六年级奥数教案：第16周 用组合法解工程问题

六年级奥数教案：第16周 用组合法解工程问题

第十六周 用“组合法”解工程问题 专题简析：‎ 在解答工程问题时，如果对题目提供的条件孤立、分散、静止地看，则难以找到明确的解题途径，若用“组合法”把具有相依关系的数学信息进行恰当组合，使之成为一个新的基本单位，便会使隐蔽的数量关系立刻明朗化，从而顺利找到解题途径。‎ 例题1。‎ ‎ 一项工程，甲、乙两队合作15天完成，若甲队做5天，乙队做3天，只能完成工程的，乙队单独完成全部工程需要几天？‎ ‎【思路导航】此题已知甲、乙两队的工作效率和是，只要求出甲队货乙队的工作效率，则问题可解，然而这正是本题的难点，用“组合法”将甲队独做5天，乙队独做3天，组合成甲、乙两队合作了3天后，甲队独做2天来考虑，就可以求出甲队2天的工作量－×3＝，从而求出甲队的工作效率。所以 ‎ 1÷【－（－×3）÷（5－3）】＝20（天）‎ ‎ 答：乙队单独完成全部工程需要20天。‎ 练习1‎ 1、 师、徒二人合做一批零件，12天可以完成。师傅先做了3天，因事外出，由徒弟接着做1天，共完成任务的。如果这批零件由师傅单独做，多少天可以完成？‎ 2、 某项工程，甲、乙合做1天完成全部工程的。如果这项工程由甲队独做2天，再由乙队独做3天，能完成全部工程的。甲、乙两队单独完成这项工程各需多少天？‎ 3、 甲、乙两队合做，20天可完成一项工程。先由甲队独做8天，再由乙队独做12天，还剩这项工程的。甲、乙两队独做各需几天完成？‎ 例题2。‎ 一项工程，甲队独做12天可以完成。甲队先做了3天，再由乙队做2天，则能完成这项工程的。现在甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现两段所用时间相等。求两段一共用了几天？‎ ‎【思路导航】此题很容易先求乙队的工作效率是：（－×3）÷2＝；再由条件“做完后发现两段所用时间相等”的题意，可组合成由两个乙队和一个甲队合做需若干天完成，即可求出相等的时间。‎ （1） 乙队每天完成这项工程的 ‎ （－×3）÷2＝ （1） 两段时间一共是 ‎ 1÷（×2+）×2＝6（天）‎ ‎ 答：两段时间一共是6天。‎ 练习2‎ 1、 一项工程，甲队独做15天完成。若甲队先做5天，乙队再做4天能完成这项工程的。现由甲、乙两队合做若干天后，再由乙队单独做。做完后发现，两段时间相等。这两段时间一共是几天？‎ 2、 一项工程，甲、乙合做8天完成。如果先让甲独做6天，再由乙独做，完成任务时发现乙比甲多了3天。乙独做这项工程要几天完成？‎ 3、 某工作，甲单独做要12天，乙单独做要18天，丙单独做要24天。这件工作先由甲做了若干天，再由乙接着做；乙做的天数是甲3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙的2倍。终于完成了这一工作。问总共用了多少天？‎ 例题3。‎ ‎ 移栽西红柿苗若干棵，如果哥、弟二人合栽8小时完成，先由哥哥栽了3小时后，又由弟弟栽了1小时，还剩总棵数的没有栽，已知哥哥每小时比弟弟每小时多栽7棵。共要移栽西红柿苗多少棵？‎ ‎【思路导航】把“哥哥先栽了3小时，弟弟又栽了1小时”组合成“哥、的合栽了1小时后，哥哥又独做了2小时”，就可以求出哥哥每小时栽总数的几分之几。‎ ‎ 哥哥每小时栽总数的几分之几 ‎ （1－－×1）÷（3－1）＝ ‎ 一共要移栽的西红柿苗多少棵 ‎ 7÷【－（－）】＝112（棵）‎ ‎ 答：共要移栽西红柿苗112棵。‎ 练习3‎ 1、 加工一批机器零件，师、徒合做12小时可以完成。先由师傅加工8小时，接着再由徒弟加工6小时，共加工了这批零件的。已知师傅每小时比徒弟多做10个零件。这批零件共有多少个？‎ 2、 修一条公路，甲、乙两队合做6天可以完成。先由甲队修5天，再由乙队修3天，还剩这条公路的没有修。已知甲队每天比乙队多修20米。这条公路全长多少米？‎ 3、 修一段公路，甲队独修要40天，乙队独修要用24天。两队同时从两端开工，结果在距中点750米处相遇。这段公路全长多少米？‎ 例题4。‎ ‎ 一项工作，甲、乙、丙3人合做6小时可以完成。如果甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的 ‎；如果甲、乙合做3小时后，丙做6小时，也可以完成这项工作的。如果由甲、丙合做，需几小时完成？‎ ‎【思路导航】将条件“甲工作6小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的”组合成“甲工作4小时，甲、乙、丙合做2小时可以完成这项工作的”，则求出甲的工作效率。同理，运用“组合法”再求出丙的工作效率。‎ ‎ 甲每小时完成这项工程的几分之几 ‎ （－×2）÷（6－2）＝ ‎ 丙每小时完成这项工程的几分之几 ‎ （－×3）÷（6－3）＝ 甲、 丙合做需完成的时间为：‎ ‎ 1÷（+）＝7（小时）‎ ‎ 答：甲、丙合做完成需要7小时。‎ 练习4‎ 1、 一项工作，甲、乙、丙三人合做，4小时可以完成。如果甲做4小时后，乙、丙合做2小时，可以完成这项工作的；如果甲、乙合做2小时后，丙再做4小时，可以完成这项工作的。这项工作如果由甲、丙合做需几小时完成？‎ 2、 一项工程，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。现在先由甲、乙、丙合做3天后，余下的乙再做6天则可以完成。乙独做这项工程要几天就可以完成？‎ 3、 一项工程，甲、乙两队合做10天完成，乙、丙两队合做8天完成。现在甲、乙、丙三队合做4天后，余下的工程由乙队独做5天完成。乙队单独做这项工程需多少天可以完成？‎ 4、 一件工作，甲、乙合做4小时完成，乙、丙合做5小时完成。现在由甲、丙合做2小时后，余下的由乙6小时完成。乙独做这件工作需几小时才能完成？‎ 例题5。‎ 一条公路，甲队独修24天可以完成，乙队独修30天可以完成。先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成。如果由甲、乙、丙三队同时开工修这条公路，几天可以完成？‎ ‎【思路导航】将条件“先由甲、乙两队合修4天，再由丙队参加一起修7天后全部完成”组合成“甲、乙两队各修（4+7）＝11天后，再由丙队单独修了7天才全部完成。”就可以求出丙队的工作效率。‎ ‎ 丙队每天修这条公路的 ‎ 【1－（+）】×（4+7）＝ ‎ 三队合修完成时间为 ‎ 1÷（++）＝10（天）‎ ‎ 答：10天可以完成。‎ 练习5‎ 1、 一件工作，甲单独做12小时完成。现在甲、乙合做4小时后，乙又用6小时才完成。这件工作始终由甲、乙合做几小时可以完成？‎ 2、 一条水渠，甲队独挖120天完成，乙队独挖40天完成。现在两队合挖8天，剩下的由丙队加入一起挖，又用12天挖完。这条水渠由丙队单独挖，多少天可以完成？‎ 3、 一件工作，甲、乙合做6天可以完成，乙、丙合做10天可以完成。如果甲、丙合做3天后，由乙单独做，还要9天才能完成。如果全部工作由3人合做，需几天可以完成？‎ 4、 一项工程，甲、乙两队合做30天完成，甲队单独做24天后，乙队加入，两队又合做了12天。这时甲队调走，乙队又继续做了15天才完成。甲队独做这项工程需要多少天？‎ 答案：‎ 练1‎ 1、 ‎1÷【（－）÷（3－1）】＝30天 2、 乙：1÷【（－×2）÷（3－2）】＝8天 甲：1÷（－）＝12天 3、 乙：1÷【（1－－×8）÷（12－8）】＝60天 甲：1÷（－）＝30天 练2‎ 1、 乙队的工作效率：（－×5）÷4＝ 总共的天数：1÷（+×2）×2＝12天 2、 ‎1÷【（1－×6）÷3】＝12天 3、 甲做的天数：1÷（+×3+×3×2）＝2天 总共的天数：2+2×3+2×3×2＝20天 练3‎ 1、 师傅每小时做这批零件的（－×6）÷（8－6）＝ 这批零件共有10÷【－（－）】＝600个 2、 甲队每天修这条公路的（1－－×3）÷（5－3）＝ 这条公路全长多少米 20÷【－（－）】＝600米 1、 甲、乙两队工作效率的比是： ：＝3：5‎ 这段公路的全长 750÷（－）＝6000米 或 750×2÷（5－3）×（5+3）＝6000 米 练4‎ 1、 甲队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝ 丙队的工作效率（－×2）÷（4－2）＝ ‎ 甲、丙合做需要的时间1÷（+）＝6小时 ‎2、 乙队每天能做全工程的【1－（×3－×3）】÷（6－3）＝ ‎ 乙队独做这项工程需要的时间1÷＝15天 3． ‎ 乙队每天能做全工程的【1－（×4－×4）】÷（5－4）＝ ‎ 乙队单独做这项工程需要的时间1÷＝15天 2、 乙队的工作效率【1－（×2+×2）】÷（6－2－2）＝ 乙独做这件工作需要的时间1÷＝20小时 练5‎ 1、 乙每小时做这件工程的（1－×4）÷（6+4）＝ 甲、乙合做完成需要的时间1÷（+）＝6小时 ‎2、 甲、乙两队完成的工作量（+）×（8+2）＝ ‎ 丙队单独挖需要的时间1÷【（1－）÷12】＝36天 3． ‎ 乙的工作效率【1－（×3+×3）】÷（9－3－3）＝ ‎ 丙的工作效率－＝ ‎ 三人合做需要的时间1÷（+）＝5天 1、 ‎ 甲队的工作效率【1－×（12+15）】÷（24－15）＝ 甲队单独做需要的时间1÷＝90天