第五单元 智慧广场

第五单元 智慧广场

1 智慧广场  教学内容 教材第 81～82 页，鸡兔同笼问题  教学提示 通过本节课的学习，学生掌握用假设策略解决问题的方法，有效建立数学模型，并能 运用模型解决实际问题。 ■教学目标 知识与能力 结合生活情景，让学生在运用——列举策略解决问题的过程中，发现规律并学会运用假 设的策略解决问题，从而建立数学模型。 过程与方法 经历探索、交流、反思、建模、应用的数学学习过程，体验不同解决问题策略的价值， 培养创新意识。 情感、态度与价值观 使学生积极参与解决问题的过程，进一步积累解决问题的经验，体验获得成功的乐趣， 树立自信心。  重点、难点 重点：经历探究过程，自主建立假设策略的数学模型。 难点：理解用假设法的算理并能运用不同的方法解决实际问题。 ■教学准备 教师准备：课件、练习纸等。 学生准备：练习本等。 ■教学过程 （一）新课导入： 活动一：课件出示：一个停车场里停有四轮小汽车和两轮摩托车共 24 辆，如果这些车 共有 86 个轮子，那么停车场里有几辆小汽车和几辆摩托车？ 师：看大屏幕，仔细观察，你能发现什么数学信息？ 生：阅读信息和问题。 师：根据这些信息你想到了什么？ 生 1：小汽车和摩托车的辆数合起来必须是 24 辆。 生 2：小汽车和摩托车的轮子合起来必须是 86 个。 生 3：要找到答案必须符合这两项要求。 设计意图：引导学生仔细阅读题目信息，并通过交流深入理解题目的特点，必须同时符 合两方面的要求，为后面自主探究解决问题奠定基础。 （二）探究新知： 活动二： 1、自主思考。 师：你想用什么策略解决这个问题？先想一想，然后将你的方法写在练习本上。 2、小组交流。 师：请同学们把你们的想法说给小组的同学听。 生小组交流。 教师巡视，收集信息。 2 3、全班交流。 （1）列举情况。 师：哪个同学把你们的方法说给大家听？ 生 1、我们发现小汽车 19 辆，摩托车 5 辆，轮子数正好是 86 个。 师：你们是怎样得到这个答案的？ 生 1、我们首先列举了小汽车 20 辆，摩托车 4 辆，轮子数是 20×4＋2×4=88 个，轮 子多了，说明小汽车多了，我们换成小汽车 19 辆，摩托车 5 辆，轮子数正好是 86 个。 师：先尝试，再调整，可以得到正确答案。谁还有不同发现？ 生 2、我用列举的方法解决了问题。 小汽车 摩托车 轮子数 24 0 96 23 1 94 …… 19 5 86 师：把符合要求的情况一一列举出来，从中找到符合要求的情况。一一列举是我们以前 学习的解决问题的策略。 我们还可以使用列表的方法。这样看起来更清楚。 （2）发现规律。 师：仔细观察我们列举的这些情况，你有什么发现？ 生：我发现轮子数依次减少两个轮子。 生：我发现每次减少一辆小汽车，增加一辆摩托车，因为小汽车是 4 个轮子，摩托车 是 2 个轮子，所以每次就减少 2 个轮子。 生：轮子比 96 少几个 2，就是几辆摩托车。 生：所以，我们可以假设小汽车有 24 辆，这样轮子数就是 96，而实际上只有 86 个轮 子。少了 10 个轮子，10 里面有 5 个 2，所以就有 5 辆摩托车，小汽车就有 19 辆。 （3）理解假设策略，建立数学模型。 师：你真会思考！为什么会这样呢？谁能给大家说说道理。 生：尝试说一说。 （4）应用假设，解决问题。 让学生规范的把步骤写出来。 ①假设 假设摩托车有 24 辆。那么轮子有 24×2=48 ②矛盾 实际轮子多。因为我们相当于把每辆汽车砍去 2 个轮子。2 ③多的轮子数 多的轮子数应是从汽车上砍下的。86－48=38 ④那么小汽车就应有 38÷2=19 辆 ⑤摩托车应有 24－19=5 辆 （5）检验 （6）建立模型。 用“假设法”很简单的解决了问题。那么，我们遇到这样的问题应怎样解决。 ①假设 建议假设少的那个量。 ②矛盾 实际多，多的原因。 ③多的总数 ④多的那个量是多少？ ⑤少的那个量是多少？ 活动三：　　 3 师：在解决鸡兔同笼问题时，除了假设法没有局限性外，还有别的也没有局限性的一般 方法吗？ 生：方程的方法。 师：那么就请同学们用列方程的方法试一试。 （全班尝试，一名学生板演。） 师：我们来听听这个同学的想法。 生：设有 x 辆小汽车，摩托车就有（24－x）只。列出方程 4x＋2（24－x）=86，解 是 x=19 辆小汽车，即有 19 辆小汽车，24－19=5 辆摩托车。 师：老师想问你，这里的 4x 和 2（24－x）分别表示是什么？ 生：4x 是小汽车的轮子总数，2（24－x）是摩托车的轮子总数。 师：方程解完了也要注意检验，列方程的解法还有个名字也就叫代数法。 注：建议设多的那个量。 设计意图：给学生独立思考的空间和时间，让学生们自主发现问题、自主分析原因、自 主解决问题。学生真正成为学习的主体。 （三）巩固新知： 今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？（教师翻译） 方程法：设有 x 只兔，鸡就有（8－x）只。列出方程 4x＋2（8－x）=26，解是 x=5， 即有 5 只兔，8－3=5 只鸡。 设计意图：了解学生掌握情况。 （四）达标反馈 1．自主练习第 1 题　　 一只蛐蛐 6 条腿，一只蜘蛛 8 条腿。现有蛐蛐和蜘蛛共 10 只，共有 68 条腿。蛐蛐和 蜘蛛各有几只？　　 答案：蛐蛐 6，蜘蛛 4。 设计意图：练习中培养的学生的独立思考能力，通过对比练习，使学生养成认真审题的习惯， 教师及时巡视了解学生解决问题过程中存在的问题。 （五）课堂小结 这节课我们一起研究了新时代的数学趣题“鸡兔同笼”问题的三种解题方法：列表法、 假设法和方程。其实 1500 年来，“鸡兔同笼”问题受到了历代数学家和数学爱好者的亲睐， 他们研究出了许多的解题方法，并且从中得到了许多的研究数学问题的数学思想。老师希望 同学们继承和发扬他们这种不断追求的精神，好好学习，掌握更多的数学知识。 设计意图：课末引导学生总结，可以帮助学生积累数学活动经验。 （六）布置作业 1、鸡和兔共有 15 只，共有脚 40 只，鸡和兔各有多少只？ 4 2、一张桌子 40 元，一把椅子 32 元，桌子和椅子共买了 18 件，花去 640 元。桌子和 椅子各买了多少件？ 答案：1、鸡有 10 只，兔有 5 只；2、桌子 8 张，椅子 10 把。  板书设计 “鸡兔同笼”问题 5 建立模型。 用“假设法”很简单的解决了问题。那么，我们遇到这样的问题应怎样解决。 ①假设 建议假设少的那个量。 ②矛盾 实际多，多的原因。 ③多的总数 ④多的那个量是多少？ ⑤少的那个量是多少？ 方程法：设有 x 辆小汽车，摩托车就有（24－x）只。 列出方程 4x＋2（24－x）=86，解是 x=19 辆小汽车，即有 19 辆小汽车， 24－19=5 辆摩托车。  教学资料包 教学资源： 面值 5 元和面值 2 元的纸币共 300 元，其中面值 2 元的纸币比面值 5 元的纸币多 10 张。两 种纸币各有几张？（建议用方程） 答案：5 元有 40 张，2 元有 50 张。 资料链接 鸡兔同笼 这个问题，是我国古代著名趣题之一。大约在 1500 年前，《孙子算经》中就记载了这 个有趣的问题。书中是这样叙述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉 兔各几何？这四句话的意思是：有若干只鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有 35 个头；从 下面数，有 94 只脚。求笼中各有几只鸡和兔？ 　　2×35＝70(只) 　　94－70＝24 (只) 　　24÷2＝12 (只) 　　35－12＝23(只) 　　我国古代《孙子算经》共三卷，成书大约在公元 5 世纪。这本书浅显易懂，有许多有 趣的算术题，比如“鸡兔同笼”问题： 　　今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问雉兔各几何？ 　　题目中给出了鸡兔共有 35 只，如果把兔子的两只前脚用绳子捆起来，看作是一只脚， 两只后脚也用绳子捆起来，看作是一只脚，那么，兔子就成了 2 只脚，即把兔子都先当作 两只脚的鸡。鸡兔总的脚数是 35×2=70（只），比题中所说的 94 只要少 94-70=24（只）。 　　现在，松开一只兔子脚上的绳子，总的脚数就会增加 2 只，即 70+2=72（只），再松 开一只兔子脚上的绳子，总的脚数又增加 2，2，2……，一直继续下去，直至增加 24，因 此兔子数：24÷2=12（只），从而鸡有 35-12=23（只）。 　　我们来总结一下这道题的解题思路：先假设它们全是鸡，于是根据鸡兔的总数就可以算 出在假设下共有几只脚，把这样得到的脚数与题中给出的脚数相比较，看看差多少，每差 2 只脚就说明有 1 只兔，将所差的脚数除以 2，就可以算出共有多少只兔。概括起来，解鸡兔 同笼题的基本关系式是：兔数=（实际脚数-每只鸡脚数×鸡兔总数）÷（每只兔子脚数-每 只鸡脚数）。类似地，也可以假设全是兔子。 　　我们也可以采用列方程的办法：设兔子的数量为 X，鸡的数量为 Y 　　那么：X+Y=35 那么 4X+2Y=94 这个算方程解出后得：兔子有 12 只，鸡有 23 只。 6