是乙瓶盐水的倍．将克甲瓶盐水与克乙瓶盐水混合后得到浓度为的新盐水，那么甲瓶盐水的浓度是多少？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设乙瓶盐水的浓度是，甲瓶盐水的浓度是，有，解得，即甲瓶盐水的浓度是．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 甲、乙两只装满硫酸溶液的容器，甲容器中装有浓度为的硫酸溶液‎600千克，乙容器中装有浓度为的硫酸溶液‎400千克．各取多少千克分别放入对方容器中，才能使这两个容器中的硫酸溶液的浓度一样？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于交换前后两容器中溶液的重量均没有改变，而交换一定量的硫酸溶液其目的是将原来两容器中溶液的浓度由不同变为相同，而且交换前后两容器内溶液的重量之和也没有改变，根据这个条件可以先计算出两容器中的溶液浓度达到相等时的数值，从而再计算出应交换的溶液的量．‎ ‎　　 甲容器中纯硫酸的质量为(千克)；‎ 乙容器中纯硫酸的质量为(千克)；‎ 两容器中纯硫酸的质量和为千克，‎ 硫酸溶液的质量和为千克．‎ 两容器中溶液互换后浓度为，‎ ‎　　 所以应交换的硫酸溶液的量为：(千克)．‎ 另解：假设各取千克放入对方容器中，那么两种混合溶液中两种硫酸溶液的质量比相等，即，解得，即各取‎240千克．‎ ‎【答案】240‎ 【例 4】 甲容器中有浓度为的盐水克，乙容器有浓度为的盐水克．分别从甲和乙中取出相同重量的盐水，把从甲中取出的倒入乙中，把从乙中取出的倒入甲中．现在甲、乙容器中盐水浓度相同．问：从甲(乙)容器取出多少克盐水倒入了另一个容器中？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于两种盐水互换后浓度相等，而在互换的过程中盐的总质量是不变的，所以互换后盐水的浓度为，而甲容器中原来浓度为，所以相互倒了(克)．‎ 另解：由于两种溶液的浓度不同，而混合后得到的溶液的浓度相同，只能是相混合的两种溶液的量的比是相等的．这一点与两人各用两种速度走一段路程而平均速度相同中的两种速度的路程比、以及含铜率不同的两种合金熔炼成含铜率相同的合金(见第7讲相关例题)中两种合金的质量比是相似的．假设相互倒了克，那么甲容器中是由克的盐水和克的盐水混合，乙容器中是由克的盐水和的盐水混合，得到相同浓度的盐水，所以，解得．‎ ‎【答案】‎ 【例 1】 十字交叉法的证明过程：设甲、乙两瓶溶液的质量分别为和，浓度分别为和（），将两瓶溶液混合后所得的溶液浓度为，求证：．‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 略 ‎【答案】甲溶液中溶质的质量为，乙溶液中的溶质质量为，则混和溶液中的溶质质量为，所以混合溶液的浓度为，所以，即，，可见．也可以这样来理解；由于甲溶液浓度比乙溶液浓度高，两瓶溶液混合后，浓度变为相同，相当于甲溶液拿出了的溶质给乙溶液，乙溶液则得到了的溶质，所以，得到 【例 2】 在浓度为的盐水中加入一定量的水,则变为浓度的新溶液.在这种新溶液中加入与前次加入的水量相等的盐,溶液浓度变为.求.‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 不妨设原来的盐水为‎100克，加入的水(或)盐重克,可列方程：，可得；，可得；解得，．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 一杯盐水，第一次加入一定量的水后，盐水的含盐百分比变为；第二次又加入同样多的水，盐水的含盐百分比变为；第三次再加入同样多的水，盐水的含盐百分比将变为 。‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】希望杯，一试，六年级 【解析】 抓住题中不变量---盐的重量．假设第一次加入水后盐水的重量为克，盐的重量为 克，第二次加水后的总重量为克，这样就可得出加水量是克，第三次加水后的重量是克，这时的盐水的含盐百分比是．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 瓶中装有浓度为的酒精溶液克，现在又分别倒入克和克的、两种酒精溶液，瓶中的浓度变成了．已知种酒精溶液浓度是种酒精溶液浓度的倍，那么种酒精溶液的浓度是百分之几？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 ‎ (法1)方程法．新倒入纯酒精：(克)．‎ ‎ 设种酒精溶液的浓度为，则种为．根据新倒入的纯酒精量，可列方程：‎ ‎ ，解得，即种酒精溶液的浓度是．‎ ‎(法2)浓度三角法．设种酒精溶液的浓度为，则种为．‎ 根据题意，假设先把‎100克种酒精和‎400克种酒精混合，得到‎500克的酒精溶液，再与‎1000克的酒精溶液混合，所以、两种酒精混合得到的酒精溶液的浓度为．‎ 根据浓度三角，有，解得．‎ 故种酒精溶液的浓度是．‎ ‎【答案】‎ 【例 4】 种酒精浓度为，种酒精浓度为，种酒精浓度为，它们混合在一起得到了11千克浓度为的酒精溶液，其中种酒精比种酒精多‎3千克，则种酒精有 千克．‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎【关键词】101中学 ‎ 【解析】 设种酒精有千克，种酒精有千克，种酒精有千克，则：‎ 解得，，，故种酒精有‎7千克．‎ ‎【答案】7‎ 【例 2】 一个卖牛奶的人告诉两个小学生：这儿的一个钢桶里盛着水，另一个钢桶里盛着牛奶，由于牛奶乳脂含量过高，必须用水稀释才能饮用．现在我把桶里的液体倒入桶，使其中液体的体积翻了一番，然后我又把桶里的液体倒进桶，使桶内的液体体积翻番．最后，我又将桶中的液体倒进桶中，使桶中液体的体积翻番．此时我发现两个桶里盛有同量的液体，而在桶中，水比牛奶多出升．现在要问你们，开始时有多少水和牛奶，而在结束时，每个桶里又有多少水和牛奶？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】4星 【题型】解答 ‎ 【解析】 假设一开始桶中有液体升，桶中有升．第一次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第二次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升；第三次将桶的液体倒入桶后，桶有液体升，桶剩升．由此时两桶的液体体积相等，得，，．‎ 现在还不知道桶中装的是牛奶还是水，可以将稀释牛奶的过程列成下表：‎ 桶 桶 原桶液体：原桶液体 原桶液体：原桶液体 初始状态 第一次桶倒入桶 第二次桶倒入桶 第三次桶倒入桶 由上表看出，最后桶中的液体，原桶液体与原桶液体的比是，而题目中说“水比牛奶多 升”，所以原桶中是水，原桶中是牛奶．‎ 因为在中，“”相当于‎1升，所以2个单位相当于‎1升．由此得到，开始时，桶中有 升水，桶中有升牛奶；结束时，桶中有‎3升水和‎1升牛奶，桶中有升水和升牛奶．‎ ‎【答案】桶中有‎3升水和‎1升牛奶，桶中有升水和升牛奶 【巩固】 有，两个桶，分别盛着水和某含量的酒精溶液．先把桶液体倒入桶，使桶中的液体翻番；再将桶液体倒入桶，使桶中的液体翻番．此时，，两桶的液体体积相等，并且桶的酒精含量比桶的酒精含量高．问：最后桶中的酒精含量是多少？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 因为最后桶的酒精含量高于桶，所以一开始桶盛的是酒精溶液．设一开始桶中有液体，桶中有．第一次从桶倒入桶后，桶有，桶剩；第二次从桶倒入桶，桶有，桶剩．由，得．‎ 再设开始桶中有纯酒精，则有水．将酒精稀释过程列成表(如图)：由题意知，，解得．所以最后桶中的酒精含量是．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 ‎、、三瓶盐水的浓度分别为、、，它们混合后得到克浓度为的盐水．如果瓶盐水比瓶盐水多克，那么瓶盐水有多少克？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 设瓶盐水有克，则瓶盐水为克，瓶盐水为()克．则 ‎，解得．‎ 所以瓶盐水为：(克)．‎ ‎【答案】‎ 模块三、浓度三角解分数应用题 【例 1】 某班有学生48人，女生占全班的37.5％，后来又转来女生若干人，这时人数恰好是占全班人数的40％，问转来几名女生？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 浓度差之比1∶24， 48÷24×1=2人,重量之比 24∶1这是一道变换单位“1”的分数应用题需抓住男生人数这个不变量，如果按浓度问题做，就简单多了。转来2名女生。‎ ‎【答案】2‎ 【例 2】 小明到商店买红、黑两种笔共66支．红笔每支定价5元，黑笔每支定价9元．由于买的数量较多，商店就给予优惠，红笔按定价付钱，黑笔按定价付钱，如果他付的钱比按定价少付了，那么他买了红笔多少支？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ 【解析】 浓度倒三角的妙用．红笔按优惠，黑笔按优惠，结果少付，相当于按优惠，可类似浓度问题进行配比，得到红、黑两种笔的总价之比为，而红、黑两种笔的单价分别为5元和9元，所以这两种笔的数量之比为，所以他买了支红笔．‎ 通过以上例题，我们可以看出，只要我们在解题时善于抓住事物间的联系，进行适当转化，就能发现其中的规律，找到解决问题的巧妙方法。‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 有两包糖，每包糖内都装有奶糖，水果糖和巧克力糖．已知：⑴第一包糖的粒数是第二包的；⑵在第一包糖中，奶糖占，在第二包糖中，水果糖占；⑶巧克力在第一包糖中所占的百分比是在第二包糖中所占的百分比的两倍．当两包糖合在一起时，巧克力糖占，那么，水果糖所占的百分比等于多少？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 由于第一包糖的粒数是第二包糖的，不妨设设第二包有糖块，则第一包有糖块．设巧克力糖在第二包糖中所占的百分比为，则巧克力糖在第一包糖中所占的百分比为，根据题意，有：，解得，所以巧克力糖在第一包中占的百分比为，那么，在第一包糖中，水果糖占．当两包糖合在一起时，水果糖所占的百分比是：．‎ ‎【答案】‎ 【巩固】 有两包糖，第一包糖由奶糖和水果糖组成，其中为奶糖；第二包糖由酥糖和水果糖组成，其中 为酥糖．将两包糖混合后，水果糖占，那么奶糖与酥糖的比例是________.‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】人大附中，入学考试 【解析】 第一包糖水果糖占，第二包糖水果糖占．由浓度三角知：，即第一包糖与第二包糖的数量比为．所以，奶糖与酥糖的比为．‎ ‎【答案】‎ 【例 2】 某商品76件，出售给33位顾客，每位顾客最多买三件．如果买一件按原定价，买两件降价，买三件降价，最后结算，平均每件恰好按原定价的出售．那么买三件的顾客有多少人？‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】3星 【题型】解答 ‎ 【解析】 如果对于浓度倒三角比较熟悉，容易想到，所以1个买一件的与1个买三件的合起来看，正好每件是原定价的．‎ 由于买2件的，每件价格是原定价的，高于，所以将买一件的与买三件的一一配对后，仍剩下一些买三件的人，由于，所以剩下的买三件的人数与买两件的人数的比是．‎ 于是33个人可分成两种，一种每2人买4件，一种每5人买12件，共买76件，所以后一种有(人)．其中买二件的有：(人)．‎ 前一种有(人)，其中买一件的有(人)．于是买三件的有(人)．‎ ‎【答案】‎ 【例 3】 在一个奇怪的动物村庄里住着猫、狗和其他一些动物．有的狗认为它们是猫；有的猫认为它们是狗．其余动物都是正常的．一天，动物村的村长小猴子发现：所有的猫和狗中，有认为自己是猫．如果这个奇怪的动物村庄里有狗比猫多180只．那么狗的数目是 只．‎ ‎【考点】溶液浓度问题 【难度】2星 【题型】解答 ‎ ‎【关键词】迎春杯，高年级组，决赛 【解析】 仔细分析题目，发现本题其实是一个简单的浓度问题：有的狗认为自己是猫，有的猫认为自己是猫；而将猫和狗混合在一起，所有的猫和狗中，有的认为自己是猫．那么根据浓度三角，狗和猫的数量之比为：．而狗比猫多180只，所以狗的数目为只．‎ ‎【答案】‎