小升初总复习数学归类讲解及训练(上-含答案)

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小升初总复习数学归类讲解及训练(上-含答案)

第 1 页 共 28 页 小学数学总复习归类讲解及训练 (一) 主要内容 求一个数比另一个数多(少)百分之几、纳税问题 学习目标 1、使学生在现实情境中,理解并掌握“求一个数比另一个数多(少)百分之几”的基本思考方 法,并能正确解决相关的实际问题。 2、使学生在探索“求一个数比另一个数多(少)百分之几”方法的过程中,进一步加深对百分 数的理解,体会百分数与日常生活的密切联系,增强自主探索和合作交流的意识,提高分析 问题和解决问题的能力。 3、使学生初步认识纳税和税率,理解和掌握应纳税额的计算方法。 4、初步培养学生的纳税意识,继续感知数学就在身边,提高知识的应用能力。 5、培养和解决简单的实际问题的能力,体会生活中处处有数学。 考点分析 1、一个数比另一个数多(少)百分之几 = 一个数比另一个数多(少)的量÷另一个数。 2、应该缴纳的税款叫做应纳税额,应纳税额与各种收入的比率叫做税率,应纳税额 = 收入 × 税率 典型例题 例 1、(解决“求一个数比另一个数多百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆,实际生产 5500 辆。实际比计划多生产百分之几? 分析与解:要求“实际比计划多生产百分之几”,就是求实际比计划多生产的辆数占计划产量的百分 之几,把原计划产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 实际比计划多的 实际产量 5500 辆 解答:方法 1: 5500 – 5000 = 500(辆) …… 实际比计划多生产 500 辆 500 ÷ 5000 = 0.1 = 10% …… 实际比计划多生产百分之几 方法 2: 5500 ÷ 5000 = 110% …… 实际产量相当于原计划的 110% 110% - 100% = 10% …… 实际比计划多生产百分之几 答:实际比计划多生产 10%。 例 2、(解决“求一个数比另一个数少百分之几”的实际问题) 向阳客车厂原计划生产客车 5000 辆,实际生产 5500 辆。计划比实际少生产百分之几? 第 2 页 共 28 页 分析与解:要求“计划比实际少生产百分之几”,就是求计划比实际少生产的辆数占实际产量的百分 之几,把实际产量看作单位“1”。两者之间的关系可用线段图表示。 计划产量 5000 辆 计划比实际少的 实际产量 5500 辆 解答:方法 1: 5500 – 5000 = 500(辆) …… 计划比实际少生产 500 辆 500 ÷ 5500 ≈ 9.1% …… 计划比实际少生产百分之几 方法 2: 5500 ÷ 5500 ≈ 90.9% …… 计划产量相当于实际的 90.9% 100% - 90.9% ≈ 9.1% …… 计划比实际少生产百分之几 答:计划比实际少生产 9.1%。 点评:想一想,在分数乘法应用题中的最基本的数量关系式:“单位 1 × 分率 = 分率对应的 量”,如果和百分数应用题结合起来,求一种量比另一种量多(少)百分之几,实际上就 是求分率。就用“多(少)的量 ÷ 单位 1”。 例 3、(难点突破) 一筐苹果比一筐梨重 20%,那么一筐梨就比一筐苹果轻 20% 分析与解:苹果比梨重 20%,表示苹果比梨重的部分占梨的 20%,把梨的质量看作单位“1”;而梨 比苹果轻 20%则表示梨比苹果轻的部分占苹果的 20%,把苹果的质量看作单位“1”,两 个单位“1”不同,切忌将两个问题混为一谈。一筐苹果比一筐梨重 20%,是把梨看作单 位“1”,梨有 100 份,苹果就是 100 + 20 = 120 份;一筐梨比一筐苹果轻百分之几 = 一 筐梨比一筐苹果轻的部分 ÷ 苹果 = (120 - 100)÷ 120≈16.7% 答:一筐苹果比一筐梨重 20%,那么一筐梨就比一筐苹果轻 16.7% 点评:在求一个数比另一个数多(少)百分之几的百分数应用题中,关键还是要找准单位“1” 的量。从结论可以得出“一个数比另一个数多百分之几,另一个数就比一个数少百分之几。” 这句话是错的。为什么呢?把两个百分之几比较一下,就可以得出这两个百分之几对应的 量是一个数比另一个数多的量或另一个数比一个数少的量,而这两种说法是相同的,也就 表示的是同一个量;而单位“1”一个是梨,一个是苹果,所以这两个百分之几是不可能 相等的。 例 4、(考点透视) 一种电子产品,原价每台 5000 元,现在降低到 3000 元。降价百分之几? 分析与解:降低到 3000 元,即现价为 3000 元,说明降低了 2000 元。求降价百分之几,就是求降低 的价格占原价的百分之几。 第 3 页 共 28 页 5000 – 3000 = 2000(元) 2000 ÷ 5000 = 40% 答:降价 40﹪。 例 5、(考点透视) 一项工程,原计划 10 天完成,实际 8 天就完成了任务,实际每天比原计划多修百分之几? 分析与解:根据“原计划 10 天完成”,可以得到:原计划每天完成这项工程的 10 1 ;根据“实际 8 天 完成”,可以得到:实际每天完成这项工程的 8 1 。用“实际比原计划每天多完成的量 ÷ 原 计划每天完成的量”,就可以求出实际每天多修百分之几。 ( 8 1 - 10 1 ) ÷ 10 1 = 25% 答:实际每天比原计划多修 25%。 点评:找准解决问题的数量关系式是解答好这一题的关键,题目中要求的是每天完成的任务量, 而不能用 10 和 8 去求,因为 10 和 8 是工作时间,在解答时容易发生错误。 例 6、(应纳税额的计算方法) 益民五金公司去年的营业总额为 400 万元。如果按营业额的 3%缴纳营业税,去年应缴纳营业 税多少万元? 分析与解:如果按营业额的 3%缴纳营业税,是把营业额看作单位“1”。 缴纳营业税占营业额的 3%,即 400 万元的 3%。求一个数的百分之几是多少,也用乘法计算。计算时可将百分 数化成分数或小数来计算。 400×3% = 400× 100 3 = 12(万元) 或 400×3% = 400×0.03 = 12(万元) 答:去年应缴纳营业税 12 万元。 点评:在现实社会中,各种税率是不一样的。应纳税额的计算从根本上讲是求一个数的百分之 几是多少。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 王叔叔买了一辆价值 16000 元的摩托车。按规定,买摩托车要缴纳 10%的车辆购置税。王叔叔 买这辆摩托车一共要花多少钱? 分析与解:王叔叔买这辆摩托车所需的钱应包含购买价和 10%的车辆购置税两部分,而车辆购置税 是占摩托车购买价的 10%,可先算出要缴纳的车辆购置税。也可以这样想:车辆购置税 占购买价的 10%,把购买价看作单位“1”,王叔叔买这辆摩托车所需的钱相当于购买价 的(1 + 10%),即求 16000 元的 110%是多少,也用乘法计算。 第 4 页 共 28 页 方法 1:16000 ×10% + 16000 = 1600 + 16000 = 17600(元) 方法 2:16000 ×(1 + 10%) = 16000 ×1.1 = 17600(元) 答:王叔叔买这辆摩托车一共要花 17600 元钱。 例 8、扬州某风景区 2007 年“十一”黄金周接待游客 9 万人次,门票收入达 270 万元。按门票的 5%缴纳营业税计算,“十一”黄金周期间应缴纳营业税 0.45 万元。 分析与解:营业税是按门票的 5%缴纳,是占门票收入的 5%,而不是占游客人数的 5% 答:“十一”黄金周期间应缴纳营业税 13.5 万元。 模拟试题 一、填空。 1、篮球个数是足球的 125%,篮球比足球多( )%,足球个数是篮球的( )%,足球个数 比篮球少( )%。 2、排球个数比篮球多 18%,排球个数相当于篮球的( )%。 3、足球个数比篮球少 20%。排球个数比篮球多 18%,( )球个数最多,( )球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树,其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的( )%,其余的果树占总 棵数的( )%。 5、女生人数占全班的百分之几 = ( )÷ ( ) 杨树的棵数比柏树多百分之几 = ( )÷ ( ) 实际节约了百分之几 = ( )÷ ( ) 比计划超产了百分之几 = ( )÷ ( ) 6、20 的 40%是( ),36 的 10%是( ),50 千克的 60%是( )千克,800 米的 25% 是( )米。 7、进口价a元的一批货物,税率和运费都是货物价值的 10%,这批货物的成本是( )元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只,灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几? 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨,实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几? 3、小明家八月份用电 80 千瓦时,小亮家比小明家节约 10 千瓦时,小亮家比小明家八月份节约 第 5 页 共 28 页 用电百分之几? 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨,比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几? 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元,按国家的税率规定,应缴纳 17%的增值税。一共要 缴纳多少万元的增值税? 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10%的车辆购置税。爸爸买这辆车共 需花多少钱? (二) 主要内容: 应用百分数解决实际问题:利息、折扣问题 学习目标: 1、了解储蓄的含义。 2、理解本金、利率、利息的含义。 3、掌握利息的计算方法,会正确地计算存款利息。 4、进一步掌握折扣的有关知识及计算方法。 5、使学生进一步积累解决问题的经验,增强数学的应用意识。 考点分析 1、存入银行的钱叫做本金,取款时银行除还给本金外,另外付给的钱叫做利息,利息占本金的 百分率叫做利率。 2、利息=本金×利率×时间。 3、几折就是十分之几,也就是百分之几十。 4、商品现价 = 商品原价 × 折数。 四、典型例题 例 1、(解决税前利息)李明把 500 元钱按三年期整存整取存入银行,到期后应得利息多少元? 存期(整存整取) 年利率 一年 3.87% 二年 4.50% 三年 5.22% 第 6 页 共 28 页 分析与解:根据储蓄年利率表,三年定期年利率 5.22%。 税前应得利息 = 本金 × 利率 × 时间 500 × 5.22% × 3 = 78.3(元) 答:到期后应得利息 78.3 元。 例 2、(解决税后利息) 根据国家税法规定,个人在银行存款所得的利息要按 5%的税率缴纳利息税。例 1 中纳税 后李明实得利息多少元? 分析与解:从应得利息中扣除利息税剩下的就是实得利息。 税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×(1 - 5%) 500 × 5.22% × 3 = 78.3(元) …… 应得利息 78.3 × 5% = 3.915(元) …… 利息税 78.3 – 3.915 = 74.385 ≈ 74.39(元) …… 实得利息 或者 500 × 5.22% × 3 × (1 - 5%) = 74.385(元)≈ 74.39(元) 答:纳税后李明实得利息 74.39 元。 例 3、方明将 1500 元存入银行,定期二年,年利率是 4.50%。两年后方明取款时要按 5%缴纳 利息税,到期后方明实得利息多少元? 错误解答:1500 × 4.50% ×(1 - 5%) = 64.125(元)≈ 64.13(元) 分析原因:税后实得利息 = 本金 × 利率 × 时间 ×(1 - 5%),这里漏乘了时间。 正确解答:1500 × 2 × 4.50% ×(1 - 5%) = 128.25(元) 答:到期后方明实得利息 128.25 元。 点评:求利率根据实际情况有时要扣掉利息税,根据国家规定利息税的税率是 5%,所以利息 分税前利息和税后利息,在做题时要注意区分。但也有一些是不需要缴利息税的,比如: 国家建设债券、教育储蓄等。 例 4、(求折扣)一本书现价 6.4 元,比原价便宜 1.6 元。这本书是打几折出售的? 分析与解:打了几折是求实际售价是原价的百分之几,只要用实际售价除以原价。 6.4 + 1.6 = 8(元) 6.4 ÷ 8 = 80% = 八折 答:这本书是打八折出售的。 点评:几折就是百分之几十,几几折就是百分之几十几,同一商品打的折数越低,售价也就越 低。在折数的题目中,打几折就是按原价的百分之几十出售,它并不代表增加或减少的 数额。 例 5、(已知折扣求原价) “国庆”商场促销,一套西服打八五折出售是 1020 元,这套西服原价多少元? 分析与解:打八五折出售,即实际售价相当于原价的 85%。已知原价的 85%是 1020 元,要求 原价是多少,可以列方程解答。 原价 × 85% = 实际售价 解:设这套西服原价x元。 第 7 页 共 28 页 x × 85% = 1020 x = 1020 ÷ 85% x = 1200 检验:(1)用现价除以原价看是否打了八五折。 1020 ÷ 1200 = 0.85 = 85% (2)看原价的 85%是不是 1020 元。 1200 × 85% = 1020(元) 经检验,答案符合题意。 答:这套西服原价 1200 元。 例 6、一台液晶电视 6000 元,若打七五折出售,可降价 2000 元。 分析原因:6000 元为原价,打七五折出售,要先算出实际售价再相减,或者先算出降价部分占 原价的 25%。 正确解答:6000 - 6000×75% = 1500(元) 或 6000×(1 - 75%) = 1500(元) 答:可降价 1500 元。 例 7、(和应纳税额有关的简单实际问题) 一批电冰箱,原来每台售价 2000 元,现促销打九折出售,有一顾客购买时,要求再打九折,如 果能够成交,售价是多少元? 分析与解:“促销打九折出售”就是按原价的百分之九十出售,用“原价×90%”,“再打九折” 是在促销价的基础上打九折,要用促销价乘 90%。 2000× 90% × 90% = 1800× 90% = 1620(元) 答:如果能够成交,售价是 1620 元。 点评:题目的关键是“再打九折”表示的意思是在促销价的基础上再打九折,单位“1”的 量是促销价,即原价打九折后的价钱,这是易错点,要多加注意。 例 8、(考点透视) 商店以 40 元的价钱卖出一件商品,亏了 20%。这件商品原价多少元,亏了多少元? 分析与解:以 40 元的价钱卖出,说明实际售价是 40 元;亏了 20%,即亏了原价的 20%,因此 实际售价相当于原价的(1 - 20%)。 解:设这件商品原价x元。 x × (1 - 20%) = 40 x × 80% = 40 x = 50 50 × 20% = 10(元) 答:这件商品原价 50 元,亏了 10 元。 例 9、(考点透视) 某商店同时卖出两件商品,每件各得 30 元,其中一件盈利 20%,另一件亏本 20%。这个商店 卖出这两件商品总体上是盈利还是亏本?具体是多少? 分析与解:盈利 20%,即售出价是成本价的(1 + 20%);亏本 20%,即售出价是成本价的(1 - 20%)。两件商品的售出价都是 30 元,可分别算出两件商品的成本价。 30 ÷(1 + 20%)= 25(元) 第 8 页 共 28 页 30 ÷(1 - 20%)= 37.5(元) 25 + 37.5 = 62.5(元) 62.5 – 60 = 2.5(元) 答:这个商店卖出这两件商品总体上是亏本,亏本 2.5 元。 模拟试题 1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元,如果每月的利率是 0.165%,存款 三个月时,可得到利息多少元?本金和利息一共多少元? 2、叔叔今年存入银行 10 万元,定期二年,年利率 4.50% ,二年后到期,扣除利息税 5% ,得到的 利息能买一台 6000 元的电脑吗? 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员,按党章规定,工资收入在 400-600 元的,每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%,在 600-800 元的应缴纳 1%,在 800-1000 元的,应缴纳 1.5%,在 1000 以上的 应缴纳 2%,小华妈妈的工资为 2400 元,她这一年应缴纳党费多少元? 4、填空: 八折=( )% 九五折=( )% 40% =( )折 75% = ( )折 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫,原价 80 元,如果打八折出售是多少元? ②有一种型号的手机,原价 1000 元,现价 900 元,打几折出售? 第 9 页 共 28 页 ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤,因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤 原价多少元? 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销,你能算出这些美食分 别打几折吗?每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元,现价 3 元。 ②食品原价 5 元,现价 4 元。 ③食品原价 10 元,现价 7 元。 7、常熟新开了一家永乐生活电器,“十·一”节日期间,那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3,原价 280 元,现在打三折出售。根据这个信息,你想计算什么? ①现价多少元? ②现价比原价便宜了多少元? 改编:(1)有一种款式的 MP3,打三折出售是 84 元,原价多少元? (2)有一种款式的 MP3,打三折出售比原价便宜了 196 元,原价多少元? 8、一种矿泉水,零售每瓶卖 2 元,生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱,特开展“买四赠一” 大酬宾活动,生产厂家的做法优惠了百分之几? (注意解题策略的多样性。) 第 10 页 共 28 页 9、一辆自行车 200 元,在原价基础上打八折,小明有贵宾卡,还可以再打九折,小明买这辆车 花了多少钱? 10、小红在书店买了两本打八折出售的书,共花了 12 元,小红买这两本书便宜了多少钱。 (三) 主要内容 列方程解稍复杂的百分数实际问题 学习目标 1、引导学生在已学会的一些基本的百分数实际问题的基础上,引出列方程解一些稍复杂的百分 数实际问题的方法。 2、能根据题中的信息,熟练地找出基本的数量关系,培养学生的分析解题能力。 3、通过练习,沟通百分数和分数的联系,提高学生解决相关问题的能力。 考点分析 1、解答稍复杂的百分数应用题和稍复杂的分数应用题的解题思路、解题方法完全相同。 2、用字母或含有字母的式子表示题中两个未知的数量,找出数量间的相等关系。根据求一个数 的百分之几是多少用乘法列方程求解,或者根据除法的意义,直接解答。 3、“已知比一个数多(少)百分之几的数是多少,求这个数”的实际问题,可以根据数量间的 相等关系列方程求解;或者根据除法的意义,直接解答。 4、灵活运用本单元所学知识,、解决稍复杂的百分数实际问题,沟通分数、百分数应用题之间 的联系。 典型例题 例 1、(列方程解答和倍问题) 一根绳子长 48 米,截成甲、乙两段,其中乙绳长度是甲绳的 60%。甲、乙两绳各长多少米? 分析与解:乙绳长度是甲绳的 60%,把甲绳长度看作单位“1”。 x米 甲绳 ¦ ( )米 ¦ 48 米 乙绳 乙绳是甲绳的 60% 第 11 页 共 28 页 等量关系式:甲绳长度 + 乙绳长度 = 总长度 解答:设甲绳长x米,则乙绳长 60%x米。 x + 60%x = 48 1.6x = 48 x = 30 60%x = 30 × 60% = 18 答:甲绳长 30 米,则乙绳长 18 米。 检验:30 + 18 = 48(米),符合甲、乙两绳共长 48 米。 18 ÷ 30 = 60%,符合乙绳长度是甲绳的 60%。 例 2、(列方程解答差倍问题) 体育馆内排球的个数是篮球的 75%,篮球比排球多 6 个。篮球和排球各有多少个? 分析与解:排球的个数是篮球的 75%,是把篮球个数看作单位“1”。 x个 篮球 ¦ ()个 ¦多 6 个 排球 排球的个数是篮球的 75% 等量关系式:篮球 – 排球 = 6 个 解答:设篮球有x个,则排球有 75%x个。 x - 75%x = 6 0.25x = 6 x = 24 75%x = 24 × 0.75 = 18 答:篮球有 24 个,排球有 18 个。 你会自己检验吗? 检验:24 - 18 = 6(个),符合篮球比排球多 6 个。 18 ÷ 24 = 75%,符合排球的个数是篮球的 75%。 点评:在列方程解答和倍、差倍问题的题目时,要注意找准单位“1”的量,通常情况下设单位 “1”的量为x,再用另一个量和单位“1”之间的关系,用含有x的式子表示出另一个量, 最后根据它们的和或差列出方程。 例 3、六年级男生比女生少 40 人,六年级女生人数相当于男生人数的 140%,六年级男生有多 少人? 错误解法:设:女生有x人,男生就有 140%x人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100 140%x = 100 × 1.4 = 140 分析与解:根据“六年级女生人数相当于男生人数的 140%”,可以把男生人数看作单位“1” 的量,设男生人数为x人,女生人数就是 140%x人,再根据“六年级男生比女生少 40 人”,可以得出数量关系式:“女生人数 – 男生人数 = 40”,根据此数量关系式 列出方程。 第 12 页 共 28 页 正确解答:设男生有x人,女生就有 140%x人。 140%x - x = 40 0.4x = 40 x = 100 答:男生有 100 人。 点评:解错此题的原因是单位“1”的量找错了,要记住找单位“1”的量时候,首先要去找分率 (百分率),因为没有分率就没有单位“1”的量,就不能看到“比”,而“比”后面的那个 量就是单位“1”的量。 例 4、(列方程解决“已知比一个数少百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 36 只,比灰兔少 20%。灰兔有多少只? 分析与解:白兔比灰兔少 20%,把灰兔看作单位“1”。 ?只 灰兔 ¦ 36 只 ¦ 白兔 比灰兔少 20% 等量关系式:灰兔的只数 – 白兔比灰兔少的只数 = 白兔的只数 解答:设灰兔有x只。 x - 20%x = 36 0.8x = 36 x = 45 答:灰兔有 45 只。 检验:45 – 45 × 20% = 36 或 (45 – 36)÷ 45 = 20%,符合题意。 例 5、(列方程解决“已知比一个数多百分之几的数是多少,求这个数”的百分数实际问题) 白兔有 48 只,比灰兔多 20%。灰兔有多少只? 分析与解:白兔比灰兔多 20%,把灰兔看作单位“1”。 ?只 灰兔 ¦比灰兔多 20% ¦ 白兔 48 只 等量关系式:灰兔的只数 + 白兔比灰兔多的只数 = 白兔的只数 解答:设灰兔有x只。 x + 20%x = 48 1.2x = 48 x = 40 答:灰兔有 40 只。 第 13 页 共 28 页 检验:40 + 40 × 20% = 48 或 (48 – 40)÷ 40 = 20%,符合题意。 点评:和前面例题一样,都是去求单位“1”的量。在解题时同样要注意找准单位“1”的量,看 问题求什么,确定用什么方法计算。 例 6、(难点突破) 某商品如果按现价 18 元出售,则亏了 25%,原来成本是多少元?如果想盈利 25%,应按多少 元出售该商品? 分析与解:不管是亏 25%,还是盈利 25%,单位“1”都是这件商品的成本。所以要先求这件 商品的成本。18 元亏 25%,说明 18 元比成本少 25%,即是成本的(1 - 25%)。盈 利 25%,说明盈利的是原来成本的 25%,实际售价是原来成本的(1 + 25%)。 解答:设原来成本是x元。 x - 25%x = 18 0.75x = 18 x = 24 24 × (1 + 25%) = 30(元) 答:原来成本是 24 元,应按 30 元出售该商品。 点评:通常情况下,商品的盈利和亏损都是以成本作单位“1”的 。解答这道题目的关键是确定 好单位“1”,这也是解百分数应用题时最重要的。 例 7、(考点透视) 水果批发部要运进一批水果,第一次运进总量的 22%,第二次运进 1.5 吨,两次共运进这批水 果的 62%,这批水果一共有多少吨? 分析与解:根据题意可以画出下面的线段图: 62% 第一次 22% 1.5 吨 “1”? 吨 从图中可以看出:两次一共运的吨数 - 第一次运的吨数 = 1.5 吨,单位“1”的量是这批水 果的总吨数,设这批水果一共有x吨,那么两次一共运了 62%x吨,第一次运进了 22%x吨。 解:设这批水果一共有x吨。 62%x - 22%x = 1.5 40%x = 1.5 x = 3.75 答:这批水果一共有 3.75 吨。 点评:在解答稍复杂的百分数应用题时,要学会画线段图,它的好处是:使题目的条件变得简洁, 找数量关系式时更加容易、方便。画图的时候,要先找准单位“1”的量,用一根线段表示出单位“1” 的量之后,再去表示其他的量。 第 14 页 共 28 页 模拟试题 一、基本训练: 1、找出下列各题中的单位“1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 ②男生人数比女生人数多 20%。 ③女生人数比男生人数少 25%。 ④加工一批零件,已完成了 80%。 ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。 2、根据所给信息,说出数量间的相等关系 ①一条路,已修了全长的 60% ②一种彩电,现价比原价降低 10% ③松树的棵数比柏树多1 3 3、看图列式。 用去 30% ? 只 灰兔 比灰兔多 25% 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 30 只 4、列式计算: (1)一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5,求这个数。 (2)一个数的 25%比它的 75%少 30,求这个数。 第 15 页 共 28 页 二、解决问题: 1、对比练习 (1)某工厂六月份用煤 60 吨,六月份比五月份少用煤 25%,五月份用煤多少吨? (2)某工厂六月份用煤 60 吨,五月份比六月份多用煤 25%,五月份用煤多少吨? 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元,如果椅子的单价是课桌单价的 60%,课桌和椅子的单价各是 多少元? 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵? 4、一套桌椅的价格是 78 元,其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元? 5、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,两次共剪去 6 米,这条绳子共 长多少米? 6、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,第二次比第一次多剪了 1 米, 这条绳子长多少米? 7、根据问题列式。 第 16 页 共 28 页 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷,实际种茶 25 公顷,________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几? ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几? ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几? ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几? 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵, ,梨树有多少棵? ①200÷20% ②200×20% ③200÷(1+20%) ④200÷(1-20%) ⑤200×(1-20%) ⑥200×(1+20%) (四) 主要内容 圆柱和圆锥的认识、圆柱的表面积 学习目标 1、使学生在观察、操作、交流等活动中感知和发现圆柱、圆锥的特征,知道圆柱和圆锥的底面、 侧面和高。 2、使学生理解圆柱侧面积和圆柱表面积的含义,掌握圆柱侧面积和表面积的计算方法。 3、使学生在活动中进一步积累认识立体图形的学习经验,增强空间观念,发展数学思考。 4、使学生进一步体验立体图形与生活的关系,感受立体图形的学习价值,提高学习数学的兴趣 和学好数学的信心。 考点分析 1、圆柱上、下两个面叫做圆柱的底面,它们是完全相同的两个圆。形成圆柱的面还有一个曲面, 叫做圆柱的侧面。 第 17 页 共 28 页 圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。 2、圆锥的底面是个圆,圆锥的侧面是一个曲面。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。 3、把圆柱的侧面展开得到一个长方形,这个长方形的长等于圆柱底面的周长,宽等于圆柱的高。 4、圆柱的侧面积 = 底面周长 × 高 5、圆柱的表面积 = 侧面积 + 底面积 × 2 典型例题 例 1、(圆柱和圆锥的特征)圆柱和圆锥分别有什么特点? 分析与解:长方体和正方体的六个面都是平面图形(长方形或正方形),而圆柱和圆锥除了底面 是平面图形(圆)外,都有一个曲面。圆柱和圆锥的特征见下表。 圆 柱 圆 锥 底 面 两个底面完全相同,都是圆 形。 一个底面,是圆形。 侧 面 曲面,沿高剪开,展开后是 长方形。 曲面,沿顶点到底面圆周上的一条线 段剪开,展开后是扇形。 高 两个底面之间的距离,有无 数条。 顶点到底面圆心的距离,只有一条。 例 2、求下面立体图形的底面周长和底面积。 半径 3 厘米 直径 10 米 分析与解:根据圆的面积和周长计算公式计算圆柱和圆锥的底面周长和底面积。 圆柱:底面周长 3.14 × 3 × 2 = 18.84(厘米) 底面积 3.14 × 3 ² = 28.26(平方厘米) 圆锥:底面周长 3.14 × 10 = 31.4(米) 底面积 3.14 ×(10÷2)² = 78.5(平方米) 点评:圆柱和圆锥的底面都是圆,在计算它们的周长和面积时只要按照圆的周长和面积计算 公式进行计算。 例 3、判断:圆柱和圆锥都有无数条高。 错误解法:正确 分析与解:圆柱有无数条高,圆锥只有一条高。 正确解答:错误 第 18 页 共 28 页 点评:圆柱两个底面之间的距离叫做圆柱的高。两个底面之间有无数个对应的点,圆柱有无数 条高。从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高。顶点和底面圆心都是唯一的点,所 以圆锥只有一条高。 例 4、(圆柱的侧面积)体育一个圆柱,底面直径是 5 厘米,高是 12 厘米。求它的侧面积。 分析与解: 高 底面周长 沿着圆柱侧面的一条高剪开,将侧面展开,就得到一个长方形。这个长方形的长等于圆 柱底面的周长,宽等于圆柱的高。因此,用圆柱的底面周长乘圆柱的高就得到这个长方 形的面积,即圆柱的侧面积。 解答: 3.14 × 5 × 12 = 188.4(平方厘米) 答:它的侧面积是 188.4 平方厘米。 点评:圆柱的侧面是个曲面,不能直接求出它的面积。推导出侧面积的计算公式也用到了转化 的思想。把这个曲面沿高剪开,然后平展开来,就能得到一个长方形,这个长方形的面 积就是这个圆柱的侧面积。 例 5、(圆柱的表面积) 做一个圆柱形油桶,底面直径是 0.6 米,高是 1 米,至少需要多少平方米铁皮?(得数保留整数) 分析与解:求铁皮的面积,就是求圆柱形油桶的表面积,即两个底面积和一个侧面积的和。 解答:底面积:3.14 ×(0.6÷2)² = 0.2826(平方米) 侧面积:3.14 × 0.6 × 1 = 1.884(平方米) 表面积:0.2826 × 2 + 1.884 = 2.4492(平方米)≈ 3(平方米) 答:至少需要铁皮 3 平方米。 点评:这里不能用四舍五入法取近似值。因为在实际生活中使用的材料要比计算得到的结果多 一些。因此这儿保留整数,十分位上虽然是 4,但也要向个位进 1。 例 6、(辨析)一个无盖的圆柱铁皮水桶,底面直径是 30 厘米,高是 50 厘米。做这样一个水桶, 至少需用铁皮 6123 平方厘米。 分析与解:题目中是做一个无盖的圆柱铁皮水桶,只有一个底面。在计算铁皮面积时只要用圆 柱的侧面积加上一个底面的面积。 解答:底面积:3.14 ×(30÷2)² = 706.5(平方厘米) 第 19 页 共 28 页 侧面积:3.14 × 30 × 50 = 4710(平方厘米) 表面积:706.5 + 4710 = 5416.5(平方厘米) 答:做这样一个水桶,至少需用铁皮 5416.5 平方厘米。 例 7、(考点透视)一个圆柱的侧面积展开是一个边长 15.7 厘米的正方形。这个圆柱的表面积 是多少平方厘米? 分析与解:圆柱的侧面积展开是一个正方形,即圆柱的高和底面周长都是 15.7 厘米。根据圆柱 的底面周长可以算出底面积。 解答:底面半径:15.7 ÷ 3.14 ÷ 2 = 2.5(厘米) 底面积:3.14 × 2.5 ² = 19.625(平方厘米) 侧面积:15.7 × 15.7 = 246.49(平方厘米) 表面积:19.625 × 2 + 246.49 = 285.74(平方厘米) 答:这个圆柱的表面积是 285.74 平方厘米。 例 8、(考点透视)一个圆柱形的游泳池,底面直径是 10 米,高是 4 米。在它的四周和底部涂 水泥,每千克水泥可涂 5 平方米,共需多少千克水泥? 分析与解:要求水泥的质量,先要求水泥的面积。在圆柱形的游泳池的四周和底部涂水泥,涂 水泥的面积是一个底面积加上侧面积。 解答: 侧面积:3.14 × 10 × 4 = 125.6(平方米) 底面积:3.14 × (10 ÷ 2)² = 78.5(平方米) 涂水泥的面积:125.6 + 78.5 = 204.1(平方米) 水泥的质量:204.1 ÷ 5 = 40.82(千克) 答:共需 40.82 千克水泥。 例 9、(考点透视)把一个底面半径是 2 分米,长是 9 分米的圆柱形木头锯成长短不同的三小段 圆柱形木头,表面积增加了多少平方分米? 分析与解:锯圆柱形木头,表面积增加的部分是若干个相同的底面积。锯成三段,要锯两次, 每锯一次增加两个面,锯了两次增加了四个面。 3.14 × 2 ² × 4 = 50.24(平方分米) 答:表面积增加了 50.24 平方分米。 点评:这是一道在实际生活中应用的题目,对于这一类题目,它的规律就是每切一次就增加两个 面。但切的方式不同,增加的面也不同。如果是沿着底面直径把圆柱切成相同的两个部分, 增加的面就是以底面直径和高为两邻边的长方形。 第 20 页 共 28 页 模拟试题 下面( )图形旋转会形成圆柱。 3、在下图中,以直线为轴旋转,可以得出圆锥的是( )。 4、求下列圆柱体的侧面积 (1)底面半径是 3 厘米,高是 4 厘米。 (2)底面直径是 4 厘米,高是 5 厘米。 (3)底面周长是 12.56 厘米,高是 4 厘米。 5、求下列圆柱体的表面积 (1)底面半径是 4 厘米,高是 6 厘米。 (2)底面直径是 6 厘米,高是 12 厘米。 第 21 页 共 28 页 (3)底面周长是 25.12 厘米,高是 8 厘米。 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱,要求底面直径是 3 分米,高是 15 分米,制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米?(接头处不计,得数保留整平方分米) 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶,有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 8、一个圆柱形蓄水池,底面周长是 25.12 米,高是 4 米,将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克,一共要用多少千克水泥? 第 22 页 共 28 页 参考答案:(一) 一、填空。 1、篮球个数是足球的 125%,篮球比足球多( 25 )%,足球个数是篮球的( 80 )%,足球个数 比篮球少( 20 )%。 2、排球个数比篮球多 18%,排球个数相当于篮球的( 118 )%。 3、足球个数比篮球少 20%。排球个数比篮球多 18%,( 排 )球个数最多,( 足 )球个数最少。 4、果园里种了 60 棵果树,其中 36 棵是苹果树。苹果树占总棵数的( 60 )%,其余的果树占总棵 数的( 40 )%。 5、女生人数占全班的百分之几 = ( 女生人数 )÷ ( 全班人数 ) 杨树的棵数比柏树多百分之几 =( 杨树比柏树多的棵数 )÷ ( 柏树棵数 ) 实际节约了百分之几 = ( 节约的数量 )÷ ( 计划数量 ) 比计划超产了百分之几 = ( 超产产量 )÷ ( 计划产量 ) 6、20 的 40%是( 8 ),36 的 10%是( 3.6 ),50 千克的 60%是( 30 )千克,800 米的 25%是( 200 )米。 7、进口价a元的一批货物,税率和运费都是货物价值的 10%,这批货物的成本是( 1.2a )元。 二、解决实际问题 1、白兔有 25 只,灰兔有 30 只。灰兔比白兔多百分之几? (30 - 25)÷ 25 = 20 % 2、四美食盐厂上月计划生产食盐 450 吨,实际生产了 480 吨。实际比计划多生产了百分之几? (480 - 450)÷ 450 ≈ 6.7% 3、小明家八月份用电 80 千瓦时,小亮家比小明家节约 10 千瓦时,小亮家比小明家八月份节约用电 百分之几? 10 ÷ 80 = 12.5 % 4、某化肥厂 9 月份实际生产化肥 5000 吨,比计划超产 500 吨。比计划超产百分之几? 500 ÷ (5000 – 500) ≈ 11.1% 5、蓝天帽业厂去年收入总额达 900 万元,按国家的税率规定,应缴纳 17%的增值税。一共要缴纳 多少万元的增值税? 900 × 17% = 153(万元) 6、爸爸买了一辆价值 12 万元的家用轿车。按规定需缴纳 10%的车辆购置税。爸爸买这辆车共需花 多少钱? 方法 1:12 ×10% + 12 = 1.2 + 12 = 13.2(万元) 方法 2:12 ×(1 + 10%) = 12 ×1.1 = 13.2(万元) 参考答案(二): 1、李叔叔于 2000 年 1 月 1 日在银行存了活期储蓄 1000 元,如果每月的利率是 0.165%,存款三个 月时,可得到利息多少元?本金和利息一共多少元? 税后利息:1000 × 0.165% × 3 ×(1 - 5%)= 4.7025(元)≈ 4.70(元) 本金和利息:1000 + 4.70 = 1004.70(元) 2、叔叔今年存入银行 10 万元,定期二年,年利率 4.50% ,二年后到期,扣除利息税 5% ,得到的 利息能买一台 6000 元的电脑吗? 税后利息:100000 × 4.50% × 2 ×(1 - 5%)= 8550(元) 第 23 页 共 28 页 8550 > 6000 答:得到的利息能买一台 6000 元的电脑。 3、小华妈妈是一名光荣的中国共产党员,按党章规定,工资收入在 400-600 元的,每月党费应缴纳 工资总额的 0.5%,在 600-800 元的应缴纳 1%,在 800-1000 元的,应缴纳 1.5%,在 1000 以上的 应缴纳 2%,小华妈妈的工资为 2400 元,她这一年应缴纳党费多少元? 2400 × 2% × 12 = 576(元) 4、填空: 八折=( 80 )% 九五折=( 95 )% 40% =( 四 )折 75% = ( 七五 )折 5、只列式不计算。 ①买一件 T 恤衫,原价 80 元,如果打八折出售是多少元? 80 × 80% ②有一种型号的手机,原价 1000 元,现价 900 元,打几折出售? 900 ÷ 1000 ③老师在商店里花了 56 元钱买了一条牛仔裤,因为那儿的牛仔裤正在打七折销售。这条牛仔裤 原价多少元? 56 ÷ 70% 6、算出折数。 ⑴在日常生活中打“折”现象随处可见。这儿有一家快餐店也在搞促销,你能算出这些美食分别 打几折吗?每人可任选一种计算一下。 ①食品原价 4 元,现价 3 元。3 ÷ 4 = 0.75 = 75% = 七五折 ②食品原价 5 元,现价 4 元。4 ÷ 5 = 0.8 = 80% = 八折 ③食品原价 10 元,现价 7 元。7 ÷ 10 = 0.7 = 70% = 七折 7、常熟新开了一家永乐生活电器,“十•一”节日期间,那里的商品降价幅度很大。有一种款式的 MP3,原价 280 元,现在打三折出售。根据这个信息,你想计算什么? ①现价多少元? 三折 = 30% 280 × 30% = 84(元) ②现价比原价便宜了多少元? 280 – 84 = 196(元) 改编:(1)有一种款式的 MP3,打三折出售是 84 元,原价多少元? 84 ÷ 30% = 280(元) (2)有一种款式的 MP3,打三折出售比原价便宜了 196 元,原价多少元? 196 ÷ (1 - 30%)= 280(元) 8、一种矿泉水,零售每瓶卖 2 元,生产厂家为感谢广大顾客对产品的厚爱,特开展“买四赠一”大 酬宾活动,生产厂家的做法优惠了百分之几? (注意解题策略的多样性。) 4 ÷ (4 + 1) = 0.8 = 80% 1 - 80% = 20% 9、一辆自行车 200 元,在原价基础上打八折,小明有贵宾卡,还可以再打九折,小明买这辆车花了 多少钱? 200 × 80% × 90% = 144(元) 第 24 页 共 28 页 10、小红在书店买了两本打八折出售的书,共花了 12 元,小红买这两本书便宜了多少钱。 12 ÷ 2 ÷ 80% = 7.5(元) 7.5 × 2 – 12 = 3(元) 或 12 ÷ 80% – 12 = 3(元) 参考答案(三): 一、基本训练: 1、找出下列各题中的单位“1”。 ①男生人数占女生人数 60%。 把女生人数看作单位“1” ②男生人数比女生人数多 20%。 把女生人数看作单位“1” ③女生人数比男生人数少 25%。 把男生人数看作单位“1” ④加工一批零件,已完成了 80%。 把一批零件看作单位“1” ⑤今年的猪肉单价比去年上涨了 80%。把去年的猪肉单价看作单位“1” 2、根据所给信息,说出数量间的相等关系 ①一条路,已修了全长的 60% 全长 × 60% = 已修 ②一种彩电,现价比原价降低 10% 原价 × 10% = 降价 原价 ×(1-10%)= 现价 ③松树的棵数比柏树多1 3 柏树 × 1 3 = 松树比柏树多的棵数 柏树 ×(1+1 3 )= 松树 3、看图列式。 用去 30% ? 只 灰兔 比灰兔多 25% 用去 ? 吨 还剩 28 吨 白兔 28 ÷(1 - 30%)×30% = 12(吨) 30 只 x + 25%x = 30 x = 24 4、列式计算: (1)一个数的 75%比 30 的 25%多 1.5,求这个数。75%x – 30 × 25% = 1.5 x = 12 (2)一个数的 25%比它的 75%少 30,求这个数。75%x – 25%x = 30 x = 60 第 25 页 共 28 页 二、解决问题: 1、对比练习 (1)某工厂六月份用煤 60 吨,六月份比五月份少用煤 25%,五月份用煤多少吨? 解:设五月份用煤x吨。 x – 25%x = 60 x = 80 (2)某工厂六月份用煤 60 吨,五月份比六月份多用煤 25%,五月份用煤多少吨? 60 + 60 × 25% = 75(吨) 2、一张课桌比一把椅子贵 10 元,如果椅子的单价是课桌单价的 60%,课桌和椅子的单价各是 多少元? 解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是 60%x元。 x – 60%x = 10 x = 25 25 × 60% = 15(元)或 25 – 10 = 15(元) 答:课桌的单价是 25 元,椅子的单价是 15 元。 3、果园里的梨树和苹果树共有 360 棵,其中的苹果树的棵树是梨树的棵树的 20%。苹果树和梨 树各有多少棵? 解:设梨树的棵树是x棵,苹果树的棵树是 20%x棵。 x + 20%x = 360 x = 300 300 × 20% = 60(棵)或 360 – 300 = 60(棵) 答:梨树的棵树是 300 棵,苹果树的棵树是 60 棵。 4、一套桌椅的价格是 78 元,其中椅子的价格是桌子的 30%。桌子和椅子的价格各是多少元? 解:设课桌的单价是x元,椅子的单价是 30%x元。 x + 30%x = 78 x = 60 60 × 30% = 18(元)或 78 – 60 = 18(元) 答:课桌的单价是 60 元,椅子的单价是 18 元。 5、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,两次共剪去 6 米,这条绳子共 长多少米? 解:设这条绳子共长x米。 25%x + 35%x = 6 x = 10 答:这条绳子共长 10 米。 第 26 页 共 28 页 6、一条绳子,第一次剪去全长的 25%,第二次剪去全长的 35%,第二次比第一次多剪了 1 米, 这条绳子长多少米? 解:设这条绳子共长x米。 35%x - 25%x = 1 x = 10 答:这条绳子共长 10 米。 7、根据问题列式。 平山茶场去年原计划种茶 20 公顷,实际种茶 25 公顷,________? ①实际种茶的公顷数是原计划的百分之几? 25 ÷ 20 = 125% ②计划种茶的公顷数是实际的百分之几? 20 ÷ 25 = 80% ③实际种茶的公顷数比原计划多百分之几? (25 – 20) ÷ 20 = 25% ④计划种茶的公顷数比实际少百分之几? (25 – 20) ÷ 25 = 20% 8、根据算式填条件 果园里有苹果树 200 棵, ,梨树有多少棵? ①200÷20% 苹果树是梨树的 20% ②200×20% 梨树是苹果树的 20% ③200÷(1+20%) 苹果树比梨树多 20% ④200÷(1-20%) 苹果树比梨树少 20% ⑤200×(1-20%) 梨树比苹果树少 20% ⑥200×(1+20%) 梨树比苹果树多 20% 参考答案(四): 第 27 页 共 28 页 上图上面从左到右依次是:底面、侧面积 中间从左到右依次是:高、高 下面从左到右依次是:底面、底面周长、底面周长 下面( A )图形旋转会形成圆柱。 3、在下图中,以直线为轴旋转,可以得出圆锥的是( ④ )。 4、求下列圆柱体的侧面积 (1)底面半径是 3 厘米,高是 4 厘米。 3.14×3×2×4 = 75.36(厘米) (2)底面直径是 4 厘米,高是 5 厘米。 3.14×4×5 = 62.8(厘米) (3)底面周长是 12.56 厘米,高是 4 厘米。12.56×4 = 50.24(厘米) 5、求下列圆柱体的表面积 (1)底面半径是 4 厘米,高是 6 厘米。 底面积:3.14 × 4 ² = 50.24(平方厘米) 侧面积:3.14 × 4 × 2 × 6 = 150.72(平方厘米) 表面积:50.24 × 2 + 150.72 = 251.2(平方厘米) (2)底面直径是 6 厘米,高是 12 厘米。 底面积:3.14 × (6÷2)² = 28.26(平方厘米) 侧面积:3.14 × 6 × 12 = 226.08(平方厘米) 表面积:28.26 × 2 + 226.08 = 282.6(平方厘米) (3)底面周长是 25.12 厘米,高是 8 厘米。 底面积:25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4(厘米) 3.14 × 4 ² = 50.24(平方厘米) 侧面积:25.12 × 8 = 200.96(平方厘米) 表面积:50.24 × 2 + 200.96 = 301.44(平方厘米) 6、用铁皮制作一个圆柱形烟囱,要求底面直径是 3 分米,高是 15 分米,制作这个烟囱至少需要铁 皮多少平方分米?(接头处不计,得数保留整平方分米) 侧面积:3.14 × 3 × 15 = 141.3(平方分米)≈ 142(平方分米) 7、请你制作一个无盖圆柱形水桶,有以下几种型号的铁皮可供搭配选择。 第 28 页 共 28 页 解法一:选择①和④ 底面积:3.14 × (3÷2)² = 7.065(平方分米) 侧面积:9.42 × 2 = 18.84(平方分米) 表面积:7.065 × 2 + 18.84 = 32.97(平方分米) 解法二:选择②和③ 底面积:3.14 × (4÷2)² = 12.56(平方分米) 侧面积:12.56 × 5 = 62.8(平方分米) 表面积:12.56 × 2 + 62.8 = 87.92(平方分米) 8、一个圆柱形蓄水池,底面周长是 25.12 米,高是 4 米,将这个蓄水池四周及底部抹上水泥。如果 每平方米要用水泥 20 千克,一共要用多少千克水泥? 底面积:25.12 ÷ 3.14 ÷ 2 = 4(米) 3.14 × 4 ² = 50.24(平方米) 侧面积:25.12 × 4 = 100.48(平方米) 表面积:50.24 + 100.48 = 150.72(平方米) 水泥质量: 150.72 × 20 = 3014.4 千克
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