中考数学专题复习练习：二元一次方程组的拓展

中考数学专题复习练习：二元一次方程组的拓展

‎ 例 1 用两种不同的方法解方程组 解法1 由（1）得 （3）‎ ‎（3）代入（2）中，得 ‎ ，‎ 即 .‎ 解之，得 ‎ 代入（3）中，得 .‎ ‎∴ 原方程组的解是 解法2 由（2）得，‎ ‎∴ 或.‎ ‎∴ 原方程组可化为两个二元一次方程组 ‎∴ 原方程组的解是 说明：解法1是代入消元法，具体思维过程是：先消元，再把原方程组转化为一元二次方程；解法2是分解因式法，具体思维过程是：先降次，再把原方程组转化为两个二元一次方程组.两种解法，各有千秋，但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.‎ 例2 解方程组：‎ 分析：一些含有、、‎ 的二元二次方程组，除可以且代入法来解外，往往还可以利用根与系数的关系，将解二元二次方程组化为解一元二次方程的问题.有时，后者显得更为简便.‎ 解法1 由（1）得 ， （3）‎ 由（3）代入（2），整理，得 ‎.‎ 解得 .‎ 把分别代入（3），得 ‎.‎ ‎∴ 原方程组的解是 解法2 把、看作一元二次方程的根 解得 .‎ ‎∴ 原方程组的解是 解法1 由（2）得：. （3）‎ 把（3）代入（1），整理，得 解得 .‎ 把分别代入（3），得 ‎.‎ ‎∴ 原方程组的解是 解法2 把（2）式左右两边平方得：‎ ‎， （3）‎ ‎（3）－（1）得，‎ 即 ‎ 把x、y看作方程的根，‎ 解得 .‎ ‎∴ 原方程组的解是 说明：显然，此处（1）、（2）题中解法二都比解法一快捷、简便，但要求能较好地理解一元二次方程根与系数的关系及熟练掌握、、、之间的运算关系.‎ 例 3 为何值时，方程组 有两个不同的实数解？有两个相同的实数解？‎ 分析：将一次方程代入二次方程，将之化为关于的一元二次方程来解之.‎ 解：‎ 由（2），得 ‎ （3）‎ 将（3）代入（1），得 即 ， （4）‎ ‎∵ 当，即，即或时，方程（4）有两个不相等的实根，所以方程组有两组不同的实数解.‎ 因为当，即，即时，方程（4）有两个相等的实根，所以方程组有两组相同的实数解.‎ 说明：方程组相同的实数解，应看作一组解.‎ 例4 A、B两地间的路程为36千米.甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.‎ 解：设甲、乙的速度分别为x千米/时，y千米/时，根据题意，得 解方程组，得 答：略.‎ 说明：（2）式实际上是一个二元二次方程，即.‎ 典型例题五 例 解方程组 分析：用代入法求解。‎ 解 由（2），得（基本方法）（3）‎ 将（3）代入（1），得 整理，得，.‎ 将代入（3），得 原方程的解为 说明：上述解法属一般方法。如果仔细观察方程组的特点，会发现另一种解法，即把方程（1）化为，结合（2），从而得到，这样，原方程就转化为一个二元一次方程组，即其解法如下：‎ 由（1），得（4）‎ 将（2）代入（4），得，于是组成新方程组，即 解这个方程组，得 原方程组的解是 典型例题六 例 解方程组 ‎ 分析：因为，成轮换对称，故可逆用根与系数的关系构造一元二次方程解之.‎ ‎ 解 把，看成的一元二次方程 ‎ （构造新的一元二次方程）‎ ‎ 的两根，当时，方程有两组不同的解：‎ ‎ ‎ ‎ 当时，方程组有两组相同的解：‎ ‎ ‎ 当时，方程组无实数解.‎ 说明：本例属于具有特征的方程组，上述解法是把根与系数式的运用与解方程组结合起来，展示了知识间的内在联系.若从另一角度出发，得如下解法.‎ ‎，（能否直接开方？）‎ 当时，得 或 解之，得或 当时，得 ‎.‎ 当时，原方程组无实数解.‎ 典型例题七 例 为何值时，方程组 ‎（1）有两组相等的实数解，并求此解；‎ ‎（2）有两组不相等的实数解；‎ ‎（3）没有实数解.‎ 分析：利用代入法求解.‎ 解 由原方程组 把（1）代入（2），整理，得 ‎（注意取值）‎ ‎.‎ ‎（1）当时方程有两组相等的实数解，即时方程组有两组相等的实数解.‎ 将代入原方程组得 解之，得 即当时原方程组有两组相等的实数解，其解为 ‎（2）当时，方程组有两组不相等实数解，解得且，此时方程组有两组不相等实数解.‎ ‎（3）当时，即时，方程组无解.‎ 说明：本题是将方程组转化为一元二次方程后利用，，讨论的，并注意一元二次方程中的系数不等于0的条件.‎ 典型例题八 例 （安徽省试题，2002）解方程组 分析：方程组中有一个一元一次方程，常常用代入法求解。‎ 解：联立方程组，得 ‎ 把（1）代入（2）并整理，得：‎ 解这个一元二次方程，得 ‎， ‎ 将的值分别代入（2），得 ‎， ‎ 所以原方程组解为 ‎ 选择题 ‎1．下列方程组中，是二元二次方程组的有（ ）‎ ‎ （A）1个；（B）2个；（C）3个；（D）4个.‎ ‎2．由方程组消去y，整理后得到的方程是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎3．若则x、y的值是（ ）‎ ‎（A） （B）‎ ‎（C）或 （D）或 ‎4. 方程组的解是（）.‎ ‎① ② ③ ④‎ A．①和② B．③和④ C．①和③ D．②和④‎ ‎5. 方程组的解的个数是（）.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6. 如果方程组的一组解为，那么、的值为（）‎ A． B． C． D．‎ ‎7. 若是一方程组的一组解，那么另一组解为（）.‎ A． B． C．不存在 D．不确定 ‎8．若是方程组的一组解，那么这个方程的另一组解是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）不能确定.‎ ‎9．方程组有两组相等的实数解，则m的取值是（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ 答案：‎ ‎1．B；2．C；3．D；4. A; 5. B; 6. B ; 7. B ;8．A ; 9．C. ‎ 填空题 ‎1. 若关于，的方程组有两个相等的实数解，则__________.‎ ‎2. 已知是方程的两个解，则，值分别为________.‎ 答案：‎ ‎1. ; 2. ，.‎ 解答题 ‎1．解下列方程组 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎2．解下列方程组：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎3．解下列方程组：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎4．为何值时，下列方程组有两组相等的实数解？‎ ‎（1） （2）‎ ‎5．m为何值时，方程组有两组相等实数解？求出这时方程组的解.‎ ‎6．已知直角三角形的面积为，斜边上的中线长6.5cm，求这个直角三角形的两条直角边的长.‎ ‎7．已知x、y满足方程组求作以x、y为根的一元二次方程.‎ 答案：‎ ‎1．（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎2．（1）（2）（3）‎ ‎（4）（5）（6）‎ ‎3．（1）（2）（3）（4）‎ ‎（5）（6）不符合原方程组，舍去。‎ ‎4．（1）；（2）.‎ ‎5．时， 时 ‎6．设两直角边为a、b，则 解得 .‎ 答：两直角边长分别为5cm，12cm.‎ ‎7．原方程组可化为 得 或.从而得所求方程为：或.‎ 例1 解方程组 分析：这是由两个二元二次方程组成的方程组，系数没有显著的特征，故我们思维的合理起点是设法把其中一个分解因式.‎ 解：由（1），得 ‎∴ 或 ‎∴ 原方程组可化为两个方程组：‎ 解之得原方程组的解为 说明：此题解法是分解因式法.把其中的一个方程通过分解因式达到降次之目的，从而使原方程组转化为等价的两个方程组，可收化难为易的之功效.‎ 例2 解方程组 分析：两方程含x项的系数对应成比例，故可用消元法解之.‎ 解：（1）－2·（2），得 ‎∴ 或.‎ 原方程组可化为两个方程组 解之得原方程组的解为 例 3 解方程组 分析：可将（2）化为，‎ 则原方程组可化为 或 解之，得 典型例题四 例 二元二次方程组（不需求解）‎ 的解有（）‎ ‎（A）4组 （B）3组 （C）2组 （D）1组 分析：本题是判断方程组有多少组解，由于方程（1）、（2）都是二元二次方程，它最多有4组解，下面通过求解做出判断.‎ 解 由（1），得 或.‎ 由（2），得 或.‎ 原方程组可化为以下四个方程组：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 故原方程组有四组实数解，选A.‎ 说明：判断二元二次方程组的解的组数问题是中考中的一种新题型，其思考方法是通过初步求解做出准确判断.‎ 典型例题五 例 已知方程组 有实数解，试确定的取值范围.‎ 分析：将方程组进行配凑，形成平方形式，利用非负性解之.‎ 解 将，得 即 两个等式左边均为非负，故 ‎，.‎ 解之，得，即为所求的取值范围.‎ 说明：利用非负性确定字母参数的取值范围是一种常见的解法.‎ 典型例题六 例 解方程组 分析：观察发现方程（1）的右边为零，而左边可以因式分解，从而可达到降次的目的.方程（2）左边是完全平方式，右边是1，将其两边开方也可以达到降次的目的.‎ 解：由（1）得 或.‎ 由（2）得（不能漏解）‎ 或 原方程组可化为以下四个方程组：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 解这四个方程组，得原方程组的四个解是：‎ ‎ ‎ 说明：要注意避免增解或漏解.‎ 典型例题七 例 解方程组 分析：观察发现，方程（2）可以看作是关于的一元二次方程，因此可分解为，由此可得到两个二元一次方程和，这两个二元一次方程分别和方程（1）组成方程组，求解便得原方程组的解。‎ 解 由（2）得.‎ 或.‎ 原方程组可化为两个方程组：‎ 解之，得 原方程组的解为 选择题 ‎1．的解的组数共有（ ）.‎ ‎（A）2 （B）3 （C）4 （D）1‎ ‎2．方程组的解是（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎3．已知是方程组的解，则（ ）.‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎4. 在下列方程组中，解为方程组的解的方程组为（）‎ ‎①②③④‎ A．①和② B．①、②和③ C．①和③ D．①、②、③、④‎ ‎5. 方程组的解的个数为（）.‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎6.二元二次方程组的解有（）.‎ A．4组 B．3组 C．2组 D．1组 ‎7. 解方程组时，（2）可先化为_______和两个方程（）.‎ A． B． C． D．.‎ 答案：‎ ‎1．C；2．A；3．D. 4. D 5. D 6. A 7. A.‎ 填空题 ‎1．方程组的解是 .‎ ‎2．方程组的解是 .‎ ‎3．方程组的解是 .‎ ‎4. 方程组的解是_________.‎ ‎5. 方程组的解是_________.‎ ‎6. 方程组可以转化为二元一次方程组________.‎ ‎7. 把方程分解为两个二元一次方程为_________.‎ ‎8. 把下列方程化为两个一次方程：‎ ‎①可化为________.‎ ‎②可化为_________.‎ ‎9. 解方程组先将方程（1）化为两个二元一次方程______这样，原方程组可化为两个方程组_________.‎ ‎10.解方程组的最好方法是将两个方程都分解因式，那么原方程组可化为_______方程组来解.‎ ‎11.由二元二次方程组可化成的二元一次方程组是________个.‎ ‎12. 如方程组的一个解是则=_________.‎ 答案：‎ ‎1．‎ ‎2．3．‎ ‎4. 5. 无解 6. ‎ ‎7. ， 8. ①和②‎ 或9.，‎ ‎10.四个 11. 四 12. ，7.‎ 解答题 ‎1．解方程组：‎ ‎（1）（2）‎ ‎（3）‎ ‎2．已知方程组有实数解，求的范围。‎ ‎3．已知关于，的方程组 ‎（1）把方程（2）化为两个二元一次方程 ‎（2）设是原方程组的一个解，试求和的值；‎ ‎（3）若与是原方程组的两个解，并且，试求的值。‎ ‎4．长方形场地周长，对角线比长多，求场地面积。‎ 答案：‎ ‎1．（1）（2）‎ ‎（3）‎ ‎2．.‎ ‎3．（1），（2），（3）.‎ ‎4．.‎ 单元测试A卷 ‎1．选择题（四选一）‎ ‎（1）方程是关于的一元二次方程，则的值不能是（ ）；‎ A．0 B． C． D．‎ ‎（2）方程的解是（ ）；‎ A． B．‎ C． D．无解 ‎（3）方程的解是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（4）如果方程有增根，那么增根可能是（ ）；‎ A．0 B．9 C． －9 D．3或－3‎ ‎（5）若关于的方程有两个相等的实根，则的值是（ ）；‎ A．－4 B．4 C．4或－4 D．2‎ ‎（6）如果关于的方程没有实数根，那么的最大整数值是（ ）；‎ A．－3 B．－2 C．－1 D．0‎ ‎（7）以和为根的一元二次方程是（ ）；‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎（8）如果关于的方程和有相同的实根，那么的值是（ ）；‎ A．－7或4 B．－4 C．－7 D．4‎ ‎（9）把方程的左边配成完全平方，正确的变形是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎（10）在实数范围内分解因式的结果是（ ）；‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎（11）已知关于的方程的两根互为相反数，则的值是（ ）；‎ A．5 B．－3 C．5或－3 D．1‎ ‎（12）以墙为一边，用13米长的绳子作另外三边围成一个面积是20平方米的场地，那么这场地的长和宽是（ ）.‎ A．8米，2.5米或5米，4米 B．8米，2.5米 C．5米，4米 D．10米，2米 ‎2．填空题 ‎（1）方程的解是 ；‎ ‎（2）若分式的值是零，则；‎ ‎（3）已知方程的两根是，则；‎ ‎（4）关于x的方程有两个不相等的实数根，则；‎ ‎（5）一个正的两位数，个位数字比十位数大2，个位数字与十位数字的积是24，则这个两位数是 .‎ ‎3．解下列方程或方程组：‎ ‎4．列方程解应用题：‎ ‎（1）某油库的储油罐有甲、乙两个注油管，单独开放甲管注满油罐比单独开放乙管注满油罐少用4小时，两管同时开放3小时后，甲管因发生故障停止注油，乙管继续注油9小时后注满油罐，求甲、乙两管单独开放注满油罐各需多少小时？‎ ‎（2）甲、乙二人分别从相距20千米的A、B两地以相同的速度同时相向而行，相遇后，二人继续前进，乙的速度不变，甲每小时比原来多走1千米，结果甲到达B地后乙还需30分钟才能到达A地，求乙每小时走多少千米？‎ ‎5．‎ 已知关于x的方程.‎ ‎（1）求证方程有实数根；‎ ‎（2）若方程有两个实数根，且两根平方和等于3，求m的值.‎ ‎6．‎ 已知关于x的方程中的m为不小于0的整数，并且它的两实根的符号相反，求m的值，并解方程.‎ 参考答案 A卷 ‎1．(1) C；(2) B；(3) C；(4) D；(5) B；(6) A；(7) A；(8) D；(9) C；(10) D；(11) B；(12) A.‎ ‎2．（1）；（2）3；（3）；（4）；（5）46.‎ ‎3．（1）；（2）（增根）；（3）；（4）.‎ ‎4．（1）甲管需12小时，乙管需16小时；（2）每小时4千米.‎ ‎5．（1）时，方程有一个实根；时，.方程有两个不等实根，综上所述，m为任意实数时，方程均有实根.（2）.‎ ‎6．时，（提示：由和，求出m的整数值是0或1，当时，求出方程的两根符合题意；当时，方程的两根积，两根同号，不符合题意，∴ 舍去）.‎