辽宁省丹东市第十四中学2019届九年级第二次模拟考试数学试题（解析版）

辽宁省丹东市第十四中学2019届九年级第二次模拟考试数学试题（解析版）

辽宁省丹东市第十四中学2019届九年级 第二次模拟考试数学试题 一．选择题 ‎1.相反数的倒数是( )‎ A. B. C. 5 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据一个数的相反数就是在这个数前面添上"-"号,求解即可 ‎【详解】相反数是 相反数的倒数是5‎ ‎【点睛】此题考查相反数和倒数，难度不大 ‎2. 据统计，2015年在“情系桃源，好运丹东”的鸭绿江桃花观赏活动中，6天内参与人次达27．8万，用科学计数法将27．8万表示为（ ）．‎ A. 2．78×106 B. 27．8×106‎ C. 2．78×105 D. 27．8×105‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：用科学计数法计数应写成a×的形式，其中a整数位数有一位，10的指数是原整数位数减1，27．8万=27．8×=2．78×，故选C．‎ 考点：用科学计数法计数．‎ ‎3.若一个正多边形的一个外角是40°，则这个正多边形的边数是( )‎ A. 10 B. 9 C. 8 D. 6‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：利用任意凸多边形的外角和均为360°，正多边形的每个外角相等，可得，解得n=9．‎ 故选B 考点：凸多边形的外角和 ‎4.一组数据3，4，x，6，7的平均数是5，则这组数据的中位数和方差分别是( )‎ A. 4和2 B. 5和2 C. 5和4 D. 4和4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由平均数的公式得：（3+4+x+6+7）÷5=5，‎ 解得x=5；‎ 把数据从小到大排列：3，4，5，6，7，位置处于中间的是：5，‎ ‎∴中位数是5；‎ ‎∴方差=[（3-5）2+（4-5）2+（5-5）2+（6-5）2+（7-5）2]÷5=2．‎ 故选B ‎5.以方程组的解为坐标的点(x，y)在平面直角坐标系中的位置是( )‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎，‎ ‎①+②得，2y=1，‎ 解得,y=.‎ 把y=代入①得, =−x+2，‎ 解得x=.‎ ‎∵>0, >0，根据各象限内点的坐标特点可知，‎ 点(x,y)在平面直角坐标系中的第一象限．‎ 故选A.‎ 点睛：此题考查二元一次方程组的解法及象限的符号特征：利用代入消元或加减消元求得方程组的解，第一象限横纵坐标都为正，第二象限横坐标为负，纵坐标为正；第三象限横坐标都为负；第四象限横坐标为正，纵坐标为负.‎ ‎6.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是　　‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据轴对称图形和中心对称图形的定义逐项识别即可，在平面内，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形.‎ ‎【详解】解：A. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；‎ B. 不是轴对称图形，是中心对称图形，故不符合题意；‎ C. 是轴对称图形，但不是中心对称图形，故不符合题意；‎ D. 既是轴对称图形又是中心对称图形，故符合题意．‎ 故选D.‎ ‎【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的定义是解答本题的关键.‎ ‎7.已知：四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，给出下列4个条件：①AB∥CD；②OA＝OC；③AB＝CD；④AD∥BC从中任取两个条件，能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率，即可求出答案．‎ ‎【详解】有①与②，①与③，①与④，②与③，②与④，③与④六种情况，‎ ‎①与④根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；‎ ‎①与③根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；‎ ‎①与②，②与④根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，能推出四边形ABCD为平行四边形；‎ 所以能推出四边形ABCD为平行四边形的有4组，‎ 所以能推出四边形ABCD是平行四边形的概率是＝．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）＝．‎ ‎8.已知：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论中：①abc＞0；②2a+b＜0；③a+b＜m（am+b）（m≠1的实数）；④（a+c）2＜b2；⑤a＞1，其中正确的项是（ ）‎ A. ①⑤ B. ①②⑤ C. ②⑤ D. ①③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎【详解】解：①∵抛物线的开口向上，∴a＞0，‎ ‎∵与y轴的交点为在y轴的负半轴上，∴c＜0，‎ ‎∵对称轴为x=-＞0，‎ ‎∴a、b异号，即b＜0，‎ 又∵c＜0，∴abc＞0，‎ 故本选项正确；‎ ‎②∵对称轴为x=-＞0，a＞0，‎ ‎-＜1，‎ ‎∴-b＜2a，‎ ‎∴2a+b＞0；‎ 故本选项错误；‎ ‎③当x=1时，y1=a+b+c；‎ 当x=m时，y2=m（am+b）+c，当m＞1，y2＞y1；当m＜1，y2＜y1，所以不能确定；‎ 故本选项错误；‎ ‎④当x=1时，a+b+c=0；‎ 当x=-1时，a-b+c＞0；‎ ‎∴（a+b+c）（a-b+c）=0，即（a+c）2-b2=0，‎ ‎∴（a+c）2=b2‎ 故本选项错误；‎ ‎⑤当x=-1时，a-b+c=2；‎ 当x=1时，a+b+c=0，‎ ‎∴a+c=1，‎ ‎∴a=1+（-c）＞1，即a＞1；‎ 故本选项正确；‎ 综上所述，正确的是①⑤．‎ 故选A．‎ 二.填空题 ‎9.因式分解：__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先提取公因式x，再对余下的多项式利用完全平方公式继续分解．‎ ‎【详解】解：原式，‎ 故答案为 ‎【点睛】本题考查提公因式，熟练掌握运算法则是解题关键.‎ ‎10.如图，∠1=∠2=40°，MN平分∠EMB，则∠3=_____°．‎ ‎【答案】110‎ ‎【解析】‎ ‎【详解】∵∠1∠240°，∠MEN=∠2，‎ ‎∴∠1∠MEN=40°，∠EMB=180°-∠1=140°，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∵MN平分∠EMB，‎ ‎∴∠BMN=140°÷2=70°，‎ 又∵AB//CD，‎ ‎∴∠3=180°-∠BMN=110°，‎ 故答案为110.‎ ‎11.不等式组的解集为 ．‎ ‎【答案】-2＜x≤3．‎ ‎【解析】‎ 试题解析：‎ ‎∵由①式得x＞-2；由②式得x≤3，‎ ‎∴不等式组的解为-2＜x≤3．‎ 考点：解一元一次不等式组．‎ ‎12.（2011?菏泽）如图是正方体的展开图，则原正方体相对两个面上的数字之和的最小值的是　　．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ 试题分析：根据相对的面相隔一个面得到相对的2个数，相加后比较即可．‎ 解：易得2和6是相对的两个面；3和4是相对两个面；1和5是相对的2个面，‎ ‎∵2+6=8，3+4=7，1+5=6，‎ 所以原正方体相对两个面上的数字和最小的是6．‎ 故答案为6．‎ 考点：专题：正方体相对两个面上的文字．‎ ‎13.关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】且.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 方程两边同乘以x-1，化为整数方程，求得x，再列不等式得出m的取值范围．‎ ‎【详解】方程两边同乘以x-1，得，m-3=x-1，‎ 解得x=m-2，‎ ‎∵分式方程解为正数，‎ ‎∴x=m-2＞0且x-1≠0，‎ 即m-2＞0且m-2-1≠0，‎ ‎∴m＞2且m≠3，‎ 故答案为m＞2且m≠3．‎ ‎14.如图所示，某班上体育课，甲、乙两名同学分别站在C、D的位置时，乙的影子恰好在甲的影子里边，已知甲身高1.8米，乙身高1.5米，甲的影长是6米，则甲、乙同学相距________米.‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】‎ 试题分析：依题意知Rt△ABC∽Rt△AED．所以BC：DE=AC：AD．即1.8:1.5=6：AD 解得AD=1.5×6÷1.8=5米．‎ 所以CD=AC-AD=1米 考点：比例 点评：本题难度较低，主要考查学生对相似三角形及比例知识点掌握．建立比例关系，对应边成比例求出乙的影长为解题关键．‎ ‎15.如图，矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，矩形的边分别平行于坐标轴，点C在反比例函数的图象上，若点A的坐标为(－2，－2)，则k的值为________.‎ ‎【答案】k=1．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：设C（x，y）．‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，点A的坐标为（﹣2，﹣2），‎ ‎∴B（﹣2，y）、D（x，﹣2）；‎ ‎∵矩形ABCD的对角线BD经过坐标原点，‎ ‎∴=，即xy=4；①‎ 又∵点C在反比例函数的图象上，‎ ‎∴xy=k2+2k+1，②‎ 由①②，得 k2+2k﹣3=0，即（k﹣1）（k+3）=0，‎ ‎∴k=1或k=﹣3；‎ ‎∵k＞0，‎ ‎∴k=1，‎ 考点：待定系数法求反比例函数解析式；矩形的性质．‎ ‎16.如图，已知直角三角形ACB，AC=3，BC=4，过直角顶点C作CA1⊥AB，垂足为A1，再过A1作A1C1⊥BC，垂足为C1；过CA1作C1A2⊥AB，垂足为A2，再过A2作A2C2⊥BC，垂足为C2；…，这样一直做下去，得到一组线段A1C1，C2A2，…，则线段AnCn=___.‎ ‎【答案】3×‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用勾股定理求得AB的长,即可得sinA=,在Rt△ACA 中C A= ACsinA=3× ,由∠A+∠AC A=90°、∠C AC+∠ACA=90°得∠A=∠ACC,从而得出AC=CASinA=3 ,同理得出,据此可得出规律 ‎【详解】∵Rt△ABC中,AC=3,BC=4‎ ‎∴AB= ‎ ‎∴ sinA= ‎ ‎∵CA⊥AB ‎∴在Rt△ACA中,CA= A Csin A=3×,‎ 又∵∠A+∠ACA=90°,∠CAh+∠ACA，‎ ‎∴∠A=∠ACC，‎ ‎∴AC=CA. sin A=3，‎ 同理可得，‎ ‎∴ =3×，‎ 故答案为: 3×‎ ‎【点睛】此题考查三角函数值，解题关键在于找到规律 三.解答题 ‎17.计算：．‎ ‎【答案】2+‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算零指数幂、负指数幂、特殊角的三角函数、绝对值，再进行二次根式化简，然后根据实数的运算法则求得计算结果．‎ ‎【详解】解：原式=2﹣1﹣+2+1﹣‎ ‎=2+．‎ ‎【点睛】考查实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、特殊角的三角函数值、绝对值等考点的运算.‎ ‎18. 如图10，在6×8的网格图中，每个小正方形边长均为1，点 O和△ABC的顶点均为小正方形的顶点.‎ ‎⑴以O为位似中心，在网格图中作△A′B′C′，使△A′B′C′和△ABC位似，且位似比为1：2‎ ‎⑵连接⑴中的AA′，求四边形AA′C′C的周长.（结果保留根号）‎ ‎【答案】解：⑴如图1.‎ ‎⑵‎ 在⊿中，=2，得；于是，‎ ‎∴四边形的周长=‎ ‎【解析】‎ ‎（2）AA′=1，CC′=2．‎ 在Rt△OA′C′中，‎ OA′=1，OC′=2，得A′C′=,；‎ 同理可得AC=．‎ ‎∴四边形AA′C′C的周长=3+‎ ‎19. 为了解某市九年级学生学业考试体育成绩，现从中随机抽取部分学生的体育成绩 进行分段（A：50分；B：49-45分；C：44-40分；D：39-30分；E：29-0分）统计如下：‎ 根据上面提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）在统计表中，a的值为▲，b的值为▲，并将统计图补充完整（温馨提示：作图时别忘了用0.5毫米及以上的黑色签字笔涂黑）；‎ ‎（2）甲同学说：“我的体育成绩是此次抽样调查所得数据的中位数. ”请问：甲同学的体育成绩应在什么分数段内？ ▲ （填相应分数段的字母）‎ ‎（3）如果把成绩在40分以上（含40分）定为优秀，那么该市今年10440名九年级学生中体育成绩为优秀的学生人数约有多少名？‎ ‎【答案】解：（1） 60 ， 0.15 (图略) （每空1分，图1分）………………3分 ‎（2） C …………………………………………………………………………5分 ‎（3）0.8×10440=8352（名）………………………………………………………7分 答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名. ……………8分 ‎【解析】‎ 解：（1） 60 ， 0.15 (图略) （每空1分，图1分） ………………3分 ‎　　 （2） C ………………………………………………………………………5分 ‎（3）0.8×10440=8352（名）……………………………………………………7分 答：该市九年级考生中体育成绩为优秀的学生人数约有8352名. …………8分 ‎（1）首先根据：频数/总数 =频率，由表格A中的数据可以求出随机抽取部分学生的总人数，然后根据B中频率即可求解a，同时也可以求出b；‎ ‎（2）根据中位数的定义可以确定中位数的分数段，然后确定位置；‎ ‎（3）首先根据频率分布直方图可以求出样本中在40分以上（含40分）的人数，然后利用样本估计总体的思想即可解决问题．‎ ‎20.在一个不透明的口袋里装有四个分别标有1、2、3、4的小球，它们的形状、大小等完全相同．小明先从口袋里随机不放回地取出一个小球，记下数字为x；小红在剩下有三个小球中随机取出一个小球，记下数字y．‎ ‎（1）计算由x、y确定的点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上的概率；‎ ‎（2）小明、小红约定做一个游戏，其规则是：若x、y满足xy＞6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．这个游戏规则公平吗？说明理由；若不公平，怎样修改游戏规则才对双方公平．‎ ‎【答案】（1）；（2）不公平，游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）画树形图，展示所有可能的12种结果，其中有点（2，4），（4，2）满足条件，根据概率的概念计算即可； （2）先根据概率的概念分别计算出P（小明胜）和P（小红胜）；判断游戏规则不公平．然后修改游戏规则，使它们的概率相等．‎ ‎【详解】解：（1）画树形图：‎ 所以共有12个点：（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（2，3），（2，4），（3，1），（3，2），（3，4），（4，1），（4，2），（4，3），‎ 其中满足y=﹣x+6的点有（2，4），（4，2），‎ 所以点（x，y）在函数y=﹣x+6图象上概率=；‎ ‎（2）满足xy＞6的点有（2，4），（4，2），（4，3），（3，4），共4个；‎ 满足xy＜6点有（1，2），（1，3），（1，4），（2，1），（3，1），（4，1），共6个，‎ 所以P（小明胜）=；P（小红胜）=；‎ ‎∵≠，‎ ‎∴游戏规则不公平．‎ 游戏规则可改为：若x、y满足xy≥6，则小明胜；若x、y满足xy＜6，则小红胜．‎ ‎【点睛】本题考查了关于游戏公平性的问题：先利用图表或树形图展示所有可能的结果数，然后计算出两个事件的概率，若它们的概率相等，则游戏公平；若它们的概率不相等，则游戏不公平．‎ ‎21.今年“五一”假期，某数学活动小组组织一次登山活动.他们从山脚下A点出发沿斜坡AB到达B点，再从B点沿斜坡BC到达山顶C点，路线如图所示.斜坡AB的长为1000米，斜坡BC的长为200米，在C点测得B点的俯角为45°，已知A点海拔21米，C点海拔721米.‎ ‎(1)求B点的海拔；‎ ‎(2)求斜坡AB的坡角.‎ ‎【答案】(1)B点的海拔为521米；(2)斜坡AB的坡角为30°‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)过C作CF⊥AM,F为垂足,过B点作BE⊥AM，BD⊥CF,E、D为垂足,构造直角三角形ABE和直角三角形CBD,然后解直角三角形 ‎(2)求出BE的长,根据坡度的概念解答.‎ ‎【详解】(1)如图所示，过点C作CF⊥AM，F为垂足，过点B作BE⊥AM，BD⊥CF，E、D为垂足.‎ ‎∵在C点测得B点的俯角为45°，‎ ‎∴∠CBD=45°，又∵BC=200米，‎ ‎∴CD=400×sin30°=400×=200(米).‎ ‎∴B点的海拔为721－200=521(米).‎ ‎(2)∵BE=521－21=500(米)，AB=1000米，‎ 所以斜坡AB的坡角为30°‎ ‎【点睛】此题考查解直角三角形的应用-仰角俯角问题和解直角三角形的应用-坡度坡角问题，掌握运算法则是解题关键 ‎22.小明到一家批发兼零售的文具店给九年级学生购买考试用2B铅笔，请根据下列情景解决问题．‎ ‎（1）这个学校九年级学生总数在什么范围内？‎ ‎（2）若按批发价购买6支与按零售价购买5支的所付款相同，那么这个学校九年级学生有多少人？‎ ‎【答案】（1）40＜n≤300；（2）这个学校九年级学生有300人．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）设人数有n人，可得n+60＞300且n≤300，解不等式组可得；（2）设人数有x人，可得5•=6•，解分式方程可得.‎ ‎【详解】解：（1）设人数有n人，‎ n+60＞300，‎ n＞240，‎ n≤300，‎ ‎∴240＜n≤300；‎ ‎（2）设人数有x人，‎ ‎5•=6•，‎ x=300．‎ 这个学校九年级学生有300人．‎ ‎23.如图，在⊙O中，AB为直径，AC为弦．过BC延长线上一点G，作GD⊥AO于点D，交AC于点E，交⊙O于点F，M是GE的中点，连接CF，CM．‎ ‎(1)判断CM与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若∠ECF=2∠A，CM=6，CF=4，求MF的长．‎ ‎【答案】（1）CM与⊙O相切，理由见解析；（2）MF=．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接OC，如图，利用圆周角定理得到∠ACB=90°，再根据斜边上的中线性质得MC=MG=ME ‎，所以∠G=∠1，接着证明∠1+∠2=90°，从而得到∠OCM=90°，然后根据直线与圆的位置关系的判断方法可判断CM为⊙O的切线；‎ ‎（2）先证明∠G=∠A，再证明∠EMC=∠4，则可判定△EFC∽△ECM，利用相似比先计算出CE，再计算出EF，然后计算ME-EF即可．‎ ‎【详解】解:（1）CM与⊙O相切．理由如下：‎ 连接OC，如图，‎ ‎∵GD⊥AO于点D，‎ ‎∴∠G+∠GBD=90°，‎ ‎∵AB为直径，‎ ‎∴∠ACB=90°，‎ ‎∵M点为GE的中点，‎ ‎∴MC=MG=ME，‎ ‎∴∠G=∠1，‎ ‎∵OB=OC，‎ ‎∴∠B=∠2，‎ ‎∴∠1+∠2=90°，‎ ‎∴∠OCM=90°，‎ ‎∴OC⊥CM，‎ ‎∴CM为⊙O的切线；‎ ‎（2）∵∠1+∠3+∠4=90°，∠5+∠3+∠4=90°，‎ ‎∴∠1=∠5，‎ 而∠1=∠G，∠5=∠A，‎ ‎∴∠G=∠A，‎ ‎∵∠4=2∠A，‎ ‎∴∠4=2∠G，‎ 而∠EMC=∠G+∠1=2∠G，‎ ‎∴∠EMC=∠4，‎ 而∠FEC=∠CEM， ‎ ‎∴△EFC∽△ECM，‎ ‎∴，即，‎ ‎∴CE=4，EF=，‎ ‎∴MF=ME﹣EF=6﹣=．‎ ‎【点睛】本题考查了直线与圆的位置关系：设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离为d：直线l和⊙O相交⇔d＜r；直线l和⊙O相切⇔d=r；直线l和⊙O相离⇔d＞r．也考查了圆周角定理．‎ ‎24.为了扩大内需，让惠于农民，丰富农民的业余生活，鼓励送彩电下乡，国家决定对购买彩电的农户实行政府补贴．规定每购买一台彩电，政府补贴若干元，经调查某商场销售彩电台数y(台)与补贴款额(元)之间大致满足如图①所示的一次函数关系．随着补贴款额的不断增大，销售量也不断增加，但每台彩电的收益(元)会相应降低且与之间也大致满足如图②所示的一次函数关系．‎ ‎(1)在政府未出台补贴措施前，该商场销售彩电的总收益额为多少元？‎ ‎(2)在政府补贴政策实施后，分别求出该商场销售彩电台数和每台家电的收益与政府补贴款额之间的函数关系式；‎ ‎(3)要使该商场销售彩电的总收益(元)最大，政府应将每台补贴款额定为多少？并求出总收益的最大值．‎ ‎【答案】（1）该商场销售家电的总收益为800×200=160000（元）‎ ‎（2）根据题意设 y=k1x+800，Z=k2x+200‎ ‎∴400k1+800=1200，200k2+200=160‎ 解得k1=1，k2=-‎ ‎∴y=x+800，Z=-x+200．‎ ‎(3)W=yZ=（x+800）•（-x+200）=-（x-100）2+162000．‎ ‎∵-＜0，∴W有最大值．当x=100时，W最大=162000‎ ‎∴政府应将每台补贴款额x定为100元，总收益有最大值 其最大值为162000元．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）根据图示可得未出台政策之前台数为800台，每台的收益为200元；（2）利用待定系数法求出函数解析式；（3）利用二次函数的性质求出最值.‎ 试题解析：（1）销售家电的总收益为800×200=160000（元）；‎ ‎（2）依题意可设，,‎ ‎∴有解得 所以；‎ ‎（3）‎ ‎∴政府应将每台补贴款额定为100元，总收益最大值，其最大值为162000元． ‎ 考点：一次函数、二次函数的应用.‎ ‎25.如图1，A，B分别在射线OM，ON上，且∠MON为钝角，现以线段OA，OB为斜边向∠MON的外侧作等腰直角三角形，分别是△OAP，△OBQ，点C，D，E分别是OA，OB，AB的中点．‎ ‎ ‎ ‎(1)求证：四边形OCED为平行四边形；‎ ‎(2)求证:△PCE≌△EDQ ‎(3)如图2,延长PC,QD交于点R.若∠MON=150°,求证:△ABR为等边三角形．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)证明见解析 ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎（1）利用两边平行且相等证明即可 ‎（2）根据等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质得到∠PCE=∠EDQ,根据边角边公理证明即可;‎ ‎（3）连结RO,根据线段垂直平分线的判定定理和性质定理得到AR=OR=BR,根据等边三角形的判定定理证明即可.‎ ‎【详解】(1)∵C是AO中点，E是AB中点 ‎∴CE平行且等于AB ‎∵OD=AB，‎ ‎∴CE平行且等于OD，‎ ‎∴四边形OCED为平行四边形 ‎(2)证明:∵△OAP是等腰直角三角形,且点C是OA的中点,‎ ‎∴△PCA和△PCO都是等腰直角三角形,‎ ‎∴PC=AC=OC,∠PCO=90°‎ 同理:QD=OD=BD,∠QDO=90°‎ ‎∵四边形CODE是平行四边形 ‎∴CE=OD，ED=OC,‎ ‎∴ED=PC,QD=CE ‎∵CE∥ON.DE∥OM，‎ ‎∴∠ACE=∠AOD,∠BDE=∠AOD ‎∴∠ACE=∠BDE ‎∴∠OCE=∠ODE,‎ ‎∴∠OCE+∠PCO=∠ODE+∠QDO 即∠PCE=∠EDQ 在△PCE与△EDQ中 ‎ ‎ ‎∴△PCE≌△EDQ;‎ ‎(3)连结RO,‎ ‎∵△OAP和△OBQ均为等腰直角三角形,点C.D分别是OA、OB的中点 ‎∴PR与QR分别是OA,OB的垂直平分线 ‎∴AR=OR=BR ‎∴∠ARC=∠ORC,∠ORD=∠BRD ‎∵∠RCO=∠RDO=90°,∠COD=150°‎ ‎∴∠CRD=30°‎ ‎∴.∠ARB=60°‎ ‎∴△ARB是等边三角形．‎ ‎【点睛】此题考查等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质和线段垂直平分线的判定定理和性质定理，解题关键在于利用好各性质定理，作辅助线 ‎26.如图①,在平面直角坐标系中,ニ次函数的图像与坐标轴交于A,B,C三点,其中点A的坐标为(-3,0),点B的坐标为(4,0),连接AC,BC.动点P从点A出发,在线段AC上以每秒1个单位长度的速度向点C作匀速运动;同时,动点Q从点0出发,在线段OB上以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动,当其中一点到达终点时,另一点随之停止运动,设运动时间为t秒.连接PQ ‎（1）填空:b=_, c=_;‎ ‎（2）在点P,Q运动过程中,△APQ可能是直角三角形吗?请说明理由;‎ ‎（3）如图2,点N的坐标为,线段PQ的中点为H,连接NH,当点Q关于直线NH的对称点Q`恰好落在线段BC上时,请直接写出点Q`的坐标 ‎【答案】(1) ；(2) △APQ不可能是直角三角形,证明见解析；(3) Q′(，).‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)设抛物线的解析式为y=a(x+3)(x-4),将a=代入可得到抛物线的解析式,从而可确定出b、c的值 ‎(2)连结QC.先求得点C的坐标,则PC=5-t,依据勾股定理可求得AC=5,CQ=t+16,接下来,依据CQ-CP=AQ-AP列方程求解即可 ‎ (3)连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q.首先依据三角形的中位线定理得到EH= QO=t,RH∥OQ,NR=AP=t,则RH=NR,接下来,依据等腰三角形的性质和平行线的性质证明NH是∠QNQ`的平分线,然后求得直线NR和BC的解析式,最后求得直线NR和BC的交点坐标即可 ‎【详解】(1)设抛物线的解析式为y=a(+3)(x-4).将a=-代入得: ‎ ‎∴ ‎ ‎(2)在点P、Q运动过程中,△APQ不可能是直角三角形．‎ 理由如下:连结QC ‎∵在点P、Q运动过程中,∠PAQ、∠PQA始终为锐角,‎ ‎∴当△APQ是直角三角形时,则∠APQ=90°‎ 将x=0代入抛物线的解析式得：y=4‎ ‎∴C(0,4)‎ ‎∵AP=OQ=t ‎∴PC=5-t ‎∵在Rt△AOC中,依据勾股定理得:AC=5,在Rt△COQ中,依据勾股定理可知: CQ=t+16，‎ 在Rt△CPQ中依据勾股定理可知：‎ PQ=CQ-CP,在Rt△APQ中,AQ-AP=PQ ‎∴CQ-CP=AQ-AP,即 ‎(3+t)-t=t+16-(5-t),解得:t=4.5‎ ‎∵由题意可知:0≤t≤4‎ ‎∴t=4.5不和题意,即△APQ不可能是直角三角形．‎ ‎(3)如图所示:连结:OP,取OP的中点R,连结RH,NR,延长NR交线段BC与点Q`‎ ‎∵点H为PQ的中点,点R为OP的中点 ‎∴EH= QO=t, RH∥OQ ‎∵A(-3,0),N(-,0)‎ ‎∴点N为OA的中点 又∵R为OP的中点,‎ NR=AP=t ‎∴RH=NR,‎ ‎∴∠RNH=∠RHN ‎∵RH∥OQ,‎ ‎∴∠RHN=∠HNO ‎∴∠RNH=∠HNO,即NH是∠QNQ`的平分线.‎ 设直线AC的解析式为y=mx+n,把点A(3,0)、C(0,4)‎ 代入得: ‎ 解得: ，n=4‎ ‎∴直线AC的表示为：y=‎ 同理可求得直线BC的表达式为y=-x+4‎ 设直线NR的函数表达式为y=将点N的坐标代入得 ‎ ‎,解得:S=2‎ 直线NR的表述表达式为y=‎ 将直线NR和直线BC的表达式联立得 ‎ 解得:x=, y= ,‎ ‎∴Q`(,)‎ ‎【点睛】此题是二次函数的综合题，解题关键在于利用等腰三角形的性质和平行线的性质，勾股定理来解答