中考数学专题复习练习：二次函数经典例题与习题

中考数学专题复习练习：二次函数经典例题与习题

例 1如图，苗圃的形状是直角梯形ABCD，AB∥DC，BC⊥CD．其中AB，AD是已有的墙，∠BAD＝135°，另外两边BC与CD的长度之和为30米，如果梯形的高BC为变量x(米)，梯形面积为y(米2)，则y与x的关系式是______．‎ 解：作AE⊥CD于点E，则有因为∠BAD＝135°，则∠ADC＝45°．‎ 例2 化工厂在一月份生产某种产品200吨，三月份生产y吨，则y与月平均增长率x(自变量)的关系是______．‎ 解：一月份为 200吨，二月份为 200x＋200＝200(x＋1)，三月份为 200(x＋1)x＋200(x＋1)＝200(x＋1)(x＋1)＝ 200(x＋1)2．‎ 所以y＝200(x＋1)2．即y＝200x2＋400x＋200．‎ 例 3已知抛物线y＝ax2经过点A(-2，-8)．‎ ‎(1)判断点B(-1，-4)是否在此抛物线上；‎ ‎(2)求出此抛物线上纵坐标为-6的点的坐标．‎ 分析：因为y＝ax2中只有一个待定系数a，所以有一个条件就可求出a，从而求出此抛物线的函数式．‎ 解：(1)把(-2，-8)代入y＝ax2，得-8＝a(-2)2，解出a＝-2，所求函数式为y＝-2x2，‎ ‎　　因为-4≠-2(-1)2，所以点B(-1，-4)不在此抛物线上； ‎ ‎　　 ‎ 典型例题四 例 若是二次函数，求的值.‎ ‎ 解：因为是二次函数，‎ ‎ 所以 ‎ 所以是二次函数，则值为2.‎ 说明：此题根据二次函数的定义，只要满足且即可.解题时不要忽略隐含条件.‎ 典型例题五 例 已知函数是关于的二次函数，求：‎ ‎（1）满足条件的值；‎ ‎（2）为何值时，抛物线有最低点？求出这个最低点，这时当为何值时，随增大而减小.‎ 分析：根据二次函数的定义，确定的值.‎ 解：（1）根据题意 ‎ 所以当或时，已知函数为二次函数.‎ ‎（2）若抛物线有最低点，则抛物线开口向上，所以且，解得.‎ 因为最低点为抛物线顶点.‎ 所以最低点坐标是（0，0）. 当时，随增大而减小.‎ 说明：此题不但考查二次函数的定义，还考查二次函数的性质，比上题增加一些难度.当时，二次函数有最高点；当时，二次函数有最低点.‎ 典型例题六 例 底面是正方形且边长为，高为的长方体体积为.‎ ‎（1）求与之间的函数关系式；‎ ‎（2）画出图像；‎ ‎（3）根据图像，求出为何值时，.‎ 解：（1）与函数关系式为（）；‎ ‎（2）列表 a ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎0.5‎ ‎2‎ ‎4.5‎ 图像如图13-19‎ ‎（3）根据图像得当时，.‎ 说明：在实际问题中应注意自变量的取值范围要符合题意要求，所以正方形边长的取值范围.‎ 典型例题七 例 如图所示，在矩形中，，，，且，是方程的两个根.是上的一动点，动点在或其延长线上，，以为一边的正方形为，点从点开始沿射线方向运动，设，正方形与矩形重叠部分的面积为.‎ ‎（1）求和；‎ ‎（2）分别求出和时，与之间的函数关系式；‎ ‎（3）在同一坐标系画出（2）中函数的图像.‎ 分析：(1) 因为，是方程的两个根，解方程即可得. 因为点是上的一个动点，，当点从沿着方面运动时，正方形与矩形重叠部分不断发生变化，可借助于(2)中的图分析.‎ 解：（1）因为，（）是方程 的两个根，故解得 ‎，‎ ‎ （2）因为点是上的一个动点，，当点从沿着方面运动时，正方形与矩形重叠部分不断发生变化，可借助于下图分析：‎ 当时，重叠部分的正方形的边长从0到最大边长2，不断发生变化，则可得；‎ 当时，重叠部分的正方形立即转化为矩形，而重叠部分的矩形面积即.‎ 由此可见，当数发生一定的变化时，对应的几何图形也发生了“质”的变化，当点在上沿方向运动时，点一离开点，重叠部分的正方形边长就不为0；点与中点重合时，正方形面积最大；点沿方向运动一旦离开中点时，重叠部分的图形由正方形就立即转化为矩形了；点与点重合时，重叠部分面积为0.‎ ‎（3）根据，，画出图像如下图所示.‎ 说明：本题是一道综合性较强的题目，分析第二小题时，要借助于上面的图形分析，使问题迎刃而解．‎ 典型例题八 例 函数与直线交于点，求：‎ ‎（1）和的值；‎ ‎（2）求抛物线的解析式，并求顶点坐标和对称轴；‎ ‎（3）取何值时，二次函数中随的增大而增大；‎ ‎（4）求抛物线与直线的两交点及顶点所构成的三角形的面积。‎ 分析：两曲线的交点坐标，一定同时满足两曲线的解析式，代入求得．‎ 解：（1）将，代入，解得.‎ ‎ 所以交点坐标是，再将，代入，解得，所以，.‎ ‎（2）抛物线的解析式为，顶点坐标为，对称轴为直线（即轴）；‎ ‎（3）当时，随的增大而增大；‎ ‎（4）设直线与抛物线相交于，两点.‎ 由 解得，‎ 所以，（为中边中点），‎ 所以 说明：因为轴上的点中横坐标都等于0，所以用直线表示轴.同理，用直线表示轴.‎ 典型例题九 例 如图所示，直线过和两点，它与二次函数的图像在第一象限内相交于点，若的面积为，求二次函数的解析式.‎ 分析：确定二次函数的解析式，只需根据已知条件求出的值.要求，需要知道二次函数上的一个点的坐标，只有点. 再利用三角形的面积为，去求点的坐标．‎ ‎ ‎ 解：设为.‎ ‎ 因为过 和，‎ ‎ 所以 即 ‎ 所以直线的解析式为 ‎ 因为 即，‎ ‎ 所以.‎ ‎ 因为点在上，所以，‎ ‎ 解得 .‎ ‎ 又因为点在抛物线上，‎ ‎ 所以，解得，‎ ‎ 所以二次函数的解析式.‎ 说明：求二次函数的解析式，只需根据题目的已知条件，求出的值即可．‎ 典型例题十 例 下列解析式中，哪些是二次函数式？‎ ‎　　‎ 分析：必须是整式才能谈“次数”．其中(1)，(2)是分式，(5)是无理式，所以都不是二次函数．(6)是四次函数，(4)展开整理后是 y＝3x，是一次函数，所以只有(3) ‎ 填空题 ‎1．填空：已知二次函数 y=-x2; ①　　  ;②‎ y=15x2;③       y=-4x2;④‎ ‎　;  ⑤   y=4x2.⑥‎ ‎(1)其中开口向上的有_______(填题号)；‎ ‎(2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；‎ ‎(3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________(填题号).‎ ‎2．函数当时，函数解析式为________，其图像是_____，对称轴是______，顶点坐标是______。‎ ‎3．函数的图像是一条关于_______对称的曲线，这条曲线叫_________。‎ ‎4．函数的图像是开口向_______，对称轴是________，顶点坐标是_______，图像有最______点，其坐标为________，当____0时，随增大而增大，当____0时，随增大而减小。‎ ‎5．函数的图像开口向_______，对称轴是______，顶点坐标是______，图像有最____点，其坐标为_______，当______时，随增大而增大，当______时，随增大而减小。‎ ‎6．已知函数，当=______时，它的图像是开口向上的抛物线，当=______时，它的图像是开口向下的抛物线。‎ ‎7．当=_______时，是二次函数，它的图像开口向______。‎ ‎8．若二次函数的图像开口方向向上，则应满足的条件是_______。‎ ‎9．如果的图像上的点在第一、二象限内和原点，则______。‎ ‎10．设函数，当等于______时，它的图像是一条直线；当等于______时，它的图像是抛物线。‎ ‎11．已知二次函数的图像经过点，则这个二次函数为________。‎ ‎12．在函数中，若，则______。‎ ‎13．二次函数的图像过点，那么的值是_______。‎ ‎14．已知点在抛物线上，则值是_______，此抛物线经过点，，中的_______。‎ ‎15．函数的图像必经过_____点。‎ ‎16．把图中图像号填在它解析式后面：‎ 的图像为______，的图像为_______。的图像为_______，的图像为_______。‎ 答案：‎ ‎1．略 2．，抛物线，轴，（） 3．轴，抛物线 4．上，轴，（），低，（），， 5．下，轴，（），高，（），， 6．1， 7．，下 8． 9． 10．0，或 11． 12． 13．或 14．1，， 15．原 16．③，①，④，② .‎ 解答题 ‎1．下列各函数中，哪是正比例函数?哪是一次函数?哪是二次函数?‎ ‎　　‎ ‎ 答： 其中是正比例函数的有______(填题号)；‎ ‎     其中是一次函数的有______(填题号)；‎ ‎          其中是二次函数的有______(填题号).‎ ‎2．正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y，求y与x之间的函数关系.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　3.m是什么值时，函数是关于x的二次函数?‎ ‎4.已知函数y=ax2+bx+c.‎ ‎　　(1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数?‎ ‎　　(2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数?‎ ‎　　(3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?‎ ‎5. 已知函数y=ax2的图象过点.求此图象上纵坐标为时的点的坐标 .‎ ‎6．画出函数的图像，并回答下列问题：‎ ‎（1）图像在第几象限？‎ ‎（2）随的变化，如何变化？‎ ‎（3）函数图像与交点坐标是什么？‎ ‎7．已知抛物线经过点，求抛物线解析式。‎ ‎8．求直线与抛物线的交点坐标。‎ ‎9．已知抛物线和一次函数的图像都经过，直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，且.求二次函数及一次函数的解析式。‎ ‎10．设直线与抛物线的两个交点的横坐标分别为和，且直线与轴的交战的横坐标为，求证：.‎ ‎11．如图13-28，已知抛物线上的点，与轴上的点，构成平行四边形，与轴交于点，求常数的值及所在直线的方程。‎ 答案：‎ ‎1. 略 2. 3. m=1 4. 略 5. .‎ ‎6．图像略.（1）第三象限；（2）当增大时增大；（3）（），（）‎ ‎7．[提示：抛物线经过点，所以.‎ 所以所求抛物线解析式为。]‎ ‎8．（），（）[提示：解方程组得或 所以直线与抛物线的交点为（）和（）.]‎ ‎9．；或 ‎[提示；因为函数经过点，所以，‎ 所以，所以二次函数解析式为；‎ 而函数经过点，则 因为直线与轴，轴正半轴交于，，‎ 所以，，因为，.‎ 所以，又因为，所以.‎ 由 解得 ‎ 所以一次函数解析式为或.]‎ ‎10．[提示：由题意 由（2）－（1）得，由（4）－（3）得.‎ 因为，是方程的两个根，‎ 所以，.‎ 所以.由题意得，‎ 直线与轴的交点横坐标为，‎ 所以，得.即，‎ 从而，命题得证。]‎ ‎11．，[提示：因为平行四边形，所以即平行于轴，又因为与轴交于，且关于轴对称，所以设，坐标分别为（‎ ‎）（），又因为，所以.‎ 所以.所以.所以如图所示位置中，，把代入，解得.设所在直线解析式为，因为，，所以解得 所以所在直线方程为.]‎ ‎1、 已知a≠0,b<0，一次函数是y=ax+b，二次函数是y=ax2，则下面图中，可以成立的是（  ）‎ ‎2、填空：已知二次函数 y=-x2; ①　　  ;②‎ ‎　　y=15x2;③       y=-4x2;④‎ ‎　　;  ⑤   y=4x2.⑥‎ ‎   (1)其中开口向上的有_______(填题号)；‎ ‎　 (2)其中开口向下且开口最大的是________(填题号)；‎ ‎   (3)当自变量由小到大变化时，函数值先逐渐变大，然后渐变小的有________(填题号).‎ 答案与提示：‎ ‎1、C 2、略 ‎ ‎1、正方形边长是3，若边长增加x，则面积增加y，求y与x之间的函数关系.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2、m是什么值时，函数是关于x的二次函数?‎ ‎3、已知函数y=ax2+bx+c.‎ ‎　　(1) 当a,b,c是怎样的数时，它是正比例函数?‎ ‎　　(2) 当a,b,c是怎样的数时，它是一次函数?‎ ‎　　(3) 当a,b,c是怎样的数时，它是二次函数?‎ ‎4.已知函数y=ax2的图象过点.求此图象上纵坐标为时的点的坐标 .‎ 答案与提示：‎ ‎1、 2、m=1 3、略 4、.‎