CRUX杂志问题4541-4550奥林匹克竞赛数学试题

CRUX杂志问题4541-4550奥林匹克竞赛数学试题

CRUX 杂志问题 4541-4550 4541. (Michel Bataille 供题) 正实数 ,,abc满足 1abc  . 设 k k k kS a b c   , 求证: 24 3112 SS S    . 4542. (Leonard Giugiuc 与 Alexander Bogomolny 供题) △ABC 重心为 G. 设 D, E, F 分别为 BC, CA, AB 中点. 在△ABC 所在平面上寻找一点 M, 使得 3 2( )MA MB MC MG MD ME MF      . 4543. (Cherng-tiao Perng 供题) 整数 4 2( 1)n k k   , 多边形 12... nA A A 的对边互相平行, 且 满足 1 122 , 1,2... 2i i n nii nA A A A i    ∥ .其中 11nAA  .对圆 C, 从点 1B 开始,设 1iB  为过 1,,i i iA A B 三点的圆与圆 C 的交点, 其中 1,2,...in . 求证: 11nBB  . 4544. (Burghelea Zaharia 供题)计算 42 21 4ln( )4 x dx xx   . 4545. (Mihaela Berindeanu 供题) 在正整数范围内解方程: 26 19 5 4n nn  . 4546. (Thanos Kalogerakis, Leonard Giugiuc 与 Kadir Altintas 供题) 如图, △ABC 中, D 为 BC 边上一点. △ABC 内切圆 1K 半径为 1k , 点 A 所对旁切圆 1L 半径为 1l . △ABD 内切圆 2L 半径为 2l , 点 A 所对旁切圆 2K 半径为 2k . △ACD 内切圆 3L 半径为 3l , 点 A 所对旁切圆 3K 半径为 3k . 证明: 1 2 3 1 2 3k k k l l l     . 4547. (George Stoica 供题, 编辑修改) 考虑单位复数 , , ,| | | | | | 1a b c a b c   . 证明: 若 222| | | | | | 12a b c b c a c a b         , 则 ,,abc 在复平面上所对应的点组成一个内接于单位圆的正三角形. 4548. (Lazea Darius 供题) 求实数 k 的最大值, 使得对满足 3abc   的所有非负实 数 ,,abc, 均有 2 2 2( ) ( ) ( ) 3ab bc ca k a b b c c a       . 4549. (Lorian Saceanu, Leonard Giugiuc 与 Kadir Altintas 供题) 设 , ( 1,2... )kka b k n 为实数. 证明: 2 2 2 2 1 1 1 1 (2 ) (2 ) n n n n k k k k k k k k k k a b b a a b             . 4550. (Leonard Giugiuc 与 Kunihiko Chikaya 供题) 设 2  为实数, 正实数 ,,x y z 满足 x y z. 证明: 并求取等条件.