2009年广东省中考数学试卷(有答案)

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2009年广东省中考数学试卷(有答案)

‎2009年广东省初中毕业生学业考试 数 学 说明:全卷共4页,考试用时100分钟,满分120分.‎ 一、选择题(本大题5小题,每小题3分,共15分)在每小题列出的四个选项中,只有一个是正确的,请把答题卡上对应题目所选的选项涂黑.‎ ‎1. 4的算术平方根是( )‎ A.±2 B.2 C. D.‎ ‎2. 计算结果是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3. 如图所示几何体的主(正)视图是( )‎ ‎4. 《广东省2009年重点建设项目计划(草案)》显示,港珠澳大桥工程估算总投资726亿 元,用科学计数法表示正确的是( )‎ A. B.元 C.元 D.元 ‎5. 如图所示的矩形纸片,先沿虚线按箭头方向向右对折,接着将对折后的纸片沿虚线剪下 一个小圆和一个小三角形,然后将纸片打开是下列图中的哪一个( )‎ 二、填空题(本大题5小题,每小题4分,共20分)请将下列各题的正确答案填在答题卡相应的位置上.‎ ‎6. 分解因式=_______________________.‎ ‎7. 已知⊙O的直径AB=8cm,C为⊙O上的一点,∠BAC=30°,‎ 则BC=_________cm.‎ ‎8. 一种商品原价120元,按八折(即原价的80%)出售,则 现售价应为__________元.‎ ‎9. 在一个不透明的布袋中装有2个白球和n个黄球,它们除颜色不同外,其余均相同,若 从中随机摸出一球,摸到黄球的概率是,则n=__________________.‎ ‎10. 用同样规格的黑白两种颜色的正方形瓷砖,按下图的方式铺地板,则第(3)个图形中 有黑色瓷砖________块,第n个图形中需要黑色瓷砖_______________块(用含n的代数式 表示).‎ 三、解答题(一)(本大题5小题,每小题6分,共30分)‎ ‎11. 计算sin30°+.‎ ‎12. 解方程 ‎13. 如图所示,在平面直角坐标系中,一次函数y=kx+1‎ 的图像与反比例函数的图像在第一象限相交于点A,‎ 过点A分别作x 轴、y轴的垂线,垂足为点B、C.如果四 边形OBAC是正方形,求一次函数的关系式.‎ ‎14. 如图所示,△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,‎ 延长BC到E,使CE=CD.‎ (1) 用尺规作图的方法,过D点作DM⊥BE,‎ 垂足是M(不写作法,保留作图痕迹);‎ ‎(2)求证:BM=EM.‎ ‎15. 如图所示,A、B两城市相距100km.现计划在这两座城市间修筑一条高速公路(即线段AB),经测量,森林保护中心P在A城市的北偏东30°和B城市的北偏西45°的方向上.已知森林保护区的范围在以P点为圆心,50km为半径的圆形区域内.请问计划修筑的这条高速公路会不会穿越保护区.为什么?(参考数据:)‎ 四、解答题(二)(本大题4小题,每小题7分,共28分)‎ ‎16. 某种电脑病毒传播非常快,如果一台电脑被感染,经过两轮被感染后就会有81台电脑被感染.请你用学过的知识分析,每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑?若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会不会超过700台?‎ ‎17. 某中学学生会为了解该校学生喜欢球类活动的情况,采取抽样调查地方法,从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了若干名学生的兴趣爱好,并将调查的结果绘制成如下的两幅不完整的统计图(如图1、图2,要求每位同学只能选择一种自己喜欢的球类;图中用乒乓球、足球、排球、篮球代表喜欢这四种球类中的某一种球类的学生人数),请你根据图中提供的信息解答下列问题:‎ ‎(1)在这次研究中,一共调查了多少位学生?‎ ‎(2)喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角是多少度?‎ ‎(3)补全频数分布折线统计图.‎ ‎18. 在菱形ABCD中,对角线AC与BD相交于点O,AB=5,AC=6.过D点作DE∥AC交BC的延长线于点E.‎ ‎(1)求△BDE的周长;‎ ‎(2)点P为线段BC上的点,‎ 连接PO并延长交AD于点Q.求证:BP=DQ.‎ ‎19. 如图所示,在矩形ABCD中,AB=12,AC=20,两条对角线相交于点O.以OB、OC为邻边作第1个平行四边形,对角线相交于点;再以为邻边作第2个平行四边形,对角线相交于点;再以为 邻边作第3个平行四边形……依此类推.‎ ‎(1)求矩形ABCD的面积;‎ ‎(2)求第1个平行四边形 、第2个 平行四边形 和第6个平行四边形的面积.‎ 五、解答题(三)(本大题3小题,每小题9分,共27分)‎ ‎20.(1)如图1,圆内接△ABC中,AB=BC=CA,OD、OE为⊙O的半径,OD⊥BC于点F,OE⊥AC于点G,求证:阴影部分四边形OFCG的面积是△ABC的面积的.‎ ‎(2)如图2,若∠DOE保持120°角度不变,求证:当∠DOE绕着O点旋转时,由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的.‎ ‎21. 小明用下面的方法求出方程的解,请你仿照他的方法求出下面另外两个方程的解,并把你的解答过程填写在下面的表格中.‎ 方程 换元法得新方程 ‎ 解新方程 检验 求原方程的解 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22. 正方形ABCD边长为4,M、N分别是BC、CD上的两个动点,当M点在BC上运动时,保持AM和MN垂直,‎ ‎(1)证明:Rt△ABM ∽Rt△MCN;‎ ‎(2)设BM=x,梯形ABCN的面积为y,求y与x之间的函数关系式;当M点运动到什么位置时,四边形ABCN的面积最大,并求出最大面积;‎ ‎(3)当M点运动到什么位置时Rt△ABM ∽Rt△AMN,‎ 求此时x的值.‎ ‎2009年广东省初中毕业生学业考试 数 学 参考答案 一、选择题 ‎1.B2.A3.B4.A5.C 二、填空题 ‎6.2x(x+2)(x-2);7.4;8.96;9.8;10.10,3n+1.‎ 三、解答题(一)‎ ‎11. 解: ‎ ‎12.解:去分母得:2=-(x+1) 解得:x=-3‎ ‎ 检验:当x=-3时,分母 ‎ 所以原方程的解是:x=-3.‎ ‎ 13.解:,∴OB=AB=3, ∴点A的坐标为(3,3)‎ ‎∵点A在一次函数y=kx+1的图像上, ∴3k+1=3,解得:k=‎ ‎∴一次函数的关系式是:‎ ‎14.(1)作图(略)‎ ‎  (2)证明:‎ ‎    ∵△ABC是等边三角形,∴AB=BC,∠ABC=∠ACB=60°‎ ‎    ∵AD=CD,∴∠CBD=∠ABD=30°‎ ‎    ∵CD=CE,∠ACB=∠E+∠CDE=60°,∴∠E=30°‎ ‎ ∴∠E=∠CBD,∴BD=DE ‎    ∵DM⊥BE,∴BM=EM.‎ ‎15.解:过点P作PQ⊥AB于Q,则有∠APQ=30°,∠BPQ=45°‎ ‎     设PQ=x,则PQ=BQ=x,AP=2AQ=2(100-x).‎ ‎ 在Rt△APQ 中,‎ ‎ ∵tan∠APQ=tan30º =,即.‎ ‎ ∴‎ 又∵>50,∴计划修筑的这条高速公路会穿越保护区。‎ 四、解答题(二)‎ ‎16.解:设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑,依题意得:‎ ‎ 解得:x=9或-9(负值不合题意,舍去)‎ ‎ ∵>700,∴若病毒得不到有效控制,3轮感染后,被感染的电脑会超过700‎ 台.‎ ‎17.解:(1)20÷20%=100(名)‎ ‎ (2)∵喜欢排球的人数是:100-20-30-100×40%=10(人)‎ ‎ ∴喜欢排球的人数在扇形统计图中所占的圆心角度数为:360º×10%=36º ‎ (3)图略 ‎18.(1)解:∵四边形ABCD是菱形,‎ ‎∴AB=BC=CD=AD=5,AC⊥BD,OB=OD,OA=OC=3‎ ‎∴,BD=2OB=8‎ ‎∵AD∥CE,AC∥DE,∴四边形ACED是平行四边形 ‎∴CE=AD=BC=5,DE=AC=6‎ ‎∴△BDE的周长是:BD+BC+CE+DE=8+10+6=24.‎ ‎  (2)证明:∵AD∥BC,∴∠OBP=∠ODQ,∠OPD=∠OQD ‎ ∵OB=OD,∴△BOP≌△DOQ,∴BP=DQ。‎ ‎ 19.(1)解:∵四边形ABCD是矩形,AC=20,AB=12‎ ‎     ∴∠ABC=90º,‎ ‎     ∴。‎ ‎  (2)解:∵OB ∥,OC ∥,∴四边形OB是平行四边形。‎ ‎     ∵四边形ABCD是矩形,∴OB=OC,∴四边形OB是菱形。‎ ‎     ∴‎ ‎     ∴,∴‎ ‎     同理:四边形是矩形,∴‎ ‎               ‥‥‥‎ ‎     第n个平行四边形的面积是:‎ ‎     ∴‎ 五,解答题(三)‎ ‎20.(1)证明:过点O作OH⊥AB于点H.‎ ‎ ∵等边△ABC是⊙O的内接三角形,OD⊥BC ,OH⊥AB,OE⊥AC ‎ ∴∠B=∠C=60°,∠BHO=∠BFO=∠CFO=∠CGO=90°, BH=BF=CF=CG,OH=OF=OG ‎ ∴∠FOH=∠FOG=180°-60°=120°,∴四边形BDOH≌四边形CFOG ‎     同理:四边形BDOH≌四边形AHOG ‎∴四边形BDOH≌四边形CFOG≌四边形AHOG ‎∴,‎ 又∵‎ ‎∴.‎ ‎ (2)证明:过圆心O分别作OM⊥BC,ON⊥AC,垂足为M、N.‎ ‎ 则有∠OMF=∠ONG=90°,OM=ON,∠MON=∠FOG=120°‎ ‎ ∴∠MON-∠FON=∠FOG-∠FON,即∠MOF=∠NOG ‎ ∴△MOF≌△NOG,∴‎ ‎ ∴若∠DOE保持120°角度不变,当∠DOE绕着O点旋转时,由两条半径和△ABC的两条边围成的图形(图中阴影部分)面积始终是△ABC的面积的.‎ ‎21.‎ 方程 换元法得新方程 ‎ 解新方程 检验 求原方程的解 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎22.(1)证明:∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠C=90°,∠ABM+∠BAM=90°‎ ‎∵∠ABM+∠CMN+∠AMN=180°,∠AMN=90°∴∠AMB+∠CMN=90°∴∠BAM=∠CMN ‎∴Rt△ABM∽Rt△MCN ‎(2)∵Rt△ABM∽Rt△MCN,∴即解得:‎ ‎∵ ∴, ‎ ‎ 即:‎ 又∵‎ ‎∴当x=2时,y有最大值10.‎ ‎∴当M点运动到BC的中点时,四边形ABCN的面积最大,最大面积是10.‎ ‎(3)∵Rt△ABM∽Rt△MCN,∴,即 化简得:,解得:x=2‎ ‎∴当M点运动到BC的中点时Rt△ABM ∽Rt△AMN,此时x的值为2.‎
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