2013年四川省成都市中考数学试题（含答案）

2013年四川省成都市中考数学试题（含答案）

四川省成都市 2013 年中考数学试卷 一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题 3 分，共 30 分.每小题均有四个选项.其中只有一 项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1．（3 分）（2013•成都）2 的相反数是（　　） 　A．2 B．﹣2 C． D． 考点：相反数 分析：根据相反数的定义求解即可． 解答：解：2 的相反数为：﹣2． 故选 B． 点评：本题考查了相反数的知识，属于基础题，掌握相反数的定义是解题的关键． 　 2．（3 分）（2013•成都）如图所示的几何体的俯视图可能是（　　） 　A． B． C． D． 考点：简单几何体的三视图 分析：俯视图是从上往下看得到的视图，由此可得出答案． 解答：解：所给图形的俯视图是一个带有圆心的圆． 故选 C． 点评：本题考查了俯视图的知识，属于基础题，关键是掌握俯视图是从上往下看得到的视 图． 　 3．（3 分）（2013•成都）要使分式 有意义，则 x 的取值范围是（　　） 　A．x≠1 B．x＞1 C．x＜1 D．x≠﹣1 考点：分式有意义的条件 分析：根据分式有意义的条件是分母不等于零，可得出 x 的取值范围． 解答：解：∵分式 有意义， ∴x﹣1≠0， 解得：x≠1． 故选 A． 点评：本题考查了分式有意义的条件，属于基础题，注意掌握分式有意义分母不为零． 　 4．（3 分）（2013•成都）如图，在△ABC 中，∠B=∠C，AB=5，则 AC 的长为（　　） 　A．2 B．3 C．4 D．5 考点：等腰三角形的性质 分析：根据等腰三角形的性质可得 AB=AC，继而得出 AC 的长． 解答：解：∵∠B=∠C， ∴AB=AC=5． 故选 D． 点评：本题考查了等腰三角形的性质，解答本题的关键是掌握等腰三角形的两腰相等，底边 上的两底角相等． 　 5．（3 分）（2013•成都）下列运算正确的是（　　） 　A． ×（﹣3）=1 B．5﹣8=﹣3 C．2﹣3=6 D．（﹣2013）0=0 考点：负整数指数幂；有理数的减法；有理数的乘法；零指数幂 分析：根据有理数的乘法、减法及负整数指数幂、零指数幂的运算法则，结合各选项进行判 断即可． 解答：解：A、 ×（﹣3）=﹣1，运算错误，故本选项错误； B、5﹣8=﹣3，运算正确，故本选项正确； C、2﹣3= ，运算错误，故本选项错误； D、（﹣2013）0=1，运算错误，故本选项错误； 故选 B． 点评：本题考查了负整数指数幂、零指数幂及有理数的运算，属于基础题，掌握各部分的运 算法则是关键． 　 6．（3 分）（2013•成都）参加成都市今年初三毕业会考的学生约有 13 万人，将 13 万用科学 记数法表示应为（　　） 　A．1.3×105 B．13×104 C．0.13×105 D．0.13×106 考点：科学记数法—表示较大的数 分析：科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确定 n 的值时， 要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当 原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数的绝对值＜1 时，n 是负数． 解答：解：将 13 万用科学记数法表示为 1.3×105． 故选 A． 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为 a×10n 的形式，其中 1≤|a| ＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值． 7．（3 分）（2013•成都）如图，将矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠，使点 C 和点 C′重合，若 AB=2，则 C′D 的长为（　　） 　A．1 B．2 C．3 D．4 考点：矩形的性质；翻折变换（折叠问题） 分析：根据矩形的对边相等可得 CD=AB，再根据翻折变换的性质可得 C′D=CD，代入数据 即可得解． 解答：解：在矩形 ABCD 中，CD=AB， ∵矩形 ABCD 沿对角线 BD 折叠后点 C 和点 C′重合， ∴C′D=CD， ∴C′D=AB， ∵AB=2， ∴C′D=2． 故选 B． 点评：本题考查了矩形的对边相等的性质，翻折变换的性质，是基础题，熟记性质是解题的 关键． 　 8．（3 分）（2013•成都）在平面直角坐标系中，下列函数的图象经过原点的是（　　） 　A．y=﹣x+3 B．y= C．y=2x D．y=﹣2x2+x﹣7 考点：二次函数图象上点的坐标特征；一次函数图象上点的坐标特征；反比例函数图象上点 的坐标特征 分析：将（0，0）代入各选项进行判断即可． 解答：解：A、当 x=0 时，y=3，不经过原点，故本选项错误； B、反比例函数，不经过原点，故本选项错误； C、当 x=0 时，y=0，经过原点，故本选项正确； D、当 x=0 时，y=﹣7，不经过原点，故本选项错误； 故选 C． 点评：本题考查了一次函数图象、反比例函数图象及二次函数图象上点的坐标特征，注意代 入判断，难度一般． 　 9．（3 分）（2013•成都）一元二次方程 x2+x﹣2=0 的根的情况是（　　） 　A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 　C．只有一个实数根 D．没有实数根 考点：根的判别式 分析：先计算出根的判别式△的值，根据△的值就可以判断根的情况． 解答：解：△=b2﹣4ac=12﹣4×1×（﹣2）=9， ∵9＞0， ∴原方程有两个不相等的实数根． 故选 A． 点评：本题主要考查判断一元二次方程有没有实数根主要看根的判别式△的值．△＞0，有两 个不相等的实数根；△=0，有两个不相等的实数根；△＜0，没有实数根． 　 10．（3 分）（2013•成都）如图，点 A，B，C 在⊙O 上，∠A=50°，则∠BOC 的度数为（　　） 　A．40° B．50° C．80° D．100° 考点：圆周角定理 分析：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半， 由此可得出答案． 解答：解：由题意得，∠BOC=2∠A=100°． 故选 D． 点评：本题考查了圆周角定理，属于基础题，掌握圆周角定理的内容是解答本题的关键． 　 二．填空题（本大题共 4 个小题，每小题 4 分，共 16 分，答案写在答题卡上） 11．（4 分）（2013•成都）不等式 2x﹣1＞3 的解集是　x＞2　． 考点：解一元一次不等式；不等式的性质 专题：计算题． 分析：移项后合并同类项得出 2x＞4，不等式的两边都除以 2 即可求出答案． 解答：解：2x﹣1＞3， 移项得：2x＞3+1， 合并同类项得：2x＞4， 不等式的两边都除以 2 得：x＞2， 故答案为：x＞2． 点评：本题主要考查对不等式的性质，解一元一次不等式等知识点的理解和掌握，能根据不 等式的性质正确解不等式是解此题的关键． 　 12．（4 分）（2013•成都）今年 4 月 20 日在雅安市芦山县发生了 7.0 级的大地震，全川人民 众志成城，抗震救灾．某班组织“捐零花钱，献爱心”活动，全班 50 名学生的捐款情况如图 所示，则本次捐款金额的众数是　10　元． 考点：众数；条形统计图 分析：一组数据中出现次数最多的数据叫做众数，结合条形统计图即可作出判断． 解答：解：捐款 10 元的人数最多， 故本次捐款金额的众数是 10 元． 故答案为：10． 点评：本题考查了众数及条形统计图的知识，解答本题的关键是掌握众数的定义． 　 13．（4 分）（2013•成都）如图，∠B=30°，若 AB∥CD，CB 平分∠ACD，则∠ACD=　60　 度． 考点：平行线的性质 分析：根据 AB∥CD，可得∠BCD=∠B=30°，然后根据 CB 平分∠ACD，可得 ∠ACD=2∠BCD=60°． 解答：解：∵AB∥CD，∠B=30°， ∴∠BCD=∠B=30°， ∵CB 平分∠ACD， ∴∠ACD=2∠BCD=60°． 故答案为：60． 点评：本题考查了平行线的性质和角平分线的性质，掌握平行线的性质：两直线平行，内错 角相等是解题的关键． 　 14．（4 分）（2013•成都）如图，某山坡的坡面 AB=200 米，坡角∠BAC=30°，则该山坡的高 BC 的长为　100　米． 考点：解直角三角形的应用-坡度坡角问题 分析：在 Rt△ABC 中，由∠BAC=30°，AB=200 米，即可得出 BC 的长度． 解答：解：由题意得，∠BCA=90°，∠BAC=30°，AB=200 米， 故可得 BC= AB=100 米． 故答案为：100． 点评：本题考查了解直角三角形的应用，解答本题的关键是掌握含 30°角的直角三角形的性 质． 　 三、解答题（本大题共 6 个小题，共 54 分） 15．（12 分）（2013•成都）（1）计算： （2）解方程组： ． 考点：解二元一次方程组；实数的运算；特殊角的三角函数值 专题：计算题． 分析：（1）分别进行平方、绝对值、二次根式的化简，然后代入特殊角的三角函数值，继 而合并可得出答案． （2）①+②可得出 x 的值，将 x 的值代入①可得 y 的值，继而得出方程组的解． 解答：解：（1）原式=4+ +2× ﹣2 =4； （2） ， ①+②可得：3x=6， 解得：x=2， 将 x=2 代入①可得：y=﹣1， 故方程组的解为 ． 点评：本题考查了实数的运算及特殊角的三角函数值，解答本题的关键是熟练各部分的运算 法则，注意细心运算，避免出错． 　 16．（6 分）（2013•成都）化简 ． 考点：分式的混合运算 分析：除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，由此计算即可． 解答： 解：原式=a（a﹣1）× =a． 点评：本题考查了分式的混合运算，注意除以一个分式等于乘以这个分式的倒数． 　 17．（8 分）（2013•成都）如图，在边长为 1 的小正方形组成的方格纸上，将△ABC 绕着点 A 顺时针旋转 90° （1）画出旋转之后的△AB′C′； （2）求线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积． 考点：作图-旋转变换；扇形面积的计算 专题：作图题． 分析：（1）根据网格结构找出点 B、C 旋转后的对应点 B′、C′的位置，然后顺次连接即可； （2）先求出 AC 的长，再根据扇形的面积公式列式进行计算即可得解． 解答：解：（1）△AB′C′如图所示； （2）由图可知，AC=2， 所以，线段 AC 旋转过程中扫过的扇形的面积= =π． 点评：本题考查了利用旋转变换作图，扇形面积的计算，是基础题，熟练掌握网格结构，准 确找出对应点的位置是解题的关键． 　 18．（8 分）（2013•成都）“中国梦”关乎每个人的幸福生活，为进一步感知我们身边的幸福， 展现成都人追梦的风采，我市某校开展了以“梦想中国，逐梦成都”为主题的摄影大赛，要求 参赛学生每人交一件作品．现将参赛的 50 件作品的成绩（单位：分）进行统计如下： 等级 成绩（用 s 表示） 频数 频率 A 90≤s≤100 x 0.08 B 80≤s＜90 35 y C s＜80 11 0.22 合 计 50 1 请根据上表提供的信息，解答下列问题： （1）表中的 x 的值为　4　，y 的值为　0.7　 （2）将本次参赛作品获得 A 等级的学生一次用 A1，A2，A3，…表示，现该校决定从本次参 赛作品中获得 A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会，请用树状图或列表 法求恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率． 考点：频数（率）分布表；列表法与树状图法 分析：（1）用 50 减去 B 等级与 C 等级的学生人数，即可求出 A 等级的学生人数 x 的值， 用 35 除以 50 即可得出 B 等级的频率即 y 的值； （2）由（1）可知获得 A 等级的学生有 4 人，用 A1，A2，A3，A4 表示，画出树状图， 通过图确定恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率． 解答：解：（1）∵x+35+11=50，∴x=4，或 x=50×0.08=4； y= =0.7，或 y=1﹣0.08﹣0.22=0.7； （2）依题得获得 A 等级的学生有 4 人，用 A1，A2，A3，A4 表示，画树状图如下： 由上图可知共有 12 种结果，且每一种结果可能性都相同，其中抽到学生 A1 和 A2 的 有两种结果， 所以从本次参赛作品中获得 A 等级学生中，随机抽取两名学生谈谈他们的参赛体会， 恰好抽到学生 A1 和 A2 的概率为：P= ． 点评：本题考查读频数（率）分布表的能力和利用图表获取信息的能力．利用统计图表获取 信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．用到 的知识点为：各小组频数之和等于数据总数；各小组频率之和等于 1；频率=频数÷数 据总数；概率=所求情况数与总情况数之比． 　 19．（10 分）（2013•成都）如图，一次函数 y1=x+1 的图象与反比例函数 （k 为常数， 且 k≠0）的图象都经过点 A（m，2） （1）求点 A 的坐标及反比例函数的表达式； （2）结合图象直接比较：当 x＞0 时，y1 和 y2 的大小． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题 分析：（1）将 A 点代入一次函数解析式求出 m 的值，然后将 A 点坐标代入反比例函数解析 式，求出 k 的值即可得出反比例函数的表达式； （2）结合函数图象即可判断 y1 和 y2 的大小． 解答：解：（1）将 A 的坐标代入 y1=x+1， 得：m+1=2， 解得：m=1， 故点 A 坐标为（1，2）， 将点 A 的坐标代入： ， 得：2= ， 解得：k=2， 则反比例函数的表达式 y2= ； （2）结合函数图象可得： 当 0＜x＜1 时，y1＜y2； 当 x=1 时，y1=y2； 当 x＞1 时，y1＞y2． 点评：本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题注意数形结合思想的运用， 数形结合是数学解题中经常用到的，同学们注意熟练掌握． 　 20．（10 分）（2013•成都）如图，点 B 在线段 AC 上，点 D，E 在 AC 同侧，∠A=∠C=90°， BD⊥BE，AD=BC． （1）求证：AC=AD+CE； （2）若 AD=3，CE=5，点 P 为线段 AB 上的动点，连接 DP，作 PQ⊥DP，交直线 BE 于点 Q； （i）当点 P 与 A，B 两点不重合时，求 的值； （ii）当点 P 从 A 点运动到 AC 的中点时，求线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长．（直 接写出结果，不必写出解答过程） 考点：相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质 专题：几何综合题． 分析：（1）根据同角的余角相等求出∠1=∠E，再利用“角角边”证明△ABD 和△CEB 全等， 根据全等三角形对应边相等可得 AB=CE，然后根据 AC=AB+BC 整理即可得证； （2）（i）过点 Q 作 QF⊥BC 于 F，根据△BFQ 和△BCE 相似可得 = ，然后求出 QF= BF，再根据△ADP 和△FBQ 相似可得 = ，然后整理得到（AP﹣BF） （5﹣AP）=0，从而求出 AP=BF，最后利用相似三角形对应边成比例可得 = ， 从而得解； （ii）判断出 DQ 的中点的路径为△BDQ 的中位线 MN．求出 QF、BF 的长度，利用 勾股定理求出 BQ 的长度，再根据中位线性质求出 MN 的长度，即所求之路径长． 解答：（1）证明：∵BD⊥BE， ∴∠1+∠2=180°﹣90°=90°， ∵∠C=90°， ∴∠2+∠E=180°﹣90°=90°， ∴∠1=∠E， ∵在△ABD 和△CEB 中， ， ∴△ABD≌△CEB（AAS）， ∴AB=CE， ∴AC=AB+BC=AD+CE； （2）（i）如图，过点 Q 作 QF⊥BC 于 F， 则△BFQ∽△BCE， ∴ = ， 即 = ， ∴QF= BF， ∵BD⊥BE， ∴∠ADP+∠FPQ=180°﹣90°=90°， ∵∠FPQ+∠PQF=180°﹣90°=90°， ∴∠ADP=∠FPQ， 又∵∠A=∠PFQ=90°， ∴△ADP∽△FBQ， ∴ = ， 即 = ， ∴5AP﹣AP2+AP•BF=3• BF， 整理得，（AP﹣BF）（AP﹣5）=0， ∵点 P 与 A，B 两点不重合， ∴AP≠5， ∴AP=BF， 由△ADP∽△FBQ 得， = ， ∴ = ； （ii）线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）就是△BDQ 的中位线 MN． 由（2）（i）可知，QF= AP． 当点 P 运动至 AC 中点时，AP=4，∴QF= ． ∴BF=QF× =4． 在 Rt△BFQ 中，根据勾股定理得：BQ= = = ． ∴MN= BQ= ． ∴线段 DQ 的中点所经过的路径（线段）长为 ． 点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，（1）求出三角形全 等的条件∠1=∠E 是解题的关键，（2）（i）根据两次三角形相似求出 AP=BF 是解题的 关键，（ii）判断出路径为三角形的中位线是解题的关键． 　 四、填空题（本大题共 5 个小题，每小题 4 分，共 20 分，） 21．（4 分）（2013•成都）已知点（3，5）在直线 y=ax+b（a，b 为常数，且 a≠0）上，则 的值为　﹣ 　． 考点：一次函数图象上点的坐标特征 分析：将点（3，5）代入直线解析式，可得出 b﹣5 的值，继而代入可得出答案． 解答：解：∵点（3，5）在直线 y=ax+b 上， ∴5=3a+b， ∴b﹣5=﹣3a， 则 = = ． 故答案为：﹣ ． 点评：本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，注意直线上点的坐标满足直线解析式． 　 22．（4 分）（2013•成都）若正整数 n 使得在计算 n+（n+1）+（n+2）的过程中，各数位均 不产生进位现象，则称 n 为“本位数”．例如 2 和 30 是“本位数”，而 5 和 91 不是“本位数”．现 从所有大于 0 且小于 100 的“本位数”中，随机抽取一个数，抽到偶数的概率为　 　． 考点：概率公式 专题：新定义． 分析：先确定出所有大于 0 且小于 100 的“本位数”，再根据概率公式计算即可得解． 解答：解：所有大于 0 且小于 100 的“本位数”有：1、2、10、11、12、20、21、22、30、 31、32， 共有 11 个，7 个偶数，4 个奇数， 所以，P（抽到偶数）= ． 故答案为： ． 点评：本题考查了概率公式，根据定义确定出所有的本位数是解题的关键． 　 23．（4 分）（2013•成都）若关于 t 的不等式组 ，恰有三个整数解，则关于 x 的一 次函数 的图象与反比例函数 的图象的公共点的个数为　1 或 0　． 考点：反比例函数与一次函数的交点问题；一元一次不等式组的整数解．3718684 分析：根据不等式组 恰有三个整数解，可得出 a 的取值范围；联立一次函数及反 比例函数解析式，利用二次函数的性质判断其判别式的值的情况，从而确定交点的个 数． 解答：解：不等式组的解为：a≤t≤ ， ∵不等式组恰有 3 个整数解， ∴﹣2＜a≤﹣1． 联立方程组 ， 得： x2﹣ax﹣3a﹣2=0， △=a2+3a+2=（a+ ）2﹣ =（a+1）（a+2） 这是一个二次函数，开口向上，与 x 轴交点为（﹣2，0）和（﹣1，0），对称轴为直 线 a=﹣ ， 其图象如下图所示： 由图象可见： 当 a=﹣1 时，△=0，此时一元二次方程有两个相等的根，即一次函数与反比例函数有 一个交点； 当﹣2＜a＜﹣1 时，△=0，此时一元二次方程无实数根，即一次函数与反比例函数没 有交点． ∴交点的个数为：1 或 0． 故答案为：1 或 0． 点评：本题考查了二次函数、反比例函数、一次函数、解不等式、一元二次方程等知识点， 有一定的难度．多个知识点的综合运用，是解决本题的关键． 　 24．（4 分）（2013•成都）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y=kx（k 为常数）与抛物线 y= x2﹣2 交于 A，B 两点，且 A 点在 y 轴左侧，P 点的坐标为（0，﹣4），连接 PA，PB．有以 下说法： ①PO2=PA•PB； ②当 k＞0 时，（PA+AO）（PB﹣BO）的值随 k 的增大而增大； ③当 k= 时，BP2=BO•BA； ④△PAB 面积的最小值为 ． 其中正确的是　③④　．（写出所有正确说法的序号） 考点：二次函数综合题 分析：首先得到两个基本结论： （I）设 A（m，km），B（n，kn），联立两个解析式，由根与系数关系得到： m+n=3k，mn=﹣6； （II）直线 PA、PB 关于 y 轴对称． 利用以上结论，解决本题： （1）说法①错误．如答图 1，设点 A 关于 y 轴的对称点为 A′，若结论①成立，则 可以证明△POA′∽△PBO，得到∠AOP=∠PBO．而∠AOP 是△PBO 的外角，∠AOP＞∠PBO， 由此产生矛盾，故说法①错误； （2）说法②错误．如答图 2，可求得（PA+AO）（PB﹣BO）=16 为定值，故错误； （3）说法③正确．联立方程组，求得点 A、B 坐标，进而求得 BP、BO、BA，验证 等式 BP2=BO•BA 成立，故正确； （4）说法④正确．由根与系数关系得到：S△PAB=2 ，当 k=0 时，取得最小 值为 ，故正确． 解答：解：设 A（m，km），B（n，kn），其中 m＜0，n＞0． 联立 y= x2﹣2 与 y=kx 得： x2﹣2=kx，即 x2﹣3kx﹣6=0， ∴m+n=3k，mn=﹣6． 设直线 PA 的解析式为 y=ax+b，将 P（0，﹣4），A（m，km）代入得： ，解得 a= ，b=﹣4， ∴y=（ ）x﹣4． 令 y=0，得 x= ， ∴直线 PA 与 x 轴的交点坐标为（ ，0）． 同理可得，直线 PB 的解析式为 y=（ ）x﹣4，直线 PB 与 x 轴交点坐标为 （ ，0）． ∵ + = = =0， ∴直线 PA、PA 与 x 轴的交点关于 y 轴对称，即直线 PA、PA 关于 y 轴对称． （1）说法①错误．理由如下： 如答图 1 所示，∵PA、PB 关于 y 轴对称， ∴点 A 关于 y 轴的对称点 A′落在 PB 上． 连接 OA′，则 OA=OA′，∠POA=∠POA′． 假设结论：PO2=PA•PB 成立，即 PO2=PA′•PB， ∴ ， 又∵∠BOP=∠BOP， ∴△POA′∽△PBO， ∴∠POA′=∠PBO， ∴∠AOP=∠PBO． 而∠AOP 是△PBO 的外角， ∴∠AOP＞∠PBO，矛盾， ∴说法①错误． （2）说法②错误．理由如下： 易知： =﹣ ， ∴OB=﹣ OA． 由对称可知，PO 为△APB 的角平分线， ∴ ， ∴PB=﹣ PA． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=（PA+AO）[﹣ PA﹣（﹣ OA）]=﹣ （PA+AO） （PA﹣OA）=﹣ （PA2﹣AO2）． 如答图 2 所示，过点 A 作 AD⊥y 轴于点 D，则 OD=﹣km，PD=4+km． ∴PA2﹣AO2=（PD2+AD2）﹣（OD2+AD2）=PD2﹣OD2=（4+km）2﹣（﹣km） 2=8km+16， ∵m+n=3k，∴k= （m+n）， ∴PA2﹣AO2=8• （m+n）•m+16= m2+ mn+16= m2+ ×（﹣6）+16= m2． ∴（PA+AO）（PB﹣BO）=﹣ （PA2﹣AO2）=﹣ • m2=﹣ mn=﹣ ×（﹣6）=16． 即：（PA+AO）（PB﹣BO）为定值，所以说法②错误． （3）说法③正确．理由如下： 当 k= 时，联立方程组： ，得 A（ ，2），B（ ，﹣1）， ∴BP2=12，BO•BA=2×6=12， ∴BP2=BO•BA，故说法③正确． （4）说法④正确．理由如下： S△PAB=S△PAO+S△PBO= OP•（﹣m）+ OP•n= OP•（n﹣m）=2（n﹣m）=2 =2 ， ∴当 k=0 时，△PAB 面积有最小值，最小值为 = ． 故说法④正确． 综上所述，正确的说法是：③④． 故答案为：③④． 点评：本题是代数几何综合题，难度很大．解答中首先得到两个基本结论，其中 PA、PB 的 对称性是判定说法①的基本依据，根与系数关系的结论是判定说法②、④的关键依 据．正确解决本题的关键是打好数学基础，将平时所学知识融会贯通、灵活运用． 　 25．（4 分）（2013•成都）如图，A，B，C 为⊙O 上相邻的三个 n 等分点， = ，点 E 在 上，EF 为⊙O 的直径，将⊙O 沿 EF 折叠，使点 A 与 A′重合，点 B 与 B′重合，连接 EB′，EC，EA′．设 EB′=b，EC=c，EA′=p．现探究 b，c，p 三者的数量关系：发现当 n=3 时，p=b+c．请继续探究 b，c，p 三者的数量关系：当 n=4 时，p=　c+ b　；当 n=12 时， p=　c+ b　． （参考数据： ， ） 考点：圆的综合题 分析：如解答图所示，作辅助线，构造相似三角形．首先，在 AE 上取一点 D，使 ED=EC， 连接 CD，则△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形，所以△ABC∽△CED，得 到 ；其次，证明△ACD∽△BCE，得到 ；由 EA=ED+DA，整理得到 p 的通项公式为：p=c+2cos •b．将 n=4，n=12 代入，即可求得答案． 解答：解：如解答图所示，连接 AB、AC、BC． 由题意，点 A、B、C 为圆上的 n 等分点， ∴AB=BC，∠ACB= × = （度）． 在等腰△ABC 中，过顶点 B 作 BN⊥AC 于点 N， 则 AC=2CN=2BC•cos∠ACB=2cos •BC， ∴ =2cos ． 连接 AE、BE，在 AE 上取一点 D，使 ED=EC，连接 CD． ∵∠ABC=∠CED， ∴△ABC 与△CED 为顶角相等的两个等腰三角形， ∴△ABC∽△CED． ∴ ，∠ACB=∠DCE． ∵∠ACB=∠ACD+∠BCD，∠DCE=∠BCE+∠BCD， ∴∠ACD=∠BCE． 在△ACD 与△BCE 中， ∵ ，∠ACD=∠BCE， ∴△ACD∽△BCE． ∴ ， ∴DA= •EB=2cos •EB． ∴EA=ED+DA=EC+2cos •EB． 由折叠性质可知，p=EA′=EA，b=EB′=EB，c=EC． ∴p=c+2cos •b． 当 n=4 时，p=c+2cos45°•b=c+ b； 当 n=12 时，p=c+2cos15°•b=c+ b． 故答案为：c+ b，c+ b． 点评：本题是几何综合题，难度很大．解决本题，需要综合运用圆、相似三角形、等腰三角 形、三角函数、折叠性质等多个知识点，对几何综合能力要求很高．本题解答过程中， 求得 p 的通项公式：p=c+2cos •b，这样的结果更具普遍性；也可以按照题中要求， 对于 4 等分或 12 等分的情况分别求解． 　 四、解答题（本小题共三个小题，共 30 分.答案写在答题卡上） 26．（8 分）（2013•成都）某物体从 P 点运动到 Q 点所用时间为 7 秒，其运动速度 v（米每 秒）关于时间 t（秒）的函数关系如图所示．某学习小组经过探究发现：该物体前进 3 秒运 动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积．由物理学知识还可知：该物体前 n（3＜n≤7） 秒运动的路程在数值上等于矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和． 根据以上信息，完成下列问题： （1）当 3＜n≤7 时，用含 t 的式子表示 v； （2）分别求该物体在 0≤t≤3 和 3＜n≤7 时，运动的路程 s（米）关于时间 t（秒）的函数关系 式；并求该物体从 P 点运动到 Q 总路程的 时所用的时间． 考点：一次函数的应用 分析：（1）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，运用待定系数法就可以求出 t 与 v 的关系式； （2）由路程=速度×时间，就可以表示出物体在 0≤t≤3 和 3＜n≤7 时，运动的路程 s（米） 关于时间 t（秒）的函数关系式，根据物体前 n（3＜n≤7）秒运动的路程在数值上等于 矩形 AODB 的面积与梯形 BDNM 的面积之和求出总路程，然后将其 代入解析式就 可以求出 t 值． 解答：解：（1）设直线 BC 的解析式为 y=kx+b，由题意，得 ， 解得： ∴v=2t﹣4； （2）由题意，得 S= ， ∴P 点运动到 Q 点的路程为：2×3+（2+10）×（7﹣3）× =30， ∴30× =21， ∴3×2+（t﹣3）（2+2t﹣4）÷2=21， 解得：t1=﹣2（舍去），t2=6． ∴该物体从 P 点运动到 Q 点总路程的 时所用的时间为 6 秒． 点评：本题考查了待定系数法求一次函数的解析式的运用，分段函数的求法的运用，路程与 速度时间之间的关系的运用，解答时求出 P 点运动到 Q 点的路程是解答本题的关 键． 　 27．（10 分）（2013•成都）如图，⊙O 的半径 r=25，四边形 ABCD 内接圆⊙O，AC⊥BD 于 点 H，P 为 CA 延长线上的一点，且∠PDA=∠ABD． （1）试判断 PD 与⊙O 的位置关系，并说明理由； （2）若 tan∠ADB= ，PA= AH，求 BD 的长； （3）在（2）的条件下，求四边形 ABCD 的面积． 考点：圆的综合题 分析：（1）首先连接 DO 并延长交圆于点 E，连接 AE，由 DE 是直径，可得∠DAE 的度数， 又由∠PDA=∠ABD=∠E，可证得 PD⊥DO，即可得 PD 与圆 O 相切于点 D； （2）首先由 tan∠ADB= ，可设 AH=3k，则 DH=4k，又由 PA= AH，易求得 ∠P=30°，∠PDH=60°，连接 BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50，可得 BD=DE•cos30°= ； （3）由（2）易得 HC= （ ﹣4k），又由 PD2=PA×PC，可得方程：（8k）2=（4 ﹣3）k×[4 k+ （25 ﹣4k）]，解此方程即可求得 AC 的长，继而求得四边形 ABCD 的面积． 解答：解：（1）PD 与圆 O 相切． 理由：如图，连接 DO 并延长交圆于点 E，连接 AE， ∵DE 是直径， ∴∠DAE=90°， ∴∠E+∠ADE=90°， ∵∠PDA=∠ABD=∠E， ∴∠PDA+∠ADE=90°， 即 PD⊥DO， ∴PD 与圆 O 相切于点 D； （2）∵tan∠ADB= ∴可设 AH=3k，则 DH=4k， ∵PA= AH， ∴PA=（4 ﹣3）k， ∴PH=4 k， ∴在 Rt△PDH 中，tan∠P= = ， ∴∠P=30°，∠PDH=60°， ∵PD⊥DO， ∴∠BDE=90°﹣∠PDH=30°， 连接 BE，则∠DBE=90°，DE=2r=50， ∴BD=DE•cos30°= ； （3）由（2）知，BH= ﹣4k， ∴HC= （ ﹣4k）， 又∵PD2=PA×PC， ∴（8k）2=（4 ﹣3）k×[4 k+ （25 ﹣4k）]， 解得：k=4 ﹣3， ∴AC=3k+ （25 ﹣4k）=24 +7， ∴S 四边形 ABCD= BD•AC= ×25 ×（24 +7）=900+ ． 点评：此题考查了切线的性质与判定、三角函数的性质以及切割线定理等知识．此题难度较 大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握方程思想与数形结合思想的应用． 　 28．（12 分）（2013•成都）在平面直角坐标系中，已知抛物线 y= x2+bx+c（b，c 为常数） 的顶点为 P，等腰直角三角形 ABC 的顶点 A 的坐标为（0，﹣1），C 的坐标为（4，3），直 角顶点 B 在第四象限． （1）如图，若该抛物线过 A，B 两点，求该抛物线的函数表达式； （2）平移（1）中的抛物线，使顶点 P 在直线 AC 上滑动，且与 AC 交于另一点 Q． （i）若点 M 在直线 AC 下方，且为平移前（1）中的抛物线上的点，当以 M、P、Q 三点为 顶点的三角形是等腰直角三角形时，求出所有符合条件的点 M 的坐标； （ii）取 BC 的中点 N，连接 NP，BQ．试探究 是否存在最大值？若存在，求出该最 大值；若不存在，请说明理由． 考点：二次函数综合题 分析：（1）先求出点 B 的坐标，然后利用待定系数法求出抛物线的函数表达式； （2）i）首先求出直线 AC 的解析式和线段 PQ 的长度，作为后续计算的基础． 若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为 ．此时，将直线 AC 向右平移 4 个 单位后所得直线（y=x﹣5）与抛物线的交点，即为所求之 M 点； ②当 PQ 为斜边时：点 M 到 PQ 的距离为 ．此时，将直线 AC 向右平移 2 个单位 后所得直线（y=x﹣3）与抛物线的交点，即为所求之 M 点． ii）由（i）可知，PQ= 为定值，因此当 NP+BQ 取最小值时， 有最大值． 如答图 2 所示，作点 B 关于直线 AC 的对称点 B′，由分析可知，当 B′、Q、F（AB 中 点）三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为线段 B′F 的长度． 解答：解：（1）由题意，得点 B 的坐标为（4，﹣1）． ∵抛物线过 A（0，﹣1），B（4，﹣1）两点， ∴ ，解得：b=2，c=﹣1， ∴抛物线的函数表达式为：y= x2+2x﹣1． （2）i）∵A（0，﹣1），C（4，3）， ∴直线 AC 的解析式为：y=x﹣1． 设平移前抛物线的顶点为 P0，则由（1）可得 P0 的坐标为（2，1），且 P0 在直线 AC 上． ∵点 P 在直线 AC 上滑动，∴可设 P 的坐标为（m，m﹣1）， 则平移后抛物线的函数表达式为：y= （x﹣m）2+m﹣1． 解方程组： ， 解得 ， ∴P（m，m﹣1），Q（m﹣2，m﹣3）． 过点 P 作 PE∥x 轴，过点 Q 作 QE∥y 轴，则 PE=m﹣（m﹣2）=2，QE=（m﹣1）﹣（m﹣3）=2． ∴PQ= =AP0． 若△MPQ 为等腰直角三角形，则可分为以下两种情况： ①当 PQ 为直角边时：点 M 到 PQ 的距离为 （即为 PQ 的长）． 由 A（0，﹣1），B（4，﹣1），P0（2，1）可知， △ABP0 为等腰直角三角形，且 BP0⊥AC，BP0= ． 如答图 1，过点 B 作直线 l1∥AC，交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M，则 M 为符合条 件的点． ∴可设直线 l1 的解析式为：y=x+b1， ∵B（4，﹣1），∴﹣1=4+b1，解得 b1=﹣5， ∴直线 l1 的解析式为：y=x﹣5． 解方程组 ，得： ， ∴M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7）． ②当 PQ 为斜边时：MP=MQ=2，可求得点 M 到 PQ 的距离为 ． 如答图 1，取 AB 的中点 F，则点 F 的坐标为（2，﹣1）． 由 A（0，﹣1），F（2，﹣1），P0（2，1）可知： △AFP0 为等腰直角三角形，且点 F 到直线 AC 的距离为 ． 过点 F 作直线 l2∥AC，交抛物线 y= x2+2x﹣1 于点 M，则 M 为符合条件的点． ∴可设直线 l2 的解析式为：y=x+b2， ∵F（2，﹣1），∴﹣1=2+b2，解得 b1=﹣3， ∴直线 l2 的解析式为：y=x﹣3． 解方程组 ，得： ， ∴M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ，﹣2﹣ ）． 综上所述，所有符合条件的点 M 的坐标为： M1（4，﹣1），M2（﹣2，﹣7），M3（1+ ，﹣2+ ），M4（1﹣ ， ﹣2﹣ ）． ii） 存在最大值．理由如下： 由 i）知 PQ= 为定值，则当 NP+BQ 取最小值时， 有最大值． 如答图 2，取点 B 关于 AC 的对称点 B′，易得点 B′的坐标为（0，3），BQ=B′Q． 连接 QF，FN，QB′，易得 FN∥PQ，且 FN=PQ， ∴四边形 PQFN 为平行四边形． ∴NP=FQ． ∴NP+BQ=FQ+B′P≥FB′= = ． ∴当 B′、Q、F 三点共线时，NP+BQ 最小，最小值为 ． ∴ 的最大值为 = ． 点评：本题为二次函数中考压轴题，考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数、 几何变换（平移，对称）、等腰直角三角形、平行四边形、轴对称﹣最短路线问题等 知识点，考查了存在型问题和分类讨论的数学思想，试题难度较大．