全国中学生物理竞赛课件4：矢量图解运动问题

全国中学生物理竞赛课件4：矢量图解运动问题

v1 v2 V V=v1+v2 v1 v2 V12=v1- v2 v1 v2 V12 合运动是同一物体在同一时间内同时完成几个 分运动的结果，对同一物体同时参与的几个运动进行合成才有意义． 当物体实际发生的运动较复杂时，我们可将其等效 为同时参与几个简单的运动，前者称作合运动，后者则 称作物体实际运动的分运动．这种双向的等效操作过程 叫运动的合成与分解，是研究复杂运动的重要方法．　 构成一个合运动的几个分运动是彼此独立、 互不相干的，物体的任意一个分运动，都按其自身规律进行，不会 因有其它分运动的存在而发生改变． 描述运动状态的位移、速度、加速度等 物理量都是矢量，对运动进行合成与分解时应按矢量法则即平行 四边形定则作上述物理量的运算． 独立性原理♠ 运动的合成与分解遵循如下原理： 等时性原理♠ 矢量性原理♠ 引入中介参照系．* 根据实际效果分解运动.* 若设质点A对静止参考系C的速度（绝对速度）为vAC，动 参考系B对C的速度（牵连速度）为vBC，而A对动参考系B的速 度（相对速度）为vAB，则有v v vAC AB BC  同样地，位移的合成与分解为 v v vAB AC BC  注意矢量运算式中下标的规律性! S S SAC AB BC  S S SAB AC BC  加速度的合成与分解为 a a aAC AB BC  a a aAB AC BC  1 2v v v  雨滴在空中以4 m/s速度竖直下落，人打着伞以3 m/s 的速度向东急行，如果希望让雨滴垂直打向伞的截面而 少淋雨，伞柄应指向什么方向？ 本例求雨相对人(伞)的速度，引入中介参照系-人 雨对地的速度（绝对速度） v雨=4 m/s 竖直向下 v 雨 人对地的速度（牵连速度）v人=3 m/s 向东 雨对人的速度（相对速度）V雨对 人 v人 ? v v v    雨 人雨 人对 三速度矢量关系为 O V雨对 人 伞柄方向与竖直成 1 1 3tan tan 4 v v    人 雨 37 1 2ABv v v    由“两质点相遇”知A处质 点相对于B处质点的速度vAB 方向沿AB连线 C A B v1 v2 θ v1 v2m 1 2ABv v v    vAB d l θ θ 由几何三角形与矢量三 角形关系得: 2 1 sinmv v  12 2 = d v d l 方向与BC成 -1 12 2 sin d v d l 一质点从A点出发沿AC方向以v1速度匀速运动，与 此同时，另一质点以v2速度从B点出发做匀速运动，如图 所示，已知A、C相距l，B、C相距d，且BC⊥AC，若要 两质点相遇，v2的最小速率为多少？其方向如何？ v2 船对岸的速度（绝对速度） v 水对岸的速度（牵连速度）v水 船对水的速度（相对速度）v舟⑴关于航行时间 s t v  舟 舟 渡河时间取决于船对水的速度v舟: 当v舟方向垂直于河岸时，船相对于水的分运动位移S舟=d最 小，故可使渡河时间最短: min dt v  舟 S v 水 v 舟 v 河岸 d 河岸 v水 v舟v S水 S舟 水速大小不影响渡河时间! ⑵关于实际航程 v水 v舟 v 河岸 d 河岸 θ v水 v 舟 v 河岸 d 河岸 θ 1sin v v   水 舟 为使航程最小，应使v舟与v水的合速度v与河岸的垂线间的夹 角θ尽量地小！ 若v舟＜v水，船的实际位移与河岸的垂线夹角最小出现在 若v舟＞v水，船的实际位移为河宽d航程即最短，故 v舟的 方向与船的航线成 船头指向上游 θ v 舟 v 水 v 1cos v v   舟 水 这时船的实际航程为 v d v  水 舟 船头指向上游且与实际航线垂直，与上游河岸成 当船的航程最短时，航行时间不是最短． 假定某日刮正北风，风速为u，，一运 动员在风中跑步，他对地面的速度大小是v，试问他向 什么方向跑的时候，他会感到风是从自己的正右侧吹来 的？这种情况在什么条件下成为无解？在无解的情况下， 运动员向什么方向跑时，感到风与他跑的方向所成夹角 最大？ 人对地的速度（牵连速度） v 风对地的速度（绝对速度）u 风对人的速度（相对速度）V 本例求相对速度，引入中介参照系-人 由题给条件，速度关系为 u V v    且V v   北 θ V u v当运动员朝南偏西 1cos v u   感到风从正右侧吹来 当v＞u时，无此情况！ sin sin v u   由  90  当 时  1 max sin u v   当运动员朝南偏西 1cos u v  奔跑时感到风与他跑的方 向所成夹角最大！ m 一只木筏离开河岸，初速度为v0 ，方向 垂直于岸，划行路线如图虚线所示，经过时间T，木筏 划到路线上A处，河水速度恒定为u，且木筏在水中划行 方向不变．用作图法找到2T、3T……时刻此木筏在航线 上的确切位置． 明确速度关系 木筏对岸的速度v 木筏对水的速度V， 方向不变 水对岸的速度u， 大小方向不变 三速度矢量关系为 v V u    A y x(河岸)u v0 O V u v0 v S 筏 对 水 S筏 V 0 S水T S水TB S水TB B A A 某一恒力作用在以恒定速度v运动的物 体上，经过时间t，物体的速率减少一半，经过同样的时 间速率又减少一半，试求经过了3t时间后，物体的速度 v3t之大小． 明确矢量关系! 2 1 3 2t t t t tv v v v v v v              B D v vt v2t v 3 t △v O A △v △v α C 在矢量三角形中运用 余弦定理: 2 2 2 2 cos 2 v v v v v               2 22 2 2 2 cos 4 v v v v v              22 2 3 3 2 3 costv v v v v        3 7 4tv v 从h高处斜向上抛出一初速度大小为v0 的物体，讨论抛出角θ为多大时物体落地的水平位移最 大． 物体做抛体运动时，只受重力作用．在落下h高度的 时间t内，速度增量△v恒为竖直向下,大小为gt; 落地时速度v的大小为 2 0 2tv v gh  矢量关系: 0tv v v      h v0 vt △v θ  θ矢量△“面积” 0 1 cos 2 S gt v    x 1 2 gx  0 1 sin 2 tv v        2 2 0 0 sintv v v x g        90   即当  2 2 max 0 0 tv v v g x   1 0 2 2 0 tan t v v v    时 O x y 网球以速度v0落到一重球拍上后弹性地 射回．为使球能沿着与原轨道垂直的方向射回，球拍应 以什么样的速度vP运动？如果速度v0和球拍面的法线的 夹角是α，速度vP 和此法线的夹角φ是多少？设任何时刻 球拍和球都是做平动的． 关于矢量间关系的隐含条件： 1.重球拍的“重”－可以认为拍的速度vp在碰球前后保持不变； 2. 网球弹性地射回－在碰撞前后，球相对于拍的速度大小相等、 方向相反； 3. 球和拍都是做平动－球相对于拍只有沿拍面法向速度而无切 向速度分量． vp  C   v0球对 拍 vt球 对拍 vt B , 2 cos AB OAOC AB   在矢量三角形中: 0 2cospv v  故 2 2        球拍速度与球拍法线方向夹角 2    v0 Ａ 如图所示，甲、乙两船在静水中航行速度 分别为 v甲和v乙 ，两船从同一渡口向河对岸划去．已 知甲船想以最短时间过河，乙船想以最短航程过河，结果 两船抵达对岸的地点恰好相同，则甲、乙两船渡河所用时 间之比t甲∶ t乙= ． 起、止点相同，甲、乙合速度 方向一致，运动合成情况如示: V 水 V 甲 V 甲合 V 乙V 乙合 2sin sin / sin t v v t v v      甲 乙合 水 乙 甲合 水 2 2sin v v          乙 甲 而 2 vt t v         乙 甲 甲 乙 故 :v v2 2 乙 甲 两船航程相同，时间应与合 速度成反比，由图 α α 骑自行车的人以20 km／h 的速率向东行驶，感 到风从正北方吹来，以40 km／h 的速率向东行驶，感到风从东北方 向吹来，试求风向和风速． 人对地的速度 v人1=20 km/h ,v人2=40 km/h,方向正东 风对地的速度v风？ 风对人的速度 v风对人1方向正南， v风对人2方向西南 v风 v风对人 1 v 风 对 人2 v人1 v人2 速度矢量v风= v风对人+ v人的关系如图 由图中几何关系易得 2v v 人1风 风向西北28km/h 从离地面同一高度h、相距l的两处同时各抛出一 个石块，一个以速度v1竖直上抛，另一个石块以速度v2向第一个石 块原来位置水平抛出，求这两个石块在运动过程中，它们之间的最 短距离． 一个石块对地的速度为 v1+vy 另一个石块对地的速度为 v2+vy 两者相对速度为  21 2 1 2 1y yv v v v v v v             v1 v2 v 2 1l x 2 1 以石块1为参考系，石块2的位移方向 与v21相同: 以石块1为参考系，两石块初始距离 为l: 最 小 距 离 d   sind l  由图 1 1 2 221 1 2 sin v v v v v     而 1 2 2 1 2 l v d v v  这个最短距离适用于 另一石块落地之前 21 cosl v  即 2h g  2 2 2 1 2 lv v v   v0 vD A B 如图所示，一条船平行于平直海岸线航行，船离岸 的距离为D，船速为v0 ，一艘速率为v（v＜v0 ）的海上警卫小艇从 港口出发沿直线航行去拦截这条船．⑴证明小艇必须在这条船驶过海 岸线的某特定点A之前出发，这点在港口后面的 处．⑵如果 快艇在尽可能迟的瞬时出发，它在什么时候和什么地方截住这条船？ 2 2 0v v D v   ⑴艇拦截到船即相遇,有艇相对 于船的速度V方向沿AB连线 两者相对速度为 0V v v     2 2 01cot v v v     v0 v  V v、V夹角不会超过90°! 由速度矢量三角形得 S则 2 2 0cot v v DS v D      ⑵上述是最迟出发的临界情况! 此时 0csc v S D D v     相 2 2 0V v v  0 2 2 0 csc v D v v Dt vV     截住船的位置在A前方 2 0 2 2 0 Dv v v v A 一辆汽车的正面玻璃一次安装成与水平方向倾斜 角为β1＝30°，另一次安装成倾斜角度为β2＝15°，问汽车两次速 度之比v1∶ v2为多少时，司机看见冰雹两次都是以竖直方向从车的 正面玻璃上弹开？（冰雹相对地面是竖直下落的） 本题题眼: 各速度的矢量关系 冰雹近、离车的速度遵守“反射定律” 第一次 对车 1v v v    雹雹 15 v1 v雹 v 雹 离 车 v 雹 近 车 30 30 30 30 第二次 对车 2v v v    雹雹 v2 v雹v 雹 近 车 v 雹 离 车 15 15 60 由两矢量图 1 cot 30v v   雹 2 cot 60v v   雹 则 1 2 3 1 v v  人具有与木马站立点相同的线速度ωr 敞开的旋转木马离转动轴距离为r，以角速度ω转 动，人站在木马上．下雨了，雨滴以速度v0竖直下落．试问人应该 怎样支撑着雨伞才能够最有效地避开雨？ 本题求雨相对人(伞)的速度方向，引入中介参照系-人 雨对地的速度（绝对速度） v0 竖直向下 v0 人对地的速度（牵连速度）v人=ωr 水平 雨对人的速度（相对速度）V雨对 人 v人 ?  对v v r 0雨 人 三速度关系为 O V雨对 人  伞柄方向与竖直成 1tan r v   0 如图所示为从两列蒸汽机车上冒出的两股汽雾拖 尾的照片（俯视）．两列车沿直轨道分别以速度v1＝50 km／h和v2 ＝70 km／h行驶，行驶方向如图所示．求风速 ? 观察照片，将两车之距离AB按5∶ 7比 例分成左、右两部分，分点C为两车相遇 处，汽雾交点为O，CO即为相遇时两车 喷出之汽被风吹后的位移，两车从相遇点 C到照片上位置历时 C O v1 v2 1 2 ABt v v   风速为  1 2 COV v v AB   在照片上量出AB与CO长度,代入上式得 35km/hV  A B 敞开的磁带录音机的空带轴以恒定角速度转动， 重新绕上磁带．绕好后带卷的末半径r末为初半径r初的3倍．绕带的 时间为t1．要在相同的带轴上重新绕上厚度为原磁带一半的薄磁带， 问需要多少时间？ 设磁带总长l,绕厚磁带时,由题意 d … r初 r末 2 29ld r r 初 初 绕薄磁带时,  2 2 2 dl R r  初 5R r 初 1 2 2r t d    初 由   12 5 1t t 得 带卷面积 绕一层时间绕多少层  2 5 1 2 / 2 r t d      初 带卷面积 在听磁带录音机的录音时发觉：带轴上带卷的半 径经过时间t1＝20min 减小一半．问此后半径又减小一半需要多少 时间t2 ？ 与上题不同的是，放音时磁带是匀速率地通过的! 走带速度 / 2r  2 2 1 4r r t dv    1 2 4 5min t t   2 2 2 1 4 r r t dv       通过的带长 带卷半径减半历时 d r 快艇系在湖面很大的湖的岸边．湖岸线可以认为 是直线．突然缆绳断开，风吹着快艇以恒定的速度v0＝2.5 km/h沿 与湖岸成α＝15°角的方向飘去．同时岸上一人从同一地点沿湖岸 以速度v1＝4 km/h行走或在水中以速度v2＝2 km/h游去，此人能否 赶上快艇？当快艇速度为多大时总可以被此人赶上？ 15° v0(x+y) v1x v2y 设人以v1速度运动时间x，以v2速度运动时间y，则有 人赶上艇，两者位移矢量构成闭 合三角形，位移的矢量关系  0 2v x y v x v y  1             22 22 4 2.5 2 4 2.5 cos15y x x y x x y           即 整理得    2 29 50 20 6 2 89 20 6 2 0y xy x             此式有解，即人能赶上以2.5 km/h飘行的快艇! 推至 一般    2 50 20 6 2 4 9 89 20 6 2 0              > v    23 1 2 6 2 16 0v v       v 2 2 km/hv  人总能赶上快艇! 如图所示， 在仰角 的雪坡上举行跳台滑雪比 赛．运动员从坡上方A点开始下滑，到起跳点O时借助设备和技巧， 保持在该点的速率而以与水平成θ角的方向起跳，最后落在坡上Ｂ 点，坡上OB两点距离L为此项运动的记录．已知A点高于O点h＝50 m，忽略各种阻力、摩擦，求运动员最远可跳多少米，此时起跳角 为多大？ 6    A O B θ α h 在O点起跳速度v的大小为 0 2 10 10 m/sv gh  物体做抛体运动时，只受重力作 用．在发生L位移的时间t内，速度增 量△v恒为竖直向下,大小为gt; 矢量关系: 0Bv v v      vB △v θ v0  矢量△“面积” 0 1 cos 2 S gt v     0 1 sin 90 2 Bv v      0 2 0 cos cos 2 sinB v t L v v gL       其中 1 cos 2 gL    2 0 03 cos 2 v v gL L g        0   即当   时 max 200L  m  2 0 0 1 cos 2 v gL     此时由   0 sin sin 90 Bv v     30     13 cos 20 100 L L      O N 墙 一条在湖上以恒定速度行驶的船上，有一与船固 连的竖直光滑墙壁，有一个小球沿水平方向射到墙上，相对于岸， 小球速度的大小为v1，方向与墙的法线成60°角，小球自墙反弹时 的速度方向正好与小球入射到墙上时的速度方向垂直．问船的速度 应满足什么条件？设小球与墙壁的碰撞是完全弹性的． 设船速为v0 因为弹性碰撞，小球相对墙的入射速度与的反射速度大 小相等，速度方向 “沿着入射角与反射角” v0 60 Cv1球对 墙 v2球对 墙 v2 B v1 Ａ 由图知只要v0沿墙的 法线方向分量 1 2ONv v   