- 2021-11-12 发布 |
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文档介绍
江苏省淮安市中考数学试卷含答案解析
2018年江苏省淮安市中考数学试卷 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的) 1.(3分)﹣3的相反数是( ) A.﹣3 B.﹣ C. D.3 2.(3分)地球与太阳的平均距离大约为150000000km.将150000000用科学记数法表示应为( ) A.15×107 B.1.5×108 C.1.5×109 D.0.15×109 3.(3分)若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5,则x的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 4.(3分)若点A(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值是( ) A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6 5.(3分)如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 6.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( ) A.20 B.24 C.40 D.48 7.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根,则k的值是( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 8.(3分)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( ) A.70° B.80° C.110° D.140° 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,不需写出解答过程,请把正确答案直接写在答题卡相应位置上) 9.(3分)(a2)3= . 10.(3分)一元二次方程x2﹣x=0的根是 . 11.(3分)某射手在相同条件下进行射击训练,结果如下: 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是 (精确到0.01). 12.(3分)若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是,则a= . 13.(3分)若一个等腰三角形的顶角等于50°,则它的底角等于 °. 14.(3分)将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 . 15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 . 16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l为正比例函数y=x的图象,点A1的坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1,以A1D1为边作正方形A1B1C1D1;过点C1作直线l的垂线,垂足为A2,交x轴于点B2,以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点C2作x轴的垂线,垂足为A3,交直线l于点D3,以A3D3为边作正方形A3B3C3D3,…,按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是 . 三、解答题(本大题共11小题,共102分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(1)计算:2sin45°+(π﹣1)0﹣+|﹣2|; (2)解不等式组: 18.(8分)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣3. 19.(8分)已知:如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F.求证:AE=CF. 20.(8分)某学校为了解学生上学的交通方式,现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查,规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图. 请解答下列问题: (1)在这次调查中,该学校一共抽样调查了 名学生; (2)补全条形统计图; (3)若该学校共有1500名学生,试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数. 21.(8分)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分别标有数字1、﹣2、3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点A的横坐标,再从余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点A的纵坐标. (1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果; (2)求点A落在第四象限的概率. 22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. (1)求k、b的值; (2)若点D在y轴负半轴上,且满足S△COD=S△BOC,求点D的坐标. 23.(8分)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732) 24.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积. 25.(10分)某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件. (1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为 件; (2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润. 26.(12分)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= °; (2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由. (3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长. 27.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒. (1)当t=秒时,点Q的坐标是 ; (2)在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式; (3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值. 2018年江苏省淮安市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,在每小题给出的四个选项中,恰有一项是符合题目要求的) 1.(3分)﹣3的相反数是( ) A.﹣3 B.﹣ C. D.3 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数解答. 【解答】解:﹣3的相反数是3. 故选:D. 【点评】本题考查了相反数的定义,是基础题,熟记概念是解题的关键. 2.(3分)地球与太阳的平均距离大约为150000000km.将150000000用科学记数法表示应为( ) A.15×107 B.1.5×108 C.1.5×109 D.0.15×109 【分析】根据科学记数法的表示方法可以将题目中的数据用科学记数法表示,本题得以解决. 【解答】解:150000000=1.5×108, 故选:B. 【点评】本题考查科学记数法﹣表示较大的数,解答本题的关键是明确科学记数法的表示方法. 3.(3分)若一组数据3、4、5、x、6、7的平均数是5,则x的值是( ) A.4 B.5 C.6 D.7 【分析】根据平均数的定义计算即可; 【解答】解:由题意(3+4+5+x+6+7)=5, 解得x=5, 故选:B. 【点评】本题考查平均数的定义,解题的关键是根据平均数的定义构建方程解决问题,属于中考基础题. 4.(3分)若点A(﹣2,3)在反比例函数y=的图象上,则k的值是( ) A.﹣6 B.﹣2 C.2 D.6 【分析】根据待定系数法,可得答案. 【解答】解:将A(﹣2,3)代入反比例函数y=,得 k=﹣2×3=﹣6, 故选:A. 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征,利用函数图象上点的坐标满足函数解析式是解题关键. 5.(3分)如图,三角板的直角顶点落在矩形纸片的一边上.若∠1=35°,则∠2的度数是( ) A.35° B.45° C.55° D.65° 【分析】求出∠3即可解决问题; 【解答】解: ∵∠1+∠3=90°,∠1=35°, ∴∠3=55°, ∴∠2=∠3=55°, 故选:C. 【点评】此题考查了平行线的性质.两直线平行,同位角相等的应用是解此题的关键. 6.(3分)如图,菱形ABCD的对角线AC、BD的长分别为6和8,则这个菱形的周长是( ) A.20 B.24 C.40 D.48 【分析】由菱形对角线的性质,相互垂直平分即可得出菱形的边长,菱形四边相等即可得出周长. 【解答】解:由菱形对角线性质知,AO=AC=3,BO=BD=4,且AO⊥BO, 则AB==5, 故这个菱形的周长L=4AB=20. 故选:A. 【点评】本题考查了菱形面积的计算,考查了勾股定理在直角三角形中的运用,考查了菱形各边长相等的性质,本题中根据勾股定理计算AB的长是解题的关键,难度一般. 7.(3分)若关于x的一元二次方程x2﹣2x﹣k+1=0有两个相等的实数根,则k的值是( ) A.﹣1 B.0 C.1 D.2 【分析】根据判别式的意义得到△=(﹣2)2﹣4(﹣k+ 1)=0,然后解一次方程即可. 【解答】解:根据题意得△=(﹣2)2﹣4(﹣k+1)=0, 解得k=0. 故选:B. 【点评】本题考查了根的判别式:一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与△=b2﹣4ac有如下关系:当△>0时,方程有两个不相等的实数根;当△=0时,方程有两个相等的实数根;当△<0时,方程无实数根. 8.(3分)如图,点A、B、C都在⊙O上,若∠AOC=140°,则∠B的度数是( ) A.70° B.80° C.110° D.140° 【分析】作对的圆周角∠APC,如图,利用圆内接四边形的性质得到∠P=40°,然后根据圆周角定理求∠AOC的度数. 【解答】解:作对的圆周角∠APC,如图, ∵∠P=∠AOC=×140°=70° ∵∠P+∠B=180°, ∴∠B=180°﹣70°=110°, 故选:C. 【点评】本题考查了圆周角定理:在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的圆周角相等,都等于这条弧所对的圆心角的一半. 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分,不需写出解答过程,请把正确答案直接写在答题卡相应位置上) 9.(3分)(a2)3= a6 . 【分析】直接根据幂的乘方法则运算即可. 【解答】解:原式=a6. 故答案为a6. 【点评】本题考查了幂的乘方与积的乘法:(am)n=amn(m,n是正整数);(ab)n=anbn(n是正整数). 10.(3分)一元二次方程x2﹣x=0的根是 x1=0,x2=1 . 【分析】方程左边分解因式后,利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解. 【解答】解:方程变形得:x(x﹣1)=0, 可得x=0或x﹣1=0, 解得:x1=0,x2=1. 故答案为:x1=0,x2=1. 【点评】此题考查了解一元二次方程﹣因式分解法,熟练掌握方程的解法是解本题的关键. 11.(3分)某射手在相同条件下进行射击训练,结果如下: 射击次数n 10 20 40 50 100 200 500 1000 击中靶心的频数m 9 19 37 45 89 181 449 901 击中靶心的频率 0.900 0.950 0.925 0.900 0.890 0.905 0.898 0.901 该射手击中靶心的概率的估计值是 0.90 (精确到0.01). 【分析】根据表格中实验的频率,然后根据频率即可估计概率. 【解答】解:由击中靶心频率都在0.90上下波动, 所以该射手击中靶心的概率的估计值是0.90, 故答案为:0.90. 【点评】本题考查了利用频率估计概率的思想,解题的关键是求出每一次事件的频率,然后即可估计概率解决问题. 12.(3分)若关于x、y的二元一次方程3x﹣ay=1有一个解是,则a= 4 . 【分析】把x与y的值代入方程计算即可求出a的值. 【解答】解:把代入方程得:9﹣2a=1, 解得:a=4, 故答案为:4. 【点评】此题考查了二元一次方程的解,方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值. 13.(3分)若一个等腰三角形的顶角等于50°,则它的底角等于 65 °. 【分析】利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理直接求得答案. 【解答】解:∵等腰三角形的顶角等于50°, 又∵等腰三角形的底角相等, ∴底角等于(180°﹣50°)×=65°. 故答案为:65. 【点评】本题考查了三角形内角和定理和等腰三角形的性质,熟记等腰三角形的性质是解题的关键. 14.(3分)将二次函数y=x2﹣1的图象向上平移3个单位长度,得到的图象所对应的函数表达式是 y=x2+2 . 【分析】先确定二次函数y=x2 ﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),再根据点平移的规律得到点(0,﹣1)平移后所得对应点的坐标为(0,2),然后根据顶点式写出平移后的抛物线解析式. 【解答】解:二次函数y=x2﹣1的顶点坐标为(0,﹣1),把点(0,﹣1)向上平移3个单位长度所得对应点的坐标为(0,2),所以平移后的抛物线解析式为y=x2+2. 故答案为:y=x2+2. 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换:由于抛物线平移后的形状不变,故a不变,所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法:一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标,利用待定系数法求出解析式;二是只考虑平移后的顶点坐标,即可求出解析式. 15.(3分)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=3,BC=5,分别以点A、B为圆心,大于AB的长为半径画弧,两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D,则CD的长是 . 【分析】连接AD由PQ垂直平分线段AB,推出DA=DB,设DA=DB=x,在Rt△ACD中,∠C=90°,根据AD2=AC2+CD2构建方程即可解决问题; 【解答】解:连接AD. ∵PQ垂直平分线段AB, ∴DA=DB,设DA=DB=x, 在Rt△ACD中,∠C=90°,AD2=AC2+CD2, ∴x2=32+(5﹣x)2, 解得x=, ∴CD=BC﹣DB=5﹣=, 故答案为. 【点评】本题考查基本作图,线段的垂直平分线的性质,勾股定理等知识,解题的关键是学会添加常用辅助线,构造直角三角形解决问题. 16.(3分)如图,在平面直角坐标系中,直线l为正比例函数y=x的图象,点A1的坐标为(1,0),过点A1作x轴的垂线交直线l于点D1,以A1D1为边作正方形A1B1C1D1;过点C1作直线l的垂线,垂足为A2,交x轴于点B2,以A2B2为边作正方形A2B2C2D2;过点C2作x轴的垂线,垂足为A3,交直线l于点D3,以A3D3为边作正方形A3B3C3D3,…,按此规律操作下所得到的正方形AnBnCnDn的面积是 ()n﹣1 . 【分析】根据正比例函数的性质得到∠D1OA1=45°,分别求出正方形A1B1C1D1的面积、正方形A2B2C2D2的面积,总结规律解答. 【解答】解:∵直线l为正比例函数y=x的图象, ∴∠D1OA1=45°, ∴D1A1=OA1=1, ∴正方形A1B1C1D1的面积=1=()1﹣1, 由勾股定理得,OD1=,D1A2=, ∴A2B2=A2O=, ∴正方形A2B2C2D2的面积==()2﹣1, 同理,A3D3=OA3=, ∴正方形A3B3C3D3的面积==()3﹣1, … 由规律可知,正方形AnBnCnDn的面积=()n﹣1, 故答案为:()n﹣1. 【点评】本题考查的是正方形的性质、一次函数图象上点的坐标特征,根据一次函数解析式得到∠D1OA1=45°,正确找出规律是解题的关键. 三、解答题(本大题共11小题,共102分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(1)计算:2sin45°+(π﹣1)0﹣+|﹣2|; (2)解不等式组: 【分析】(1)先代入三角函数值、计算零指数幂、化简二次根式、去绝对值符号,再计算乘法和加减运算可得; (2)先求出各不等式的解集,再求其公共解集即可. 【解答】解:(1)原式=2×+1﹣3+2 =+1﹣ =1; (2)解不等式3x﹣5<x+1,得:x<3, 解不等式2x﹣1≥,得:x≥1, 则不等式组的解集为1≤x<3. 【点评】本题主要考查解一元一次不等式组和实数的运算,解题的关键是掌握解不等式组应遵循的原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了及实数的混合运算顺序和运算法则. 18.(8分)先化简,再求值:(1﹣)÷,其中a=﹣3. 【分析】原式利用分式混合运算顺序和运算法则化简,再将a的值代入计算可得. 【解答】解:原式=(﹣)÷ =• =, 当a=﹣3时, 原式==﹣2. 【点评】本题主要考查分式的化简求值,解题的关键是熟练掌握分式混合运算顺序和运算法则. 19.(8分)已知:如图,▱ABCD的对角线AC、BD相交于点O,过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F.求证:AE=CF. 【分析】利用平行四边形的性质得出AO=CO,AD∥BC,进而得出∠EAC=∠FCO,再利用ASA求出△AOE≌△COF,即可得出答案. 【解答】证明:∵▱ABCD的对角线AC,BD交于点O, ∴AO=CO,AD∥BC, ∴∠EAC=∠FCO, 在△AOE和△COF中 , ∴△AOE≌△COF(ASA), ∴AE=CF. 【点评】此题主要考查了全等三角形的判定与性质以及平行四边形的性质,熟练掌握全等三角形的判定方法是解题关键. 20.(8分)某学校为了解学生上学的交通方式,现从全校学生中随机抽取了部分学生进行“我上学的交通方式”问卷调查,规定每人必须并且只能在“乘车”、“步行”、“骑车”和“其他”四项中选择一项,并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图. 请解答下列问题: (1)在这次调查中,该学校一共抽样调查了 50 名学生; (2)补全条形统计图; (3)若该学校共有1500名学生,试估计该学校学生中选择“步行”方式的人数. 【分析】(1)根据乘车的人数及其所占百分比可得总人数; (2)根据各种交通方式的人数之和等于总人数求得步行人数,据此可得; (3)用总人数乘以样本中步行人数所占比例可得. 【解答】解:(1)本次调查中,该学校调查的学生人数为20÷40%=50人, 故答案为:50; (2)步行的人数为50﹣(20+10+5)=15人, 补全图形如下: (3)估计该学校学生中选择“步行”方式的人数为1500×=450人. 【点评】此题主要考查了条形统计图、扇形统计图的综合运用,读懂统计图,从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键.条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据. 21.(8分)一只不透明袋子中装有三只大小、质地都相同的小球,球面上分别标有数字1、﹣2、3,搅匀后先从中任意摸出一个小球(不放回),记下数字作为点A的横坐标,再从余下的两个小球中任意摸出一个小球,记下数字作为点A的纵坐标. (1)用画树状图或列表等方法列出所有可能出现的结果; (2)求点A落在第四象限的概率. 【分析】(1)首先根据题意列出表格,然后根据表格即可求得点A的坐标的所有可能的结果; (2)从表格中找到点A落在第四象限的结果数,利用概率公式计算可得. 【解答】解:(1)列表得: 1 ﹣2 3 1 (1,﹣2) (1,3) 2 (﹣2,1) (﹣2,3) 3 (3,1) (3,﹣2) (2)由表可知,共有6种等可能结果,其中点A落在第四象限的有2种结果, 所以点A落在第四象限的概率为=. 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率的知识.此题难度不大,注意列表法或树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果,列表法适合于两步完成的事件;树状图法适合两步或两步以上完成的事件;注意概率=所求情况数与总情况数之比. 22.(8分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+b的图象经过点A(﹣2,6),且与x轴相交于点B,与正比例函数y=3x的图象相交于点C,点C的横坐标为1. (1)求k、b的值; (2)若点D在y轴负半轴上,且满足S△COD=S△BOC,求点D的坐标. 【分析】(1)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点C的坐标,根据点A、C的坐标,利用待定系数法即可求出k、b的值; (2)利用一次函数图象上点的坐标特征可求出点B的坐标,设点D的坐标为(0,m)(m<0),根据三角形的面积公式结合S△COD=S△BOC,即可得出关于m的一元一次方程,解之即可得出m的值,进而可得出点D的坐标. 【解答】解:(1)当x=1时,y=3x=3, ∴点C的坐标为(1,3). 将A(﹣2,6)、C(1,3)代入y=kx+b, 得:, 解得:. (2)当y=0时,有﹣x+4=0, 解得:x=4, ∴点B的坐标为(4,0). 设点D的坐标为(0,m)(m<0), ∵S△COD=S△BOC,即﹣m=××4×3, 解得:m=4, ∴点D的坐标为(0,4). 【点评】本题考查了两条直线相交或平行问题、一次函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数解析式以及三角形的面积,解题的关键是:(1)根据点的坐标,利用待定系数法求出k、b的值;(2)利用三角形的面积公式结合结合S△COD=S△BOC,找出关于m的一元一次方程. 23.(8分)为了计算湖中小岛上凉亭P到岸边公路l的距离,某数学兴趣小组在公路l上的点A处,测得凉亭P在北偏东60°的方向上;从A处向正东方向行走200米,到达公路l上的点B处,再次测得凉亭P在北偏东45°的方向上,如图所示.求凉亭P到公路l的距离.(结果保留整数,参考数据:≈1.414,≈1.732) 【分析】作PD⊥AB于D,构造出Rt△APD与Rt△BPD,根据AB的长度.利用特殊角的三角函数值求解. 【解答】解:作PD⊥AB于D. 设BD=x,则AD=x+200. ∵∠EAP=60°, ∴∠PAB=90°﹣60°=30°. 在Rt△BPD中, ∵∠FBP=45°, ∴∠PBD=∠BPD=45°, ∴PD=DB=x. 在Rt△APD中, ∵∠PAB=30°, ∴CD=tan30°•AD, 即DB=CD=tan30°•AD=x=(200+x), 解得:x≈273.2, ∴CD=273.2. 答:凉亭P到公路l的距离为273.2m. 【点评】此题考查的是直角三角形的性质,解答此题的关键是构造出两个特殊角度的直角三角形,再利用特殊角的三角函数值解答. 24.(10分)如图,AB是⊙O的直径,AC是⊙O的切线,切点为A,BC交⊙O于点D,点E是AC的中点. (1)试判断直线DE与⊙O的位置关系,并说明理由; (2)若⊙O的半径为2,∠B=50°,AC=4.8,求图中阴影部分的面积. 【分析】(1)连接OE、OD,如图,根据切线的性质得∠OAC=90°,再证明△AOE≌△DOE得到∠ODE=∠OAE=90°,然后根据切线的判定定理得到DE为⊙O的切线; (2)先计算出∠AOD=2∠ B=100°,利用四边形的面积减去扇形的面积计算图中阴影部分的面积. 【解答】解:(1)直线DE与⊙O相切.理由如下: 连接OE、OD,如图, ∵AC是⊙O的切线, ∴AB⊥AC, ∴∠OAC=90°, ∵点E是AC的中点,O点为AB的中点, ∴OE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠3, ∵OB=OD, ∴∠B=∠3, ∴∠1=∠2, 在△AOE和△DOE中 , ∴△AOE≌△DOE, ∴∠ODE=∠OAE=90°, ∴OA⊥AE, ∴DE为⊙O的切线; (2)∵点E是AC的中点, ∴AE=AC=2.4, ∵∠AOD=2∠B=2×50°=100°, ∴图中阴影部分的面积=2•×2×2.4﹣=4.8﹣π. 【点评】 本题考查了切线的性质:圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.也考查了圆周角定理和扇形的面积公式. 25.(10分)某景区商店销售一种纪念品,每件的进货价为40元.经市场调研,当该纪念品每件的销售价为50元时,每天可销售200件;当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件. (1)当每件的销售价为52元时,该纪念品每天的销售数量为 180 件; (2)当每件的销售价x为多少时,销售该纪念品每天获得的利润y最大?并求出最大利润. 【分析】(1)根据“当每件的销售价每增加1元,每天的销售数量将减少10件”,即可解答; (2)根据等量关系“利润=(售价﹣进价)×销量”列出函数关系式,根据二次函数的性质,即可解答. 【解答】解:(1)由题意得:200﹣10×(52﹣50)=200﹣20=180(件), 故答案为:180; (2)由题意得: y=(x﹣40)[200﹣10(x﹣50)] =﹣10x2+1100x﹣28000 =﹣10(x﹣55)2+2250 ∴每件销售价为55元时,获得最大利润;最大利润为2250元. 【点评】此题主要考查了二次函数的应用,根据已知得出二次函数的最值是中考中考查重点,同学们应重点掌握. 26.(12分)如果三角形的两个内角α与β满足2α+β=90°,那么我们称这样的三角形为“准互余三角形”. (1)若△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°,则∠B= 15 °; (2)如图①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=4,BC=5.若AD是∠BAC的平分线,不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ ABE也是“准互余三角形”?若存在,请求出BE的长;若不存在,请说明理由. (3)如图②,在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD⊥CD,∠ABD=2∠BCD,且△ABC是“准互余三角形”,求对角线AC的长. 【分析】(1)根据“准互余三角形”的定义构建方程即可解决问题; (2)只要证明△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB,由此即可解决问题; (3)如图②中,将△BCD沿BC翻折得到△BCF.只要证明△FCB∽△FAC,可得CF2=FB•FA,设FB=x,则有:x(x+7)=122,推出x=9或﹣16(舍弃),再利用勾股定理求出AC即可; 【解答】解:(1)∵△ABC是“准互余三角形”,∠C>90°,∠A=60°, ∴2∠B+∠A=60°, 解得,∠B=15°, 故答案为:15°; (2)如图①中, 在Rt△ABC中,∵∠B+∠BAC=90°,∠BAC=2∠BAD, ∴∠B+2∠BAD=90°, ∴△ABD是“准互余三角形”, ∵△ABE也是“准互余三角形”, ∴只有2∠A+∠BAE=90°, ∵∠A+∠BAE+∠EAC=90°, ∴∠CAE=∠B,∵∠C=∠C=90°, ∴△CAE∽△CBA,可得CA2=CE•CB, ∴CE=, ∴BE=5﹣=. (3)如图②中,将△BCD沿BC翻折得到△BCF. ∴CF=CD=12,∠BCF=∠BCD,∠CBF=∠CBD, ∵∠ABD=2∠BCD,∠BCD+∠CBD=90°, ∴∠ABD+∠DBC+∠CBF=180°, ∴A、B、F共线, ∴∠A+∠ACF=90° ∴2∠ACB+∠CAB≠90°, ∴只有2∠BAC+∠ACB=90°, ∴∠FCB=∠FAC,∵∠F=∠F, ∴△FCB∽△FAC, ∴CF2=FB•FA,设FB=x, 则有:x(x+7)=122, ∴x=9或﹣16(舍弃), ∴AF=7+9=16, 在Rt△ACF中,AC===20. 【点评】本题考查四边形综合题、相似三角形的判定和性质、“准互余三角形”的定义等知识,解题的关键是理解题意,学会利用翻折变换添加辅助线,构造相似三角形解决问题,学会利用已知模型构建辅助线解决问题,属于中考压轴题. 27.(12分)如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=﹣x+4的图象与x轴和y轴分别相交于A、B两点.动点P从点A出发,在线段AO上以每秒3个单位长度的速度向点O作匀速运动,到达点O停止运动,点A关于点P的对称点为点Q,以线段PQ为边向上作正方形PQMN.设运动时间为t秒. (1)当t=秒时,点Q的坐标是 (4,0) ; (2)在运动过程中,设正方形PQMN与△AOB重叠部分的面积为S,求S与t的函数表达式; (3)若正方形PQMN对角线的交点为T,请直接写出在运动过程中OT+PT的最小值. 【分析】(1)先确定出点A的坐标,进而求出AP,利用对称性即可得出结论; (2)分三种情况,①利用正方形的面积减去三角形的面积,②利用矩形的面积减去三角形的面积,③利用梯形的面积,即可得出结论; (3)先确定出点T的运动轨迹,进而找出OT+PT最小时的点T的位置,即可得出结论. 【解答】解:(1)令y=0, ∴﹣x+4=0, ∴x=6, ∴A(6,0), 当t=秒时,AP=3×=1, ∴OP=OA﹣AP=5, ∴P(5,0), 由对称性得,Q(4,0); 故答案为(4,0); (2)当点Q在原点O时,OQ=6, ∴AP=OQ=3, ∴t=3÷3=1, ①当0<t≤1时,如图1,令x=0, ∴y=4, ∴B(0,4), ∴OB=4, ∵A(6,0), ∴OA=6, 在Rt△AOB中,tan∠OAB==, 由运动知,AP=3t, ∴P(6﹣3t,0), ∴Q(6﹣6t,0), ∴PQ=AP=3t, ∵四边形PQMN是正方形, ∴MN∥OA,PN=PQ=3t, 在Rt△APD中,tan∠OAB===, ∴PD=2t, ∴DN=t, ∵MN∥OA ∴∠DCN=∠OAB, ∴tan∠DCN===, ∴CN=t, ∴S=S正方形PQMN﹣S△CDN=(3t)2﹣t×t=t2; ②当1<t≤时,如图2,同①的方法得,DN=t,CN=t, ∴S=S矩形OENP﹣S△CDN=3t×(6﹣3t)﹣t×t=﹣t2+18t; ③当<t≤2时,如图3,S=S梯形OBDP=(2t+4)(6﹣3t)=﹣3t2+12; (3)如图4,由运动知,P(6﹣3t,0),Q(6﹣6t,0), ∴M(6﹣6t,3t), ∵T是正方形PQMN的对角线交点, ∴T(6﹣t,t) ∴点T是直线y=﹣x+2上的一段线段,(﹣3≤x<6), 作出点O关于直线y=﹣x+2的对称点O'交此直线于G,过点O'作O'F⊥x轴,则O'F就是OT+PT的最小值, 由对称知,OO'=2OG, 易知,OH=2, ∵OA=6,AH==2, ∴S△AOH=OH×OA=AH×OG, ∴OG=, ∴OO'= 在Rt△AOH中,sin∠OHA===, ∵∠HOG+∠AOG=90°,∠HOG+∠OHA=90°, ∴∠AOG=∠OHA, 在Rt△OFO'中,O'F=OO'sin∠O'OF=×=, 即:OT+PT的最小值为. 【点评】此题是一次函数综合题,主要考查了正方形的面积,梯形,三角形的面积公式,正方形的性质,勾股定理,锐角三角函数,用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键,找出点T的位置是解本题(3)的难点. 查看更多