北师大版九上第1章特殊平行四边形测试卷（共3套含解析）

北师大版九上第1章特殊平行四边形测试卷（共3套含解析）

第一章 特殊平行四边形测试卷1‎ 一、选择题 ‎1．矩形具有而菱形不具有的性质是(　　)‎ A．两组对边分别平行 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等 ‎2．如图，EF过矩形ABCD对角线的交点O，且分别交AB，CD于E，F，那么阴影部分的面积是矩形ABCD面积的(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎ 第2题图 第3题图 ‎3．如图，在菱形ABCD中，AC，BD是对角线，若∠BAC＝50°，则∠ABC等于(　　)‎ A．40° B．50° C．80° D．100°‎ ‎4．正方形ABCD的面积为36，则对角线AC的长为(　　)‎ A．6 B．6 C．9 D．9 ‎5．下列命题中，真命题是(　　)‎ A．对角线相等的四边形是矩形 B．对角线互相垂直的四边形是菱形 C．对角线互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线互相垂直平分的四边形是正方形 ‎6．四边形ABCD的对角线AC＝BD，AC⊥BD，分别过A，B，C，D作对角线的平行线，所成的四边形EFMN是(　　)‎ A．正方形 B．菱形 ‎ C．矩形 D．任意四边形 ‎7．如图，菱形ABCD中，∠A＝60°，周长是16，则菱形的面积是(　　)‎ A．16 B．16 C．16 D．8 ‎ ‎ 第7题图 第9题图 第10题图 ‎8．在▱ABCD中，AB＝3，BC＝4，当▱ABCD的面积最大时，下列结论正确的有(　　)‎ ‎①AC＝5；②∠A＋∠C＝180°；③AC⊥BD；④AC＝BD.‎ A． ‎①②③ B．①②④ ‎ C．②③④ D．①③④‎ ‎9．如图，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC＝4，则四边形CODE的周长为(　　)‎ A．4 B．6 C．8 D．10‎ ‎10．如图，在△ABC中，点D，E，F分别在边BC，AB，CA上，且DE∥CA，DF∥AB ‎.下列四种说法：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC＝90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果AD⊥BC且AB＝AC，那么四边形AEDF是菱形．其中，正确的有(　　)‎ A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题 ‎11．顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是________．‎ ‎12．如图，延长正方形ABCD的边BC至E，使CE＝AC，则∠AFC＝________．‎ ‎ ‎ 第12题图 第14题图 ‎13．已知▱ABCD的对角线AC，BD相交于点O，请你添加一个适当的条件____________使其成为一个菱形(只添加一个即可)．‎ ‎14．如图，一个平行四边形的活动框架，对角线是两根橡皮筋．若改变框架的形状，则∠α也随之变化，两条对角线长度也在发生改变．当∠α为________度时，两条对角线长度相等．‎ ‎15．如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC＝45°，则点D的坐标为____________．‎ ‎ ‎ 第15题图 第16题图 ‎16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D为斜边AB上一点，以CD，CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝________时，平行四边形CDEB为菱形．‎ ‎17．如图，已知双曲线y＝(x＞0)经过矩形OABC边AB的中点F，交BC于点E，且四边形OEBF的面积为6，则k＝________．‎ ‎ ‎ 第17题图 第18题图 ‎18．如图，矩形ABCD中，E是AD的中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于点F.若AB＝6，BC＝10，则FD的长为________．‎ 三、解答题 ‎19．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，AM⊥BC，垂足为M，AN⊥DC，垂足为N，若∠BAD＝∠BCD，AM＝AN，求证：四边形ABCD是菱形．‎ ‎20.如图，已知BD是矩形ABCD的对角线．‎ ‎(1)用直尺和圆规作线段BD的垂直平分线，分别交AD，BC于点E，F(保留作图痕迹，不写作法和证明)；‎ ‎(2)连接BE，DF，问四边形BEDF是什么四边形？请说明理由．‎ ‎21．如图，点E是正方形ABCD外一点，点F是线段AE上一点，△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，连接CE，CF.‎ ‎(1)求证：△ABF≌△CBE；‎ ‎(2)判断△CEF的形状，并说明理由．‎ ‎22．如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E.‎ ‎(1)求证：四边形ADCE为矩形；‎ ‎(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明．‎ ‎23．如图，在菱形ABCD中，AB＝4，点E为BC的中点，AE⊥BC，AF⊥CD于点F，CG∥AE，CG交AF于点H，交AD于点G.‎ ‎(1)求菱形ABCD的面积；‎ ‎(2)求∠CHA的度数．‎ ‎24．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，点E是AD的中点，过A点作BC的平行线交CE的延长线于点F，且AF＝BD，连接BF.(提示：在直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半)‎ ‎(1)试判断线段BD与CD的大小关系；‎ ‎(2)如果AB＝AC，试判断四边形AFBD的形状，并证明你的结论；‎ ‎(3)若△ABC为直角三角形，且∠BAC＝90°时，判断四边形AFBD的形状，并说明理由.‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．B　2.B　3.C　4.B　5.C　6.A　7.D　8.B　9.C ‎10．D　解析：∵DE∥CA，DF∥AB，∴四边形AEDF是平行四边形，故①正确；若∠BAC＝90°，则平行四边形AEDF为矩形，故②正确；若AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠EAD＝∠FAD.∵DE∥CA，∴∠EDA＝∠FAD，∴∠EAD＝∠EDA，∴AE＝DE，∴平行四边形AEDF为菱形，故③正确；若AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，同理可得平行四边形AEDF为菱形，故④正确，则其中正确的个数有4个．故选D.‎ 二、填空题 ‎11．菱形　12.112.5°　13.AC⊥BD(答案不唯一)‎ ‎14．90　15.(2＋，)　16. ‎17．6　解析：设F，则B，因为S矩形ABCO＝S△OCE＋S△AOF＋S四边形OEBF，‎ 所以k＋k＋6＝a·，解得k＝6.‎ ‎18.　解析：连接EF，∵E是AD的中点，∴AE＝DE.‎ ‎∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，‎ ‎∴AE＝EG，BG＝AB＝6，∴ED＝EG.‎ ‎∵在矩形ABCD中，∠A＝∠D＝90°，∴∠EGF＝90°.‎ 在Rt△EDF和Rt△EGF中， ‎∴Rt△EDF≌Rt△EGF(HL)，∴DF＝FG.设DF＝x，则BF＝BG＋GF＝6＋x，CF＝CD－DF＝6－x.‎ 在Rt△BCF中，BC2＋CF2＝BF2，即102＋(6－x)2＝(6＋x)2，解得x＝.即DF＝.‎ 三、解答题 ‎19．证明：∵AD∥BC，∴∠BAD＋∠B＝180°.‎ ‎∵∠BAD＝∠BCD，∴∠B＋∠BCD＝180°，∴AB∥CD，∴四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴∠B＝∠D.‎ ‎∵AM⊥BC，AN⊥CD，∴∠AMB＝∠AND＝90°.‎ 在△ABM与△ADN中，‎ ‎∴△ABM≌△ADN，‎ ‎∴AB＝AD，∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎20．解：(1)如图所示，EF为所求直线．‎ ‎(2)四边形BEDF为菱形．理由如下：‎ ‎∵EF垂直平分BD，∴BF＝DF，BE＝DE，∠DEF＝∠BEF.‎ ‎∵四边形ABCD为矩形，∴AD∥BC，∴∠DEF＝∠BFE，∴∠BEF＝∠BFE，∴BE＝BF.‎ ‎∵BF＝DF，∴BE＝ED＝DF＝BF，∴四边形BEDF为菱形．‎ ‎ ‎ ‎ 21.(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝CB，∠ABC＝90°.‎ ‎∵△EBF是等腰直角三角形，其中∠EBF＝90°，∴BE＝BF，∠EBC＋∠FBC＝90°.‎ 又∵∠ABF＋∠FBC＝90°，∴∠ABF＝∠CBE.‎ 在△ABF和△CBE中，有 ‎∴△ABF≌△CBE(SAS)．‎ ‎(2)解：△CEF是直角三角形．理由如下： ‎ ‎∵△EBF是等腰直角三角形，∴∠BFE＝∠FEB＝45°，∴∠AFB＝180°－∠BFE＝135°.‎ 又∵△ABF≌△CBE，∴∠CEB＝∠AFB＝135°，∴∠CEF＝∠CEB－∠FEB＝135°－45°＝90°，∴△CEF是直角三角形．‎ ‎22．(1)证明：∵AB＝AC，AD⊥BC，∴AD平分∠BAC，‎ ‎∴∠BAD＝∠DAC.∵AE平分∠CAM，‎ ‎∴∠CAE＝∠EAM，∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝(∠BAC＋∠CAM)＝90°.‎ ‎∵AD⊥BC，CE⊥AN，∴∠ADC＝∠CEA＝90°，∴四边形ADCE为矩形．‎ ‎(2)解：当△ABC满足∠BAC＝90°时，四边形ADCE为正方形．证明如下 ‎∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＝∠DCA＝45°，∴AD＝CD.‎ 又∵四边形ADCE为矩形，∴四边形ADCE为正方形．‎ ‎23．解：(1)连接AC，BD，并且AC和BD相交于点O.‎ ‎∵AE⊥BC且E为BC的中点，∴AC＝AB.∵四边形ABCD为菱形，∴AB＝BC＝AD＝DC，AC⊥BD∴△ABC和△ADC都是正三角形，∴AB＝AC＝4.‎ ‎∴AO＝AC＝2，∴BO＝＝2，‎ ‎∴BD＝4，∴菱形ABCD的面积是AC·BD＝8.‎ ‎(2)∵△ADC是正三角形，AF⊥CD，∴∠DAF＝30°.∵CG∥AE，BC∥AD，AE⊥BC，‎ ‎∴四边形AECG为矩形，∴∠AGH＝90°，∴∠AHC＝∠DAF＋∠AGH＝120°.‎ ‎24．解：(1)BD＝CD.∵AF∥BC，∴∠FAE＝∠CDE.∵点E是AD的中点，∴AE＝DE.‎ 在△AEF和△DEC中， ‎∴△AEF≌△DEC(ASA)，∴AF＝CD.‎ ‎∵AF＝BD，∴BD＝CD.‎ ‎(2)四边形AFBD是矩形．证明如下：‎ ‎∵AF∥BC，AF＝BD，∴四边形AFBD是平行四边形．‎ ‎∵AB＝AC，BD＝CD，∴AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，∴四边形AFBD是矩形．‎ ‎(3)四边形AFBD为菱形，理由如下：‎ ‎∵∠BAC＝90°，BD＝CD，∴BD＝AD.‎ 同(2)可得四边形AFBD是平行四边形，‎ ‎∴四边形AFBD是菱形．‎ 第一章 特殊平行四边形测试卷2‎ 总分120分 120分钟 一．选择题（共8小题，每题3分）‎ ‎1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）‎ A．四条边都相等 B．对角线一定相等 ‎ C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 ‎2．（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC ‎3．（2018•日照）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）‎ A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO ‎4．（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）‎ A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）‎ ‎5.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎6．如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形，则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）‎ A．大于1 B．等于1 C．小于1 D．小于或等于1‎ ‎7．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）‎ A．7.5 B．7 C．6.5 D．5.5‎ ‎8. （2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）‎ A．1 B． C． D．‎ 二．填空题（共6小题，每题3分）‎ ‎9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4　．‎ ‎10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　_________　‎ A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④‎ ‎11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为　 　．‎ ‎12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为　2　．（结果中如有根号保留根号）‎ ‎13．（2018•南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　　（填序号）．‎ ‎14．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　　．‎ 三．解答题（共11小题）‎ ‎15．（6分）（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．‎ ‎16．（6分）（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．‎ ‎（1）求证：▱ABCD是菱形；‎ ‎（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．‎ ‎17．（6分）（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；‎ ‎（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．‎ ‎18．（6分）已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．‎ ‎19．（6分）如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．‎ ‎20．（8分）如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．‎ ‎（1）求证：AC=FG．‎ ‎（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？‎ ‎21．（8分）如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．‎ ‎22．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．‎ ‎23．（8分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．‎ ‎24．（8分）如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．‎ ‎25．（8分）如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．‎ ‎（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；‎ ‎（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．‎ 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题）‎ ‎1．（2018•十堰）菱形不具备的性质是（　　）‎ A．四条边都相等 B．对角线一定相等 ‎ C．是轴对称图形 D．是中心对称图形 ‎【分析】根据菱形的性质即可判断；‎ ‎【解答】解：菱形的四条边相等，是轴对称图形，也是中心对称图形，对角线垂直不一定相等，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，属于中考基础题．‎ ‎2.（2018•上海）已知平行四边形ABCD，下列条件中，不能判定这个平行四边形为矩形的是（　　）‎ A．∠A＝∠B B．∠A＝∠C C．AC＝BD D．AB⊥BC ‎【解答】解：A、∠A＝∠B，∠A+∠B＝180°，所以∠A＝∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ B、∠A＝∠C不能判定这个平行四边形为矩形，错误；‎ C、AC＝BD，对角线相等，可推出平行四边形ABCD是矩形，故正确；‎ D、AB⊥BC，所以∠B＝90°，可以判定这个平行四边形为矩形，正确；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题主要考查的是矩形的判定定理．但需要注意的是本题的知识点是关于各个图形的性质以及判定．‎ ‎3．（2018•日照）如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AO＝CO，BO＝DO．添加下列条件，不能判定四边形ABCD是菱形的是（　　）‎ A．AB＝AD B．AC＝BD C．AC⊥BD D．∠ABO＝∠CBO ‎【分析】根据菱形的定义及其判定、矩形的判定对各选项逐一判断即可得．‎ ‎【解答】解：∵AO＝CO，BO＝DO，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ 当AB＝AD或AC⊥BD时，均可判定四边形ABCD是菱形；‎ 当∠ABO＝∠CBO时，‎ 由AD∥BC知∠CBO＝∠ADO，‎ ‎∴∠ABO＝∠ADO，‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形；‎ 当AC＝BD时，可判定四边形ABCD是矩形；‎ 故选：B．‎ ‎【点评】‎ 本题主要考查菱形的判定，解题的关键是掌握菱形的定义和各判定及矩形的判定．‎ ‎4．（2018•梧州）如图，在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（　　）‎ A．（﹣6，2） B．（0，2） C．（2，0） D．（2，2）‎ ‎【分析】首先根据正方形的性质求出D点坐标，再将D点横坐标加上3，纵坐标不变即可．‎ ‎【解答】解：∵在正方形ABCD中，A、B、C三点的坐标分别是（﹣1，2）、（﹣1，0）、（﹣3，0），‎ ‎∴D（﹣3，2），‎ ‎∴将正方形ABCD向右平移3个单位，则平移后点D的坐标是（0，2），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，坐标与图形变化﹣平移，是基础题，比较简单．‎ ‎5.（2018•贵阳）如图，在菱形ABCD中，E是AC的中点，EF∥CB，交AB于点F，如果EF＝3，那么菱形ABCD的周长为（　　）‎ A．24 B．18 C．12 D．9‎ ‎【分析】易得BC长为EF长的2倍，那么菱形ABCD的周长＝4BC问题得解．‎ ‎【解答】解：∵E是AC中点，‎ ‎∵EF∥BC，交AB于点F，‎ ‎∴EF是△ABC的中位线，‎ ‎∴EF＝BC，‎ ‎∴BC＝6，‎ ‎∴菱形ABCD的周长是4×6＝24．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查的是三角形中位线的性质及菱形的周长公式，题目比较简单．‎ ‎6．已知如图，在矩形ABCD中有两个一条边长为1的平行四边形．则它们的公共部分（即阴影部分）的面积是（　　）‎ A． 大于1 B．等于1 C．小于1 D． 小于或等于1‎ 解：如图所示：作EN∥AB，FM∥CD，过点E作EG⊥MN于点G，‎ 可得阴影部分面等于四边形EFMN的面积，‎ 则四边形EFMN是平行四边形，且EN=FM=1，‎ ‎∵EN=1，‎ ‎∴EG＜1，‎ ‎∴它们的公共部分（即阴影部分）的面积小于1．‎ 故选：C．‎ 点评： 此题主要考查了平行四边形的性质以及平行四边形面积求法，得出阴影部分面等于四边形EFMN的面积是解题关键．‎ ‎7．在四边形ABCD中，∠A=60°，∠ABC=∠ADC=90°，BC=2，CD=11，自D作DH⊥AB于H，则DH的长是（　　）‎ A． 7.5 B．7 C．6.5 D． 5.5‎ 分析：过C作DH的垂线CE交DH于E，证明四边形BCEH是矩形．所以求出HE的长；再求出∠DCE=30°，又因为CD=11，所以求出DE，进而求出DH的长．‎ 解：过C作DH的垂线CE交DH于E，‎ ‎∵DH⊥AB，CB⊥AB，‎ ‎∴CB∥DH又CE⊥DH，‎ ‎∴四边形BCEH是矩形．‎ ‎∵HE=BC=2，在Rt△AHD中，∠A=60°，‎ ‎∴∠ADH=30°，‎ 又∵∠ADC=90°‎ ‎∴∠CDE=60°，‎ ‎∴∠DCE=30°，‎ ‎∴在Rt△CED中，DE=CD=5.5，‎ ‎∴DH=2+5.5=7.5．‎ 故选A．‎ 点评： 本题考查了矩形的判定和性质，直角三角形的一个重要性质：30°的锐角所对的直角边是斜边的一半；以及勾股定理的运用．‎ ‎8. （2018•宜昌）如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．则图中阴影部分的面积等于 （　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质，解决问题即可；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴直线AC是正方形ABCD的对称轴，‎ ‎∵EG⊥AB．EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J．‎ ‎∴根据对称性可知：四边形EFHG的面积与四边形EFJI的面积相等，‎ ‎∴S阴＝S正方形ABCD＝，‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查正方形的性质，解题的关键是利用轴对称的性质解决问题，属于中考常考题型．‎ 二．填空题（共6小题）‎ ‎9．如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O且AC=8，如果∠AOD=60°，那么AD=　4　．‎ ‎【考点】矩形的性质． ‎ ‎【分析】根据矩形的对角线互相平分且相等可得OA=OD=AC，然后判断出△AOD是等边三角形，根据等边三角形的三边都相等解答即可．‎ ‎【解答】解：在矩形ABCD中，OA=OD=AC=×8=4，‎ ‎∵∠AOD=60°，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∴AD=OA=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的对角线互相平分且相等的性质，等边三角形的判定与性质，比较简单，熟记性质是解题的关键．‎ ‎10．四边形ABCD的对角线AC和BD相交于点O，设有下列条件：①AB=AD；②∠DAB=90°；③AO=CO，BO=DO；④矩形ABCD；⑤菱形ABCD，⑥正方形ABCD，则在下列推理不成立的是　C　‎ A、①④⇒⑥；B、①③⇒⑤；C、①②⇒⑥；D、②③⇒④‎ 分析：根据矩形、菱形、正方形的判定定理，对角线互相平分的四边形为平行四边形，再由邻边相等，得出是菱形，和一个角为直角得出是正方形，根据已知对各个选项进行分析从而得到最后的答案．‎ 解答：解：A、由①④得，一组邻边相等的矩形是正方形，故正确；‎ B、由③得，四边形是平行四边形，再由①，一组邻边相等的平行四边形是菱形，故正确；‎ C、由①②不能判断四边形是正方形；‎ D、由③得，四边形是平行四边形，再由②，一个角是直角的平行四边形是矩形，故正确．‎ 故选C．‎ 点评：此题用到的知识点是：矩形、菱形、正方形的判定定理，如：一组邻边相等的矩形是正方形；对角线互相平分且一组邻边相等的四边形是菱形；对角线互相平分且一个角是直角的四边形是矩形．灵活掌握这些判定定理是解本题的关键．‎ ‎11．（2018•葫芦岛）如图，在菱形OABC中，点B在x轴上，点A的标为（2，3），则点C的坐标为　（2，﹣3）　．‎ ‎【分析】根据轴对称图形的性质即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形OABC是菱形，‎ ‎∴A、C关于直线OB对称，‎ ‎∵A（2，3），‎ ‎∴C（2，﹣3），‎ 故答案为（2，﹣3）．‎ ‎【点评】本题考查菱形的性质、坐标与图形的性质等知识，解题的关键是熟练掌握菱形的性质，利用菱形是轴对称图形解决问题．‎ ‎12．（2018•巴彦淖尔）如图，菱形ABCD的面积为120cm2，正方形AECF的面积为72cm2，则菱形的边长为　2　．（结果中如有根号保留根号）‎ ‎【分析】连接AC、BD，由正方形的面积，可计算出正方形的边长和对角线AC的长，再根据菱形的面积，计算出菱形的对角线BD的长，在直角△AOB中，求出菱形的边长．‎ ‎【解答】解：连接AC、BD，AC、BD相交于点O．‎ ‎∵正方形AECF的面积为72cm2，‎ ‎∴AE＝＝6，‎ AC＝6×＝12．‎ ‎∵菱形ABCD的面积为120cm2，‎ 即AC×BD＝120‎ ‎∵AC＝12，‎ ‎∴BD＝20‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AO＝AC＝6，BO＝BD＝10，‎ ‎∴AB＝‎ ‎＝‎ ‎＝2‎ 故答案为：2‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质、面积，正方形的面积及勾股定理．解决本题的关键是根据面积，求出菱形对角线的长．‎ ‎13．（2018•南通）如图，在△ABC中，AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，AE∥CD，CE∥AD．若从三个条件：①AB＝AC；②AB＝BC；③AC＝BC中，选择一个作为已知条件，则能使四边形ADCE为菱形的是　②　（填序号）．‎ ‎【分析】当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．只要证明四边形ADCE是平行四边形，DA＝DC即可解决问题．‎ ‎【解答】解：当BA＝BC时，四边形ADCE是菱形．‎ 理由：∵AE∥CD，CE∥AD，‎ ‎∴四边形ADCE是平行四边形，‎ ‎∵BA＝BC，‎ ‎∴∠BAC＝∠BCA，‎ ‎∵AD，CD分别平分∠BAC和∠ACB，‎ ‎∴∠DAC＝∠DCA，‎ ‎∴DA＝DC，‎ ‎∴四边形ADCE是菱形．‎ 故答案为②‎ ‎【点评】本题考查菱形的判断、平行四边形的判断和性质、角平分线的定义、等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎14．（2018•武汉）以正方形ABCD的边AD作等边△ADE，则∠BEC的度数是　30°或150°　．‎ ‎【考点】KK：等边三角形的性质；LE：正方形的性质．‎ ‎【分析】分等边△ADE在正方形的内部和外部两种情况分别求解可得．‎ ‎【解答】解：如图1，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，△ADE为等边三角形，‎ ‎∴AB＝BC＝CD＝AD＝AE＝DE，∠BAD＝∠ABC＝∠BCD＝∠ADC＝90°，∠AED＝∠ADE＝∠DAE＝60°，‎ ‎∴∠BAE＝∠CDE＝150°，又AB＝AE，DC＝DE，‎ ‎∴∠AEB＝∠CED＝15°，‎ 则∠BEC＝∠AED﹣∠AEB﹣∠CED＝30°．‎ 如图2，‎ ‎∵△ADE是等边三角形，‎ ‎∴AD＝DE，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴AD＝DC，‎ ‎∴DE＝DC，‎ ‎∴∠CED＝∠ECD，‎ ‎∴∠CDE＝∠ADC﹣∠ADE＝90°﹣60°＝30°，‎ ‎∴∠CED＝∠ECD＝（180°﹣30°）＝75°，‎ ‎∴∠BEC＝360°﹣75°×2﹣60°＝150°．‎ 故答案为：30°或150°．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键．‎ 三．解答题（共11小题）‎ ‎15．（2018•舟山）如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°．求证：矩形ABCD是正方形．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KK：等边三角形的性质；LB：矩形的性质；LF：正方形的判定．‎ ‎【分析】先判断出AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，进而求出∠AFD＝∠AEB＝75°，进而判断出△AEB≌△AFD，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴∠B＝∠D＝∠C＝90°，‎ ‎∵△AEF是等边三角形，‎ ‎∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°，‎ ‎∵∠CEF＝45°，‎ ‎∴∠CFE＝∠CEF＝45°，‎ ‎∴∠AFD＝∠AEB＝180°﹣45°﹣60°＝75°，‎ ‎∴△AEB≌△AFD（AAS），‎ ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴矩形ABCD是正方形．‎ ‎【点评】此题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，正方形的判定，判断出∠AFD＝∠AEB是解本题的关键．‎ ‎16．（2018•广西）如图，在▱ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足分别为E，F，且BE＝DF．‎ ‎（1）求证：▱ABCD是菱形；‎ ‎（2）若AB＝5，AC＝6，求▱ABCD的面积．‎ ‎【考点】全等三角形的判定与性质；平行四边形的性质；菱形的判定与性质．‎ ‎【分析】（1）利用全等三角形的性质证明AB＝AD即可解决问题；‎ ‎（2）连接BD交AC于O，利用勾股定理求出对角线的长即可解决问题；‎ ‎【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴∠B＝∠D，‎ ‎∵AE⊥BC，AF⊥CD，‎ ‎∴∠AEB＝∠AFD＝90°，‎ ‎∵BE＝DF，‎ ‎∴△AEB≌△AFD ‎∴AB＝AD，‎ ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ ‎（2）连接BD交AC于O．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，AC＝6，‎ ‎∴AC⊥BD，‎ AO＝OC＝AC＝×6＝3，‎ ‎∵AB＝5，AO＝3，‎ ‎∴BO＝＝＝4，‎ ‎∴BD＝2BO＝8，‎ ‎∴S平行四边形ABCD＝×AC×BD＝24．‎ ‎【点评】本题考查菱形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎17.（2018•湘西州）如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE、CE．‎ ‎（1）求证：△ADE≌△BCE；‎ ‎（2）若AB＝6，AD＝4，求△CDE的周长．‎ ‎【考点】KD：全等三角形的判定与性质；LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】（1）由全等三角形的判定定理SAS证得结论；‎ ‎（2）由（1）中全等三角形的对应边相等和勾股定理求得线段DE的长度，结合三角形的周长公式解答．‎ ‎【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AD＝BC，∠A＝∠B＝90°．‎ ‎∵E是AB的中点，‎ ‎∴AE＝BE．‎ 在△ADE与△BCE中，‎ ‎，‎ ‎∴△ADE≌△BCE（SAS）；‎ ‎（2）由（1）知：△ADE≌△BCE，则DE＝EC．‎ 在直角△ADE中，AE＝4，AE＝AB＝3，‎ 由勾股定理知，DE＝＝＝5，‎ ‎∴△CDE的周长＝2DE+AD＝2DE+AB＝2×5+6＝16．‎ ‎【点评】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，矩形的性质，全等三角形的判定是结合全等三角形的性质证明线段和角相等的重要工具．在判定三角形全等时，关键是选择恰当的判定条件．‎ ‎18．已知：如图，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的高，AE是△BAC的外角平分线，DE∥AB交AE于点E，求证：四边形ADCE是矩形．‎ 证明：∵AB=AC，‎ ‎∴∠B=∠ACB，‎ ‎∵AE是∠BAC的外角平分线，‎ ‎∴∠FAE=∠EAC，‎ ‎∵∠B+∠ACB=∠FAE+∠EAC，‎ ‎∴∠B=∠ACB=∠FAE=∠EAC，‎ ‎∴AE∥CD，‎ 又∵DE∥AB，‎ ‎∴四边形AEDB是平行四边形，‎ ‎∴AE平行且等于BD，‎ 又∵BD=DC，∴AE平行且等于DC，‎ 故四边形ADCE是平行四边形，‎ 又∵∠ADC=90°，‎ ‎∴平行四边形ADCE是矩形．‎ 即四边形ADCE是矩形．‎ 点评： 此题主要考查了平行四边形的判定与性质以及矩形的判定，灵活利用平行四边形的判定得出四边形AEDB是平行四边形是解题关键．‎ ‎19．如图，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，∠C=45°，BC=4，AD=2．求四边形ABCD的面积．‎ 考点：矩形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ 分析：如上图所示，延长AB，延长DC，相交于E点．△ADE是等腰直角三角形，AD=DE=2，则可以求出△ADE的面积；∠C=∠AED=45度，所以△CBE是等腰直角三角形，BE=CB=4厘米，则可以求出△CBE的面积；那么四边形ABCD的面积是两个三角形的面积之差．‎ 解：延长AB，延长DC，相交于E点，得到两个等腰直角三角形△ADE和△CBE，‎ 由等腰直角三角形的性质得：‎ DE=AD=2，‎ BE=CB=4，‎ 那么四边形ABCD的面积是：‎ ‎4×4÷2﹣2×2÷2‎ ‎=8﹣2‎ ‎=6．‎ 答：四边形ABCD的面积是6．‎ 点评：此题考查了等腰直角三角形的性质以及三角形的面积公式的运用，解题的关键是作延长线，找到交点，组成新图形，是解决此题的关键．‎ ‎20．如图，∠CAE是△ABC的外角，AD平分∠EAC，且AD∥BC．过点C作CG⊥AD，垂足为G，AF是BC边上的中线，连接FG．‎ ‎（1）求证：AC=FG．‎ ‎（2）当AC⊥FG时，△ABC应是怎样的三角形？为什么？‎ 考点：矩形的判定与性质；等腰三角形的判定与性质；等腰直角三角形．‎ 分析：先根据题意推理出四边形AFCG是矩形，然后根据矩形的性质得到对角线相等；由第一问的结论和AC⊥FG得到四边形AFCG是正方形，然后即可得到△ABC是等腰直角三角形．‎ 解答：（1）证明：∵AD平分∠EAC，且AD∥BC，‎ ‎∴∠ABC=∠EAD=∠CAD=∠ACB，‎ ‎∴AB=AC；‎ AF是BC边上的中线，‎ ‎∴AF⊥BC，‎ ‎∵CG⊥AD，AD∥BC，‎ ‎∴CG⊥BC，‎ ‎∴AF∥CG，‎ ‎∴四边形AFCG是平行四边形，‎ ‎∵∠AFC=90°，‎ ‎∴四边形AFCG是矩形；‎ ‎∴AC=FG．‎ ‎（2）解：当AC⊥FG时，△ABC是等腰直角三角形．理由如下：‎ ‎∵四边形AFCG是矩形，‎ ‎∴四边形AFCG是正方形，∠ACB=45°，‎ ‎∵AB=AC，‎ ‎∴△ABC是等腰直角三角形．‎ 点评： 该题目考查了矩形的判定和性质、正方形的判定和性质、等腰三角形的性质，知识点比较多，注意解答的思路要清晰．‎ ‎21．如图，E是等边△ABC的BC边上一点，以AE为边作等边△AEF，连接CF，在CF延长线取一点D，使∠DAF=∠EFC．试判断四边形ABCD的形状，并证明你的结论．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定与性质；等边三角形的性质．‎ 分析：在已知条件中求证全等三角形，即△BAE≌△CAF，△AEC≌△AFD，从而得到△ACD和△ABC都是等边三角形，故可根据四条边都相等的四边形是菱形判定．‎ 解：四边形ABCD是菱形．‎ 证明：在△ABE、△ACF中 ‎∵AB=AC，AE=AF ‎∠BAE=60°﹣∠EAC，∠CAF=60°﹣∠EAC ‎∴∠BAE=∠CAF ‎∴△BAE≌△CAF ‎∵∠CFA=∠CFE+∠EFA=∠CFE+60°‎ ‎∠BEA=∠ECA+∠EAC=∠EAC+60°‎ ‎∴∠EAC=∠CFE ‎∵∠DAF=∠CFE ‎∴∠EAC=∠DAF ‎∵AE=AF，∠AEC=∠AFD ‎∴△AEC≌△AFD ‎∴AC=AD，且∠D=∠ACE=60°‎ ‎∴△ACD和△ABC都是等边三角形 ‎∴四边形ABCD是菱形．‎ 点评：本题考查了菱形的判定、等边三角形的性质和全等三角形的判定，学会在已知条件中多次证明三角形全等，寻求角边的转化，从而求证结论．‎ ‎22．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点0，BE∥AC，EC∥BD，BE、EC相交于点E．试说明：四边形OBEC是菱形．‎ 考点：菱形的判定；矩形的性质．‎ 分析：在矩形ABCD中，可得OB=OC，由BE∥AC，EC∥BD，所以四边形OBEC是平行四边形，两个条件合在一起，可得出其为菱形．‎ 证明：在矩形ABCD中，AC=BD，∴OB=OC，‎ ‎∵BE∥AC，EC∥BD，‎ ‎∴四边形OBEC是平行四边形，‎ ‎∴四边形OBEC是菱形．‎ 点评：熟练掌握菱形的性质及判定定理．‎ ‎23．如图，矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，CE∥BD，DE∥AC，若AC=4，判断四边形CODE的形状，并计算其周长．‎ 考点：菱形的判定与性质；矩形的性质．‎ 分析：首先由CE∥BD，DE∥AC，可证得四边形CODE是平行四边形，又由四边形ABCD是矩形，根据矩形的性质，易得OC=OD=2，即可判定四边形CODE是菱形，继而求得答案．‎ 解：∵CE∥BD，DE∥AC，‎ ‎∴四边形CODE是平行四边形，‎ ‎∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AC=BD=4，OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴OD=OC=AC=2，‎ ‎∴四边形CODE是菱形，‎ ‎∴四边形CODE的周长为：4OC=4×2=8．‎ 故答案为：8．‎ 点评： 此题考查了菱形的判定与性质以及矩形的性质．此题难度不大，注意证得四边形CODE是菱形是解此题的关键．‎ ‎24．如图，在矩形ABCD中，对角线BD的垂直平分线MN与AD相交于点M，与BD相交于点O，与BC相交于N，连接MN，DN．‎ ‎（1）求证：四边形BMDN是菱形；‎ ‎（2）若AB=6，BC=8，求MD的长．‎ 考点：菱形的判定与性质；线段垂直平分线的性质；矩形的性质．‎ 分析：（1）根据矩形性质求出AD∥BC，推出∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，证△DMO≌△BNO，推出OM=ON，得出平行四边形BMDN，推出菱形BMDN；‎ ‎（2）根据菱形性质求出DM=BM，在Rt△AMB中，根据勾股定理得出BM2=AM2+AB2，推出x2=（8﹣x）2+62，求出即可．‎ 解：（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，‎ ‎∴AD∥BC，∠A=90°，‎ ‎∴∠MDO=∠NBO，∠DMO=∠BNO，‎ 在△DMO和△BNO中，‎ ‎，‎ ‎∴△DMO≌△BNO（ASA），‎ ‎∴OM=ON，‎ ‎∵OB=OD，‎ ‎∴四边形BMDN是平行四边形，‎ ‎∵MN⊥BD，‎ ‎∴平行四边形BMDN是菱形．‎ ‎（2）解：∵四边形BMDN是菱形，‎ ‎∴MB=MD，‎ 设MD长为x，则MB=DM=x，‎ 在Rt△AMB中，BM2=AM2+AB2‎ 即x2=（8﹣x）2+62，‎ 解得：x=．‎ 答：MD长为．‎ 点评： 本题考查了矩形性质，平行四边形的判定，菱形的判定和性质，勾股定理等知识点的应用．注意对角线互相平分的四边形是平行四边形，对角线互相垂直的平行四边形是菱形．‎ ‎25．如图所示，有四个动点P，Q，E，F分别从正方形ABCD的四个顶点出发，沿着AB，BC，CD，DA以同样速度向B，C，D，A各点移动．‎ ‎（1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明；‎ ‎（2）PE是否总过某一定点，并说明理由．‎ 考点：正方形的判定与性质；全等三角形的判定与性质．‎ 专题：动点型．‎ 分析：（1）正方形的定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形，故可根据正方形的定义证明四边形PQEF是否使正方形．‎ ‎（2）证PE是否过定点时，可连接AC，证明四边形APCE为平行四边形，即可证明PE过定点．‎ 解：（1）在正方形ABCD中，AP=BQ=CE=DF，AB=BC=CD=DA，‎ ‎∴BP=QC=ED=FA．‎ 又∵∠BAD=∠B=∠BCD=∠D=90°，‎ ‎∴△AFP≌△BPQ≌△CQE≌△DEF．‎ ‎∴FP=PQ=QE=EF，∠APF=∠PQB．‎ ‎∴四边形PQEF是菱形，‎ ‎∵∠FPQ=90°，‎ ‎∴四边形PQEF为正方形．‎ ‎（2）连接AC交PE于O，‎ ‎∵AP平行且等于EC，‎ ‎∴四边形APCE为平行四边形．‎ ‎∵O为对角线AC的中点，‎ ‎∴对角线PE总过AC的中点．‎ 点评：在证明过程中，应了解正方形和平行四边形的判定定理，为使问题简单化，在证明过程中，可适当加入辅助线．‎ 第一章 特殊平行四边形测试卷3‎ 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 ‎2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）‎ A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 ‎3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（　　）‎ ‎①平行四边形 ②菱形 ③对角线相等的四边形 ④对角线互相垂直的四边形．‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（　　）‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 ‎5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（　　）‎ A．8 B．7 C．4 D．3‎ ‎6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（　　）‎ A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm ‎8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（　　）‎ A．45° B．55° C．60° D．75°‎ ‎9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（　　）‎ A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm ‎10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）‎ A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm ‎11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　）‎ A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2‎ ‎12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ 二、填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为　　．‎ ‎14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为　　．‎ ‎15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　　．‎ ‎16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为　　．‎ 三、解答题（共52分）‎ ‎17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．‎ ‎18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．‎ ‎19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．‎ 求证：四边形BECD是矩形．‎ ‎20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．‎ ‎（1）求证：AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．‎ ‎21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．‎ ‎（1）求证：OE=OF；‎ ‎（2）若BC=2，求AB的长．‎ ‎22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．‎ ‎（1）求证：EF=FM；‎ ‎（2）当AE=1时，求EF的长．‎ ‎23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△DCF； ‎ ‎（2）求CF的长；‎ ‎（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．‎ 参考答案 一、选择题（12小题，每小题3分，共36分）‎ ‎1．下列命题中，真命题是（　　）‎ A．两条对角线垂直的四边形是菱形 B．对角线垂直且相等的四边形是正方形 C．两条对角线相等的四边形是矩形 D．两条对角线相等的平行四边形是矩形 ‎【分析】本题要求熟练掌握平行四边形、菱形、矩形、正方形的性质以及之间的相互联系．‎ ‎【解答】解：A、两条对角线垂直并且相互平分的四边形是菱形，故选项A错误；‎ B、对角线垂直且相等的平行四边形是正方形，故选项B错误；‎ C、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故选项C错误；‎ D、根据矩形的判定定理，两条对角线相等的平行四边形是矩形，为真命题，故选项D正确；‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是普通概念，熟练掌握基础的东西是深入研究的必要准备．‎ ‎　‎ ‎2．菱形具有而矩形不一定具有的性质是（　　）‎ A．对角线互相垂直 B．对角线相等 C．对角线互相平分 D．对角互补 ‎【考点】矩形的性质；菱形的性质． ‎ ‎【专题】推理填空题．‎ ‎【分析】根据菱形对角线垂直平分的性质及矩形对交线相等平分的性质对各个选项进行分析，从而得到最后的答案．‎ ‎【解答】解：A、菱形对角线相互垂直，而矩形的对角线则不垂直；故本选项符合要求；‎ B、矩形的对角线相等，而菱形的不具备这一性质；故本选项不符合要求；‎ C、菱形和矩形的对角线都互相平分；故本选项不符合要求；‎ D、菱形对角相等；但菱形不具备对角互补，故本选项不符合要求；‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题主要考查了学生对菱形及矩形的性质的理解及运用．菱形和矩形都具有平行四边形的性质，但是菱形的特性是：对角线互相垂直、平分，四条边都相等．‎ ‎　‎ ‎3．顺次连接一个四边形的各边中点，得到了一个矩形，则下列四边形满足条件的是（　　）‎ ‎①平行四边形 ②菱形 ③对角线相等的四边形 ④对角线互相垂直的四边形．‎ A．①③ B．②③ C．③④ D．②④‎ ‎【考点】矩形的定义及性质． ‎ ‎【分析】已知梯形四边中点得到的四边形是矩形，则根据矩形的性质及三角形的中位线的性质进行分析，从而不难求解．‎ ‎【解答】解：如图点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．‎ ‎∵点E，F，G，H分别是梯形各边的中点，且四边形EFGH是矩形．‎ ‎∴∠FEH=90°，EF∥BD∥HG，FG∥AC∥EH，EF≠GH．‎ ‎∴AC⊥BD．‎ ‎①平行四边形的对角线不一定互相垂直，故①错误；‎ ‎②菱形的对角线互相垂直，故②正确；‎ ‎③对角线相等的四边形，故③错误；‎ ‎④对角线互相垂直的四边形，故④正确．‎ 综上所述，正确的结论是：②④．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】此题主要考查矩形的性质及三角形中位线定理的综合运用，正确掌握矩形的判定方法是解题关键．‎ ‎　‎ ‎4．既是中心对称图形又是轴对称图形，且只有两条对称轴的四边形是（　　）‎ A．正方形 B．矩形 C．菱形 D．矩形或菱形 ‎【考点】菱形的性质，矩形的定义及性质，正方形的定义及性质． ‎ ‎【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．‎ ‎【解答】解：正方形是轴对称图形，也是中心对称图形，有4条对称轴；‎ 矩形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴；‎ 菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，有2条对称轴．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．‎ ‎5．（2018•大连）如图，菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若AB＝5，AC＝6，则BD的长是（　　）‎ A．8 B．7 C．4 D．3‎ ‎【考点】L8：菱形的性质． ‎ ‎【分析】根据菱形的对角线互相垂直，利用勾股定理列式求出OB即可；‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴OA＝OC＝3，OB＝OD，AC⊥BD，‎ 在Rt△AOB中，∠AOB＝90°，‎ 根据勾股定理，得：OB＝＝＝4，‎ ‎∴BD＝2OB＝8，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了菱形性质，勾股定理的应用等知识，比较简单，熟记性质是解题的关键．‎ ‎6．如图，边长为6的大正方形中有两个小正方形，若两个小正方形的面积分别为S1、S2，则S1+S2的值为（　　）‎ A．16 B．17 C．18 D．19‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【分析】由图可得，S2的边长为3，由AC=BC，BC=CE=CD，可得AC=2CD，CD=2，EC=2；然后，分别算出S1、S2的面积，即可解答．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 设正方形S1的边长为x，‎ ‎∵△ABC和△CDE都为等腰直角三角形，‎ ‎∴AB=BC，DE=DC，∠ABC=∠D=90°，‎ ‎∴sin∠CAB=sin45°==，即AC=BC，同理可得：BC=CE=CD，‎ ‎∴AC=BC=2CD，‎ 又∵AD=AC+CD=6，‎ ‎∴CD==2，‎ ‎∴EC2=22+22，即EC=2；‎ ‎∴S1的面积为EC2=2×2=8；‎ ‎∵∠MAO=∠MOA=45°，‎ ‎∴AM=MO，‎ ‎∵MO=MN，‎ ‎∴AM=MN，‎ ‎∴M为AN的中点，‎ ‎∴S2的边长为3，‎ ‎∴S2的面积为3×3=9，‎ ‎∴S1+S2=8+9=17．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质，找到相等的量，再结合三角函数进行解答．‎ ‎　‎ ‎7．在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AC=cm，则AB边上的中线为（　　）‎ A．1cm B．2cm C．1.5cm D．cm ‎【考点】直角三角形斜边上的中线． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】由直角三角形的性质知：斜边上的中线等于斜边的一半；已知了直角三角形的两条直角边，由勾股定理可求得斜边的长，由此得解 ‎【解答】解：∵Rt△ABC中，AC=cm，且∠ACB=90°，∠B=30°，‎ ‎∴AB=2，‎ ‎∴AB边上的中线CD=AB=cm．‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题主要考查直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识点的理解和掌握，难度不大，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎8．如图，在正方形ABCD外侧作等边三角形CDE，AE、BD交于点F，则∠AFB的度数为（　　）‎ A．45° B．55° C．60° D．75°‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【分析】根据正方形以及等边三角形的性质可得出AD=DE，∠ADF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，根据等腰三角形的性质即可得出∠DAE=∠DEA=15°，再结合三角形外角性质即可算出∠AFB的值．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，△CDE为等边三角形，‎ ‎∴AD=CD=DE，∠ADF=∠ABF=45°，∠ADC=90°，∠CDE=60°，‎ ‎∴∠ADE=150°．‎ ‎∵AD=DE，‎ ‎∴∠DAE=∠DEA=15°，‎ ‎∴∠AFB=∠ADF+∠DAF=45°+15°=60°．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了正方形的性质、等边三角形的性质以及三角形外角的性质，解题的关键是求出∠ADF=45°、∠DAF=15°．本题属于基础题，解决该题型题目时，通过正方形、等边三角形以及等腰三角形的性质计算出角的度数是关键．‎ ‎　‎ ‎9．如图，▱ABCD中，DE⊥AB，DF⊥BC，垂足分别为E、F，∠EDF=60°，AE=2cm，则AD=（　　）‎ A．4cm B．5cm C．6cm D．7cm ‎【考点】含30度角的直角三角形；多边形内角与外角；平行四边形的性质． ‎ ‎【分析】根据四边形ABCD是平行四边形，得出AB∥CD，∠A=∠C，∠CDE=∠AED，根据DE⊥AB，得出∠AED和∠CDE是直角，求出∠CDF的度数，最后根据DF⊥BC，求出∠C、∠A的度数，最后根据∠ADE=30°，AE=2cm，即可求出答案．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，∠A=∠C，‎ ‎∴∠CDE=∠AED，‎ ‎∵DE⊥AB，‎ ‎∴∠AED=90°，‎ ‎∴∠CDE=90°，‎ ‎∵∠EDF=60°，‎ ‎∴∠CDF=30°，‎ ‎∵DF⊥BC，‎ ‎∴∠DFC=90°，‎ ‎∴∠C=60°，‎ ‎∴∠A=60°，‎ ‎∴∠ADE=30°，‎ ‎∴AD=2DE，‎ ‎∵AE=2，‎ ‎∴AD=2×2=4（cm）；‎ 故选A．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质和含30°角的直角三角形，用到的知识点是平行四边形的性质和垂直的定义30°角的直角三角形的性质，关键是求出∠ADE=30°．‎ ‎　‎ ‎10．如图：长方形纸片ABCD中，AD=4cm，AB=10cm，按如图的方式折叠，使点B与点D重合．折痕为EF，则DE长为（　　）‎ A．4.8 cm B．5 cm C．5.8 cm D．6 cm ‎【考点】矩形的定义及性质． ‎ ‎【分析】在折叠的过程中，BE=DE，从而设BE=DE=x，即可表示AE，在直角三角形ADE中，根据勾股定理列方程即可求解．‎ ‎【解答】解：设DE=xcm，则BE=DE=x，AE=AB﹣BE=10﹣x，‎ 在Rt△ADE中，DE2=AE2+AD2，‎ 即x2=（10﹣x）2+16．‎ 解得：x=5.8．‎ 故选C．‎ ‎【点评】此题主要考查了翻折变换的问题，解答本题的关键是掌握翻折前后对应线段相等，另外要熟练运用勾股定理解直角三角形．‎ ‎　‎ ‎11．如图，将一个长为10cm，宽为8cm的矩形纸片先按照从左向右对折，再按照从下向上的方向对折，沿所得矩形两邻边中点的连线（虚线）剪下（如图（1）），再打开，得到如图（2）所示的小菱形的面积为（　　）‎ A．10cm2 B．20cm2 C．40cm2 D．80cm2‎ ‎【考点】菱形的性质． ‎ ‎【分析】利用折叠的方式得出AC，BD的长，再利用菱形面积公式求出面积即可．‎ ‎【解答】解：由题意可得：图1中矩形的长为5cm，宽为4cm，‎ ‎∵虚线的端点为矩形两邻边中点，‎ ‎∴AC=4cm，BD=5cm，‎ ‎∴如图（2）所示的小菱形的面积为：×4×5=10（cm2）．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 此题主要考查了菱形的性质以及剪纸问题，得出菱形对角线的长是解题关键．翻折变换（折叠问题）实质上就是轴对称变换．‎ ‎　　‎ ‎12．（2018•威海）矩形ABCD与CEFG如图放置，点B，C，E共线，点C，D，G共线，连接AF，取AF的中点H，连接GH．若BC＝EF＝2，CD＝CE＝1，则GH＝（　　）‎ A．1 B． C． D．‎ ‎【考点】KQ：勾股定理；LB：矩形的性质．‎ ‎【分析】延长GH交AD于点P，先证△APH≌△FGH得AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，再利用勾股定理求得PG＝，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：如图，延长GH交AD于点P，‎ ‎∵四边形ABCD和四边形CEFG都是矩形，‎ ‎∴∠ADC＝∠ADG＝∠CGF＝90°，AD＝BC＝2、GF＝CE＝1，‎ ‎∴AD∥GF，‎ ‎∴∠GFH＝∠PAH，‎ 又∵H是AF的中点，‎ ‎∴AH＝FH，‎ 在△APH和△FGH中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△APH≌△FGH（ASA），‎ ‎∴AP＝GF＝1，GH＝PH＝PG，‎ ‎∴PD＝AD﹣AP＝1，‎ ‎∵CG＝2、CD＝1，‎ ‎∴DG＝1，‎ 则GH＝PG＝×＝，‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题主要考查矩形的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质、矩形的性质、勾股定理等知识点．‎ 二、填空题（每小题3分，共12分）‎ ‎13．（2018•锦州）如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，过点A作AH⊥BC于点H，连接OH，若OB＝4，S菱形ABCD＝24，则OH的长为　3　．‎ ‎【考点】L8：菱形的性质．‎ ‎【分析】根据菱形面积＝对角线积的一半可求AC，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．‎ ‎【解答】解：∵ABCD是菱形，‎ ‎∴BO＝DO＝4，AO＝CO，S菱形ABCD＝＝24，‎ ‎∴AC＝6，‎ ‎∵AH⊥BC，AO＝CO＝3，‎ ‎∴OH＝AC＝3．‎ ‎【点评】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，关键是灵活运用这些性质解决问题．‎ ‎14．（2018•本溪）如图，矩形OABC的顶点A，C分别在坐标轴上，B（8，7），D（5，0），点P是边AB或边BC上的一点，连接OP，DP，当△ODP为等腰三角形时，点P的坐标为　（8，4）或（，7）　．‎ ‎【分析】分两种情形分别讨论即可解决问题；‎ ‎【解答】解：∵四边形OABC是矩形，B（8，7），‎ ‎∴OA＝BC＝8，OC＝AB＝7，‎ ‎∵D（5，0），‎ ‎∴OD＝5，‎ ‎∵点P是边AB或边BC上的一点，‎ ‎∴当点P在AB边时，OD＝DP＝5，‎ ‎∵AD＝3，‎ ‎∴PA＝＝4，‎ ‎∴P（8，4）．‎ 当点P在边BC上时，只有PO＝PD，此时P（，7）．‎ 综上所述，满足条件的点P坐标为（8，4）或（，7）．‎ 故答案为（8，4）或（，7）．‎ ‎【点评】本题考查矩形的性质、坐标与图形性质、等腰三角形的判定等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型．‎ ‎15．如图，正方形ABCD的边长为1，以对角线AC为边作第二个正方形，再以对角线AE为边作第三个正方形AEGH，如此下去，第n个正方形的边长为　（）n﹣1　．‎ ‎【分析】首先求出AC、AE、HE的长度，然后猜测命题中隐含的数学规律，即可解决问题．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=BC=1，∠B=90°，‎ ‎∴AC2=12+12，AC=；‎ 同理可求：AE=（）2，HE=（）3…，‎ ‎∴第n个正方形的边长an=（）n﹣1．‎ 故答案为（）n﹣1．‎ ‎【点评】该题主要考查了正方形的性质、勾股定理及其应用问题；应牢固掌握正方形有关定理并能灵活运用．‎ ‎　‎ ‎16．如图，正方形ABCD的边长为4，E为BC上的一点，BE=1，F为AB上的一点，AF=2，P为AC上一个动点，则PF+PE的最小值为　　．‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【分析】作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，过F作FG⊥CD于G，在Rt△E′FG中，利用勾股定理即可求出E′F的长．‎ ‎【解答】解：作E关于直线AC的对称点E′，连接E′F，则E′F即为所求，‎ 过F作FG⊥CD于G，‎ 在Rt△E′FG中，‎ GE′=CD﹣BE﹣BF=4﹣1﹣2=1，GF=4，‎ 所以E′F==．‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查的是最短线路问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题（共52分）‎ ‎17．（6分）已知：如图，菱形ABCD中，E、F分别是CB、CD上的点，且BE=DF．求证：∠AEF=∠AFE．‎ ‎【考点】菱形的性质． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】在菱形中，由SAS求得△ABE≌△ADF，再由等边对等角得到∠AEF=∠AFE．‎ ‎【解答】证明：∵ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=AD，∠B=∠D．‎ 又∵EB=DF，‎ ‎∴△ABE≌△ADF，‎ ‎∴AE=AF，‎ ‎∴∠AEF=∠AFE．‎ ‎【点评】本题利用了菱形的性质和全等三角形的判定和性质，等边对等角求解．‎ ‎　‎ ‎18．（7分）如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，∠AOD=60°，AB=，AE⊥BD于点E，求OE的长．‎ ‎【考点】矩形的性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】矩形对角线相等且互相平分，即OA=OD，根据∠AOD=60°可得△AOD为等边三角形，即OA=AD，∵AE⊥BD，∴E为OD的中点，即可求OE的值．‎ ‎【解答】解：∵对角线相等且互相平分，‎ ‎∴OA=OD ‎∵∠AOD=60°‎ ‎∴△AOD为等边三角形，则OA=AD，‎ BD=2DO，AB=AD，‎ ‎∴AD=2，‎ ‎∵AE⊥BD，∴E为OD的中点 ‎∴OE=OD=AD=1，‎ 答：OE的长度为 1．‎ ‎【点评】本题考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了等边三角形的判定和等腰三角形三线合一的性质，本题中求得E为OD的中点是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（7分）如图，在△ABC中，AB=BC，BD平分∠ABC．四边形ABED是平行四边形，DE交BC于点F，连接CE．‎ 求证：四边形BECD是矩形．‎ ‎【考点】矩形的判定． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】根据已知条件易推知四边形BECD是平行四边形．结合等腰△ABC“三线合一”的性质证得BD⊥AC，即∠BDC=90°，所以由“有一内角为直角的平行四边形是矩形”得到▱BECD是矩形．‎ ‎【解答】证明：∵AB=BC，BD平分∠ABC，‎ ‎∴BD⊥AC，AD=CD．‎ ‎∵四边形ABED是平行四边形，‎ ‎∴BE∥AD，BE=AD，‎ ‎∴BE=CD，‎ ‎∴四边形BECD是平行四边形．‎ ‎∵BD⊥AC，‎ ‎∴∠BDC=90°，‎ ‎∴▱BECD是矩形．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的判定．矩形的定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）如图，已知点D在△ABC的BC边上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F．‎ ‎（1）求证：AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，试判断四边形AEDF的形状，并说明理由．‎ ‎【考点】菱形的判定． ‎ ‎【专题】证明题．‎ ‎【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根据全等三角形的对应边相等得出AE=DF；‎ ‎（2）先根据已知中的两组平行线，可证四边形DEFA是▱，再利用AD是角平分线，结合AE∥DF，易证∠DAF=∠FDA，利用等角对等边，可得AE=DF，从而可证▱AEDF实菱形．‎ ‎【解答】证明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF，‎ 同理∠DAE=∠FDA，‎ ‎∵AD=DA，‎ ‎∴△ADE≌△DAF，‎ ‎∴AE=DF；‎ ‎（2）若AD平分∠BAC，四边形AEDF是菱形，‎ ‎∵DE∥AC，DF∥AB，‎ ‎∴四边形AEDF是平行四边形，‎ ‎∴∠DAF=∠FDA．‎ ‎∴AF=DF．‎ ‎∴平行四边形AEDF为菱形．‎ ‎【点评】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情况．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）如图，在矩形ABCD中，E、F分别是边AB、CD上的点，AE=CF，连接EF、BF，EF与对角线AC交于点O，且BE=BF，∠BEF=2∠BAC．‎ ‎（1）求证：OE=OF；‎ ‎（2）若BC=2，求AB的长．‎ ‎【考点】矩形的性质． ‎ ‎【分析】（1）根据矩形的对边平行可得AB∥CD，再根据两直线平行，内错角相等求出∠BAC=∠FCO，然后利用“角角边”证明△AOE和△COF全等，再根据全等三角形的即可得证；‎ ‎（2）连接OB，根据等腰三角形三线合一的性质可得BO⊥EF，再根据矩形的性质可得OA=OB，根据等边对等角的性质可得∠BAC=∠ABO，再根据三角形的内角和定理列式求出∠ABO=30°，即∠BAC=30°，根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半求出AC，再利用勾股定理列式计算即可求出AB．‎ ‎【解答】（1）证明：在矩形ABCD中，AB∥CD，‎ ‎∴∠BAC=∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF（AAS），‎ ‎∴OE=OF；‎ ‎（2）解：如图，连接OB，‎ ‎∵BE=BF，OE=OF，‎ ‎∴BO⊥EF，‎ ‎∴在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO=90°，‎ 由直角三角形斜边上的中线等于斜边上的一半可知：OA=OB=OC，‎ ‎∴∠BAC=∠ABO，‎ 又∵∠BEF=2∠BAC，‎ 即2∠BAC+∠BAC=90°，‎ 解得∠BAC=30°，‎ ‎∵BC=2，‎ ‎∴AC=2BC=4，‎ ‎∴AB===6．‎ ‎【点评】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形三线合一的性质，直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半，综合题，但难度不大，（2）作辅助线并求出∠BAC=30°是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（8分）正方形ABCD的边长为3，E、F分别是AB、BC边上的点，且∠EDF=45°．将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM．‎ ‎（1）求证：EF=FM；‎ ‎（2）当AE=1时，求EF的长．‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【专题】计算题．‎ ‎【分析】（1）由旋转可得DE=DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF+∠MDF=90°，由∠EDF=45°，得到∠MDF为45°，可得出∠EDF=∠MDF，再由DF=DF，利用SAS可得出三角形DEF与三角形MDF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF=MF；‎ ‎（2）由第一问的全等得到AE=CM=1，正方形的边长为3，用AB﹣AE求出EB的长，再由BC+CM求出BM的长，设EF=MF=x，可得出BF=BM﹣FM=BM﹣EF=4﹣x，在直角三角形BEF中，利用勾股定理列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，即为EF的长．‎ ‎【解答】解：（1）证明：∵△DAE逆时针旋转90°得到△DCM，‎ ‎∴∠FCM=∠FCD+∠DCM=180°，‎ ‎∴F、C、M三点共线，‎ ‎∴DE=DM，∠EDM=90°，‎ ‎∴∠EDF+∠FDM=90°，‎ ‎∵∠EDF=45°，‎ ‎∴∠FDM=∠EDF=45°，‎ 在△DEF和△DMF中，‎ ‎，‎ ‎∴△DEF≌△DMF（SAS），‎ ‎∴EF=MF；‎ ‎（2）设EF=MF=x，‎ ‎∵AE=CM=1，且BC=3，‎ ‎∴BM=BC+CM=3+1=4，‎ ‎∴BF=BM﹣MF=BM﹣EF=4﹣x，‎ ‎∵EB=AB﹣AE=3﹣1=2，‎ 在Rt△EBF中，由勾股定理得EB2+BF2=EF2，‎ 即22+（4﹣x）2=x2，‎ 解得：x=，‎ 则EF=．‎ ‎【点评】此题考查了正方形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，利用了转化及方程的思想，熟练掌握性质及定理是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．（8分）已知，如图1，BD是边长为1的正方形ABCD的对角线，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使CF=CE，连接DF，交BE的延长线于点G．‎ ‎（1）求证：△BCE≌△DCF； ‎ ‎（2）求CF的长；‎ ‎（3）如图2，在AB上取一点H，且BH=CF，若以BC为x轴，AB为y轴建立直角坐标系，问在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的P点坐标；若不存在，说明理由．‎ ‎【考点】正方形的性质． ‎ ‎【分析】（1）利用正方形的性质，由全等三角形的判定定理SAS即可证得△BCE≌△DCF；‎ ‎（2）通过△DBG≌△FBG的对应边相等知BD=BF=；然后由CF=BF﹣BC=即可求得；‎ ‎（3）分三种情况分别讨论即可求得．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，‎ 在△BCE和△DCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△BCE≌△DCF（SAS）；‎ ‎（2）证明：如图1，‎ ‎∵BE平分∠DBC，OD是正方形ABCD的对角线，‎ ‎∴∠EBC=∠DBC=22.5°，‎ 由（1）知△BCE≌△DCF，‎ ‎∴∠EBC=∠FDC=22.5°（全等三角形的对应角相等）；‎ ‎∴∠BGD=90°（三角形内角和定理），‎ ‎∴∠BGF=90°；‎ 在△DBG和△FBG中，‎ ‎，‎ ‎∴△DBG≌△FBG（ASA），‎ ‎∴BD=BF，DG=FG（全等三角形的对应边相等），‎ ‎∵BD==，‎ ‎∴BF=，‎ ‎∴CF=BF﹣BC=﹣1；‎ ‎（3）解：如图2，∵CF=﹣1，BH=CF ‎∴BH=﹣1，‎ ‎①当BH=BP时，则BP=﹣1，‎ ‎∵∠PBC=45°，‎ 设P（x，x），‎ ‎∴2x2=（﹣1）2，‎ 解得x=1﹣或﹣1+，‎ ‎∴P（1﹣，1﹣）或（﹣1+，﹣1+）；‎ ‎②当BH=HP时，则HP=PB=﹣1，‎ ‎∵∠ABD=45°，‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形，‎ ‎∴P（﹣1，﹣1）；‎ ‎③当PH=PB时，∵∠ABD=45°，‎ ‎∴△PBH是等腰直角三角形，‎ ‎∴P（，），‎ 综上，在直线BD上是否存在点P，使得以B、H、P为顶点的三角形为等腰三角形，所有符合条件的P点坐标为（1﹣，1﹣）、（﹣1+，﹣1+）、（﹣1，﹣1）、（，）．‎ ‎【点评】本题是四边形的综合题，考查了正方形的性质，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定，熟练掌握性质定理是解题的关键．‎