六年级下册数学讲义-小升初复习： 第06讲 方程法解图形问题（下）（解析版）全国通用

六年级下册数学讲义-小升初复习： 第06讲 方程法解图形问题（下）（解析版）全国通用

‎ 第06讲 方程法解图形问题（下）‎ 教学目标：‎ ‎1、列出非所求未知数，间接解答图形问题；‎ ‎2、将方程代数途径与几何问题紧密的结合起来；‎ ‎3、进一步培养学员的符号感、图形感和巧妙解题的意识。‎ 教学重点：‎ 图形中隐藏等量关系的寻找和利用以及公式的选择。‎ 教学难点：‎ 等积变形在列方程或用含x的式子表示未知量中的应用。‎ 教学过程：‎ ‎【环节一：预习讨论，案例分析】‎ ‎【知识回顾——温故知新】（参考时间-2分钟）‎ 利用方程的思想方法，解决图形中的面积问题。运用此方法的好处在于：可以直接利用几何中的公式，不必倒推考虑需要先求什么。‎ 利用方程法解图形问题的一般步骤是：‎ ‎（1）利用几何公式、面积关系，找到题中的条件和等量关系 ‎ （2）根据等量关系设未知数，并用含x的式子表示其他未知量。‎ ‎（3）寻找合适的等量关系列方程求解。‎ ‎【知识回顾——上期巩固】（参考时间-3分钟）‎ 大小两个正方形，已知它们的边长之差为12厘米，面积之差为984平方厘米，那么小正方形的边长为多少厘米？‎ 解析部分：‎ 第一步：引导学员对于此题进行认真的审读，找出各个关键数据进行相应的标注；‎ 第二步：继续引导学员对于此题进行相应的计算操作，可以有“最终求的是两正方形的面积之和，我们可以先求出两个正方形的面积再求和。本题的等量关系是边长差等于12厘米，面积差等于984平方厘米。我们可以设小正方形的边长为x厘米，那么大正方形的边长就可以表示为（x＋12）厘米”；‎ 第三步：最后列出方程，并对于方程进行求解，进行结果的正确性和合理性的验证计算。‎ 给予新学员的建议：分析各数据的意义，然后找出其之间的关联，纸上画一画、写一写。‎ 哈佛案例教学法：引导学员进行问题的小组内讨论，鼓励学员积极说出自己的想法和思考。‎ 参考答案：‎ 设小正方形的边长为x厘米，大正方形的边长为x＋12厘米。‎ ‎12（x＋12）＋12x=984‎ ‎ 24x=840‎ ‎ x=35‎ 答：小正方形的边长为35厘米。‎ ‎【预习题分析——本期预习】（参考时间-7分钟）‎ 如图，正方形ABCD的边长是12厘米，已知DE是EC长度的2倍，求三角形CEF的面积。‎ 解析部分：‎ 第一步：引导学员对于此题进行认真的审读，找出各个关键数据并在图形中进行标注；‎ 第二步：继续引导学员对于此题进行分析操作，可以有“我们可以设CF的长度为x厘米，利用△CEF加梯形ABCE的面积等于△ABF的面积列方程求解”；‎ 第三步：最后列出方程，对于未知数进行求解，并求出题中要求的最终结果。‎ 给予新学员的建议：需要在纸上画一画、算一算，对于题中的图形有正确的理解和认识。‎ 哈佛案例教学法：积极主动的回答老师提问，参与小组内讨论，并主动表达出自己的思考。‎ 参考答案： ‎ 设CF的长度为x厘米。‎ ‎2x＋（4＋12）×12÷2=6（x＋12）‎ ‎ 4x=24‎ ‎ x=6 ‎ ‎ CE的长度=12÷3=4（厘米），三角形CEF的面积=6×4÷2=12（平方厘米）‎ ‎ 答：三角形CEF的面积是12平方厘米。‎ ‎【环节二：知识拓展、能力提升】‎ ‎【知识点分析——本期知识点】（参考时间-2分钟）‎ 利用方程的思想方法，解决图形中的面积问题。运用此方法的好处在于：可以直接利用几何中的公式，不必倒推考虑需要先求什么。‎ 利用方程法解图形问题的一般步骤是：‎ ‎（1）利用几何公式、面积关系，找到题中的条件和等量关系 ‎ （2）根据等量关系设未知数，并用含x的式子表示其他未知量。‎ ‎（3）寻找合适的等量关系列方程求解。‎ ‎【例题分析——讲解室】（参考时间-10分钟）‎ 如图，两个正方形的边长分别为6分米和10分米，求阴影部分的面积。‎ Ø 本题中有哪些等量关系？‎ Ø 设哪条线段或者哪个面积作为未知数？‎ 解析部分：‎ 第一步：引导学员对于此题进行认真仔细的审读，并对关键数据进行相应的标注；‎ 第二步：继续引导学员对于此题进行具体的操作计算，我们可以利用S△ABH＋S梯形BHFE=S△AEF，设BH=x分米，利用含x的式子表示图形的面积；‎ 第三步：最后列出方程，对于方程进行求解，进行结果的正确性和合理性的验证和分析。‎ 给予新学员的建议：认真仔细的观察图形，对于各个数据所指代的具体意义有正确的认识。‎ 哈佛案例教学法：调动学员产生对于此题的热情，组织活跃的小组讨论，鼓励纸上实际操作。‎ 参考答案：‎ 设BH的长度为x分米。‎ ‎3x＋5（x＋10）=80‎ ‎ 8x=30‎ ‎ x=3.75‎ ‎3.75×6÷2=11.25（平方厘米）‎ 答：阴影部分面积11.25平方厘米。‎ ‎【环节三：阶段复习】‎ ‎【游戏环节——游乐场】（参考时间-2分钟）‎ 游戏名称：五子棋 游戏规则：‎ 两人一组，进行比赛，先将横向、竖向、斜向形成连续的相同色五个棋子的一方为胜。‎ 参考答案：略。‎ ‎【练习分析——练习场（一）】（参考时间-7分钟）‎ 一个正方形，如果把它的一组对边各减少25厘米，另一组对边各减少10厘米；或者把它的一组对边各减少22.5厘米，另一组对边各各减少15厘米，则剩下的图形面积相等。原正方形面积是多少平方厘米？‎ Ø 本题中有哪些等量关系？‎ Ø 变化之后的图形是什么基本图形？‎ 解析部分：‎ 第一步：引导学员对于此题进行认真的审读，找出各个关键数据并在图形中进行标注；‎ 第二步：继续引导学员对于此题进行分析操作，可以有“变化后的图形是长方形，本题中的等量关系是两次减少的图形面积相等。我们可以设原正方形的边长为x厘米，那么减少的部分我们就可以利用含x的式子表示出来”；‎ 第三步：最后列出方程，对于未知数进行求解，并求出题中要求的最终结果。‎ 给予新学员的建议：根据题意，分析各数据之间的关联，并可以进行准确而迅速的基础运算。‎ 哈佛案例教学法：引导学员对于此题的积极思考，并鼓励学员能把自己的观点主动表达出来。‎ 参考答案：‎ 设原正方形的边长为x厘米。‎ ‎25x＋10（x－25）=22.5x＋15（x－22.5）‎ ‎ 2.5x=87.5‎ ‎ x=35‎ ‎35×35=1225（平方厘米）‎ 答：原正方形的面积是1225平方厘米。‎ ‎【练习分析——练习场（二）】（参考时间-7分钟）‎ 如图，在△ABC中，点E是BC边上的中点，点F是线段AE上的点，其中AE=3AF，已知延长BF与AC相交于D。若三角形ABC的面积为48，请问三角形AED的面积是多少？‎ Ø 作为一题需要利用方程求解的问题，本题等量关系在哪里？‎ Ø 设哪个未知量作为未知数？‎ 解析部分：‎ 第一步：引导学员对于此题进行认真仔细的审读，并对关键数据进行相应的标注；‎ 第二步：继续引导学员对于此题进行具体的操作计算，可以有“‎ 因为E是中点，所以本题中等量关系可以有ABE的面积等于ACE的面积。我们设AFD的面积x，利用等积变形把其他图形面积用含x表示出来，△DEF=2x，而△CDE的面积无法直接利用含x的式子表示出来，但是我们可以利用△BDE的面积去表示”；‎ 第三步：最后列出方程，对于方程进行求解，进行结果的正确性和合理性的验证和分析。‎ 给予新学员的建议：认真观察题目中的图形，纸上实际操作尝试找出问题的解决突破口。‎ 哈佛案例教学法：鼓励学员积极地参与小组内的讨论，并积极参与到课堂的各个环节中。‎ 参考答案：‎ 设△ADF的面积是x。‎ x＋2x＋(48÷2÷3×2＋2x)=48÷2‎ ‎ 5x=8‎ ‎ x=1.6‎ 又由于AE=3AF，则 △AED的面积=1.6×3=4.8‎ 答：△AED的面积是4.8。‎ ‎【本节总结】‎ 利用方程的思想方法，解决图形中的面积问题。运用此方法的好处在于：可以直接利用几何中的公式，不必倒推考虑需要先求什么。‎ 利用方程法解图形问题的一般步骤是：‎ ‎（1）利用几何公式、面积关系，找到题中的条件和等量关系 ‎ （2）根据等量关系设未知数，并用含x的式子表示其他未知量。‎ ‎（3）寻找合适的等量关系列方程求解。‎