2013年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案(解析版)

2013年湖南省衡阳市中考数学试卷及答案(解析版)

湖南省衡阳市2013年中考数学试卷 一、选择题（本大题共12个小题，每小题3分，满分36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1．（3分）（2013•衡阳）﹣3的相反数是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3‎ B．‎ ‎﹣3‎ C．‎ D．‎ ‎﹣‎ 考点：‎ 相反数 分析：‎ 根据相反数的概念解答即可．‎ 解答：‎ 解：﹣3的相反数是3，‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题考查了相反数的意义，一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号；一个正数的相反数是负数，一个负数的相反数是正数，0的相反数是0．‎ ‎　‎ ‎2．（3分）（2013•衡阳）如图，AB平行CD，如果∠B=20°，那么∠C为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎40°‎ B．‎ ‎20°‎ C．‎ ‎60°‎ D．‎ ‎70°‎ 考点：‎ 平行线的性质．3718684‎ 分析：‎ 根据平行线性质得出∠C=∠B，代入求出即可．‎ 解答：‎ 解：∵AB∥CD，∠B=20°，‎ ‎∴∠C=∠B=20°，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查了平行线性质的应用，注意：两直线平行，内错角相等．‎ ‎　‎ ‎3．（3分）（2013•衡阳）“a是实数，|a|≥0”这一事件是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 必然事件 B．‎ 不确定事件 C．‎ 不可能事件 D．‎ 随机事件 考点：‎ 随机事件．‎ 分析：‎ 根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念和绝对值的定义可正确解答．‎ 解答：‎ 解：因为数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，‎ 因为a是实数，‎ 所以|a|≥0．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 用到的知识点为：必然事件指在一定条件下一定发生的事件．‎ ‎　‎ ‎4．（3分）（2013•衡阳）如图，∠1=100°，∠C=70°，则∠A的大小是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎10°‎ B．‎ ‎20°‎ C．‎ ‎30°‎ D．‎ ‎80°‎ 考点：‎ 三角形的外角性质．‎ 分析：‎ 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和列式进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：∵∠1=100°，∠C=70°，‎ ‎∴∠A=∠1﹣∠C=100°﹣70°=30°．‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎5．（3分）（2013•衡阳）计算的结果为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ ‎3‎ D．‎ ‎5‎ 考点：‎ 二次根式的乘除法；零指数幂．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式第一项利用二次根式的乘法法则计算，第二项利用零指数幂法则计算，即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式=2+1=3．‎ 故选C 点评：‎ 此题考查了二次根式的乘除法，以及零指数幂，熟练掌握运算法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎6．（3分）（2013•衡阳）如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎50°‎ B．‎ ‎80°‎ C．‎ ‎90°‎ D．‎ ‎100°‎ 考点：‎ 圆周角定理．‎ 分析：‎ 因为同弧所对圆心角是圆周角的2倍，即∠AOC=2∠ABC=100°．‎ 解答：‎ 解：∵∠ABC=50°，‎ ‎∴∠AOC=2∠ABC=100°．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎　‎ ‎7．（3分）（2013•衡阳）要调查下列问题，你认为哪些适合抽样调查（　　）‎ ‎①市场上某种食品的某种添加剂的含量是否符合国家标准 ‎②检测某地区空气质量 ‎③调查全市中学生一天的学习时间．‎ ‎　‎ A．‎ ‎①②‎ B．‎ ‎①③‎ C．‎ ‎②③‎ D．‎ ‎①②③‎ 考点：‎ 全面调查与抽样调查 分析：‎ 由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似．‎ 解答：‎ 解：①食品数量较大，不易普查，故适合抽查；‎ ‎②不能进行普查，必须进行抽查；‎ ‎③人数较多，不易普查，故适合抽查．‎ 故选D．‎ 点评：‎ 本题考查了抽样调查和全面调查的区别，选择普查还是抽样调查要根据所要考查的对象的特征灵活选用，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行普查、普查的意义或价值不大时，应选择抽样调查，对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用普查．‎ ‎　‎ ‎8．（3分）（2013•衡阳）下列几何体中，同一个几何体的主视图与俯视图不同的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 简单几何体的三视图．‎ 分析：‎ 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、侧面和上面看，所得到的图形．‎ 解答：‎ 解：A、圆柱的主视图与俯视图都是矩形，错误；‎ B、正方体的主视图与俯视图都是正方形，错误；‎ C、圆锥的主视图是等腰三角形，而俯视图是圆和圆心，正确；‎ D、球体主视图与俯视图都是圆，错误；‎ 故选C．‎ 点评：‎ 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图．‎ ‎　‎ ‎9．（3分）（2013•衡阳）下列运算正确的是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎3a+2b=5ab B．‎ a3•a2=a5‎ C．‎ a8•a2=a4‎ D．‎ ‎（2a2）3=﹣6a6‎ 考点：‎ 同底数幂的除法；合并同类项；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．‎ 分析：‎ 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减；合并同类项，系数相加字母和字母的指数不变；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；幂的乘方，底数不变指数相乘，对各选项计算后利用排除法求解．‎ 解答：‎ 解：A、不是同类项，不能合并，选项错误；‎ B、正确；‎ C、a8•a2=a10，选项错误；‎ D、（2a2）3=8a6，选项错误．‎ 故选B．‎ 点评：‎ 本题考查同底数幂的除法，合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方很容易混淆，一定要记准法则才能做题．‎ ‎　‎ ‎10．（3分）（2013•衡阳）下列命题中，真命题是（　　）‎ ‎　‎ A．‎ 位似图形一定是相似图形 ‎　‎ B．‎ 等腰梯形既是轴对称图形又是中心对称图形 ‎　‎ C．‎ 四条边相等的四边形是正方形 ‎　‎ D．‎ 垂直于同一直线的两条直线互相垂直 考点：‎ 命题与定理 分析：‎ 根据位似图形的定义、等腰梯形的性质、正方形的判定、两直线的位置关系分别对每一项进行分析即可．‎ 解答：‎ 解：A、位似图形一定是相似图形是真命题，故本选项正确；‎ B、等腰梯形既是轴对称图形，不是中心对称图形，原命题是假命题；‎ C、四条边相等的四边形是菱形，原命题是假命题；‎ D、同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相垂直，原命题是假命题；‎ 故选A．‎ 点评：‎ 此题考查了命题与定理，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理．‎ ‎　‎ ‎11．（3分）（2013•衡阳）某药品经过两次降价，每瓶零售价由168元降为128元．已知两次降价的百分率相同，每次降价的百分率为x，根据题意列方程得（　　）‎ ‎　‎ A．‎ ‎168（1+x）2=128‎ B．‎ ‎168（1﹣x）2=128‎ C．‎ ‎168（1﹣2x）=128‎ D．‎ ‎168（1﹣x2）=128‎ 考点：‎ 由实际问题抽象出一元二次方程．‎ 专题：‎ 增长率问题．‎ 分析：‎ 设每次降价的百分率为x，根据降价后的价格=降价前的价格（1﹣降价的百分率），则第一次降价后的价格是168（1﹣x），第二次后的价格是168（1﹣x）2，据此即可列方程求解．‎ 解答：‎ 解：根据题意得：168（1﹣x）2=128，‎ 故选B．‎ 点评：‎ 此题主要考查了一元二次方程的应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程即可．‎ ‎　‎ ‎12．（3分）（2013•衡阳）如图所示，半径为1的圆和边长为3的正方形在同一水平线上，圆沿该水平线从左向右匀速穿过正方形，设穿过时间为t，正方形除去圆部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　）‎ ‎　‎ A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 考点：‎ 动点问题的函数图象．3718684‎ 专题：‎ 动点型．‎ 分析：‎ 本题考查动点函数图象的问题．‎ 解答：‎ 解：由图中可知：在开始的时候，阴影部分的面积最大，可以排除B，C．‎ 随着圆的穿行开始，阴影部分的面积开始减小，当圆完全进入正方形时，阴影部分的面积开始不再变化．应排除D．‎ 故选A．‎ 点评：‎ 本题应首先看清横轴和纵轴表示的量，然后根据实际情况采用排除法求解．‎ ‎　‎ 二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎13．（3分）（2013•衡阳）计算=　2　．‎ 考点：‎ 有理数的乘法．‎ 分析：‎ 根据有理数的乘法运算法则进行计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（﹣4）×（﹣）=4×=2．‎ 故答案为：2．‎ 点评：‎ 本题考查了有理数的乘法运算，熟记运算法则是解题的关键，要注意符号的处理．‎ ‎　‎ ‎14．（3分）（2013•衡阳）反比例函数y=的图象经过点（2，﹣1），则k的值为　﹣2　．‎ 考点：‎ 待定系数法求反比例函数解析式．‎ 分析：‎ 将此点坐标代入函数解析式y=（k≠0）即可求得k的值．‎ 解答：‎ 解：将点（2，﹣1）代入解析式可得k=2×（﹣1）=﹣2．‎ 故答案为：﹣2．‎ 点评：‎ 本题比较简单，考查的是用待定系数法求反比例函数的比例系数，是中学阶段的重点内容．‎ ‎　‎ ‎15．（3分）（2013•衡阳）如图，在直角△OAB中，∠AOB=30°，将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，则∠A1OB=　70　°．‎ 考点：‎ 旋转的性质．‎ 专题：‎ 探究型．‎ 分析：‎ 直接根据图形旋转的性质进行解答即可．‎ 解答：‎ 解：∵将△OAB绕点O逆时针旋转100°得到△OA1B1，∠AOB=30°，‎ ‎∴△OAB≌△OA1B1，‎ ‎∴∠A1OB=∠AOB=30°．‎ ‎∴∠A1OB=∠A1OA﹣∠AOB=70°．‎ 故答案为：70．‎ 点评：‎ 本题考查的是旋转的性质，熟知图形旋转前后对应边、对应角均相等的性质是解答此题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（3分）（2013•衡阳）某中学举行歌咏比赛，以班为单位参赛，评委组的各位评委给九（三）班的演唱打分情况为：89、92、92、95、95、96、97、，从中去掉一个最高分和一个最低分，余下的分数的平均数是最后得分，则该班的得分为　94　．‎ 考点：‎ 算术平均数． 4‎ 分析：‎ 先去掉一个最低分去掉一个最高分，再根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式进行计算即可．‎ 解答：‎ 解：由题意知，最高分和最低分为97，89，‎ 则余下的分数的平均数=（92×2+95×2+96）÷5=94．‎ 故答案为：94．‎ 点评：‎ 本题考查了算术平均数，关键是根据平均数等于所有数据的和除以数据的个数列出算式．‎ ‎　‎ ‎17．（3分）（2013•衡阳）计算：=　a﹣1　．‎ 考点：‎ 分式的加减法．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 原式利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．‎ 解答：‎ 解：原式==a﹣1．‎ 故答案为：a﹣1‎ 点评：‎ 此题考查了分式的加减法，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母．‎ ‎　‎ ‎18．（3分）（2013•衡阳）已知a+b=2，ab=1，则a2b+ab2的值为　2　．‎ 考点：‎ 因式分解的应用．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 所求式子提取公因式化为积的形式，将各自的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：∵a+b=2，ab=1，‎ ‎∴a2b+ab2=ab（a+b）=2．‎ 故答案为：2‎ 点评：‎ 此题考查了因式分解的应用，将所求式子进行适当的变形是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎19．（3分）（2013•衡阳）如图，要制作一个母线长为8cm，底面圆周长是12πcm的圆锥形小漏斗，若不计损耗，则所需纸板的面积是　48πcm2　．‎ 考点：‎ 圆锥的计算．3718684‎ 专题：‎ 计算题．‎ 分析：‎ 圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ 解答：‎ 解：圆锥形小漏斗的侧面积=×12π×8=48πcm2．‎ 故答案为48πcm2．‎ 点评：‎ 本题考查了圆锥的计算，圆锥的侧面积=×底面周长×母线长 ‎　‎ ‎20．（3分）（2013•衡阳）观察下列按顺序排列的等式：，，，，…，试猜想第n个等式（n为正整数）：an=　﹣　．‎ 考点：‎ 规律型：数字的变化类．3718684‎ 分析：‎ 根据题意可知a1=1﹣，a2=﹣，a3=﹣，…故an=﹣．‎ 解答：‎ 解：通过分析数据可知第n个等式为：an=﹣．‎ 故答案为：﹣．‎ 点评：‎ 本题考查了数字变化规律，培养学生通过观察、归纳、抽象出数列的规律的能力，要求学生首先分析题意，找到规律，并进行推导得出答案．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8个小题，满分60分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎21．（6分）（2013•衡阳）先化简，再求值：（1+a）（1﹣a）+a（a﹣2），其中．‎ 考点：‎ 整式的混合运算—化简求值．‎ 分析：‎ 原式第一项利用平方差公式化简，第二项利用单项式乘多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，将a的值代入计算即可求出值．‎ 解答：‎ 解：原式=1﹣a2+a2﹣2a=1﹣2a，‎ 当a=时，原式=1﹣1=0．‎ 点评：‎ 此题考查了整式的混合运算﹣化简求值，涉及的知识有：平方差公式，去括号法则，以及合并同类项法则，熟练掌握公式及法则是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（6分）（2013•衡阳）解不等式组：；并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：‎ 解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．3718684‎ 分析：‎ 先求出不等式的解集，再根据不等式的解集找出不等式组的解集即可．‎ 解答：‎ 解：‎ ‎∵解不等式①得：x≥1，‎ 解不等式②得：x＞2，‎ ‎∴不等式组的解集为x＞2，‎ 在数轴上表示不等式组的解集为 ‎．‎ 点评：‎ 本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集的应用，关键是能根据不等式的解集找出不等式组的解集．‎ ‎　‎ ‎23．（6分）（2013•衡阳）如图，小方在五月一日假期中到郊外放风筝，风筝飞到C 处时的线长为20米，此时小方正好站在A处，并测得∠CBD=60°，牵引底端B离地面1.5米，求此时风筝离地面的高度（结果精确到个位）‎ 考点：‎ 解直角三角形的应用-仰角俯角问题．3718684‎ 分析：‎ 易得DE=AB，利用BC长和60°的正弦值即可求得CD长，加上DE长就是此时风筝离地面的高度．‎ 解答：‎ 解：依题意得，∠CDB=∠BAE=∠ABD=∠AED=90°，‎ ‎∴四边形ABDE是矩形，（1分）‎ ‎∴DE=AB=1.5，（2分）‎ 在Rt△BCD中，，（3分）‎ 又∵BC=20，∠CBD=60°，‎ ‎∴CD=BC•sin60°=20×=10，（4分）‎ ‎∴CE=10+1.5，（5分）‎ 即此时风筝离地面的高度为（10+1.5）米．‎ 点评：‎ 考查仰角的定义，能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是仰角问题常用的方法．‎ ‎　‎ ‎24．（6分）（2013•衡阳）目前我市“校园手机”现象越来越受到社会关注，针对这种现象，我市某中学九年级数学兴趣小组的同学随机调查了学校若干名家长对“中学生带手机”现象的看法，统计整理并制作了如下的统计图：‎ ‎（1）这次调查的家长总数为　600　．家长表示“不赞同”的人数为　80　；‎ ‎（2）从这次接受调查的家长中随机抽查一个，恰好是“赞同”的家长的概率是　60%　；‎ ‎（3）求图②中表示家长“无所谓”的扇形圆心角的度数．‎ 考点：‎ 条形统计图；扇形统计图；概率公式．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）根据赞成的人数与所占的百分比列式计算即可求调查的家长的总数，然后求出不赞成的人数；‎ ‎（2）根据扇形统计图即可得到恰好是“赞同”的家长的概率；‎ ‎（3）求出无所谓的人数所占的百分比，再乘以360°，计算即可得解．‎ 解答：‎ 解：（1）调查的家长总数为：360÷60%=600人，‎ 很赞同的人数：600×20%=120人，‎ 不赞同的人数：600﹣120﹣360﹣40=80人；‎ ‎（2）“赞同”态度的家长的概率是60%；‎ ‎（3）表示家长“无所谓”的圆心角的度数为：×360°=24°．‎ 故答案为：600，80；60%．‎ 点评：‎ 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．‎ ‎　‎ ‎25．（8分）（2013•衡阳）为了响应国家节能减排的号召，鼓励市民节约用电，我市从‎2012年7月1日起，居民用电实行“一户一表”的“阶梯电价”，分三个档次收费，第一档是用电量不超过180千瓦时实行“基本电价”，第二、三档实行“提高电价”，具体收费情况如右折线图，请根据图象回答下列问题；‎ ‎（1）档用地阿亮是180千瓦时时，电费是　108　元；‎ ‎（2）第二档的用电量范围是　180＜x≤450　；‎ ‎（3）“基本电价”是　0.6　元/千瓦时；‎ ‎（4）小明家8月份的电费是328.5元，这个月他家用电多少千瓦时？‎ 考点：‎ 一次函数的应用．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）通过函数图象可以直接得出用电量为180千瓦时，电费的数量；‎ ‎（2）从函数图象可以看出第二档的用电范围；‎ ‎（3）运用总费用÷总电量就可以求出基本电价；‎ ‎（4）结合函数图象可以得出小明家8月份的用电量超过450千瓦时，先求出直线BC的解析式就可以得出结论．‎ 解答：‎ 解：（1）由函数图象，得 当用电量为180千瓦时，电费为：108元．‎ 故答案为：108；‎ ‎（2）由函数图象，得 设第二档的用电量为x°，则180＜x≤450．‎ 故答案为：180＜x≤450‎ ‎（3）基本电价是：108÷180=0.6；‎ 故答案为：0.6‎ ‎（4）设直线BC的解析式为y=kx+b，由图象，得 ‎，‎ 解得：，‎ y=0.9x﹣121.5．‎ y=328.5时，‎ x=500．‎ 答：这个月他家用电500千瓦时．‎ 点评：‎ 本题考查了运用函数图象求自变量的取值范围的运用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，由解析式通过自变量的值求函数值的运用，解答时读懂函数图象的意义是关键．‎ ‎　‎ ‎26．（8分）（2013•衡阳）如图，P为正方形ABCD的边AD上的一个动点，AE⊥BP，CF⊥BP，垂足分别为点E、F，已知AD=4．‎ ‎（1）试说明AE2+CF2的值是一个常数；‎ ‎（2）过点P作PM∥FC交CD于点M，点P在何位置时线段DM最长，并求出此时DM的值．‎ 考点：‎ 正方形的性质；二次函数的最值；全等三角形的判定与性质；勾股定理；相似三角形的判定与性质．3718684‎ 分析：‎ ‎（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，结合∠ABE=∠BCF，证明△ABE≌△BCF，可得AE=BF，于是AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；‎ ‎（2）设AP=x，则PD=4﹣x，由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，△PDM∽△BAP，列出关于x的一元二次函数，求出DM的最大值．‎ 解答：‎ 解：（1）由已知∠AEB=∠BFC=90°，AB=BC，‎ 又∵∠ABE+∠FBC=∠BCF+∠FBC，‎ ‎∴∠ABE=∠BCF，‎ ‎∵在△ABE和△BCF中，‎ ‎，‎ ‎∴△ABE≌△BCF（AAS），‎ ‎∴AE=BF，‎ ‎∴AE2+CF2=BF2+CF2=BC2=16为常数；‎ ‎（2）设AP=x，则PD=4﹣x，‎ 由已知∠DPM=∠PAE=∠ABP，‎ ‎∴△PDM∽△BAP，‎ ‎∴=，‎ 即=，‎ ‎∴DM==x﹣x2，‎ 当x=2时，DM有最大值为1．‎ 点评：‎ 本题主要考查正方形的性质等知识点，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理以及三角形相似等知识，此题有一定的难度，是一道不错的中考试题．‎ ‎　‎ ‎27．（10分）（2013•衡阳）如图，已知抛物线经过A（1，0），B（0，3）两点，对称轴是x=﹣1．‎ ‎（1）求抛物线对应的函数关系式；‎ ‎（2）动点Q从点O出发，以每秒1个单位长度的速度在线段OA上运动，同时动点M从M从O点出发以每秒3个单位长度的速度在线段OB上运动，过点Q作x轴的垂线交线段AB于点N，交抛物线于点P，设运动的时间为t秒．‎ ‎①当t为何值时，四边形OMPQ为矩形；‎ ‎②△AON能否为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．‎ 考点：‎ 二次函数综合题 分析：‎ ‎（1）利用顶点式、待定系数法求出抛物线的解析式；‎ ‎（2）①当四边形OMPQ为矩形时，满足条件OM=PQ，据此列一元二次方程求解；‎ ‎②△AON为等腰三角形时，可能存在三种情形，需要分类讨论，逐一计算．‎ 解答：‎ 解：（1）根据题意，设抛物线的解析式为：y=a（x+1）2+k，‎ ‎∵点A（1，0），B（0，3）在抛物线上，‎ ‎∴，‎ 解得：a=﹣1，k=4，‎ ‎∴抛物线的解析式为：y=﹣（x+1）2+4．‎ ‎（2）①∵四边形OMPQ为矩形，‎ ‎∴OM=PQ，即3t=﹣（t+1）2+4，‎ 整理得：t2+5t﹣3=0，‎ 解得t=，由于t=＜0，故舍去，‎ ‎∴当t=秒时，四边形OMPQ为矩形；‎ ‎②Rt△AOB中，OA=1，OB=3，∴tanA=3．‎ 若△AON为等腰三角形，有三种情况：‎ ‎（I）若ON=AN，如答图1所示：‎ 过点N作ND⊥OA于点D，则D为OA中点，OD=OA=，‎ ‎∴t=；‎ ‎（II）若ON=OA，如答图2所示：‎ 过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，OD=OA﹣AD=1﹣x，‎ 在Rt△NOD中，由勾股定理得：OD2+ND2=ON2，‎ 即（1﹣x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=0（舍去），‎ ‎∴x=，OD=1﹣x=，‎ ‎∴t=；‎ ‎（III）若OA=AN，如答图3所示：‎ 过点N作ND⊥OA于点D，设AD=x，则ND=AD•tanA=3x，‎ 在Rt△AND中，由勾股定理得：ND2+AD2=AN2，‎ 即（x）2+（3x）2=12，解得x1=，x2=﹣（舍去），‎ ‎∴OD=1﹣x=1﹣，‎ ‎∴t=1﹣．‎ 综上所述，当t为秒、秒，（1﹣）秒时，△AON为等腰三角形．‎ 点评：‎ 本题考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、解一元二次方程、勾股定理、解直角三角形、矩形性质、等腰三角形的性质等知识点，综合性比较强，有一定的难度．第（2）问为运动型与存在型的综合性问题，注意要弄清动点的运动过程，进行分类讨论计算．‎ ‎　‎ ‎28．（10分）（2013•衡阳）如图，在平面直角坐标系中，已知A（8，0），B（0，6），⊙M经过原点O及点A、B．‎ ‎（1）求⊙M的半径及圆心M的坐标；‎ ‎（2）过点B作⊙M的切线l，求直线l的解析式；‎ ‎（3）∠BOA的平分线交AB于点N，交⊙M于点E，求点N的坐标和线段OE的长．‎ 考点：‎ 圆的综合题．‎ 专题：‎ 综合题．‎ 分析：‎ ‎（1）根据圆周角定理∠AOB=90°得AB为⊙M的直径，则可得到线段AB的中点即点M的坐标，然后利用勾股定理计算出AB=10，则可确定⊙M的半径为5；‎ ‎（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，根据切线的性质得AB⊥BC，利用等角的余角相等得到∠BAO=∠CBO，然后根据相似三角形的判定方法有Rt△ABO∽Rt△BCO，所以=，可解得OC=，则C点坐标为（﹣，0），最后运用待定系数法确定l的解析式；‎ ‎（3）作ND⊥x轴，连结AE，易得△NOD为等腰直角三角形，所以ND=OD，ON=ND，再利用ND∥OB得到△ADN∽△AOB，则ND：OB=AD：AO，即ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，所以OD=，ON=，即可确定N点坐标；由于△ADN∽△AOB，利用ND：OB=AN：AB，可求得AN=，则BN=10﹣=，然后利用圆周角定理得∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，所以△BON∽△EAN，再利用相似比可求出ME，最后由OE=ON+NE计算即可．‎ 解答：‎ 解：（1）∵∠AOB=90°，‎ ‎∴AB为⊙M的直径，‎ ‎∵A（8，0），B（0，6），‎ ‎∴OA=8，OB=6，‎ ‎∴AB==10，‎ ‎∴⊙M的半径为5；圆心M的坐标为（（4，3）；‎ ‎（2）点B作⊙M的切线l交x轴于C，如图，‎ ‎∵BC与⊙M相切，AB为直径，‎ ‎∴AB⊥BC，‎ ‎∴∠ABC=90°，‎ ‎∴∠CBO+∠ABO=90°，‎ 而∠BAO=∠ABO=90°，‎ ‎∴∠BAO=∠CBO，‎ ‎∴Rt△ABO∽Rt△BCO，‎ ‎∴=，即=，解得OC=，‎ ‎∴C点坐标为（﹣，0），‎ 设直线BC的解析式为y=kx+b，‎ 把B（0，6）、C点（﹣，0）分别代入，‎ 解得，‎ ‎∴直线l的解析式为y=x+6；‎ ‎（3）作ND⊥x轴，连结AE，如图，‎ ‎∵∠BOA的平分线交AB于点N，‎ ‎∴△NOD为等腰直角三角形，‎ ‎∴ND=OD，‎ ‎∴ND∥OB，‎ ‎∴△ADN∽△AOB，‎ ‎∴ND：OB=AD：AO，‎ ‎∴ND：6=（8﹣ND）：8，解得ND=，‎ ‎∴OD=，ON=ND=，‎ ‎∴N点坐标为（，）；‎ ‎∵△ADN∽△AOB，‎ ‎∴ND：OB=AN：AB，即：6=AN：10，解得AN=，‎ ‎∴BN=10﹣=，‎ ‎∵∠OBA=OEA，∠BOE=∠BAE，‎ ‎∴△BON∽△EAN，‎ ‎∴BN：NE=ON：AN，即：NE=：，解得NE=，‎ ‎∴OE=ON+NE=+=7．‎ 点评：‎ 本题考查了圆的综合题：掌握切线的性质、圆周角定理及其推论；学会运用待定系数法求函数的解析式；熟练运用勾股定理和相似比进行几何计算．‎ ‎　‎ 四、附加题（本小题满分0分，不计入总分）‎ ‎29．（2013•衡阳）一种电讯信号转发装置的发射直径为31km．现要求：在一边长为30km的正方形城区选择若干个安装点，每个点安装一个这种转发装置，使这些装置转发的信号能完全覆盖这个城市．问：‎ ‎（1）能否找到这样的4个安装点，使得这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图1中画出安装点的示意图，并用大写字母M、N、P、Q表示安装点；‎ ‎（2）能否找到这样的3个安装点，使得在这些点安装了这种转发装置后能达到预设的要求？在图2中画出示意图说明，并用大写字母M、N、P表示安装点，用计算、推理和文字来说明你的理由．‎ 考点：‎ 作图—应用与设计作图．‎ 专题：‎ 作图题．‎ 分析：‎ ‎（1）可把正方形分割为四个全等的正方形，作出这些正方形的对角线，把装置放在交点处，交点到其余各个小正方形顶点的距离相等通过计算看是否适合；‎ ‎（2）由（1）得到启示，把正方形分割为三个长方形，左边的一个矩形的对角线能辐射的最大直径为31，看能否把三个装置放在三个长方形的对角线的交点处．‎ 解答：‎ 解：（1）如图1，将正方形等分成如图的四个小正方形，将这4个转发装置安装在这4个小正方形对角线的交点处，‎ 此时，每个小正方形的对角线长为 ，每个转发装置都能完全覆盖一个小正方形区域，‎ 故安装4个这种装置可以达到预设的要求；‎ ‎（2）（画图正确给1分）‎ 将原正方形分割成如图2中的3个矩形，‎ 使得BE=OD=OC．将每个装置安装在这些矩形的对角线交点处，‎ 则AE=，，‎ ‎∴OD=，‎ 即如此安装三个这个转发装置，也能达到预设要求．‎ 点评：‎ 考查应用与设计作图；解决本题的关键是先利用常见图形得到合适的计算方法和思路，然后根据类比方法利用覆盖的最大距离得到相类似的解．‎