初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第13讲 怎样求最值

初中数学竞赛辅导讲义及习题解答 第13讲 怎样求最值

1 第十三讲 怎样求最值 在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最低、消 耗最少、产值最高、获利最大等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小 值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题，求最值问题的方法归纳起来有如下几点： 1．运用配方法求最值； 2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值； 3．建立函数模型求最值； 4．利用基本不等式或不等分析法求最值． 注：数学中最大值、最小值问题，运用到社会实践、生活实际中所体现出来的就是最优化思 想，所谓最优，就是我们所期望的目标量能达到最大或最小． 一次函数、反比例函数并无最值，但当自变量取值范围有条件限制的，最值在图象的端 点处取得；定义在全体实数上的二次函数最值在抛物线的顶点处取-得．即： 对于 cbxaxy  2 （ 0a ） (1)若 a>0，则当 a bx 2 时， a bacy 4 4 2最小值 ； (2)若 a<0，则当 时， a bacy 4 4 2最大值 ． 【例题求解】 【例 1】 设 a、b 为实数，那么 bababa 222  的最小值是 ． 思 路 点 拨 将 原 式 整 理 成 关 于 a 的二次多项式从配方法入手；亦可引入参数设 tbababa  222 ，将等式整理成关于 的二次方程 0)2()1( 22  tbbaba ，利用 判别式求最小值． 【例 2】若 3 2 2 11  zyx ，则 222 zyx  可取得的最小值为( ) A．3 B． 14 59 C． 2 9 D．6 思路点拨 设 kzyx  3 2 2 11 ，则 可用只含 k 的代数式表示，通过配方求最 小值． 【例 3】 设 1x 、 2x 是方程 023242 22  mmmxx 的两个实根，当 m 为何值时， 2 2 2 1 xx  有最小值，并求这个最小值． 思路点拨 由韦达定理知 是关于 的二次函数，是否是在抛物线的顶点处取得最小 2 值，就要看自变量 m 的取值范围，从判别式入手． 注：定义在某一区间的条件限制的二次函数最值问题，有下两种情形： (1)当抛物线的顶点在该区间内，顶点的纵坐标就是函数的最值； (2)当抛物线的顶点不在该区间内，二次函数的最值在区间内两端点处取得． 【例 4】 甲、乙两个蔬菜基地，分别向 A、B、C 三个农贸市场提供同品种蔬菜，按签订的 合同规定向 A 提供 45 吨，向 B 提供 75 吨，向 C 提供 40 吨．甲基地可安排 60 吨，乙基地 可安排 100 吨．甲、乙与 A、B、C 的距离千米数如表，设运费为 1 元／(千米·吨)．问如 何安排使总运费最低?求出最小的总运费值． 思路点拨 设乙基地向 A 提供 x 吨，向 B 提供 y 吨，这样总运费就可用含 ， 的代数式表 示；因为 1000  yx 0， 450  x ，所以问题转化为在约束条件下求多元函数的最值． A B C 甲 10 5 6 乙 4 8 15 【例 5】 某单位花 50 万元买回一台高科技设备，根据对这种型号设备的跟踪调查显示，该 设备投入使用后，若将养护和维修的费用均摊到每一天，则有结论：第 x 天应付的养护与维 修费为[ 500)1(4 1 x ]元． (1)如果将该设备从开始投入使用到报废共付的养护与维修费及购买该设备费用的和均摊到 每一天，叫做每天的平均损耗，请你将每天的平均损耗 y (元)表示为使用天数 (天)的函数； (2)按照此行业的技术和安全管理要求，当此设备的平均损耗达到最小值时，就应当报废， 问该设备投入使用多少天应当报废? 思路点拨 在解本题时可能要用到以下数学知识点：对于确定的正常数 a 、b 以及在正实数 范围内取值的变量 ，一定有 b a xb ax b x x a 22  ，即当且仅当 b x x a  时， b x x a  有最小值 b a2 ． 3 注：不等式也是求最值的有效方法，常用的不等式有： (1) 02 a ； (2) abba 222  ；（ 3）若 0a ， 0b ，则 abba 2 ； (4)若 ， ， 0x ，则 b a b x x a 2 ． 以上各式等号当且仅当 ba  (或 b x x a  )时成立． 学历训练 1．当 x 变化时，分式 12 1 563 2 2   xx xx 的最小值为 ． 2．如图，用 12 米长的木方，做一个有一条横档的矩形窗子，为使透进的光线最多，选择窗 子的长、宽各为 、 米． 3．已知实数 a 、 b 、 c 满足 0 cba ， 6222  cba ，则 a 的最大值为 ． 4．已知 x 、 y 、 z 为三个非负实数，且满足 523  zyx ， 2 zyx ，若 zyxs  2 ， 则 s 的最大值与最小值的和为( ) A． 2 1 B． 8 5 C．1 D．36 5．已知四边形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 O，若 S△AOB=4，S△COD=9，则四边形 ABCD 的面积 S 四边形 ABCD 的最小值为( ) A．2l B．25 C．26 D．36 6．正实数 、 满足 1xy ，那么 44 4 11 yx  的最小值为( ) A． B． 8 5 C．1 D． 4 5 E． 2 7．启明公司生产某种产品，每件产品成本是 3 元，售价是 4 元，年销售量为 10 万件．为了 获得更好的效益，公司准备拿出一定的资金做广告．根据经验，每年投入的广告费是 x (万 元)时，产品的年销售量将是原销售量的 y 倍，且 10 7 10 7 10 2  xxy ，如果把利润看作是销 4 售总额减去成本费和广告费： (1)试写出年利润 S (万元)与广告费 x (万元)的函数关系式，并计算广告费是多少万元时，公 司获得的年利润最大，最大年利润是多少万元? (2)把(1)中的最大利润留出 3 万元作广告，其余的资金投资新项目，现有 6 个项目可供选择， 各项目每股投资金额和预计年收益如下表： 项目 A B C D E F 每股(万元) 5 2 6 4 6 8 收益(万元) 0．55 0．4 0．6 0．5 0．9 l 如果每个项目只能投一股，且要求所有投资项目的，收益总额不得低于 1．6 万元，问有几 种符合要求的投资方式?写出每种投资方式所选的项目． 8．某市 20 位下岗职工在近郊承包 50 亩土地办农场，这些地可种蔬菜、烟叶或小麦，种这 几种农作物每亩地所需职工数和产值预测如下表： 作物品种 每亩地所需职工数 每亩地预计产值 蔬菜 2 1 1100 元 烟叶 3 1 750 元 小麦 4 1 600 元 请你设计一个种植方案，使每亩地都种上农作物，20 位职工都有工作，且使农作物预计总 产值最多． 9．如图，有长为 24m 的篱笆，一面利用墙(墙的最大可用长度 a 为 l0m)，围成中间隔有一 道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽为 xm，面积为 sm2． (1)求 s 与 x 的函数关系式； (2)如果要围成面积为 45m2 的花圃，AB 的长是多少米? (3)能围成面积比 45m2 更大的花圃吗?如果能，请求出最大面积，并说明围法；如果不能， 请说明理由． 10．设 1x 、 2x 是关于 x 的一元二次方程 22  aaxx 的两个实数根，则 )2)(2( 1221 xxxx  的 最大值为 ． 11．若抛物线 1)1(2  kxkxy 与 轴的交点为 A、B，顶点为 C，则△ABC 的面积最小 值为 12．已知实数 、 b 满足 122  baba ，且 22 baabt  ，则t 的最大值为 ，最小 值为 ． 13．如图，B 船在 A 船的西偏北 45°处，两船相距 10 2 km，若 A 船向西航行，B 船同时 向南航行，且 B 船的速度为 A 船速度 2 倍，那么 A、B 两船的最近距离为 km． 5 14．销售某种商品，如果单价上涨m％，则售出的数量就将减少 150 m ，为了使该商品的销售 金额最大，那么 m 的值应该确定为 ． 15．某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000 元时，可全部租出；当每辆车 的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每 月需要维护费 150 元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元． (1)当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出 辆车(直接填写答案)； (2)设每辆车的月租金为 x(x≥3000)元，用含 x 的代数式填空： (3)当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大?最大月收益是多少元? 16．甲、乙两种商品，经营销售这两种商品所能获得的利润依次是 p (万元)和 q (万元)，它 们与投入资金 (万元)的关系有经验公式 xp 5 1 ， xq 5 3 ． 今有3万元资金投入经营甲、乙两种商品，为获得最大利润，对甲、乙两种商品的资金投入 分别应为多少?能获得多大的利润? 链接 17．如图，城市A位于一条铁路线上，而附近的一小镇B需从A市购进大量生活、生产用品， 如果铁路运费是公路运费的一半．问该如何从B修筑一条公路到铁路边，使从A到B的运费 最低? 18．设 1x ， 2x ，… nx 是整数，并满足： （1） 21  ix ， ni ,2,1 ； （2） 1921  nxxx  ； （3） 9922 2 2 1  nxxx  ． 求 33 2 3 1 nxxx   的最大值和最小值． 链接 未租出的车辆数 租出的车辆数 所有未租出的车 辆每月的维护费 租出的车每 辆的月收益 6 参考答案 7 8