2018年山东省德州市中考数学试卷

2018年山东省德州市中考数学试卷

‎2018年山东省德州市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。‎ ‎1．（4.00分）3的相反数是（　　）‎ A．3 B． C．﹣3 D．﹣‎ ‎2．（4.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．（4.00分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是（　　）‎ A．1.496×107 B．14.96×108 C．0.1496×108 D．1.496×108‎ ‎4．（4.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3•a2=a6 B．（﹣a2）3=a6 C．a7÷a5=a2 D．﹣2mn﹣mn=﹣mn ‎5．（4.00分）已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎6．（4.00分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）‎ A．图① B．图② C．图③ D．图④‎ ‎7．（4.00分）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（4.00分）分式方程﹣1=的解为（　　）‎ A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．无解 ‎9．（4.00分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．πm2 D．2πm2‎ ‎10．（4.00分）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（　　）‎ A．①③ B．③④ C．②④ D．②③‎ ‎11．（4.00分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”‎ 根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（　　）‎ A．84 B．56 C．35 D．28‎ ‎12．（4.00分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。‎ ‎13．（4.00分）计算：|﹣2+3|=　 　．‎ ‎14．（4.00分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=　 　．‎ ‎15．（4.00分）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　 　．‎ ‎16．（4.00分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是　 　．‎ ‎17．（4.00分）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　 　．‎ ‎18．（4.00分）如图，反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎19．（8.00分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．‎ ‎20．（10.00分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏曲），从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的学生共有多少人？‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？‎ ‎（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．‎ ‎21．（10.00分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．‎ ‎22．（12.00分）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥CD；‎ ‎（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．‎ ‎23．（12.00分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．‎ ‎（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；‎ ‎（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？‎ ‎24．（12.00分）再读教材：‎ 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）‎ 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．‎ 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．‎ 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图①中所示的AD处．‎ 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．‎ 问题解决：‎ ‎（1）图③中AB=　 　（保留根号）；‎ ‎（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；‎ ‎（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．‎ 实际操作 ‎（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．‎ ‎25．（14.00分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．‎ ‎（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；‎ ‎（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎　‎ ‎2018年山东省德州市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分。‎ ‎1．（4.00分）3的相反数是（　　）‎ A．3 B． C．﹣3 D．﹣‎ ‎【分析】根据相反数的定义，即可解答．‎ ‎【解答】解：3的相反数是﹣3，故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．（4.00分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A是中心对称图形；B既是轴对称图形又是中心对称图形；C是轴对称图形；D既不是轴对称图形又不是中心对称图形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（4.00分）一年之中地球与太阳之间的距离随时间而变化，1个天文单位是地球与太阳之间的平均距离，即1.496亿km，用科学记数法表示1.496亿是（　　）‎ A．1.496×107 B．14.96×108 C．0.1496×108 D．1.496×108‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜‎ ‎1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：数据1.496亿用科学记数法表示为1.496×108，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎4．（4.00分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a3•a2=a6 B．（﹣a2）3=a6 C．a7÷a5=a2 D．﹣2mn﹣mn=﹣mn ‎【分析】根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加；幂的乘方法则：底数不变，指数相乘；同底数幂的除法法则：底数不变，指数相减；合并同类项的法则：把同类项的系数相加，所得结果作为系数，字母和字母的指数不变分别进行计算即可．‎ ‎【解答】解：A、a3•a2=a5，故原题计算错误；‎ B、（﹣a2）3=﹣a6，故原题计算错误；‎ C、a7÷a5=a2，故原题计算正确；‎ D、﹣2mn﹣mn=﹣3mn，故原题计算错误；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4.00分）已知一组数据：6，2，8，x，7，它们的平均数是6，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．7 B．6 C．5 D．4‎ ‎【分析】首先根据平均数为6求出x的值，然后根据中位数的概念求解．‎ ‎【解答】解：由题意得6+2+8+x+7=6×5，‎ 解得：x=7，‎ 这组数据按照从小到大的顺序排列为：2，6，7，7，8，‎ 则中位数为7．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（4.00分）如图，将一副三角尺按不同的位置摆放，下列方式中∠α与∠β互余的是（　　）‎ A．图① B．图② C．图③ D．图④‎ ‎【分析】根据平角的定义，同角的余角相等，等角的补角相等和邻补角的定义对各小题分析判断即可得解．‎ ‎【解答】解：图①，∠α+∠β=180°﹣90°，互余；‎ 图②，根据同角的余角相等，∠α=∠β；‎ 图③，根据等角的补角相等∠α=∠β；‎ 图④，∠α+∠β=180°，互补．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（4.00分）如图，函数y=ax2﹣2x+1和y=ax﹣a（a是常数，且a≠0）在同一平面直角坐标系的图象可能是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】可先根据一次函数的图象判断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误即可．‎ ‎【解答】解：A、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＜0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向下，故选项错误；‎ B、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，故选项正确；‎ C、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，对称轴x=﹣＞0，和x轴的正半轴相交，故选项错误；‎ D、由一次函数y=ax﹣a的图象可得：a＞0，此时二次函数y=ax2﹣2x+1的图象应该开口向上，故选项错误．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（4.00分）分式方程﹣1=的解为（　　）‎ A．x=1 B．x=2 C．x=﹣1 D．无解 ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x2+2x﹣x2﹣x+2=3，‎ 解得：x=1，‎ 经检验x=1是增根，分式方程无解．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎9．（4.00分）如图，从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，则此扇形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．πm2 D．2πm2‎ ‎【分析】连接AC，根据圆周角定理得出AC为圆的直径，解直角三角形求出AB，根据扇形面积公式求出即可．‎ ‎【解答】解：‎ 连接AC，‎ ‎∵从一块直径为2m的圆形铁皮上剪出一个圆心角为90°的扇形，即∠ABC=90°，‎ ‎∴AC为直径，即AC=2m，AB=BC，‎ ‎∵AB2+BC2=22，‎ ‎∴AB=BC=m，‎ ‎∴阴影部分的面积是=（m2），‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．（4.00分）给出下列函数：①y=﹣3x+2；②y=；③y=2x2；④y=3x，上述函数中符合条作“当x＞1时，函数值y随自变量x增大而增大“的是（　　）‎ A．①③ B．③④ C．②④ D．②③‎ ‎【分析】分别利用一次函数、正比例函数、反比例函数、二次函数的增减性分析得出答案．‎ ‎【解答】解：①y=﹣3x+2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；‎ ‎②y=，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项错误；‎ ‎③y=2x2，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；‎ ‎④y=3x，当x＞1时，函数值y随自变量x增大而减小，故此选项正确；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎11．（4.00分）我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书中，用如图的三角形解释二项式（a+b）n的展开式的各项系数，此三角形称为“杨辉三角”‎ 根据”杨辉三角”请计算（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数为（　　）‎ A．84 B．56 C．35 D．28‎ ‎【分析】根据图形中的规律即可求出（a+b）8的展开式中从左起第四项的系数．‎ ‎【解答】解：找规律发现（a+b）4的第四项系数为4=3+1；‎ ‎（a+b）5的第四项系数为10=6+4；‎ ‎（a+b）6的第四项系数为20=10+10；‎ ‎（a+b）7的第四项系数为35=15+20；‎ ‎∴（a+b）8第四项系数为21+35=56．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎12．（4.00分）如图，等边三角形ABC的边长为4，点O是△ABC的中心，∠FOG=120°，绕点O旋转∠FOG，分别交线段AB、BC于D、E两点，连接DE，给出下列四个结论：①OD=OE；②S△ODE=S△BDE；③四边形ODBE的面积始终等于；④△BDE周长的最小值为6．上述结论中正确的个数是（　　）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【分析】连接OB、OC，如图，利用等边三角形的性质得∠ABO=∠OBC=∠‎ OCB=30°，再证明∠BOD=∠COE，于是可判断△BOD≌△COE，所以BD=CE，OD=OE，则可对①进行判断；利用S△BOD=S△COE得到四边形ODBE的面积=S△ABC=，则可对③进行判断；作OH⊥DE，如图，则DH=EH，计算出S△ODE=OE2，利用S△ODE随OE的变化而变化和四边形ODBE的面积为定值可对②进行判断；由于△BDE的周长=BC+DE=4+DE=4+OE，根据垂线段最短，当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，计算出此时OE的长则可对④进行判断．‎ ‎【解答】解：连接OB、OC，如图，‎ ‎∵△ABC为等边三角形，‎ ‎∴∠ABC=∠ACB=60°，‎ ‎∵点O是△ABC的中心，‎ ‎∴OB=OC，OB、OC分别平分∠ABC和∠ACB，‎ ‎∴∠ABO=∠OBC=∠OCB=30°‎ ‎∴∠BOC=120°，即∠BOE+∠COE=120°，‎ 而∠DOE=120°，即∠BOE+∠BOD=120°，‎ ‎∴∠BOD=∠COE，‎ 在△BOD和△COE中 ‎，‎ ‎∴△BOD≌△COE，‎ ‎∴BD=CE，OD=OE，所以①正确；‎ ‎∴S△BOD=S△COE，‎ ‎∴四边形ODBE的面积=S△OBC=S△ABC=××42=，所以③正确；‎ 作OH⊥DE，如图，则DH=EH，‎ ‎∵∠DOE=120°，‎ ‎∴∠ODE=∠OEH=30°，‎ ‎∴OH=OE，HE=OH=OE，‎ ‎∴DE=OE，‎ ‎∴S△ODE=•OE•OE=OE2，‎ 即S△ODE随OE的变化而变化，‎ 而四边形ODBE的面积为定值，‎ ‎∴S△ODE≠S△BDE；所以②错误；‎ ‎∵BD=CE，‎ ‎∴△BDE的周长=BD+BE+DE=CE+BE+DE=BC+DE=4+DE=4+OE，‎ 当OE⊥BC时，OE最小，△BDE的周长最小，此时OE=，‎ ‎∴△BDE周长的最小值=4+2=6，所以④正确．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分。‎ ‎13．（4.00分）计算：|﹣2+3|=　1　．‎ ‎【分析】根据有理数的加法解答即可．‎ ‎【解答】解：|﹣2+3|=1，‎ 故答案为：1‎ ‎　‎ ‎14．（4.00分）若x1，x2是一元二次方程x2+x﹣2=0的两个实数根，则x1+x2+x1x2=　﹣3　．‎ ‎【分析】根据根与系数的关系即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由根与系数的关系可知：x1+x2=﹣1，x1x2=﹣2‎ ‎∴x1+x2+x1x2=﹣3‎ 故答案为：﹣3‎ ‎　‎ ‎15．（4.00分）如图，OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，OC=5，OM=4，则点C到射线OA的距离为　3　．‎ ‎【分析】过C作CF⊥AO，根据勾股定理可得CM的长，再根据角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得CF=CM，进而可得答案．‎ ‎【解答】解：过C作CF⊥AO，‎ ‎∵OC为∠AOB的平分线，CM⊥OB，‎ ‎∴CM=CF，‎ ‎∵OC=5，OM=4，‎ ‎∴CM=3，‎ ‎∴CF=3，‎ 故答案为：3．‎ ‎　‎ ‎16．（4.00分）如图，在4×4的正方形方格图形中，小正方形的顶点称为格点，△ABC的顶点都在格点上，则∠BAC的正弦值是　　．‎ ‎【分析】先根据勾股定理的逆定理判断出△ABC的形状，再由锐角三角函数的定义即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵AB2=32+42=25、AC2=22+42=20、BC2=12+22=5，‎ ‎∴AC2+BC2=AB2，‎ ‎∴△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°，‎ 则sin∠BAC==，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎17．（4.00分）对于实数a，b，定义运算“◆”：a◆b=，例如4◆3，因为4＞3．所以4◆3==5．若x，y满足方程组，则x◆y=　60　．‎ ‎【分析】根据二元一次方程组的解法以及新定义运算法则即可求出答案．‎ ‎【解答】解：由题意可知：，‎ 解得：‎ ‎∵x＜y，‎ ‎∴原式=5×12=60‎ 故答案为：60‎ ‎　‎ ‎18．（4.00分）如图，反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，点B的坐标为（﹣3，0），点P是y轴左侧的一点，若以A，O，B，P为顶点的四边形为平行四边形，则点P的坐标为　（﹣4，﹣3），（﹣2，3）　．‎ ‎【分析】联立直线和反比例函数解析式可求出A点的坐标，再分以AB为对角线、以OA为对角线和以OB为对角线三种情况，利用平行四边形的性质可分别求得满足条件的P点的坐标．‎ ‎【解答】解：由题意得，解得或，‎ ‎∵反比例函数y=与一次函数y=x﹣2在第三象限交于点A，‎ ‎∴A（﹣1，﹣3）．‎ 当以AB为对角线时，AB的中点坐标M为（﹣2，﹣1.5），‎ ‎∵平行四边形的对角线互相平分，‎ ‎∴M为OP中点，‎ 设P点坐标为（x，y），‎ 则=﹣2，=﹣1.5，‎ 解得x=﹣4，y=﹣3，‎ ‎∴P（﹣4，﹣3）．‎ 当OB为对角线时，‎ 由O、B坐标可求得OB的中点坐标M（﹣，0），设P点坐标为（x，y），‎ 由平行四边形的性质可知M为AP的中点，‎ 结合中点坐标公式可得=﹣，=0，解得x=﹣2，y=3，‎ ‎∴P（﹣2，3）；‎ 当以OA为对角线时，‎ 由O、A坐标可求得OA的中点坐标M（﹣，﹣），设P点坐标为（x，y），‎ 由平行四边形的性质可知M为BP中点，‎ 结合中点坐标公式可得=﹣，=﹣，解得x=2，y=﹣3，‎ ‎∴P（2，﹣3）（舍去）．‎ 综上所述，P点的坐标为（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．‎ 故答案为：（﹣4，﹣3），（﹣2，3）．‎ ‎　‎ 三、解答题：本大题共7小题，共78分。解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤。‎ ‎19．（8.00分）先化简，再求值÷﹣（+1），其中x是不等式组的整数解．‎ ‎【分析】原式利用除法法则变形，约分后计算得到最简结果，求出x的值，代入计算即可求出值．‎ ‎【解答】解：原式=•﹣=﹣=，‎ 不等式组解得：3＜x＜5，即整数解x=4，‎ 则原式=．‎ ‎　‎ ‎20．（10.00分）某学校为了解全校学生对电视节目的喜爱情况（新闻，体育，动画，娱乐，戏曲），从全校学生中随机抽取部分学生进行问卷调查，并把调查结果绘制成两幅不完整的统计图．‎ 请根据以上信息，解答下列问题：‎ ‎（1）这次被调查的学生共有多少人？‎ ‎（2）请将条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校约有1500名学生，估计全校学生中喜欢娱乐节目的有多少人？‎ ‎（4）该校广播站需要广播员，现决定从喜欢新闻节目的甲、乙、丙、丁四名同学中选取2名，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树状图或列表法解答）．‎ ‎【分析】（1）根据动画类人数及其百分比求得总人数；‎ ‎（2）总人数减去其他类型人数可得体育类人数，据此补全图形即可；‎ ‎（3）用样本估计总体的思想解决问题；‎ ‎（4）根据题意先画出列表，得出所有情况数，再根据概率公式即可得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）这次被调查的学生人数为15÷30%=50人；‎ ‎（2）喜爱“体育”的人数为50﹣（4+15+18+3）=10人，‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）估计全校学生中喜欢娱乐节目的有1500×=540人；‎ ‎（4）列表如下：‎ 甲 乙 丙 丁 甲 ‎﹣﹣﹣‎ ‎（乙，甲）‎ ‎（丙，甲）‎ ‎（丁，甲）‎ 乙 ‎（甲，乙）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（丙，乙）‎ ‎（丁，乙）‎ 丙 ‎（甲，丙）‎ ‎（乙，丙）‎ ‎﹣﹣﹣‎ ‎（丁，丙）‎ 丁 ‎（甲，丁）‎ ‎（乙，丁）‎ ‎（丙，丁）‎ ‎﹣﹣﹣‎ 所有等可能的结果为12种，恰好选中甲、乙两位同学的有2种结果，‎ 所以恰好选中甲、乙两位同学的概率为=．‎ ‎　‎ ‎21．（10.00分）如图，两座建筑物的水平距离BC为60m，从C点测得A点的仰角α为53°，从A点测得D点的俯角β为37°，求两座建筑物的高度（参考数据：sin37°≈，cos37°≈，tan37°≈，sin53°≈，cos53°≈，tan53°≈）．‎ ‎【分析】过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，在Rt△ABC中，求出AB，在Rt△ADE中求出AE即可解决问题；‎ ‎【解答】解：过点D作DE⊥AB于于E，则DE=BC=60m，‎ 在Rt△ABC中，tan53°=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AB=80（m），‎ 在Rt△ADE中，tan37°=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE=45（m），‎ ‎∴BE=CD=AB﹣AE=35（m），‎ 答：两座建筑物的高度分别为80m和35m．‎ ‎　‎ ‎22．（12.00分）如图，AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，且与AB的延长线交于点E，点C是的中点．‎ ‎（1）求证：AD⊥CD；‎ ‎（2）若∠CAD=30°，⊙O的半径为3，一只蚂蚁从点B出发，沿着BE﹣EC﹣爬回至点B，求蚂蚁爬过的路程（π≈3.14，≈1.73，结果保留一位小数）．‎ ‎【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，证明OC∥AD，根据平行线的性质证明；‎ ‎（2）根据圆周角定理得到∠COE=60°，根据勾股定理、弧长公式计算即可．‎ ‎【解答】（1）证明：连接OC，‎ ‎∵直线CD与⊙O相切，‎ ‎∴OC⊥CD，‎ ‎∵点C是的中点，‎ ‎∴∠DAC=∠EAC，‎ ‎∵OA=OC，‎ ‎∴∠OCA=∠EAC，‎ ‎∴∠DAC=∠OCA，‎ ‎∴OC∥AD，‎ ‎∴AD⊥CD；‎ ‎（2）解：∵∠CAD=30°，‎ ‎∴∠CAE=∠CAD=30°，‎ 由圆周角定理得，∠COE=60°，‎ ‎∴OE=2OC=6，EC=OC=3，==π，‎ ‎∴蚂蚁爬过的路程=3+3+π≈11.3．‎ ‎　‎ ‎23．（12.00分）为积极响应新旧动能转换，提高公司经济效益，某科技公司近期研发出一种新型高科技设备，每台设备成本价为30万元，经过市场调研发现，每台售价为40万元时，年销售量为600台；每台售价为45万元时，年销售量为550台．假定该设备的年销售量y（单位：台）和销售单价x（单位：万元）成一次函数关系．‎ ‎（1）求年销售量y与销售单价x的函数关系式；‎ ‎（2）根据相关规定，此设备的销售单价不得高于70万元，如果该公司想获得10000万元的年利润，则该设备的销售单价应是多少万元？‎ ‎【分析】（1）根据点的坐标，利用待定系数法即可求出年销售量y与销售单价x的函数关系式；‎ ‎（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，根据总利润=单台利润×销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其小于70的值即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=kx+b（k≠0），‎ 将（40，600）、（45，550）代入y=kx+b，得：‎ ‎，解得：，‎ ‎∴年销售量y与销售单价x的函数关系式为y=﹣10x+1000．‎ ‎（2）设此设备的销售单价为x万元/台，则每台设备的利润为（x﹣30）万元，销售数量为（﹣10x+1000）台，‎ 根据题意得：（x﹣30）（﹣10x+1000）=10000，‎ 整理，得：x2﹣130x+4000=0，‎ 解得：x1=50，x2=80．‎ ‎∵此设备的销售单价不得高于70万元，‎ ‎∴x=50．‎ 答：该设备的销售单价应是50万元/台．‎ ‎　‎ ‎24．（12.00分）再读教材：‎ 宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感，世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，下面，我们用宽为2的矩形纸片折叠黄金矩形．（提示：MN=2）‎ 第一步，在矩形纸片一端，利用图①的方法折出一个正方形，然后把纸片展平．‎ 第二步，如图②，把这个正方形折成两个相等的矩形，再把纸片展平．‎ 第三步，折出内侧矩形的对角线AB，并把AB折到图①中所示的AD处．‎ 第四步，展平纸片，按照所得的点D折出DE，使DE⊥ND，则图④中就会出现黄金矩形．‎ 问题解决：‎ ‎（1）图③中AB=　　（保留根号）；‎ ‎（2）如图③，判断四边形BADQ的形状，并说明理由；‎ ‎（3）请写出图④中所有的黄金矩形，并选择其中一个说明理由．‎ 实际操作 ‎（4）结合图④，请在矩形BCDE中添加一条线段，设计一个新的黄金矩形，用字母表示出来，并写出它的长和宽．‎ ‎【分析】（1）理由勾股定理计算即可；‎ ‎（2）根据菱形的判定方法即可判断；‎ ‎（3）根据黄金矩形的定义即可判断；‎ ‎（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形；‎ ‎【解答】解：（1）如图3中，在Rt△ABC中，AB===，‎ 故答案为．‎ ‎（2）结论：四边形BADQ是菱形．‎ 理由：如图③中，‎ ‎∵四边形ACBF是矩形，‎ ‎∴BQ∥AD，‎ ‎∵AB∥DQ，‎ ‎∴四边形ABQD是平行四边形，‎ 由翻折可知：AB=AD，‎ ‎∴四边形ABQD是菱形．‎ ‎（3）如图④中，黄金矩形有矩形BCDE，矩形MNDE．‎ ‎∵AD=．AN=AC=1，‎ CD=AD﹣AC=﹣1，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴=，‎ ‎∴矩形BCDE是黄金矩形．‎ ‎∵==，‎ ‎∴矩形MNDE是黄金矩形．‎ ‎（4）如图④﹣1中，在矩形BCDE上添加线段GH，使得四边形GCDH为正方形，此时四边形BGHE为所求是黄金矩形．‎ 长GH=﹣1，宽HE=3﹣．‎ ‎　‎ ‎25．（14.00分）如图1，在平面直角坐标系中，直线y=x﹣1与抛物线y=﹣x2+bx+c交于A、B两点，其中A（m，0）、B（4，n），该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．‎ ‎（1）求m、n的值及该抛物线的解析式；‎ ‎（2）如图2，若点P为线段AD上的一动点（不与A、D重合），分别以AP、DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；‎ ‎（3）如图3，连接BD、CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A、D、Q为顶点的三角形与△ABD相似，若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）把A与B坐标代入一次函数解析式求出m与n的值，确定出A与B坐标，代入二次函数解析式求出b与c的值即可；‎ ‎（2）由等腰直角△APM和等腰直角△DPN，得到∠MPN为直角，由两直角边乘积的一半表示出三角形MPN面积，利用二次函数性质确定出三角形面积最大时P的坐标即可；‎ ‎（3）存在，分两种情况，根据相似得比例，求出AQ的长，利用两点间的距离公式求出Q坐标即可．‎ ‎【解答】解：（1）把A（m，0），B（4，n）代入y=x﹣1得：m=1，n=3，‎ ‎∴A（1，0），B（4，3），‎ ‎∵y=﹣x2+bx+c经过点A与点B，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ 则二次函数解析式为y=﹣x2+6x﹣5；‎ ‎（2）如图2，△APM与△DPN都为等腰直角三角形，‎ ‎∴∠APM=∠DPN=45°，‎ ‎∴∠MPN=90°，‎ ‎∴△MPN为直角三角形，‎ 令﹣x2+6x﹣5=0，得到x=1或x=5，‎ ‎∴D（5，0），即DP=5﹣1=4，‎ 设AP=m，则有DP=4﹣m，‎ ‎∴PM=m，PN=（4﹣m），‎ ‎∴S△MPN=PM•PN=×m×（4﹣m）=﹣m2﹣m=﹣（m﹣2）2+1，‎ ‎∴当m=2，即AP=2时，S△MPN最大，此时OP=3，即P（3，0）；‎ ‎（3）存在，‎ 易得直线CD解析式为y=x﹣5，设Q（x，x﹣5），‎ 由题意得：∠BAD=∠ADC=45°，‎ 当△ABD∽△DAQ时，=，即=，‎ 解得：AQ=，‎ 由两点间的距离公式得：（x﹣1）2+（x﹣5）2=，‎ 解得：x=，此时Q（，﹣）；‎ 当△ABD∽△DQA时，=1，即AQ=，‎ ‎∴（x﹣1）2+（x﹣5）2=10，‎ 解得：x=2，此时Q（2，﹣3），‎ 综上，点Q的坐标为（2，﹣3）或（，﹣）．‎ ‎　‎