小学数学精讲教案5_3_1 质数与合数（一） 教师版

小学数学精讲教案5_3_1 质数与合数（一） 教师版

1. 掌握质数与合数的定义 2. 能够用特殊的偶质数 2 与质数 5 解题 3. 能够利用质数个位数的特点解题 4. 质数、合数综合运用 一、质数与合数 一个数除了 1 和它本身，不再有别的约数，这个数叫做质数(也叫做素数).一个数除了 1 和它本身，还有 别的约数，这个数叫做合数。要特别记住：0 和 1 不是质数，也不是合数。常用的 100 以内的质数：2、3、 5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97，共计 25 个；除了 2 其余的质数都是奇数；除了 2 和 5，其余的质数个位数字只能是 1，3，7 或 9. 考点：⑴ 值得注意的是很多题都会以质数 2 的特殊性为考点. ⑵ 除了 2 和 5，其余质数个位数字只能是 1，3，7 或 9.这也是很多题解题思路，需要大家注意. 二、判断一个数是否为质数的方法 根据定义如果能够找到一个小于 p 的质数 q(均为整数)，使得 q 能够整除 p，那么 p 就不是质数，所以我 们只要拿所有小于 p 的质数去除 p 就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的 p，我们可以先找一个 大于且接近 p 的平方数 ，再列出所有不大于 K 的质数，用这些质数去除 p，如没有能够除尽的那么 p 就为 质数.例如：149 很接近 ，根据整除的性质 149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以 149 是质数. 模块一、判断质数合数 【例 1】 下面是主试委员会为第六届“华杯赛”写的一首诗：美少年华朋会友，幼长相亲同切磋；杯赛联谊 欢声响，念一笑慰来者多；九天九霄志凌云，九七共庆手相握；聚起华夏中兴力，同唱移山壮丽 歌．请你将诗中 56 个字第 1 行左边第一字起逐行逐字编为 1—56 号，再将号码中的质数由小到大找 出来，将它们对应的字依次排成一行，组成一句话，请写出这句话． 【考点】判断质数合数 【难度】1 星 【题型】填空 【解析】按要求编号排序，并画出质数号码： 美 少 年 华 朋 会 友，幼 长 相 亲 同 切 磋； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 杯 赛 联 谊 欢 声 响，念 一 笑 慰 来 者 多； 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 九 天 九 霄 志 凌 云，九 七 共 庆 手 相 握； 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 聚 起 华 夏 中 兴 力，同 唱 移 山 壮 丽 歌． 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 将质数对应的汉字依次写出就是：少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山． 【答案】少年朋友亲切联欢；一九九七相聚中山 5-3-1.质数与合数（一） 知识框架 知识点拨 2K 144 12 12= × 例题精讲 【例 2】 著名的哥德巴赫猜想是：“ 任意一个大于 4 的偶数都可以表示为两个质数的和” 。如 6=3+3 ， 12=5+7，等。那么，自然数 100 可以写成多少种两个不同质数的和的形式？请分别写出来（100=3+97 和 100=97+3 算作同一种形式）。 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】希望杯，五年级，复赛，第 13 题，15 分 【解析】逐一试验，可知： 为所有符合条件的情况， 所以共 种。 【答案】 【例 3】 在 19、197、2009 这三个数中，质数的个数是（ ）. （A） 0 (B) 1 (C) 2 (D) 3 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】选择 【关键词】华杯赛初赛第 4 题 【解析】19 是常见的质数，197 容易检验知也是质数，本题主要是考查 2009 这个数是否是质数。实际上， 2009=7×41，是个合数，所以在 19，197，2009 这三个数中有 2 个质数。正确答案为 C。 【答案】 【例 4】 大约 1500 年前，我国伟大的数学家祖冲之，计算出 的值在 3.1415926 和 3.1415927 之间，成为世 界上第一个把 的值精确到 7 位小数的人．现代人利用计算机已经将 的值计算到了小数点后 515 亿位以上．这些数排列既无序又无规律．但是细心的同学发现：由左起的第一位 3 是质数，31 也是 质数，但 314 不是质数，那么在 3141，31415，314159，3141592，31415926，31415927 中，哪些是 质数？． 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】祖冲之杯 【解析】注意到 3141，31415，3141592，31415926，31415927 依次能被 3，5，2，2，31 整除，所以，质数 是 314159． 【答案】质数是 314159 【例 5】 用 L 表示所有被 3 除余 1 的全体正整数．如果 L 中的数(1 不算)除 1 及它本身以外，不能被 L 的任 何数整除，称此数为“L—质数”．问：第 8 个“L—质数”是什么？ 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】保良局亚洲区城市小学数学邀请赛 【解析】“L 数”为 1，4，7，10，13，16，19，22，25，28，31，34，…．“L—质数”应为上列数中去掉 1， 16，28，…，即为 4，7，10，13，19，22，25，31，34，…．所以，第 8 个“L—质数”是 31． 【答案】31 【例 6】 9 个连续的自然数，每个数都大于 80，那么其中最多有多少个质数？请列举和最小的一组 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】我们知道任意连续 9 个自然数中最多有 4 个质数，本题考察对 100 以外的质数的熟练情况，有 101， 103，107，109 是 4 个质数。 【答案】101，103，107，109 是 4 个质数 【例 7】 从 以内的质数中选出 个，然后把这 个数分别写在正方体木块的 个面上，并且使得相对两个 面的数的和都相等.将这样的三个木块掷在地上，向上的三个面的三个数之和可能有多少种不同的 值？ 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】【解析】小于 的质数有 ， ， ， ， ， ， ， ，其中 .每个木块掷在地上 后向上的数可能是六个数中的任何一个，三个数的和最小是 ，最大是 ， 经试验，三个数的和可以是从 到 的所有奇数，所有可能的不同值共有 个。 【答案】22 【例 8】 自然数 是一个两位数，它是一个质数，而且 的个位数字与十位数字都是质数，这样的自然数 有多少个？ 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】全国小学奥林匹克 100 3 97 11 89 17 83 29 71 41 59 47 53= + = + = + = + = + = + 6 6 C π π π 20 6 6 6 20 2 3 5 7 11 13 17 19 5 19 7 17 11 13+ = + = + 5 5 5 15+ + = 19 19 19 57+ + = 15 57 22 N N 【解析】这样的自然数有 4 个：23，37，53，73． 【答案】4 【例 9】 小晶最近迁居了，小晶惊奇地发现他们新居的门牌号码是四位数．同时，她感到这个号码很容易 记住，因为它的形式为 ，其中 ，而且 和 都是质数( 和 是两个数字)．具有这种形 式的数共有多少个？ 【考点】判断质数合数 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】若两位数 、 均为质数，则 、 均为奇数且不为 5，故有 1331，3113，1771，7117，7337， 3773，9779，7997 共 8 个数． 【答案】8 【例 10】 炎黄骄子 菲尔兹奖被誉为“数学界的诺贝尔奖”，只奖励 40 岁以下的数学家．华人数学家丘成桐、 陶哲轩分别于 1982 年、2006 年荣获此奖．我们知道正整数中有无穷多个质数(素数)，陶哲轩等证明 了这样一个关于质数分布的奇妙定理：对任何正整数 k，存在无穷多组含有 k 个等间隔质数(素数)的 数组．例如， 时，3，5，7 是间隔为 2 的 3 个质数；5，11，17 是间隔为 6 的 3 个质数： 而 ， ， 是间隔为 12 的 3 个质数(由小到大排列，只写一组 3 个质数即 可)． 【考点】判断质数合数 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】南京市青少年“科学小博士”思维训练 【解析】最小的质数从 2 开始，现要求每两个质数间隔 12，所以 2 不能在所要求的数组中．而且由于个位是 5 的质数只有一个 5，所以个位是 3 的质数不能作为第一个质数和第二个质数，可参照下表： 【答案】5、17、29 答案不唯一 【例 11】 图中圆圈内依次写出了前 25 个质数；甲顺次计算相邻二质数之和填在上行方格中；乙顺次计算相 邻二质数之积填在下行方格中． 问：甲填的数中有多少个与乙填的数相同?为什么? 【考点】判断质数合数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】华杯赛，口试 【解析】质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5 外，其余的均 为不小于 8 的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数．所以 甲填的数与乙填的数都不相同． 【答案】质数中只有一个偶数 2，其余的质数均为奇数．所以甲填的“和数”中除第一个是奇数 5 外，其余的均 为不小于 8 的偶数．乙填的“积数”中除第一个是偶数 6 外，其余所填的全是不小于 15 的奇数．所以 甲填的数与乙填的数都不相同． 【例 12】 从 1～9 中选出 8 个数排成一个圆圈，使得相邻的两数之和都是质数．排好后可以从任意两个数字 之间切开，按顺时针方向读这些八位数，其中可以读到的最大的数是多少？ 【考点】判断质数合数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】全国小学数学奥林匹克 【解析】由于质数除了 2 以外都是奇数，所以数字在顺时针排列时应是奇偶相间排列．切开后的数仍然具有“相 质数列 乙填“积数” 甲填“和数” 978913117532 35156 1285 ... ... ... ............ ............ abba a b≠ ab ba a b ab ba a b 3k = 邻两数之和是质数”，并且最高位与最低位之和也是质数，考虑到“最大”的限制条件，最高位选 9， 第二位选 8，第三位最大可以选 7，但 7 与 8 之和不是质数，再改选 5，8 与 5 之和是质数，符合要 求．第四位可选剩余的最大数字 6，如此类推……十位可选 3，个位选 2．所以，可以读到的最大数 是 98567432．数字排列如下图． 【答案】98567432 【例 13】 九九重阳节，一批老人决定分乘若干辆至多可乘 32 人的大巴前去参观兵马俑．如果打算每辆车坐 22 个人，就会有 1 个人没有座位；如果少开一辆车，那么，这批老人刚好平均分乘余下的大巴．那 么有多少个老人？原有多少辆大巴？ 【考点】判断质数合数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】祖冲之杯 【解析】【解析】仍按每车坐 22 人计算，少开一辆车将有 23 人无座位，这些人刚好平均分乘余下的车，23 是质数， 所以余下 23 辆车，原有 24 辆车，原有老人 (个)． 【答案】24 辆车，529 位老人 【例 14】 一个两位数，数字和是质数．而且，这个两位数分别乘以 3，5，7 之后，得到的数的数字和都 仍为质数．满足条件的两位数为 【考点】判断质数合数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，5 年级，决赛，第 4 题，8 分 【解析】两位数乘以 3 之后，数字和一定被 3 整除。又因为是质数，所以只能是 3。有 102，111，120， 201，210 这五种情况。依次分析： 3 倍 原数 数字和 5 倍 数字和 7 倍 数字和 102 34 7（质） 170 8（合） 111 37 10（合） 120 40 4（合） 201 67 13（质） 335 11（质） 469 19（质） 210 70 7（质） 350 8（合） 所以，满足条件的两位数为 67 【答案】 【例 15】 三位数 满足：它的所有质因数之和是 。这样的三位数 有 个。 【考点】判断质数合数 【难度】4 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级，1 试，第 6 题 【解析】 以内的质数有 、 、 、 、 、 、 、 、 ，所以这样的三位数有 个。 【答案】 模块二、质数个位性质 【例 16】 哥德巴赫猜想是说：“每个大于 2 的偶数都可以袤示成两个质数之和”。问：168 是哪两个两位数的 质数之和，并且其中的一个的个位数宇是 1? 【考点】偶质数 2 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】华杯赛初赛第 8 题 【解析】个位数字是 1 的两位质数有：11，31，41，61，71，其中 168－11＝157，168－31＝137，168－41＝ 127 168－61＝107，都不是两位数，只有 168－71＝97 是两位数．而且是质数．所以 168＝71＋97 是唯一的解 【答案】 与 【例 17】 有些三位数，它的各位数字之积为质数，这样的三位数最小是______，最大是______。 【考点】判断质数合数 【难度】3 星 【题型】解答 【关键词】走美杯，四年级，初赛，第 7 题 【解析】数要最小，首先位数高的要尽可能的小，则最小的为 112，最大的为 711. 3 4 7 6 5 892 222 23 23 23 529× + = = 67 A 26 A 26 2 3 5 7 11 13 17 19 23 13 13 71 97 【关键词】最小的为 112，最大的为 711 【例 18】 万尼亚想了一个三位质数，各位数字都不相同．如果个位数字等于前两个数字的和，那么这个数 是几？ 【考点】质数个位性质 【难度】2 星 【题型】解答 【关键词】俄罗斯数学奥林匹克 【解析】因为是质数所以个位数不可能为偶数 0，2，4，6，8 也不可能是奇数 5．如果末位数字是 3 或 9，那 么数字和就将是 3 或 9 的两倍，因而能被它们整除，这就不是质数了．所以个位数只能是 7．这个 三位质数可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个． 【答案】可以是 167，257，347，527 或 617 中间的任一个 【例 19】 从小到大写出 5 个质数，使后面数都比前面的数大 12.这样的数有几组？ 【考点】质数个位性质 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】考虑到质数中除了 2 以外其余都是奇数，因此这 5 个质数中不可能有 2；又质数中除了 2 和 5，其余 质数的个位数字只能是 1、3、7、9.若这 5 个质数中最小的数其个位数字为 1，则比它大 24 的数个 位即为 5，不可能是质数；若最小的数其个位数字为 3，则比它大 12 的数个位即为 5，也不可能为 质数；由此可知最小的数其个位数字也不可能是 7 和 9，因此最小的数只能是 5，这 5 个数依次是 5，17，29，41，53.这样的数只有一组. 【答案】1 组 【例 20】 若 、 、 都是质数，则 __________（ 是指十位数字为 1，个位数字为 的两位数) 【考点】质数个位性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，五年级，初赛，第 2 题 【解析】 是质数，只能为 2、3、5、7，但是 12、15、27 都不是质数，所以 =3 【答案】 【例 21】 已知 ， ， ， ， 都是质数，那么 。 【考点】质数个位性质 【难度】2 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，6 年级 【解析】由于 ， ， ， 除以 的余数分别为 ， ， ， 所以 ， ， ， ， 这 个数除以 的余数互不相同，那么其中必然有除以 余 的，也就是有 的倍数，而这 个数都是质数，那么只能是 。由于 ， ， ， 都比 大，所以 为 。 【答案】5 【例 22】 某质数加 6 或减 6 得到的数仍是质数，在 50 以内你能找出几个这样的质数？把它们写出来. 【考点】质数个位性质 【难度】2 星 【题型】解答 【解析】有六个这样的数，分别是 11，13，17，23，37，47. 【答案】6 个，11，13，17，23，37，47. 【例 23】 有三张卡片，它们上面各写着数字 1，2，3，从中抽出一张、二张、三张，按任意次序排列出来， 可以得到不同的一位数、二位数、三位数，请你将其中的质数都写出来. 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】抽一张卡片，可写出一位数 1，2，3；抽两张卡片，可写出两位数 12，13，21，23，31，32；抽三 张卡片，可写出三位数 123，132，213，231，312，321，其中三位数的数字和均为 6，都能被 3 整 除，所以都是合数.这些数中，是质数的有：2，3，13，23，31. 【答案】2，3，13，23，31 【例 24】 用 1，2，3，4，5，6，7，8，9 这 9 个数字组成质数，如果每个数字都要用到并且只能用一次，那 么这 9 个数字最多能组成多少个质数. 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】要使质数个数最多，我们尽量组成一位的质数，有 2、3、5、7 均为一位质数，这样还剩下 1、4、 6、8、9 这 5 个不是质数的数字未用．有 1、4、8、9 可以组成质数 41、89，而 6 可以与 7 组合成质 数 67．所以这 9 个数字最多可以组成 6 个质数。 【答案】6 A 1A 2A A = 1A A A A 3 n 6n + 84n + 102n + 218n + n = 6 84 102 218 5 1 4 2 3 n 6n + 84n + 102n + 218n + 5 5 5 0 5 5 5 6n + 84n + 102n + 218n + 5 n 5 【巩固】【巩固】用 0-9 这 10 个数字组成若干个质数，每个数字都恰好用一次，这些质数的和最小是 。 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】走美杯，6 年级，决赛，第 4 题，10 分 【解析】 2+3+5+67+89+401=567. 【答案】 【例 25】 用 0～9 这 10 个数字组成若干个合数，每个数字都恰好用一次，那么这些合数之和的最小值是 ________． 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】迎春杯，六年级，初试，第 5 题） 【解析】【解析】根据题意，这些合数之和要尽量的小，首先要选择这些合数中是本身是合数的，有 4、68、9，还剩 下 0、1、2、3、5、7 这六个数构成两位数为合数，让十位上的数尽量的小，则为 1、2、3，个位上 的数有 0、5、7，根据题意，10、27、35 或 15、27、30 均为合数，所以合数的最小值为： 4+6+8+9+10+27+35=99。 【答案】 【例 26】 用数字卡片 1，1，2，2，3，3，4，4，5，5，6，7，9，9（不允许把 6 倒过来当作 9，也不许把 9 倒过来当作 6）组成七个不同的两位质数，这七个质数之和等于________． 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】填空 【关键词】学而思杯，5 年级，第 2 题 【解析】 ； ； ； 和为 【答案】 【例 27】 如果一些不同质数的平均数是 21，那么这些质数中最大的一个可能是多少？ 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】【解析】如果想使得这些质数中最大的一个尽可能大，那么一定要求这些质数在满足平均数为 21 的条件下数 量尽可能多，且比 21 大的质数只能有一个。21 以下的质数有 2，3，5，7，11，13，17，19，则说 明这些质数最多可能有 8+1=9 个，则大于 21 的那个数为 21+19+18+16+14+10+8+4+2=112 ，但 112 不是质数。分析原因，发现在上面算式中有一个除了 21 以外的奇数 19，使得结果为偶数，说明在 原来的一组质数中不能有 2，否则无法使得比 21 大的数是质数。去掉 2 再次求和为 112-19=93，仍 然不是质数，则可以做微调 93-4=89，即在原来的一组质数中再去掉一个 17 即可，这组数为 3，5， 7，11，13，19，89，最大的一个是 89。 【答案】89 【例 28】 如果某整数同时具备如下三条性质：① 这个数与 1 的差是质数，②这个数除以 2 所得的商也是质 数，③这个数除以 9 所得的余数是 5，那么我们称这个整数为幸运数。求出所有的两位幸运数 【考点】质数个位性质 【难度】3 星 【题型】解答 【解析】由条件②可知，所求的数是偶数，因此可设所求的幸运数是质数 的两倍，即此幸运数为 2 ，则 的所有可能取值为 5，7，11，13，17，19，23，29，31，37，41，43，47。于是 2 -1 的所有可能 取值为 9，13，21，25，33，37，45，57，61，73，81，85，93。根据题目条件①，2 -1 应为质数， 因此 2 -1 只可能为 13，37，61 或 73。再由条件③知 2 -1 除以 9 所得的余数应为 4，于是 2 -1 只可能是 13，从而这个幸运数只能是 2 =14。 【答案】14 567 99 23,29 53,59 41,47 61 23 29 53 59 41 47 61 313+ + + + + + = 313 p p p p p p p p p