2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题13 二次函数(含解析)

2020年全国中考数学试卷分类汇编(一)专题13 二次函数(含解析)

二次函数 ‎ 一.选择题 ‎1.（2020•广东省•3分）把函数y=（x﹣1）2+2的图象向右平移1个单位长度，平移后图象的函数解析式为 A．y=x2+2   B．y=（x﹣1）2+1 ‎ C．y=（x﹣2）2+2  D．y=（x﹣1）2+3‎ ‎【答案】C ‎【解析】左加右减，向右x变为x-1，y=（x﹣1﹣1）2+2y=（x﹣2）2+2  ．‎ ‎【考点】函数的平移问题．‎ ‎2.（2020•广东省•3分）如题10图，抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=1．下列结论：①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0．其中正确的结论有 A．4个   B．3个   C．2个   D．1‎ ‎【答案】B ‎【解析】由a＜0，b＞0，c＞0可得①错误；由△＞0可得②正确；由x=-2时，y＜0可得③正确．当x=1时，a+b+c＞0，当x=-2时，4a-2b+c＞0即-4a+2b-c＞0，两式相减得5a-b+2c＞0，即5a+2c＞b，∵b＞0，∴5a+b+2c＞0可得④正确．‎ ‎【考点】二次函数的图象性质．‎ ‎3.（2020•贵州省安顺市•3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）‎ A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x 的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，‎ ‎∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，‎ 又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．‎ ‎∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，‎ ‎∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，‎ ‎∴这两个整数根是﹣4或2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．‎ ‎4.（2020•广西省玉林市•3分）把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，若（m﹣1）a+b+c≤0，则m的最大值是（　　）‎ A．﹣4 B．0 C．2 D．6‎ ‎【分析】根据关于x轴对称的点的坐标特征得出原二次函数的顶点为（1，﹣4a），即可得出原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，和y＝ax2+bx+c比较即可得出b＝﹣2a，c＝﹣3a，代入（m﹣1）a+b+c≤0，即可得到m≤6．‎ ‎【解答】解：∵把二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象作关于x轴的对称变换，所得图象的解析式为y＝﹣a（x﹣1）2+4a，‎ ‎∴原二次函数的顶点为（1，﹣4a），‎ ‎∴原二次函数为y＝a（x﹣1）2﹣4a＝ax2﹣2ax﹣3a，‎ ‎∴b＝﹣2a，c＝﹣3a，‎ ‎∵（m﹣1）a+b+c≤0，‎ ‎∴（m﹣1）a﹣2a﹣3a≤0，‎ ‎∵a＞0，‎ ‎∴m﹣1﹣2﹣3≤0，即m≤6，‎ ‎∴m的最大值为6，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，作关于x 轴的对称的点的坐标特征，二次函数的图象与几何变换，得到b＝﹣2a，c＝﹣3a是解题的关键．‎ ‎5（2020•湖北襄阳•3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．‎ ‎【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，‎ ‎∴a＞0，c＜0，‎ ‎∴ac＜0，结论①正确；‎ ‎②∵抛物线对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴﹣＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a，‎ ‎∵抛物线经过点（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c＝0，‎ ‎∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；‎ ‎③∵抛物线与x轴由两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；‎ ‎④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．‎ ‎6.（2020•湖北孝感•3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2‎ ‎，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）‎ A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2‎ ‎【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，‎ ‎∴抛物线C1的顶点为（1，2），‎ ‎∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，‎ ‎∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），‎ ‎∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，‎ ‎∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），‎ ‎∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．‎ ‎7（2020•湖南省常德•3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，故①正确，‎ 由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，‎ ‎∴﹣＝2，‎ ‎∴4a+b＝0，故②正确，‎ 由图象知，抛物线开口方向向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵4a+b＝0，‎ ‎∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，故③正确，‎ 由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，‎ ‎∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，‎ 即正确的结论有3个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．‎ ‎8 （2020•湖南省长沙市·3分）“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：p＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（　　）‎ A．3.50分钟 B．4.05分钟 C．3.75分钟 D．4.25分钟 ‎【分析】将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，可得函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，再根据加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标，求出即可得结论．‎ ‎【解答】解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系p＝at2+bt+c中，‎ ‎，‎ 解得，‎ 所以函数关系式为：p＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，‎ 由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：‎ t＝﹣＝﹣＝3.75，‎ 则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．‎ ‎9. （2020•湖南省株洲市·4分）二次函数y＝ax2+bx+c，若ab＜0，a﹣b2＞0，点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数的图象上，其中x1＜x2，x1+x2＝0，则（　　）‎ A．y1＝﹣y2 B．y1＞y2 ‎ C．y1＜y2 D．y1.y2的大小无法确定 ‎【分析】首先分析出a，b，x1的取值范围，然后用含有代数式表示y1，y2，再作差法比较y1，y2的大小．‎ ‎【解答】解：∵a﹣b2＞0，b2≥0，‎ ‎∴a＞0．‎ 又∵ab＜0，‎ ‎∴b＜0，‎ ‎∵x1＜x2，x1+x2＝0，‎ ‎∴x2＝﹣x1，x1＜0．‎ ‎∵点A（x1，y1），B（x2，y2）在该二次函数y＝ax2+bx+c的图象上，‎ ‎∴，．‎ ‎∴y1﹣y2＝2bx1＞0．‎ ‎∴y1＞y2．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征和函数值的大小比较，判断出字母系数的取值范围是解题的关键．‎ ‎10（2020•黑龙江省哈尔滨市•3分）将抛物线y＝x2向上平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的拋物线为（　　）‎ A．y＝（x+3）2+5 B．y＝（x﹣3）2+5 C．y＝（x+5）2+3 D．y＝（x﹣5）2+3‎ ‎【分析】根据“上加下减，左加右减”的原则进行解答即可．‎ ‎【解答】解：由“上加下减”的原则可知，将抛物线y＝x2向上平移3个单位所得抛物线的解析式为：y＝x2+3；‎ 由“左加右减”的原则可知，将抛物线y＝x2+3向右平移5个单位所得抛物线的解析式为：y＝（x﹣5）2+3；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键．‎ ‎11（2020•黑龙江省牡丹江市•3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴正半轴交于A，B两点，与y轴负半轴交于点C．若点B（4，0），则下列结论中，正确的个数是（　　）‎ ‎①abc＞0；‎ ‎②4a+b＞0；‎ ‎③M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，若0＜x1＜x2，则y1＞y2；‎ ‎④若抛物线的对称轴是直线x＝3，m为任意实数，则a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m）；⑤若AB≥3，则4b+3c＞0．‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【分析】根据图象得出a＜0，c＜0，b＞0，可判断①；再由图象可得对称轴在直线x＝2右侧，可得，可判断②；再根据二次函数在y轴右侧时的增减性，判断③；根据抛物线对称轴为直线x＝3，得出b＝﹣6a，再利用作差法判断④；最后根据AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，得出a+b+c≥0，再由当x＝4时，得出16a+4b+c＝0，变形为a＝，代入，可得4b+5c≥0，结合c的符号可判断⑤．‎ ‎【解答】解：如图，抛物线开口向下，与y轴交于负半轴，对称轴在y轴右侧，‎ ‎∴a＜0，c＜0，，∴b＞0，‎ ‎∴abc＞0，故①正确；‎ 如图，∵抛物线过点B（4，0），点A在x轴正半轴，‎ ‎∴对称轴在直线x＝2右侧，即，‎ ‎∴，又a＜0，∴4a+b＞0，故②正确；‎ ‎∵M（x1，y1）与N（x2，y2）是抛物线上两点，0＜x1＜x2，‎ 可得：抛物线y＝ax2+bx+c在上，y随x的增大而增大，‎ 在上，y随x的增大而减小，‎ ‎∴y1＞y2不一定成立，故③错误；‎ 若抛物线对称轴为直线x＝3，则，即b＝﹣6a，‎ 则a（m﹣3）（m+3）﹣b（3﹣m）＝a（m﹣3）2≤0，‎ ‎∴a（m﹣3）（m+3）≤b（3﹣m），故④正确；∵AB≥3，则点A的横坐标大于0或小于等于1，‎ 当x＝1时，代入，y＝a+b+c≥0，‎ 当x＝4时，16a+4b+c＝0，‎ ‎∴a＝，‎ 则，整理得：4b+5c≥0，则4b+3c≥﹣2c，又c＜0，‎ ‎﹣2c＞0，‎ ‎∴4b+3c＞0，故⑤正确，‎ 故正确的有4个．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是能根据图象得出二次函数表达式各系数的符号．‎ ‎12（2020•黑龙江省齐齐哈尔市•3分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于点（4，0），其对称轴为直线x＝1，结合图象给出下列结论：‎ ‎①ac＜0；‎ ‎②4a﹣2b+c＞0；‎ ‎③当x＞2时，y随x的增大而增大；‎ ‎④关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根．‎ 其中正确的结论有（　　）‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性以及与x轴y轴的交点，综合判断即可．‎ ‎【解答】解：抛物线开口向上，因此a＞0，与y轴交于负半轴，因此c＜0，故ac＜0，所以①正确；‎ 抛物线对称轴为x＝1，与x轴的一个交点为（4，0），则另一个交点为（﹣2，0），于是有4a﹣2b+c＝0，所以②不正确；‎ x＞1时，y随x的增大而增大，所以③正确；‎ 抛物线与x轴有两个不同交点，因此关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，所以④正确；‎ 综上所述，正确的结论有：①③④，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的图象和性质，掌握二次函数的图象与系数之间的关系是正确判断的前提．‎ ‎13. （2020年德州市）11．（4分）二次函数y＝ax2+bx+c的部分图象如图所示，则下列选项错误的是（　　）‎ A．若（﹣2，y1），（5，y2）是图象上的两点，则y1＞y2 ‎ B．3a+c＝0 ‎ C．方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根 ‎ D．当x≥0时，y随x的增大而减小 ‎【分析】根据二次函数的图象和性质分别对各个选项进行判断即可．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝1，a＜0，‎ ‎∴点（﹣1，0）关于直线x＝1的对称点为（3，0），‎ 则抛物线与x轴的另一个交点坐标为（3，0），点（﹣2，y1）与（4，y1）是对称点，‎ ‎∵当x＞1时，函数y随x增大而减小，‎ 故A选项不符合题意；‎ 把点（﹣1，0），（3，0）代入y＝ax2+bx+c得：a﹣b+c＝0①，9a+3b+c＝0②，‎ ‎①×3+②得：12a+4c＝0，‎ ‎∴3a+c＝0，‎ 故B选项不符合题意；‎ 当y＝﹣2时，y＝ax2+bx+c＝﹣2，‎ 由图象得：纵坐标为﹣2的点有2个，‎ ‎∴方程ax2+bx+c＝﹣2有两个不相等的实数根，‎ 故C选项不符合题意；‎ ‎∵二次函数图象的对称轴为x＝1，a＜0，‎ ‎∴当x≤1时，y随x的增大而增大；‎ 当x≥1时，y随x的增大而减小；‎ 故D选项符合题意；‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象与性质、二次函数图象上点的坐标特征等知识；熟练掌握二次函数的图象和性质是解题的关键．‎ ‎14（2020年辽宁省辽阳市）10．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，CD⊥AB于点D．点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，过点P作PE⊥AC于点E，作PF⊥BC于点F．设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，则能反映y与x之间函数关系的图象是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【分析】根据Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，可得AB＝4，根据CD⊥AB于点D．可得AD＝BD＝2，CD平分角ACB，点P从点A出发，沿A→D→C的路径运动，运动到点C停止，分两种情况讨论：根据PE⊥AC，PF⊥BC，可得四边形CEPF是矩形和正方形，设点P运动的路程为x，四边形CEPF的面积为y，进而可得能反映y与x之间函数关系式，从而可以得函数的图象．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，‎ ‎∴AB＝4，∠A＝45°，‎ ‎∵CD⊥AB于点D，‎ ‎∴AD＝BD＝2，‎ ‎∵PE⊥AC，PF⊥BC，‎ ‎∴四边形CEPF是矩形，‎ ‎∴CE＝PF，PE＝CF，‎ ‎∵点P运动的路程为x，‎ ‎∴AP＝x，‎ 则AE＝PE＝x•sin45°＝x，‎ ‎∴CE＝AC﹣AE＝2﹣x，‎ ‎∵四边形CEPF的面积为y，‎ ‎∴当点P从点A出发，沿A→D路径运动时，‎ 即0＜x＜2时，‎ y＝PE•CE ‎＝x（2﹣x）‎ ‎＝﹣x2+2x ‎＝﹣（x﹣2）2+2，‎ ‎∴当0＜x＜2时，抛物线开口向下；‎ 当点P沿D→C路径运动时，‎ 即2≤x＜4时，‎ ‎∵CD是∠ACB的平分线，‎ ‎∴PE＝PF，‎ ‎∴四边形CEPF是正方形，‎ ‎∵AD＝2，PD＝x﹣2，‎ ‎∴CP＝4﹣x，‎ y＝（4﹣x）2＝（x﹣4）2．‎ ‎∴当2≤x＜4时，抛物线开口向上，‎ 综上所述：能反映y与x之间函数关系的图象是：A．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了动点问题的函数图象，解决本题的关键是掌握二次函数的性质．‎ ‎15.（2020•湖北襄阳•3分）二次函数y＝ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①ac＜0；②3a+c＝0；③4ac﹣b2＜0；④当x＞﹣1时，y随x的增大而减小．‎ 其中正确的有（　　）‎ A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 ‎【分析】二次函数图象与系数的关系以及二次函数的性质，逐一分析判断即可．‎ ‎【解答】解：①∵抛物线开口向上，且与y轴交于负半轴，‎ ‎∴a＞0，c＜0，‎ ‎∴ac＜0，结论①正确；‎ ‎②∵抛物线对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴﹣＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a，‎ ‎∵抛物线经过点（﹣1，0），‎ ‎∴a﹣b+c＝0，‎ ‎∴a+2a+c＝0，即3a+c＝0，结论②正确；‎ ‎③∵抛物线与x轴由两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，即4ac﹣b2＜0，结论③正确；‎ ‎④∵抛物线开口向上，且抛物线对称轴为直线x＝1，‎ ‎∴当x＜1时，y随x的增大而减小，结论④错误；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，解题的关键是掌握数形结合思想的应用，注意掌握二次函数图象与系数的关系．‎ ‎16（2020•湖北孝感•3分）将抛物线C1：y＝x2﹣2x+3向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，则抛物线C3的解析式为（　　）‎ A．y＝﹣x2﹣2 B．y＝﹣x2+2 C．y＝x2﹣2 D．y＝x2+2‎ ‎【分析】根据抛物线C1的解析式得到顶点坐标，根据顶点式及平移前后二次项的系数不变可得抛物线C2的得到坐标，而根据关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数可得到抛物线C3所对应的函数表达式．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C1：y＝x2﹣2x+3＝（x﹣1）2+2，‎ ‎∴抛物线C1的顶点为（1，2），‎ ‎∵向左平移1个单位长度，得到抛物线C2，‎ ‎∴抛物线C2的顶点坐标为（0，2），‎ ‎∵抛物线C2与抛物线C3关于x轴对称，‎ ‎∴抛物线C3的开口方向相反，顶点为（0，﹣2），‎ ‎∴抛物线C3的解析式为y＝﹣x2﹣2，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查了二次函数的图象的平移问题，只需看顶点坐标是如何平移得到的即可，关于x轴对称的两条抛物线的顶点的横坐标相等，纵坐标互为相反数，二次项系数互为相反数，难度适中．‎ ‎17（2020•湖南省常德•3分）二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：‎ ‎①b2﹣4ac＞0；②abc＜0；③4a+b＝0；④4a﹣2b+c＞0．‎ 其中正确结论的个数是（　　）‎ A．4 B．3 C．2 D．1‎ ‎【分析】先由抛物线与x周董交点个数判断出结论①，利用抛物线的对称轴为x＝2，判断出结论②，先由抛物线的开口方向判断出a＜0，进而判断出b＞0，再用抛物线与y轴的交点的位置判断出c＞0，判断出结论③，最后用x＝﹣2时，抛物线在x轴下方，判断出结论④，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：由图象知，抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴方程ax2+bx+c＝0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，故①正确，‎ 由图象知，抛物线的对称轴直线为x＝2，‎ ‎∴﹣＝2，‎ ‎∴4a+b＝0，故②正确，‎ 由图象知，抛物线开口方向向下，‎ ‎∴a＜0，‎ ‎∵4a+b＝0，‎ ‎∴b＞0，而抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴上，‎ ‎∴c＞0，‎ ‎∴abc＜0，故③正确，‎ 由图象知，当x＝﹣2时，y＜0，‎ ‎∴4a﹣2b+c＜0，故④错误，‎ 即正确的结论有3个，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】此题主要考查了二次函数图形与系数的关系，抛物线与y轴的交点，抛物线的对称轴，掌握抛物线的性质是解本题的关键．‎ ‎18.（2020•贵州省贵阳市•3分）已知二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．则关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，这两个整数根是（　　）‎ A．﹣2或0 B．﹣4或2 C．﹣5或3 D．﹣6或4‎ ‎【分析】根据题目中的函数解析式和二次函数与一元二次方程的关系，可以得到关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）的两个整数根，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过（﹣3，0）与（1，0）两点，‎ ‎∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为﹣3和1，函数y＝ax2+bx+c的对称轴是直线x＝﹣1，‎ 又∵关于x的方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）有两个根，其中一个根是3．‎ ‎∴方程ax2+bx+c+m＝0（m＞0）的另一个根为﹣5，函数y＝ax2+bx+c的图象开口向上，‎ ‎∵关于x的方程ax2+bx+c+n＝0 （0＜n＜m）有两个整数根，‎ ‎∴这两个整数根是﹣4或2，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的关系解答．‎ ‎19.（2020•贵州省遵义市•4分）抛物线y=ax2+bx+c的对称轴是直线x=-2．抛物线与x轴的一个交点在点（-4，0）和点（-3，0）之间，其部分图象如图所示，下列结论中正确的个数有（　　）‎ ‎①4a-b=0；②c≤3a；③关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根；④b2+2b＞4ac．‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 ‎【分析】根据抛物线的对称轴可判断①；由抛物线与x轴的交点及抛物线的对称性以及由x=-1时y＞0可判断②，由抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（-2，3），即可判断③；利用抛物线的顶点的纵坐标为3得到，即可判断④．‎ ‎【解答】解：∵抛物线的对称轴为直线，‎ ‎∴4a-b=0，所以①正确；‎ ‎∵与x轴的一个交点在（-3，0）和（-4，0）之间，‎ ‎∴由抛物线的对称性知，另一个交点在（-1，0）和（0，0）之间，‎ ‎∴x=-1时y＞0，且b=4a，‎ 即a-b+c=a-4a+c=-3a+c＞0，‎ ‎∴c＞3a，所以②错误；‎ ‎∵抛物线与x轴有两个交点，且顶点为（-2，3），‎ ‎∴抛物线与直线y=2有两个交点，‎ ‎∴关于x的方程ax2+bx+c=2有两个不相等实数根，所以③正确；‎ ‎∵抛物线的顶点坐标为（-2，3），‎ ‎∴，‎ ‎∴b2+12a=4ac，‎ ‎∵4a-b=0，‎ ‎∴b=4a，‎ ‎∴b2+3b=4ac，‎ ‎∵a＜0，‎ ‎∴b=4a＜0，‎ ‎∴b2+2b＞4ac，所以④正确；‎ 故选：C．‎ ‎20（2020•河北省•2分）如图，现要在抛物线y＝x（4﹣x）上找点P（a，b），针对b的不同取值，所找点P的个数，三人的说法如下，‎ 甲：若b＝5，则点P的个数为0；‎ 乙：若b＝4，则点P的个数为1；‎ 丙：若b＝3，则点P的个数为1．‎ 下列判断正确的是（　　）‎ A．乙错，丙对 B．甲和乙都错 C．乙对，丙错 D．甲错，丙对 ‎【分析】求出抛物线的顶点坐标为（2，4），由二次函数的性质对甲、乙、丙三人的说法分别进行判断，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：y＝x（4﹣x）＝﹣x2+4x＝﹣（x﹣2）2+4，‎ ‎∴抛物线的顶点坐标为（2，4），‎ ‎∴在抛物线上的点P的纵坐标最大为4，‎ ‎∴甲、乙的说法正确；‎ 若b＝3，则抛物线上纵坐标为3的点有2个，‎ ‎∴丙的说法不正确；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、抛物线的顶点坐标等知识；熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征是解题的关键．‎ ‎21 （2020年滨州市）11．（3分）对称轴为直线x＝1的抛物线y＝ax2+bx+c（A.B.c 为常数，且a≠0）如图所示，小明同学得出了以下结论：①abc＜0，②b2＞4ac，③4a+2b+c＞0，④3a+c＞0，⑤a+b≤m（am+b）（m为任意实数），⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而增大．其中结论正确的个数为（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．6‎ ‎【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．‎ ‎【解答】解：①由图象可知：a＞0，c＜0，‎ ‎∵﹣＝1，‎ ‎∴b＝﹣2a＜0，‎ ‎∴abc＜0，故①错误；‎ ‎②∵抛物线与x轴有两个交点，‎ ‎∴b2﹣4ac＞0，‎ ‎∴b2＞4ac，故②正确；‎ ‎③当x＝2时，y＝4a+2b+c＜0，故③错误；‎ ‎④当x＝﹣1时，y＝a﹣b+c＞0，‎ ‎∴3a+c＞0，故④正确；‎ ‎⑤当x＝1时，y的值最小，此时，y＝a+b+c，‎ 而当x＝m时，y＝am2+bm+c，‎ 所以a+b+c≤am2+bm+c，‎ 故a+b≤am2+bm，即a+b≤m（am+b），故⑤正确，‎ ‎⑥当x＜﹣1时，y随x的增大而减小，故⑥错误，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数图象与系数的关系，二次函数y＝ax2+bx+c系数符号由抛物线开口方向、对称轴和抛物线与y轴的交点、抛物线与x轴交点的个数确定．‎ ‎ ‎ ‎10.‎ 二.填空题 ‎1.（2020•湖北武汉•3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：‎ ‎①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；‎ ‎②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；‎ ‎③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；‎ ‎④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．‎ 其中正确的结论是　①③　（填写序号）．‎ ‎【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，‎ ‎∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；‎ 该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；‎ 当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；‎ 对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．‎ ‎2（2020•江苏省淮安市•3分）二次函数y＝﹣x2﹣2x+3的图象的顶点坐标为　（﹣1，4）　．‎ ‎【分析】把二次函数解析式转化成顶点式形式，然后写出顶点坐标即可．‎ ‎【解答】解：∵y＝﹣x2﹣2x+3‎ ‎＝﹣（x2+2x+1﹣1）+3‎ ‎＝﹣（x+1）2+4，‎ ‎∴顶点坐标为（﹣1，4）．‎ 故答案为：（﹣1，4）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，熟练掌握利用顶点式解析式求顶点坐标是解题的关键．‎ ‎3.（2020•广东省广州市•3分）对某条线段的长度进行了3次测量，得到3个结果（单位：）9.9，10.1，10.0，若用作为这条线段长度的近以值，当______时，最小．对另一条线段的长度进行了次测量，得到个结果（单位：），若用作为这条线段长度的近似值，当_____时，最小．‎ ‎【答案】 (1). 10.0； (2). ．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把整理得：，设，利用二次函数性质求出当时有最小值；‎ ‎（2）把整理得：， 设，利用二次函数的性质即可求出当 取最小值时的值．‎ ‎【详解】解：（1）整理得：，‎ 设，‎ 由二次函数的性质可知：当时，函数有最小值，‎ 即：当时，的值最小，‎ 故答案为：10.0；‎ ‎（2）整理得：，‎ 设，由二次函数性质可知：‎ 当时，有最小值，‎ 即：当时，的值最小，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了二次函数模型的应用，关键是设，整理成二次函数，利用二次函数的性质—何时取最小值来解决即可．‎ ‎4 （2020•江苏省连云港市•3分）加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率y与加工时间x（单位：min）满足函数表达式y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，则最佳加工时间为　3.75　min．‎ ‎【分析】根据二次函数的性质可得．‎ ‎【解答】解：根据题意：y＝﹣0.2x2+1.5x﹣2，‎ 当x＝﹣＝3.75时，y取得最大值，‎ 则最佳加工时间为3.75min．‎ 故答案为：3.75．‎ ‎【点评】本题主要考查二次函数的应用，利用二次函数的性质求最值问题是解题的关键．‎ ‎5 （2020•江苏省南京市•2分）下列关于二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1（m为常数）的结论：①该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同；②该函数的图象一定经过点（0，1）；③当x＞0时，y随x的增大而减小；④该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．其中所有正确结论的序号是　①②④　．‎ ‎【分析】利用二次函数的性质一一判断即可．‎ ‎【解答】解：①∵二次函数y＝﹣（x﹣m）2+m+1（m为常数）与函数y＝﹣x2的二次项系数相同，‎ ‎∴该函数的图象与函数y＝﹣x2的图象形状相同，故结论①正确；‎ ‎②∵在函数y＝﹣（x﹣m）2+m2+1中，令x＝0，则y＝﹣m2+m2+1＝1，‎ ‎∴该函数的图象一定经过点（0，1），故结论②正确；‎ ‎③∵y＝﹣（x﹣m）2+m2+1，‎ ‎∴抛物线开口向下，对称轴为直线x＝m，当x＞m时，y随x的增大而减小，故结论③错误；‎ ‎④∵抛物线开口向下，当x＝m时，函数y有最大值m2+1，‎ ‎∴该函数的图象的顶点在函数y＝x2+1的图象上．故结论④正确，‎ 故答案为①②④．‎ ‎【点评】本题考查二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎6.（2020•湖北襄阳•3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为　1.25　秒．‎ ‎【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．‎ ‎【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，‎ ‎∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．‎ 故答案为：1.25．‎ ‎【点评】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．‎ ‎7. (2020•江苏省无锡市•2分)请写出一个函数表达式，使其图象的对称轴为y轴：　y＝x2　．‎ ‎【分析】根据形如y＝ax2的二次函数的性质直接写出即可．‎ ‎【解答】解：∵图象的对称轴是y轴，∴函数表达式y＝x2(答案不唯一)，‎ 故答案为：y＝x2(答案不唯一)．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，牢记形如y＝ax2的二次函数的性质是解答本题的关键．‎ ‎8 (2020•江苏省无锡市•2分)二次函数y＝ax2－3ax+3的图象过点A(6，0)，且与y轴交于点B，点M在该抛物线的对称轴上，若△ABM是以AB为直角边的直角三角形，则点M的坐标为　(，－9)或(，6)　．‎ ‎【分析】把点A(6，0)代入y＝ax2－3ax+3得，0＝36a－18a+3，得到y＝－x2+x+3，求得B(0，3)，抛物线的对称轴为x＝－＝，设点M的坐标为：(，m)，当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，当∠M′AB＝90°，根据三角函数的定义即可得到结论．‎ ‎【解答】解：把点A(6，0)代入y＝ax2－3ax+3得，0＝36a－18a+3，解得：a＝－，‎ ‎∴y＝－x2+x+3，∴B(0，3)，抛物线的对称轴为x＝－＝，‎ 设点M的坐标为：(，m)，当∠ABM＝90°，过B作BD⊥对称轴于D，‎ 则∠1＝∠2＝∠3，∴tan∠2＝tan∠1＝＝2，∴＝2，∴DM＝3，∴M(，6)，‎ 当∠M′AB＝90°，∴tan∠3＝＝tan∠1＝＝2，∴M′N＝9，∴M′(，－9)，‎ 综上所述，点M的坐标为(，－9)或(，6)．‎ ‎【点评】‎ 本题考查的是二次函数的性质和函数图象上点的坐标特征，涉及到解直角三角形，有一定的综合性，难度适中．‎ ‎9（2020•黑龙江省哈尔滨市•3分）抛物线y＝3（x﹣1）2+8的顶点坐标为　（1，8）　．‎ ‎【分析】已知抛物线顶点式y＝a（x﹣h）2+k，顶点坐标是（h，k）．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝3（x﹣1）2+8是顶点式，‎ ‎∴顶点坐标是（1，8）．‎ 故答案为：（1，8）．‎ ‎【点评】本题考查由抛物线的顶点坐标式写出抛物线顶点的坐标，比较容易．‎ ‎10（2020•黑龙江省牡丹江市•3分）将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，经过点（﹣2，5），则8a﹣4b﹣11的值是　﹣5　．‎ ‎【分析】根据二次函数的平移得出平移后的表达式，再将点（﹣2，5）代入，得到4a﹣2b＝3，最后将8a﹣4b﹣11变形求值即可．‎ ‎【解答】解：将抛物线y＝ax2+bx﹣1向上平移3个单位长度后，‎ 表达式为：y＝ax2+bx+2，‎ ‎∵经过点（﹣2，5），代入得：4a﹣2b＝3，‎ 则8a﹣4b﹣11＝2（4a﹣2b）﹣11＝2×3﹣11＝﹣5，‎ 故答案为：﹣5．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的平移，代数式求值，解题的关键是得出平移后的表达式．‎ ‎11.（2020•湖北武汉•3分）抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，下列四个结论：‎ ‎①一元二次方程ax2+bx+c＝0的根为x1＝2，x2＝﹣4；‎ ‎②若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＜y2；‎ ‎③对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b；‎ ‎④对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则p的值只有两个．‎ 其中正确的结论是　①③　（填写序号）．‎ ‎【分析】根据题目中的抛物线和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否正确，从而可以解答本题．‎ ‎【解答】解：∵抛物线y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a＜0）经过A（2，0），B（﹣4，0）两点，‎ ‎∴当y＝0时，0＝ax2+bx+c的两个根为x1＝2，x2＝﹣4，故①正确；‎ 该抛物线的对称轴为直线x＝＝﹣1，函数图象开口向下，若点C（﹣5，y1），D（π，y2）在该抛物线上，则y1＞y2，故②错误；‎ 当x＝﹣1时，函数取得最大值y＝a﹣b+c，故对于任意实数t，总有at2+bt+c≤a﹣b+c，即对于任意实数t，总有at2+bt≤a﹣b，故③正确；‎ 对于a的每一个确定值，若一元二次方程ax2+bx+c＝p（p为常数，p＞0）的根为整数，则两个根为﹣3和1或﹣2和0或﹣1和﹣1，故p的值有三个，故④错误；‎ 故答案为：①③．‎ ‎【点评】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数图象上点的坐标特征、二次函数与一元二次方程的关系，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．‎ ‎12.（2020•湖北襄阳•3分）汽车刹车后行驶的距离s（单位：米）关于行驶时间t（单位：秒）的函数关系式是s＝15t﹣6t2．则汽车从刹车到停止所用时间为　1.25　秒．‎ ‎【分析】利用配方法求二次函数最值的方法解答即可．‎ ‎【解答】解：∵s＝15t﹣6t2＝﹣6（t﹣1.25）2+9.375，‎ ‎∴汽车从刹车到停下来所用时间是1.25秒．‎ 故答案为：1.25．‎ ‎【点评】考查了二次函数最值的应用，此题主要利用配方法求最值的问题，根据已知得出顶点式是解题关键．‎ ‎ ‎ 三.解答题 ‎1. (2020•江苏省泰州市•10分)如图，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，P为BC边上的动点(与B.C不重合)，PD∥AB，交AC于点D，连接AP，设CP＝x，△ADP的面积为S．‎ ‎(1)用含x的代数式表示AD的长；‎ ‎(2)求S与x的函数表达式，并求当S随x增大而减小时x的取值范围．‎ ‎【分析】(1)由平行线分线段成比例定理，用x表示CD，进而求得结果；‎ ‎(2)根据三角形的面积公式列出函数解析式，再根据函数性质求出S随x增大而减小时x的取值范围．‎ ‎【解答】解：(1)∵PD∥AB，∴=，∵AC＝3，BC＝4，CP＝x，∴=，‎ ‎∴CD＝，∴AD＝AC－CD＝3－，即AD＝－+3；‎ ‎(2)根据题意得，S＝AD·CP==，∴当x≥2时，S随x的增大而减小，∵0＜x＜4，∴当S随x增大而减小时x的取值范围为2≤x＜4．‎ ‎【点评】本题主要考查了平行线分线段成比例性质，列出一次函数解析式，列二次函数解析式，二次函数的性质，三角形的面积，关键是正确列出函数解析式．‎ ‎2. (2020•江苏省泰州市•14分)如图，二次函数y1＝a(x－m)2+n，y2＝6ax2+n(a＜0，m＞0，n＞0)的图象分别为C1.、C2，C1交y轴于点P，点A在C1上，且位于y轴右侧，直线PA与C2在y轴左侧的交点为B． ‎ ‎(1)若P点的坐标为(0，2)，C1的顶点坐标为(2，4)，求a的值；‎ ‎(2)设直线PA与y轴所夹的角为α．‎ ‎①当α＝45°，且A为C1的顶点时，求am的值；‎ ‎②若α＝90°，试说明：当A.m、n各自取不同的值时，的值不变；‎ ‎(3)若PA＝2PB，试判断点A是否为C1的顶点？请说明理由．‎ ‎【分析】(1)利用待定系数法解决问题即可．‎ ‎(2)①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．证明AM＝PM＝m ‎，根据AM+MN＝AM+OP＝AN，构建关系式即可解决问题．‎ ‎②如图2中，由题意AB⊥y中，求出PA，PB的长即可解决问题．‎ ‎(3))如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．设B(b，6ab2+n)，由PA＝2PB，推出A[－2b，a(－2b－m)2+n]，由BE∥AK，推出＝＝，推出AK＝2BE，由此构建关系式，证明m＝－2b即可解决问题．‎ ‎【解答】解：(1)由题意m＝2，n＝4，∴y1＝a(x－2)2+4，把(0，2)代入得到a＝－．‎ ‎(2)①如图1中，过点A作AN⊥x轴于N，过点P作PM⊥AN于M．‎ ‎ ‎ ‎∵y1＝a(x－m)2+n＝ax2－2amx+am2+n，∴P(0，am2+n)，‎ ‎∵A(m，n)，∴PM＝m，AN＝n，‎ ‎∵∠APM＝45°，∴AM＝PM＝m，∴m+am2+n＝n，‎ ‎∵m＞0，∴am＝－1．‎ ‎②如图2中，由题意AB⊥y轴，‎ ‎∵P(0，am2+n)，当y＝am2+n时，am2+n＝6ax2+n，解得x＝±m，‎ ‎∴B(－m，am2+n)，∴PB＝m，∵AP＝2m，∴＝＝2．‎ ‎(3)如图3中，过点A作AH⊥x轴于H，过点P作PK⊥AH于K，过点B作BE⊥KP交KP的延长线于E．‎ 设B(b，6ab2+n)，∵PA＝2PB，∴A[－2b，a(－2b－m)2+n]，‎ ‎∵BE∥AK，∴＝＝，∴AK＝2BE，‎ ‎∴a(－2b－m)2+n－am2－n＝2(am2+n－6ab2－n)，整理得：m2－2bm－8b2＝0，‎ ‎∴(m－4b)(m+2b)＝0，∵m－4b＞0，∴m+2b＝0，‎ ‎∴m＝－2b，∴A(m，n)，∴点A是抛物线C1的顶点．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，解直角三角形，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎3. (2020•江苏省无锡市•10分)有一块矩形地块ABCD，AB＝20米，BC＝30米．为美观，拟种植不同的花卉，如图所示，将矩形ABCD分割成四个等腰梯形及一个矩形，其中梯形的高相等，均为x米．现决定在等腰梯形AEHD和BCGF中种植甲种花卉；在等腰梯形ABFE和CDHG中种植乙种花卉；在矩形EFGH中种植丙种花卉．甲、乙、丙三种花卉的种植成本分别为20元/米2.60元/米2.40元/米2，设三种花卉的种植总成本为y元．‎ ‎(1)当x＝5时，求种植总成本y；‎ ‎(2)求种植总成本y与x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎(3)若甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120平方米，求三种花卉的最低种植总成本．‎ ‎【分析】(1)当x＝5时，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，‎ y＝2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF•EH×40，即可求解；‎ ‎(2)参考(1)，由题意得：y＝(30×30－2x)•x•20+(20+20－2x)•x•60+(30－2x)(20－2x)•40(0＜x＜10)；‎ ‎(3)S甲＝2×(EH+AD)×2x＝(30－2x+30)x＝－2x2+60x，S乙＝－2x2+40x，则－2x2+60x－(－2x2+40x)≤120，即可求解．‎ ‎【解答】解：(1)当x＝5时，EF＝20－2x＝10，EH＝30－2x＝20，‎ y＝2×(EH+AD)×20x+2×(GH+CD)×x×60+EF•EH×40‎ ‎＝(20+30)×5×20+(10+20)×5×60+20×10×40＝22000；‎ ‎(2)EF＝20－2x，EH＝30－2x，‎ 参考(1)，由题意得：y＝(30×30－2x)•x•20+(20+20－2x)•x•60+(30－2x)(20－2x)•40‎ ‎＝－400x+24000(0＜x＜10)；‎ ‎(3)S甲＝2×(EH+AD)×2x＝(30－2x+30)x＝－2x2+60x，同理S乙＝－2x2+40x，‎ ‎∵甲、乙两种花卉的种植面积之差不超过120米2，∴－2x2+60x－(－2x2+40x)≤120，‎ 解得：x≤6，故0＜x≤6，‎ 而y＝－400x+24000随x的增大而减小，故当x＝6时，y的最小值为21600，‎ 即三种花卉的最低种植总成本为21600元．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数和一次函数的性质在实际生活中的应用．我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．‎ ‎4.（2020•湖北武汉•10分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？‎ ‎（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；‎ ‎（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；‎ ‎（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：，‎ 解得：．‎ ‎∴a＝1，b＝30；‎ ‎（2）由（1）得：y＝x2+30x，‎ 设A，B两城生产这批产品的总成本为w，‎ 则w＝x2+30x+70（100﹣x）‎ ‎＝x2﹣40x+7000，‎ ‎＝（x﹣20）2+6600，‎ 由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．‎ 答：A城生产20件，B城生产80件；‎ ‎（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，‎ 则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，‎ 由题意得：，‎ 解得10≤n≤20，‎ ‎∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），‎ 整理得：P＝（m﹣2）n+130，‎ 根据一次函数的性质分以下两种情况：‎ ‎①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，‎ 则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；‎ ‎②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，‎ 则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．‎ 答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．‎ ‎5（2020•湖北武汉•12分）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；‎ ‎（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；‎ ‎（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝﹣x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．‎ ‎【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；‎ ‎（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；‎ ‎（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，‎ ‎∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，‎ ‎∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；‎ ‎（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，‎ 设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ ‎∵∠BAO＝∠ACO＝90°，‎ ‎∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠AOC，‎ ‎∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，‎ ‎∴△ABD≌△OAC（AAS），‎ ‎∴BD＝AC，‎ ‎∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ 解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，‎ ‎∴A（4，﹣2）或（5，3）；‎ ‎（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，‎ ‎∴xE+xF＝k，‎ ‎∴M（），‎ 把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，‎ ‎∴，‎ ‎∴N（，），‎ 设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则 ‎，解得，，‎ ‎∴直线MN的解析式为：，‎ 当x＝0时，y＝2，‎ ‎∴直线MN：经过定点（0，2），‎ 即直线MN经过一个定点．‎ ‎【点评】本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，第（2）小题关键是证明三角形全等，第（3）题关键是求出M、N点的坐标及直线MN的解析式．‎ ‎6（2020•湖北襄阳•12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．‎ ‎（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C点坐标，将A.C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；‎ ‎（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；‎ ‎（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．‎ ‎【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，‎ ‎∴C（4，0），‎ 把A.C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，‎ ‎，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为，‎ 令y＝0，得＝0，‎ 解得，x＝4，或x＝﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，0）；‎ ‎（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，‎ 设M（a，），则N（a，），‎ ‎∴＝，‎ ‎∵，‎ ‎∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，‎ ‎∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，‎ 此时M的坐标为（2，2）；‎ ‎（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，‎ ‎∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，‎ ‎∴O′（m，m），A′（m+2，m），‎ 当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，‎ 解得，m＝﹣3，‎ 当点O′（m，m）在抛物线上时，有，‎ 解得，m＝﹣4或2，‎ ‎∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．‎ ‎【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置．‎ ‎7（2020•湖北孝感•13分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．‎ ‎（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：‎ A　（﹣3，0）　，B　（﹣1，0）　，C　（0，18）　，D　（﹣2，﹣6）　；‎ ‎（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．‎ ‎①用含t的代数式表示f；‎ ‎②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．‎ ‎【分析】（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，即可求解；‎ ‎（2）由点C.D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，进而求出点E（﹣2，0），利用tan∠AED＝＝＝，即可求解；‎ ‎（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则FH＝，即可求解；‎ ‎②f＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，‎ 令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，‎ 故点A.B.C.D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；‎ 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；‎ ‎（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），‎ 函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），‎ 由点C.D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，‎ 令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，‎ tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，‎ 故点C.E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），‎ 则CE＝＝；‎ ‎（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，‎ 由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，‎ 故点A.C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），‎ 由点A.N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；‎ 设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；‎ 则PF＝﹣t2﹣3t+，‎ 由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，‎ 则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，‎ ‎∵FH⊥DE，JF∥y轴，‎ 故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，‎ ‎∴△FJH∽△ECO，故，‎ 则FH＝，‎ f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；‎ ‎②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；‎ ‎∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；‎ 当﹣3≤m＜0时，fmax＝．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似等，综合性较强，难度较大．‎ ‎8. （2020•江苏省常州市•10分）如图，二次函数y＝x2+bx+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，抛物线过点C（1，0），且顶点为D，连接AC.BC.BD.CD．‎ ‎（1）填空：b＝　﹣4　；‎ ‎（2）点P是抛物线上一点，点P的横坐标大于1，直线PC交直线BD于点Q．若∠CQD＝∠ACB，求点P的坐标；‎ ‎（3）点E在直线AC上，点E关于直线BD对称的点为F，点F关于直线BC对称的点为G，连接AG．当点F在x轴上时，直接写出AG的长．‎ ‎【分析】（1）将点C坐标代入解析式可求解；‎ ‎（2）分两种情况讨论，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，可得点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，可得∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，∠BCF＝45°，由勾股定理逆定理可得∠BCD＝90°，可求∠ACE＝∠DBC，可得∠ACB＝∠CFD，可得点F与点Q重合，即可求点P坐标；‎ 当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，先求直线BD解析式，点F坐标，由中点坐标公式可求点Q坐标，求出CQ解析式，联立方程组，可求点P坐标；‎ ‎（3）设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，先求出∠CNH＝45°，由轴对称的性质可得EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，由“AAS”可证△EMN≌△NKF，可得EM＝NK＝，MN＝KF，可求CF＝6，由轴对称的性质可得点G坐标，即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线y＝x2+bx+3的图象过点C（1，0），‎ ‎∴0＝1+b+3，‎ ‎∴b＝﹣4，‎ 故答案为：﹣4；‎ ‎（2）∵b＝4，‎ ‎∴抛物线解析式为y＝x2﹣4x+3‎ ‎∵抛物线y＝x2﹣4x+3的图象与y轴交于点A，过点A作x轴的平行线交抛物线于另一点B，‎ ‎∴点A（0，3），3＝x2﹣4x，‎ ‎∴x1＝0（舍去），x2＝4，‎ ‎∴点B（4，3），‎ ‎∵y＝x2﹣4x+3＝（x﹣2）2﹣1，‎ ‎∴顶点D坐标（2，﹣1），‎ 如图1，当点Q在点D上方时，过点C作CE⊥AB于E，设BD与x轴交于点F，‎ ‎∵点A（0，3），点B（4，3），点C（1，0），CE⊥AB，‎ ‎∴点E（1，3），CE＝BE＝3，AE＝1，‎ ‎∴∠EBC＝∠ECB＝45°，tan∠ACE＝，‎ ‎∴∠BCF＝45°，‎ ‎∵点B（4，3），点C（1，0），点D（2，﹣1），‎ ‎∴BC＝＝3，CD＝＝，BD＝＝2，‎ ‎∵BC2+CD2＝20＝BD2，‎ ‎∴∠BCD＝90°，‎ ‎∴tan∠DBC＝＝＝＝tan∠ACE，‎ ‎∴∠ACE＝∠DBC，‎ ‎∴∠ACE+∠ECB＝∠DBC+∠BCF，‎ ‎∴∠ACB＝∠CFD，‎ 又∵∠CQD＝∠ACB，‎ ‎∴点F与点Q重合，‎ ‎∴点P是直线CF与抛物线的交点，‎ ‎∴0＝x2﹣4x+3，‎ ‎∴x1＝1，x2＝3，‎ ‎∴点P（3，0）；‎ 当点Q在点D下方上，过点C作CH⊥DB于H，在线段BH的延长线上截取HF＝QH，连接CQ交抛物线于点P，‎ ‎∵CH⊥DB，HF＝QH，‎ ‎∴CF＝CQ，‎ ‎∴∠CFD＝∠CQD，‎ ‎∴∠CQD＝∠ACB，‎ ‎∵CH⊥BD，‎ ‎∵点B（4，3），点D（2，﹣1），‎ ‎∴直线BD解析式为：y＝2x﹣5，‎ ‎∴点F（，0），‎ ‎∴直线CH解析式为：y＝﹣x+，‎ ‎∴，‎ 解得，‎ ‎∴点H坐标为（，﹣），‎ ‎∵FH＝QH，‎ ‎∴点Q（，﹣），‎ ‎∴直线CQ解析式为：y＝﹣x+，‎ 联立方程组，‎ 解得：或，‎ ‎∴点P（，﹣）；‎ 综上所述：点P的坐标为（3，0）或（，﹣）；‎ ‎（3）如图，设直线AC与BD的交点为N，作CH⊥BD于H，过点N作MN⊥x轴，过点E作EM⊥MN，连接CG，GF，‎ ‎∵点A（0，3），点C（1，0），‎ ‎∴直线AC解析式为：y＝﹣3x+3，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴点N坐标为（，﹣），‎ ‎∵点H坐标为（，﹣），‎ ‎∴CH2＝（﹣1）2+（）2＝，HN2＝（﹣）2+（﹣+）2＝，‎ ‎∴CH＝HN，‎ ‎∴∠CNH＝45°，‎ ‎∵点E关于直线BD对称的点为F，‎ ‎∴EN＝NF，∠ENB＝∠FNB＝45°，‎ ‎∴∠ENF＝90°，‎ ‎∴∠ENM+∠FNM＝90°，‎ 又∵∠ENM+∠MEN＝90°，‎ ‎∴∠MEN＝∠FNM，‎ ‎∴△EMN≌△NKF（AAS）‎ ‎∴EM＝NK＝，MN＝KF，‎ ‎∴点E的横坐标为﹣，‎ ‎∴点E（﹣，），‎ ‎∴MN＝＝KF，‎ ‎∴CF＝+﹣1＝6，‎ ‎∵点F关于直线BC对称的点为G，‎ ‎∴FC＝CG＝6，∠BCF＝∠GCB＝45°，‎ ‎∴∠GCF＝90°，‎ ‎∴点G（1，6），‎ ‎∴AG＝＝．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求解析式，一次函数的性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数等知识，综合性强，求出∠CNH＝45°是本题的关键．‎ ‎9 (2020•湖南省怀化市)如图所示，抛物线y＝x2﹣2x﹣3与x轴相交于A.B两点，与y轴相交于点C，点M为抛物线的顶点．‎ ‎（1）求点C及顶点M的坐标．‎ ‎（2）若点N是第四象限内抛物线上的一个动点，连接BN、CN求△BCN面积的最大值及此时点N的坐标．‎ ‎（3）若点D是抛物线对称轴上的动点，点G是抛物线上的动点，是否存在以点B.C.D.G为顶点的四边形是平行四边形．若存在，求出点G的坐标；若不存在，试说明理由．‎ ‎（4）直线CM交x轴于点E，若点P是线段EM上的一个动点，是否存在以点P、E.O为顶点的三角形与△ABC相似．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【分析】（1）令抛物线解析式中x＝0即可求出C点坐标，写出抛物线顶点式，即可求出顶点M坐标；‎ ‎（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，设N（n，n2﹣2n﹣3），求出BC解析式，进而得到Q点坐标，最后根据S△BCN＝S△NQC+S△NQB即可求解；‎ ‎（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），然后分成①DG是对角线；②DB是对角线；③DC是对角线时三种情况进行讨论即可求解；‎ ‎（4）连接AC，由CE＝CB可知∠B＝∠E，求出MC的解析式，设P（x，﹣x﹣3），然后根据△PEO相似△ABC，分成和讨论即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）令y＝x2﹣2x﹣3中x＝0，此时y＝﹣3，‎ 故C点坐标为（0，﹣3），‎ 又∵y＝x2﹣2x﹣3＝（x﹣1）2﹣4，‎ ‎∴抛物线的顶点M的坐标为（1，﹣4）；‎ ‎（2）过N点作x轴的垂线交直线BC于Q点，连接BN，CN，如图1所示：‎ 令y＝x2﹣2x﹣3＝0，‎ 解得：x＝3或x＝﹣1，‎ ‎∴B（3，0），A（﹣1，0），‎ 设直线BC的解析式为：y＝ax+b，‎ 代入C（0，﹣3），B（3，0）得：，‎ 解得，‎ ‎∴直线BC的解析式为：y＝x﹣3，‎ 设N点坐标为（n，n2﹣2n﹣3），故Q点坐标为（n，n﹣3），其中0＜n＜3，‎ 则＝＝，（其中xQ，xC，xB分别表示Q，C，B三点的横坐标），且QN＝（n﹣3）﹣（n2﹣2n﹣3）＝﹣n2+3n，xB﹣xC＝3，‎ 故，其中0＜n＜3，‎ 当时，S△BCN有最大值为，‎ 此时点N的坐标为（），‎ ‎（3）设D点坐标为（1，t），G点坐标为（m，m2﹣2m﹣3），且B（3，0），C（0，﹣3）‎ 分情况讨论：‎ ‎①当DG为对角线时，则另一对角线是BC，由中点坐标公式可知：‎ 线段DG的中点坐标为，即，‎ 线段BC的中点坐标为，即，‎ 此时DG的中点与BC的中点为同一个点，‎ ‎∴，解得，‎ 经检验此时四边形DCGB为平行四边形，此时G坐标为（2，﹣3）；‎ ‎②当DB为对角线时，则另一对角线是GC，由中点坐标公式可知：‎ 线段DB的中点坐标为，即，‎ 线段GC的中点坐标为，即，‎ 此时DB的中点与GC的中点为同一个点，‎ ‎∴，解得，‎ 经检验此时四边形DCBG为平行四边形，此时G坐标为（4，5）；‎ ‎③当DC为对角线时，则另一对角线是GB，由中点坐标公式可知：‎ 线段DC的中点坐标为，即，‎ 线段GB的中点坐标为，即，‎ 此时DB的中点与GC的中点为同一个点，‎ ‎∴，解得，‎ 经检验此时四边形DGCB为平行四边形，此时G坐标为（﹣2，1）；‎ 综上所述，G点坐标存在，为（2，﹣3）或（4，5）或（﹣2，1）；‎ ‎（4）连接AC，OP，如图2所示：‎ 设MC的解析式为：y＝kx+m，‎ 代入C（0，﹣3），M（1，﹣4）得，‎ 解得 ‎∴MC的解析式为：y＝﹣x﹣3，令y＝0，则x＝﹣3，‎ ‎∴E点坐标为（﹣3，0），‎ ‎∴OE＝OB＝3，且OC⊥BE，‎ ‎∴CE＝CB，‎ ‎∴∠B＝∠E，‎ 设P（x，﹣x﹣3），‎ 又∵P点在线段EC上，‎ ‎∴﹣3＜x＜0，‎ 则，，‎ 由题意知：△PEO相似△ABC，‎ 分情况讨论：‎ ‎①△PEO∽△CBA，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为；‎ ‎②△PEO∽△ABC，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 解得x＝﹣1，满足﹣3＜x＜0，此时P的坐标为（﹣1，﹣2）．‎ 综上所述，P点的坐标为或（﹣1，﹣2）．‎ ‎【点评】本题是二次函数综合题目，考查了二次函数的图象和性质、待定系数法求直线的解析式、平行四边形的性质、相似三角形的性质和判定、等腰三角形的判定与性质等知识；本题综合性较强，具有一定的难度，熟练掌握二次函数的图形和性质，学会用代数的方法求解几何问题．‎ ‎10 （2020•湖南省湘潭市·10分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+5与x轴交于A，B两点．‎ ‎（1）若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴．‎ ‎①求抛物线的解析式；‎ ‎②对称轴上是否存在一点P，使点B关于直线OP的对称点B'恰好落在对称轴上．若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎（2）当b≥4，0≤x≤2时，函数值y的最大值满足3≤y≤15，求b的取值范围．‎ ‎【分析】（1）①根据抛物线的对称轴公式即可求出解析式；‎ ‎②如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，根据轴对称的性质得到OB'＝OB，PB'＝PB，求出点B的坐标，利用勾股定理得到，再根据PB'＝PB，列出方程解答，同理得到点P在x轴下方时的坐标即可；‎ ‎（2）当b≥4时，确定对称轴的位置，再结合开口方向，确定当0≤x≤2时，函数的增减性，从而得到当x＝2时，函数取最大值，再列出不等式解答即可．‎ ‎【解答】解：（1）①抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，‎ ‎∴若过点C的直线x＝2是抛物线的对称轴，‎ 则，解得：b＝4，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+4x+5；‎ ‎②存在，‎ 如图，若点P在x轴上方，点B关于OP对称的点B'在对称轴上，连接OB′、PB，‎ 则OB'＝OB，PB'＝PB，‎ 对于y＝﹣x2+4x+5，令y＝0，则﹣x2+4x+5＝0，‎ 解得：x1＝﹣1，x2＝5，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（5，0），‎ ‎∴OB'＝OB＝5，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 设点P（2，m），‎ 由PB'＝PB可得：，解得：，‎ ‎∴P（2，）；‎ 同理，当点P在x轴下方时，P（2，﹣）．‎ 综上所述，点P（2，）或P（2，﹣）；‎ ‎（2）∵抛物线y＝﹣x2+bx+5的对称轴为直线，‎ ‎∴当b≥4时，，‎ ‎∵抛物线开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，‎ ‎∴当0≤x≤2时，取x＝2，y有最大值，‎ 即y＝﹣4+2b+5＝2b+1，‎ ‎∴3≤2b+1≤15，解得：1≤b≤7，‎ 又∵b≥4，‎ ‎∴4≤b≤7．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合应用，涉及了二次函数的图象与性质，以及勾股定理的应用，其中第（1）②问要先画出图形再理解，第（2）问运用到了二次函数的增减性，难度适中，解题的关键是熟记二次函数的图象与性质．‎ ‎11 （2020•湖南省张家界·）如图，抛物线交x轴于两点，交y轴于点C．直线经过点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）抛物线的对称轴l与直线相交于点P，连接，判定的形状，并说明理由；‎ ‎（3）在直线上是否存在点M，使与直线的夹角等于的2倍？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）的为直角三角形，理由见解析；（3）存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先根据直线经过点，即可确定B.C的坐标，然后用带定系数法解答即可；‎ ‎（2）先求出A.B的坐标结合抛物线的对称性，说明三角形APB为等腰三角形；再结合OB=OC得到∠ABP=45°，进一步说明∠APB=90°，则∠APC=90°即可判定的形状；‎ ‎（3）作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E；然后说明△ANB为等腰直角三角形，进而确定N的坐标；再求出AC的解析式，进而确定M1E的解析式；然后联立直线BC和M1E的解析式即可求得M1的坐标；在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2，利用中点坐标公式即可确定点M2的坐标 ‎【详解】解：（1）∵直线经过点 ‎∴当x=0时，可得y=5，即C的坐标为（0，5）‎ 当y=0时，可得x=5，即B的坐标为（5，0）‎ ‎∴解得 ‎∴该抛物线的解析式为 ‎（2）的为直角三角形，理由如下：‎ ‎∵解方程=0，则x1=1，x2=5‎ ‎∴A（1，0），B（5，0）‎ ‎∵抛物线的对称轴l为x=3‎ ‎∴△APB为等腰三角形 ‎∵C的坐标为（5，0）， B的坐标为（5，0）‎ ‎∴OB=CO=5，即∠ABP=45°‎ ‎∴∠ABP=45°，‎ ‎∴∠APB=180°-45°-45°=90°‎ ‎∴∠APC=180°-90°=90°‎ ‎∴的为直角三角形；‎ ‎（3）如图：作AN⊥BC于N，NH⊥x轴于H，作AC的垂直平分线交BC于M1，AC于E，‎ ‎∵M1A=M1C，‎ ‎∴∠ACM1=∠CAM1‎ ‎∴∠AM1B=2∠ACB ‎∵△ANB为等腰直角三角形.‎ ‎∴AH=BH=NH=2‎ ‎∴N（3，2）‎ 设AC的函数解析式为y=kx+b ‎∵C(0，5)，A(1，0)‎ ‎∴ 解得b=5，k=-5‎ ‎∴AC的函数解析式为y=-5x+5‎ 设EM1的函数解析式为y=x+n ‎∵点E的坐标为（）‎ ‎∴=× +n，解得：n=‎ ‎∴EM1的函数解析式为y=x+‎ ‎∵ 解得 ‎ ‎∴M1的坐标为（）；‎ 在直线BC上作点M1关于N点的对称点M2‎ 设M2（a，-a+5）‎ 则有：3=，解得a= ‎ ‎∴-a+5=‎ ‎∴M2的坐标为（，）．‎ 综上，存在使与直线的夹角等于的2倍的点，且坐标为M1（），M2（，）．‎ ‎【点睛】本题属于二次函数与几何的综合题，主要考查了待定系数法确定函数解析式、等腰直角三角形的判定与性质、一次函数图像、三角形外角等知识，考查知识点较多，综合应用所学知识成为解答本题的关键．‎ ‎12 （2020•湖南省长沙市·10分）我们不妨约定：若某函数图象上至少存在不同的两点关于原点对称，则把该函数称之为“H函数”，其图象上关于原点对称的两点叫做一对“H点”．根据该约定，完成下列各题．‎ ‎（1）在下列关于x的函数中，是“H函数”的，请在相应题目后面的括号中打“√”，不是“H函数”的打“×”．‎ ‎①y＝2x（　√　）；‎ ‎②y＝（m≠0）（　√　）；‎ ‎③y＝3x﹣1（　×　）．‎ ‎（2）若点A（1，m）与点B（n，﹣4）是关于x的“H函数”y＝ax2+bx+c（a≠0）的一对“H点”，且该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，求a，b，c的值或取值范围．‎ ‎（3）若关于x的“H函数”y＝ax2+2bx+3c（a，b，c是常数）同时满足下列两个条件：①a+b+c＝0，②（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，求该“H函数”截x轴得到的线段长度的取值范围．‎ ‎【分析】（1）根据“H函数”的定义判断即可．‎ ‎（2）先根据题意求出m，n的取值范围，代入y＝ax2+bx+c得到a，b，c的关系，再根据对称轴在x＝2的右侧即可求解．‎ ‎（3）设“H“点为（p，q）和（﹣p，﹣q），代入y＝ax2+2bx+3c得到ap2+3c＝0，2bp＝q ‎，得到a，c异号，再根据a+b+c＝0，代入（2c+b﹣a）（2x+b+3a）＜0，求出的取值，设函数与x轴的交点为（x1，0），（x2，0），t＝，利用根与系数的关系得到|x1﹣x2|＝＝2，再利用二次函数的性质即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）①y＝2x是“H函数”．②y＝（m≠0）是“H函数”．③y＝3x﹣1不是“H函数”．‎ 故答案为：√，√，×．‎ ‎（2）∵A，B是“H点”，‎ ‎∴A，B关于原点对称，‎ ‎∴m＝4，n＝﹣1，‎ ‎∴A（1，4），B（﹣1，﹣4），‎ 代入y＝ax2+bx+c（a≠0）‎ 得，‎ ‎∴，‎ ‎∵该函数的对称轴始终位于直线x＝2的右侧，‎ ‎∴﹣＞2，‎ ‎∴﹣＞2，‎ ‎∴﹣1＜a＜0，‎ ‎∵a+c＝0，‎ ‎∴0＜c＜1，‎ 综上所述，﹣1＜a＜0，b＝4，0＜c＜1．‎ ‎（3）∵y＝ax2+2bx+3c是“H函数”，‎ ‎∴设H（p，q）和（﹣p，﹣q），‎ 代入得到，‎ 解得ap2+3c＝0，2bp＝q，‎ ‎∵p2＞0，‎ ‎∴a，c异号，‎ ‎∴ac＜0，‎ ‎∵a+b+c＝0，‎ ‎∴b＝﹣a﹣c，‎ ‎∵（2c+b﹣a）（2c+b+3a）＜0，‎ ‎∴（2c﹣a﹣c﹣a）（2c﹣a﹣c+3a）＜0，‎ ‎∴（c﹣2a）（c+2a）＜0，‎ ‎∴c2＜4a2，‎ ‎∴＜4，‎ ‎∴﹣2＜＜2，‎ 设t＝，则﹣2＜t＜0，‎ 设函数与x轴交于（x1，0），（x2，0），‎ ‎∴x1，x2是方程ax2+2bx+3c＝0的两根，‎ ‎∴|x1﹣x2|＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝2‎ ‎＝2，‎ ‎∵﹣2＜t＜0，‎ ‎∴2＜|x1﹣x2|＜2．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，一元二次方程的根与系数的关系等知识，“H函数”，“H点”的定义等知识，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎13. （2020•湖南省株洲市·）如图所示，二次函数y＝ax2+bx+c（a＞0）的图象（记为抛物线Γ）与y轴交于点C，与x轴分别交于点A.B，点A.B的横坐标分别记为x1，x2，且0＜x1＜x2．‎ ‎（1）若a＝c，b＝﹣3，且过点（1，﹣1），求该二次函数的表达式；‎ ‎（2）若关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．求证：当b＜﹣时，二次函数y1＝ax2+（b+1）x+c的图象与x轴没有交点．‎ ‎（3）若AB2＝，点P的坐标为（﹣，﹣1），过点P作直线l垂直于y轴，且抛物线的Γ顶点在直线l上，连接OP、AP、BP，PA的延长线与抛物线Γ交于点D，若∠OPB＝∠DAB，求x0的最小值．‎ ‎【分析】（1）根据题意，把a＝c，b＝﹣3，点（1，﹣1），代入解析式，即可求出解析式；‎ ‎（2）利用根的判别式进行判断，即可得到结论；‎ ‎（3）根据二次函数的性质，得到b2﹣4ac＝4a，结合根与系数的关系，得到，然后证明△OAP∽△OPB，得到，然后得到，利用二次根式的性质即可得到答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：y＝ax2﹣3x+a，‎ ‎∵函数过点（1，﹣1），‎ ‎∴a﹣3+a＝﹣1，‎ ‎∴a＝c＝1，‎ ‎∴y＝x2﹣3x+1；‎ ‎（2）由题意，一元二次方程ax2+bx+c＝0的判别式△＝4．‎ ‎∴△＝b2﹣4ac＝4，‎ ‎∴4ac＝b2﹣4，‎ 在函数中，，‎ ‎∵，‎ ‎∴2b+5＜0，‎ 即函数图象与x轴没有交点；‎ ‎（3）因为函数顶点在直线l上，则有，‎ 即b2﹣4ac＝4a①，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ 即，‎ ‎∴，‎ 由①得：②，‎ ‎∵∠OAP＝∠DAB，‎ ‎∴∠OAP＝∠OPB，‎ ‎∵∠OAP＝∠OBP+∠APB，∠OPB＝∠OPA+∠APB，‎ ‎∴∠OBP＝∠OPA，‎ 则△OAP∽△OPB．‎ ‎∴，‎ ‎∴OA•OB＝OP2，‎ ‎∴．‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ 由②得：，‎ ‎∴，‎ ‎∴当c＝1时，．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的综合问题，相似三角形的判定和性质，一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定和性质，二次函数的最值等知识进行解题．‎ ‎14 （2020•江苏省淮安市•14分）如图①，二次函数y＝﹣x2+bx+4的图象与直线l交于A（﹣1，2）、B（3，n）两点．点P是x轴上的一个动点，过点P作x轴的垂线交直线1于点M，交该二次函数的图象于点N，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）b＝　1　，n＝　﹣2　；‎ ‎（2）若点N在点M的上方，且MN＝3，求m的值；‎ ‎（3）将直线AB向上平移4个单位长度，分别与x轴、y轴交于点C.D（如图②）．‎ ‎①记△NBC的面积为S1，△NAC的面积为S2，是否存在m，使得点N在直线AC的上方，且满足S1﹣S2＝6？若存在，求出m及相应的S1，S2的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎②当m＞﹣1时，将线段MA绕点M顺时针旋转90°得到线段MF，连接FB.FC.OA．若∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，直接写出直线OF与该二次函数图象交点的横坐标．‎ ‎【分析】（1）将点A坐标代入二次函数解析式中，求出b，进而得出二次函数解析式，再将点B坐标代入二次函数中，即可求出n的值；‎ ‎（2）先表示出点M，N的坐标，进而用MN＝3建立方程求解，即可得出结论；‎ ‎（3）①先求出点C坐标，进而求出直线AC的解析式，再求出直线BC 的解析式，进而表示出S1，S2，最后用S1﹣S2＝6建立方程求出m的值；‎ ‎②先判断出CF∥OA，进而求出直线CF的解析式，再利用三垂线构造出△AQM≌△MSF，得出FS＝MQ，进而建立方程求出点F的坐标，即可求出直线OF的解析式，最后联立二次函数解析式，解方程组即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）将点A（﹣1，2）代入二次函数y＝﹣x2+bx+4中，得﹣1﹣b+4＝2，‎ ‎∴b＝1，‎ ‎∴二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，‎ 将点B（3，n）代入二次函数y＝﹣x2+x+4中，得n＝﹣9+3+4＝﹣2，‎ 故答案为：1，﹣2；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y＝kx+a，由（1）知，点B（3，﹣2），‎ ‎∵A（﹣1，2），‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝﹣x+1，‎ 由（1）知，二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4，‎ ‎∵点P（m，0），‎ ‎∴M（m，﹣m+1），N（m，﹣m2+m+4），‎ ‎∵点N在点M的上方，且MN＝3，‎ ‎∴﹣m2+m+4﹣（﹣m+1）＝3，‎ ‎∴m＝0或m＝2；‎ ‎（3）①如图1，由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，‎ ‎∴直线CD的解析式为y＝﹣x+1+4＝﹣x+5，‎ 令y＝0，则﹣x+5＝0，‎ ‎∴x＝5，‎ ‎∴C（5，0），‎ ‎∵A（﹣1，2），B（3，﹣2），‎ ‎∴直线AC的解析式为y＝﹣x+，直线BC的解析式为y＝x﹣5，‎ 过点N作y轴的平行线交AC于K，交BC于H，∵点P（m，0），‎ ‎∴N（m，﹣m2+m+4），K（m，﹣m+），H（m，m﹣5），‎ ‎∴NK＝﹣m2+m+4+m﹣＝﹣m2+m+，NH＝﹣m2+9，‎ ‎∴S2＝S△NAC＝NK×（xC﹣xA）＝（﹣m2+m+）×6＝﹣3m2+4m+7，‎ S1＝S△NBC＝NH×（xC﹣xB）＝﹣m2+9，‎ ‎∵S1﹣S2＝6，‎ ‎∴﹣m2+9﹣（﹣3m2+4m+7）＝6，‎ ‎∴m＝1+（由于点N在直线AC上方，所以，舍去）或m＝1﹣；‎ ‎∴S2＝﹣3m2+4m+7＝﹣3（1﹣）2+4（1﹣）+7＝2﹣1，‎ S1＝﹣m2+9＝﹣（1﹣）2+9＝2+5；‎ ‎②如图2，‎ 记直线AB与x轴，y轴的交点为I，L，‎ 由（2）知，直线AB的解析式为y＝﹣x+1，‎ ‎∴I（1，0），L（0，1），‎ ‎∴OL＝OI，‎ ‎∴∠ALD＝∠OLI＝45°，‎ ‎∴∠AOD+∠OAB＝45°，‎ 过点B作BG∥OA，‎ ‎∴∠ABG＝∠OAB，‎ ‎∴∠AOD+∠ABG＝45°，‎ ‎∵∠FBA＝∠ABG+∠FBG，∠FBA+∠AOD﹣∠BFC＝45°，‎ ‎∴∠ABG+∠FBG+∠AOD﹣∠BFC＝45°，‎ ‎∴∠FBG＝∠BFC，‎ ‎∴BG∥CF，‎ ‎∴OA∥CF，‎ ‎∵A（﹣1，2），‎ ‎∴直线OA的解析式为y＝﹣2x，‎ ‎∵C（5，0），‎ ‎∴直线CF的解析式为y＝﹣2x+10，‎ 过点A，F分别作过点M平行于x轴的直线的垂线，交于点Q，S，‎ ‎∵∠AQM＝∠MSF＝90°，‎ ‎∵点M在直线AB上，m＞﹣1，‎ ‎∴M（m，﹣m+1），‎ ‎∴A（﹣1，2），‎ ‎∴MQ＝m+1，‎ 设点F（n，﹣2n+10），‎ ‎∴FS＝﹣2n+10+m﹣1＝﹣2n+m+9，‎ 由旋转知，AM＝MF，∠AMF＝90°，‎ ‎∴∠MAQ+∠AMQ＝90°＝∠AMQ+∠FMS，‎ ‎∴∠MAQ＝∠FMS，‎ ‎∴△AQM≌△MSF（AAS），‎ ‎∴FS＝MQ，‎ ‎∴﹣2n+m+9＝m+1，‎ ‎∴n＝4，‎ ‎∴F（4，2），‎ ‎∴直线OF的解析式为y＝x①，‎ ‎∵二次函数的解析式为y＝﹣x2+x+4②，‎ 联立①②解得，或，‎ ‎∴直线OF与该二次函数图象交点的横坐标为或．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，三角形面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，解方程组，构造出全等三角形是解本题的关键．‎ ‎15.（2020•湖北武汉•10分）某公司分别在A，B两城生产同种产品，共100件．A城生产产品的总成本y（万元）与产品数量x（件）之间具有函数关系y＝ax2+bx．当x＝10时，y＝400；当x＝20时，y＝1000．B城生产产品的每件成本为70万元．‎ ‎（1）求a，b的值；‎ ‎（2）当A，B两城生产这批产品的总成本的和最少时，求A，B两城各生产多少件？‎ ‎（3）从A城把该产品运往C，D两地的费用分别为m万元/件和3万元/件；从B城把该产品运往C，D两地的费用分别为1万元/件和2万元/件．C地需要90件，D 地需要10件，在（2）的条件下，直接写出A，B两城总运费的和的最小值（用含有m的式子表示）．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可求出a，b的值；‎ ‎（2）先根据（1）的结论得出y与x之间的函数关系，从而可得出A，B两城生产这批产品的总成本的和，再根据二次函数的性质即可得出答案；‎ ‎（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，从而可得关于n的不等式组，解得n的范围，然后根据运费信息可得P关于n的一次函数，最后根据一次函数的性质可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：，‎ 解得：．‎ ‎∴a＝1，b＝30；‎ ‎（2）由（1）得：y＝x2+30x，‎ 设A，B两城生产这批产品的总成本为w，‎ 则w＝x2+30x+70（100﹣x）‎ ‎＝x2﹣40x+7000，‎ ‎＝（x﹣20）2+6600，‎ 由二次函数的性质可知，当x＝20时，w取得最小值，最小值为6600万元，此时100﹣20＝80．‎ 答：A城生产20件，B城生产80件；‎ ‎（3）设从A城运往C地的产品数量为n件，A，B两城总运费的和为P，‎ 则从A城运往D地的产品数量为（20﹣n）件，从B城运往C地的产品数量为（90﹣n）件，从B城运往D地的产品数量为（10﹣20+n）件，‎ 由题意得：，‎ 解得10≤n≤20，‎ ‎∴P＝mn+3（20﹣n）+（90﹣n）+2（10﹣20+n），‎ 整理得：P＝（m﹣2）n+130，‎ 根据一次函数的性质分以下两种情况：‎ ‎①当0＜m≤2，10≤n≤20时，P随n的增大而减小，‎ 则n＝20时，P取最小值，最小值为20（m﹣2）+130＝20m+90；‎ ‎②当m＞2，10≤n≤20时，P随n的增大而增大，‎ 则n＝10时，P取最小值，最小值为10（m﹣2）+130＝10m+110．‎ 答：0＜m≤2时，A，B两城总运费的和为（20m+90）万元；当m＞2时，A，B两城总运费的和为（10m+110）万元．‎ ‎【点评】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式、二次函数及一次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确一次函数和二次函数的相关性质是解题的关键．‎ ‎16.（2020•湖北武汉•12分）将抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，再将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎（1）直接写出抛物线C1，C2的解析式；‎ ‎（2）如图（1），点A在抛物线C1（对称轴l右侧）上，点B在对称轴l上，△OAB是以OB为斜边的等腰直角三角形，求点A的坐标；‎ ‎（3）如图（2），直线y＝kx（k≠0，k为常数）与抛物线C2交于E，F两点，M为线段EF的中点；直线y＝﹣x与抛物线C2交于G，H两点，N为线段GH的中点．求证：直线MN经过一个定点．‎ ‎【分析】（1）根据平移规律：上加下减，左加右减，直接写出平移后的解析式；‎ ‎（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，再证明△ABD≌△OAC，由全等三角形的性质得a的方程求得a便可得A的坐标；‎ ‎（3）由两直线解析式分别与抛物线的解析式联立方程组，求出M、N 点的坐标，进而求得MN的解析式，再根据解析式的特征得出MN经过一个定点．‎ ‎【解答】解：（1）∵抛物线C：y＝（x﹣2）2向下平移6个单位长度得到抛物线C1，‎ ‎∴C1：y＝（x﹣2）2﹣6，‎ ‎∵将抛物线C1向左平移2个单位长度得到抛物线C2．‎ ‎∴C2：y＝（x﹣2+2）2﹣6，即y＝x2﹣6；‎ ‎（2）过点A作AC⊥x轴于点C，过B作BD⊥AC于点D，如图1，‎ 设A（a，（a﹣2）2﹣6），则BD＝a﹣2，AC＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ ‎∵∠BAO＝∠ACO＝90°，‎ ‎∴∠BAD+∠OAC＝∠OAC+∠AOC＝90°，‎ ‎∴∠BAD＝∠AOC，‎ ‎∵AB＝OA，∠ADB＝∠OCA，‎ ‎∴△ABD≌△OAC（AAS），‎ ‎∴BD＝AC，‎ ‎∴a﹣2＝|（a﹣2）2﹣6|，‎ 解得，a＝4，或a＝﹣1（舍），或a＝0（舍），或a＝5，‎ ‎∴A（4，﹣2）或（5，3）；‎ ‎（3）把y＝kx代入y＝x2﹣6中得，x2﹣kx﹣6＝0，‎ ‎∴xE+xF＝k，‎ ‎∴M（），‎ 把y＝﹣x代入y＝x2﹣6中得，x2+x﹣6＝0，‎ ‎∴，‎ ‎∴N（，），‎ 设MN的解析式为y＝mx+n（m≠0），则 ‎，解得，，‎ ‎∴直线MN的解析式为：，‎ 当x＝0时，y＝2，‎ ‎∴直线MN：经过定点（0，2），‎ 即直线MN经过一个定点．‎ ‎【点评】本题是一个二次函数综合题，主要考查了平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，待定系数法，求函数图象的交点问题，第（2）小题关键是证明三角形全等，第（3）题关键是求出M、N点的坐标及直线MN的解析式．‎ ‎17（2020•湖北襄阳•12分）如图，直线y＝﹣x+2交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．‎ ‎（1）直接写出点A，点B，点C的坐标及拋物线的解析式；‎ ‎（2）在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；‎ ‎（3）将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，若线段O′A′与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．‎ ‎【分析】（1）令x＝0，由y＝﹣x+2，得A点坐标，令y＝0，由y＝﹣x+2，得C点坐标，将A.C的坐标代入抛物线的解析式便可求得抛物线的解析式，进而由二次函数解析式令y＝0，便可求得B点坐标；‎ ‎（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，设M（a，），则N（a，），由三角形的面积公式表示出四边形的面积关于a的函数关系式，再根据二次函数的性质求得最大值，并求得a的值，便可得M点的坐标；‎ ‎（3）根据旋转性质，求得O′点和A′点的坐标，令O′点和A′点在抛物线上时，求出m的最大和最小值便可．‎ ‎【解答】解：（1）令x＝0，得y＝﹣x+2＝2，‎ ‎∴A（0，2），‎ 令y＝0，得y＝﹣x+2＝0，解得，x＝4，‎ ‎∴C（4，0），‎ 把A.C两点代入y＝﹣x2+bx+c得，‎ ‎，解得，‎ ‎∴抛物线的解析式为，‎ 令y＝0，得＝0，‎ 解得，x＝4，或x＝﹣2，‎ ‎∴B（﹣2，0）；‎ ‎（2）过M点作MN⊥x轴，与AC交于点N，如图1，‎ 设M（a，），则N（a，），‎ ‎∴＝，‎ ‎∵，‎ ‎∴S四边形ABCM＝S△ACM+S△ABC＝，‎ ‎∴当a＝2时，四边形ABCM面积最大，其最大值为8，‎ 此时M的坐标为（2，2）；‎ ‎（3）∵将线段OA绕x轴上的动点P（m，0）顺时针旋转90°得到线段O′A′，如图2，‎ ‎∴PO′＝PO＝m，O′A′＝OA＝2，‎ ‎∴O′（m，m），A′（m+2，m），‎ 当A′（m+2，m）在抛物线上时，有，‎ 解得，m＝﹣3，‎ 当点O′（m，m）在抛物线上时，有，‎ 解得，m＝﹣4或2，‎ ‎∴当﹣3﹣≤m≤﹣4或﹣3+≤m≤2时，线段O′A′与抛物线只有一个公共点．‎ ‎【点评】本题是一个二次函数的综合题，主要考查了二次函数的图象与性质，旋转的性质，待定系数法，求函数图象与坐标轴的交点，求函数的最大值，三角形的面积公式，第（2）题关键在求函数的解析式，第（3）关键是确定O′，A′点的坐标与位置．‎ ‎18（2020•湖北孝感•13分）在平面直角坐标系中，已知抛物线y＝ax2+4ax+4a﹣6（a＞0）与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，顶点为点D．‎ ‎（1）当a＝6时，直接写出点A，B，C，D的坐标：‎ A　（﹣3，0）　，B　（﹣1，0）　，C　（0，18）　，D　（﹣2，﹣6）　；‎ ‎（2）如图1，直线DC交x轴于点E，若tan∠AED＝，求a的值和CE的长；‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，若点N为OC的中点，动点P在第三象限的抛物线上，过点P作x轴的垂线，垂足为Q，交AN于点F；过点F作FH⊥DE，垂足为H．设点P的横坐标为t，记f＝FP+FH．‎ ‎①用含t的代数式表示f；‎ ‎②设﹣5＜t≤m（m＜0），求f的最大值．‎ ‎【分析】（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，即可求解；‎ ‎（2）由点C.D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，进而求出点E（﹣2，0），利用tan∠AED＝＝＝，即可求解；‎ ‎（3）①证明△FJH∽△ECO，故，则FH＝，即可求解；‎ ‎②f＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0），即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）当a＝6时，抛物线的表达式为：y＝6x2+24x+18，‎ 令y＝0，则x＝﹣1或﹣3；当x＝0时，y＝18，函数的对称轴为x＝﹣2，‎ 故点A.B.C.D的坐标分别为（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；‎ 故答案为：（﹣3，0）、（﹣1，0）、（0，18）、（﹣2，﹣6）；‎ ‎（2）y＝ax2+4ax+4a﹣6，令x＝0，则y＝4a﹣6，则点C（0，4a﹣6），‎ 函数的对称轴为x＝﹣2，故点D的坐标为（﹣2，﹣6），‎ 由点C.D的坐标得，直线CD的表达式为：y＝2ax+4a﹣6，‎ 令y＝0，则x＝﹣2，故点E（﹣2，0），则OE＝﹣2，‎ tan∠AED＝＝＝，解得：a＝，‎ 故点C.E的坐标分别为（0，﹣）、（，0），‎ 则CE＝＝；‎ ‎（3）①如图，作PF与ED的延长线交于点J，‎ 由（2）知，抛物线的表达式为：y＝x2+x﹣，‎ 故点A.C的坐标分别为（﹣5，0）、（0，﹣），则点N（0，﹣），‎ 由点A.N的坐标得，直线AN的表达式为：y＝﹣x﹣；‎ 设点P（t，t2+t﹣），则点F（t，﹣t﹣）；‎ 则PF＝﹣t2﹣3t+，‎ 由点E（，0）、C的坐标得，直线CE的表达式为：y＝x﹣，‎ 则点J（t，t﹣），故FJ＝﹣t+，‎ ‎∵FH⊥DE，JF∥y轴，‎ 故∠FHJ＝∠EOC＝90°，∠FJH＝∠ECO，‎ ‎∴△FJH∽△ECO，故，‎ 则FH＝，‎ f＝PF+FH＝﹣t2﹣3t++（﹣t+1）＝﹣t2﹣4t+；‎ ‎②f＝﹣t2﹣4t+＝﹣（t+3）2+（﹣5＜t≤m且m＜0）；‎ ‎∴当﹣5＜m＜﹣3时，fmax＝﹣m2﹣4m+；‎ 当﹣3≤m＜0时，fmax＝．‎ ‎【点评】本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数的性质、三角形相似等，综合性较强，难度较大．‎ ‎19（2020•湖南省常德•10分）如图，已知抛物线y＝ax2过点A（﹣3，）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）已知直线l过点A，M（，0）且与抛物线交于另一点B，与y轴交于点C，求证：MC2＝MA•MB；‎ ‎（3）若点P，D分别是抛物线与直线l上的动点，以OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，求所有符合条件的P点坐标．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题．‎ ‎（2）构建方程组确定点B的坐标，再利用平行线分线段成比例定理解决问题即可．‎ ‎（3）如图2中，设P（t，t2），根据PD＝CD构建方程求出t即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）把点A（﹣3，）代入y＝ax2，‎ 得到＝9a，‎ ‎∴a＝，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝x2．‎ ‎（2）设直线l的解析式为y＝kx+b，则有，‎ 解得，‎ ‎∴直线l的解析式为y＝﹣x+，‎ 令x＝0，得到y＝，‎ ‎∴C（0，），‎ 由，解得或，‎ ‎∴B（1，），‎ 如图1中，过点A作AA1⊥x轴于A1，过B作BB1⊥x轴于B1，则BB1∥OC∥AA1，‎ ‎∴＝＝＝，＝＝＝，‎ ‎∴＝，‎ 即MC2＝MA•MB．‎ ‎（3）如图2中，设P（t，t2）‎ ‎∵OC为一边且顶点为O，C，P，D的四边形是平行四边形，‎ ‎∴PD∥OC，PD＝OC，‎ ‎∴D（t，﹣t+），‎ ‎∴|t2﹣（﹣t+）|＝，‎ 整理得：t2+2t﹣6＝0或t2+2t＝0，‎ 解得t＝﹣1﹣或﹣1＝或﹣2或0（舍弃），‎ ‎∴P（﹣1﹣，2+）或（﹣1+，2﹣）或（﹣2，1）．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，考查了待定系数法，平行四边形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎20（2020•湖南省郴州•12分）如图，抛物线与轴交于，与轴交于点．已知直线过两点．‎ ‎（1）求抛物线和直线的表达式；‎ ‎（2）点是抛物线上的一个动点，‎ ‎①如图，若点在第一象限内，连接，交直线于点．设的面积为，的面积为，求的最大值；‎ ‎②如图2，抛物线的对称轴与轴交于点，过点作，垂足为．点是对称轴上的一个动点，是否存在以点为顶点的四边形是平行四边形？‎ 若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1），；（2）①；②存在，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入可求得抛物线的表达式，再求得点C的坐标，把B(3，0)，C的坐标代入即可求解；‎ ‎（2）①设点D的坐标为(，)，利用待定系数法求得直线PA的表达式为，解方程，求得点P的横坐标为，利用平等线分线段成比例定理求得，得到，利用二次函数的性质即可求解；‎ ‎②根据等腰直角三角形的性质求得点的坐标为(2，)，分当EF为边和EF为对角线时两种情况讨论，即可求解．‎ ‎【详解】（1）把A(-1，0)，B(3，0)代入得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴抛物线的表达式为，‎ 令，则，‎ ‎∴点C坐标为(0，3)，‎ 把B(3，0)，C(0，3)代入得：‎ ‎，‎ 解得：，‎ ‎∴直线的表达式为；‎ ‎（2）①∵PA交直线BC于点，‎ ‎∴设点D的坐标为(，)，‎ 设直线PA的表达式为，‎ ‎∴，‎ 解得：，‎ ‎∴直线PA的表达式为，‎ ‎∴，‎ 整理得：，‎ 解得：(不合题意，舍去)，‎ ‎∴点D的横坐标为，点P的横坐标为，‎ 分别过点D.P作x轴的垂线，垂足分别为M、N，如图：‎ ‎∴DM∥PN，OM=，ON=，OA=1，‎ ‎∴‎ ‎，‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，分子取得最大值，即有最大值，最大值为；‎ ‎②存在，理由如下：‎ 作于G，如图，‎ ‎∵的对称轴为：，‎ ‎∴OE=1，‎ ‎∵B(3，0)，C(0，3)‎ ‎∵OC=OB=3，∠OCB=90，‎ ‎∴△OCB是等腰直角三角形，‎ ‎∵∠EFB=90，BE=OB-OE=2，‎ ‎∴△OCB是等腰直角三角形，‎ ‎∴EG=GB=EG=1，‎ ‎∴点的坐标为(2，)， ‎ 当EF为边时，‎ ‎∵EFPQ为平行四边形，‎ ‎∴QE=PF，QE∥PF∥轴，‎ ‎∴点P的横坐标与点F的横坐标同为2，‎ 当时，，‎ ‎∴点P的坐标为(2，)，‎ ‎∴QE=PF=3-1=2，‎ 点Q的坐标为(1，2)；‎ 当EF为对角线时，如图，‎ ‎∵PEQF为平行四边形，‎ ‎∴QE=PF，QE∥PF∥轴，‎ 同理求得：点P的坐标为(2，)，‎ ‎∴QE=PF=3-1=2，‎ 点Q的坐标为(1，)；‎ 综上，点P的坐标为(2，)，点Q的坐标为(1，2)或(1，)；‎ ‎【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解法，待定系数法求二次函数解析式，等腰直角三角形的判定和性质，平行线公线段成比例定理，等高的三角形的面积的比等于底边的比，二次函数的性质以及平行四边形的对边的判定和性质，（3）注意要分AB 是对角线与边两种情况讨论．‎ ‎21 （2020•江苏省连云港市•10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），点B在y轴的负半轴上，AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．‎ ‎（1）m＝　6　，点C的坐标为　（2，0）　；‎ ‎（2）若点D为线段AB上的一个动点，过点D作DE∥y轴，交反比例函数图象于点E，求△ODE面积的最大值．‎ ‎【分析】（1）根据待定系数法即可求得m的值，根据A点的坐标即可求得C的坐标；‎ ‎（2）根据待定系数法求得直线AB的解析式，设出D.E的坐标，然后根据三角形面积公式得到S△ODE＝﹣（x﹣1）2+，由二次函数的性质即可求得结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点A（4，），‎ ‎∴m＝＝6，‎ ‎∵AB交x轴于点C，C为线段AB的中点．‎ ‎∴C（2，0）；‎ 故答案为6，（2，0）；‎ ‎（2）设直线AB的解析式为y＝kx+b，‎ 把A（4，），C（2，0）代入得，解得，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝x﹣；‎ ‎∵点D为线段AB上的一个动点，‎ ‎∴设D（x，x﹣）（0＜x≤4），‎ ‎∵DE∥y轴，‎ ‎∴E（x，），‎ ‎∴S△ODE＝x•（﹣x+）＝﹣x2+x+3＝﹣（x﹣1）2+，‎ ‎∴当x＝1时，△ODE的面积的最大值为．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数系数k的几何意义，二次函数的性质，根据三角形面积得到二次函数的解析式是解题的关键．‎ ‎22 （2020•江苏省连云港市•12分）在平面直角坐标系xOy中，把与x轴交点相同的二次函数图象称为“共根抛物线”．如图，抛物线L1：y＝x2﹣x﹣2的顶点为D，交x轴于点A.B（点A在点B左侧），交y轴于点C．抛物线L2与L1是“共根抛物线”，其顶点为P．‎ ‎（1）若抛物线L2经过点（2，﹣12），求L2对应的函数表达式；‎ ‎（2）当BP﹣CP的值最大时，求点P的坐标；‎ ‎（3）设点Q是抛物线L1上的一个动点，且位于其对称轴的右侧．若△DPQ与△ABC相似，求其“共根抛物线”L2的顶点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），利用待定系数法求出a即可解决问题．‎ ‎（2）由题意BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，此时点P为直线AC与直线x＝的交点．‎ ‎（3）由题意，顶点D（，﹣），∠PDQ不可能是直角，第一种情形：当∠DPQ＝90°时，①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时．②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时．第二种情形：当∠DQP＝90°．①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时．②当△DPQ∽△ABC时，分别求解即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）当y＝0时，x2﹣x﹣2＝0，解得x＝﹣1或4，‎ ‎∴A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2），‎ 由题意设抛物线L2的解析式为y＝a（x+1）（x﹣4），‎ 把（2，﹣12）代入y＝a（x+1）（x﹣4），‎ ‎﹣12＝﹣6a，‎ 解得a＝2，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝2（x+1）（x﹣4）＝2x2﹣6x﹣8．‎ ‎（2）∵抛物线L2与L1是“共根抛物线”，A（﹣1，0），B（4，0），‎ ‎∴抛物线L1，L2的对称轴是直线x＝，‎ ‎∴点P在直线x＝上，‎ ‎∴BP＝AP，如图1中，当A，C，P共线时，BP﹣PC的值最大，‎ 此时点P为直线AC与直线x＝的交点，‎ ‎∵直线AC的解析式为y＝﹣2x﹣2，‎ ‎∴P（，﹣5）‎ ‎（3）由题意，AB＝5，CB＝2，CA＝，‎ ‎∴AB2＝BC2+AC2，‎ ‎∴∠ACB＝90°，CB＝2CA，‎ ‎∵y＝x2﹣x﹣2＝（x﹣）2﹣，‎ ‎∴顶点D（，﹣），‎ 由题意，∠PDQ不可能是直角，‎ 第一种情形：当∠DPQ＝90°时，‎ ‎①如图3﹣1中，当△QDP∽△ABC时，＝＝，‎ 设Q（x，x2﹣x﹣2），则P（，x2﹣x﹣2），‎ ‎∴DP＝x2﹣x﹣2﹣（﹣）＝x2﹣x+，QP＝x﹣，‎ ‎∵PD＝2QP，‎ ‎∴2x﹣3＝x2﹣x+，解得x＝或（舍弃），‎ ‎∴P（，）．‎ ‎②如图3﹣2中，当△DQP∽△ABC时，同法可得QO＝2PD，‎ x﹣＝x2﹣3x+，‎ 解得x＝或（舍弃），‎ ‎∴P（，﹣）．‎ 第二种情形：当∠DQP＝90°．‎ ‎①如图3﹣3中，当△PDQ∽△ABC时，＝＝，‎ 过点Q作QM⊥PD于M．则△QDM∽△PDQ，‎ ‎∴＝＝，由图3﹣1可知，M（，），Q（，），‎ ‎∴MD＝8，MQ＝4，‎ ‎∴DQ＝4，‎ 由＝，可得PD＝10，‎ ‎∵D（，﹣）‎ ‎∴P（，）．‎ ‎②当△DPQ∽△ABC时，过点Q作QM⊥PD于M．‎ 同法可得M（，﹣），Q（，﹣），‎ ‎∴DM＝，QM＝1，QD＝，‎ 由＝，可得PD＝，‎ ‎∴P（，﹣）．‎ ‎【点评】本题属于二次函数综合题，考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想解决问题，属于中考压轴题．‎ ‎23（2020•广东省深圳市•9分）如图1，抛物线y=ax2+bx+3（a≠0）与x轴交于A（-3，0）和B（1，0），与y轴交于点C，顶点为D ‎（1）求解抛物线解析式 ‎（2）连接AD，CD，BC，将△OBC沿着x轴以每秒1个单位长度的速度向左平移，得到，点O、B.C的对应点分别为点，，，设平移时间为t秒，当点与点A重合时停止移动。记△与四边形AOCD的重叠部分的面积为S，请直接写出S与时间t的函数解析式;‎ ‎（3）如图2，过抛物线上任意一点M（m，n）向直线l:作垂线，垂足为E，试问在该抛物线的对称轴上是否存在一点F，使得ME-MF=？若存在，请求F点的坐标；若不存在，请说明理由。‎ 图2‎ 图1‎ ‎【考点】二次函数，变量之间的关系，存在性问题 ‎【解析】‎ 解：（1）将A（-3，0）和B（1，0）代入抛物线解析式y=ax2+bx+3中，可得：‎ ‎∴抛物线解析式为y=-x2-2x+3‎ ‎（2）①如图所示，当0

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