2019年甘肃省陇南市中考数学试卷含答案

2019年甘肃省陇南市中考数学试卷含答案

‎2019年甘肃省陇南市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）‎ 1. 下列四个几何体中，是三棱柱的为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ 2. 如图，数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1，那么点B表示的数是（　　）‎ A. 0 B. 1 C. 2 D. 3‎ 3. 下列整数中，与‎10‎最接近的整数是（　　）‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 4. 华为Mate20手机搭载了全球首款7纳米制程芯片，7纳米就是0.000000007米．数据0.000000007用科学记数法表示为（　　）‎ A. ‎7×‎‎10‎‎-7‎ B. ‎0.7×‎‎10‎‎-8‎ C. ‎7×‎‎10‎‎-8‎ D. ‎‎7×‎‎10‎‎-9‎ 5. 如图，将图形用放大镜放大，应该属于（　　）‎ A. 平移变换 B. 相似变换 C. 旋转变换 D. 对称变换 ‎ 6. 如图，足球图片正中的黑色正五边形的内角和是（　　）‎ A. ‎180‎‎∘‎ B. ‎360‎‎∘‎ C. ‎540‎‎∘‎ D. ‎720‎‎∘‎ ‎ 7. 不等式2x+9≥3（x+2）的解集是（　　）‎ A. x≤3‎ B. x≤-3‎ C. x≥3‎ D. ‎x≥-3‎ 1. 下面的计算过程中，从哪一步开始出现错误（　　） ‎ A. ‎①‎ B. ‎②‎ C. ‎③‎ D. ‎‎④‎ 2. 如图，点A，B，S在圆上，若弦AB的长度等于圆半径的‎2‎倍，则∠ASB的度数是（　　）‎ A. ‎22.5‎‎∘‎ B. ‎30‎‎∘‎ C. ‎45‎‎∘‎ D. ‎60‎‎∘‎ ‎ 3. 如图①，在矩形ABCD中，AB＜AD，对角线AC，BD相交于点O，动点P由点A出发，沿AB→BC→CD向点D运动．设点P的运动路程为x，△AOP的面积为y，y与x的函数关系图象如图②所示，则AD边的长为（　　） ‎ A. 3 B. 4 C. 5 D. 6‎ 二、填空题（本大题共8小题，共32.0分）‎ 4. 中国象棋是中华名族的文化瑰宝，因趣味性强，深受大众喜爱．如图，若在象棋棋盘上建立平面直角坐标系，使“帅”位于点（0，-2），“马”位于点（4，-2），则“兵”位于点______． ‎ 5. 一个猜想是否正确，科学家们要经过反复的实验论证．下表是几位科学家“掷硬币”的实验数据：‎ 实验者 德•摩根 蒲丰 费勒 皮尔逊 罗曼诺夫斯基 掷币次数 ‎6140‎ ‎4040‎ ‎10000‎ ‎36000‎ ‎80640‎ 出现“正面朝上”的次数 ‎3109‎ ‎2048‎ ‎4979‎ ‎18031‎ ‎39699‎ 频率 ‎0.506‎ ‎0.507‎ ‎0.498‎ ‎0.501‎ ‎0.492‎ 请根据以上数据，估计硬币出现“正面朝上”的概率为______（精确到0.1）．‎ 1. 因式分解：xy2-4x=______．‎ 2. 关于x的一元二次方程x2+mx+1=0有两个相等的实数根，则m的取值为______．‎ 3. 将二次函数y=x2-4x+5化成y=a（x-h）2+k的形式为______．‎ 4. 把半径为1的圆分割成四段相等的弧，再将这四段弧依次相连拼成如图所示的恒星图形，那么这个恒星图形的面积等于______．‎ 5. 定义：等腰三角形的顶角与其一个底角的度数的比值k称为这个等腰三角形的“特征值”．若等腰△ABC中，∠A=80°，则它的特征值k=______．‎ 6. 已知一列数a，b，a+b，a+2b，2a+3b，3a+5b，……，按照这个规律写下去，第9个数是______．‎ 三、计算题（本大题共1小题，共6.0分）‎ 7. 计算：（-2）2-|‎2‎-2|-2cos45°+（3-π）0 ‎ 四、解答题（本大题共9小题，共82.0分）‎ 8. 小甘到文具超市去买文具．请你根据如图中的对话信息，求中性笔和笔记本的单价分别是多少元？ ‎ ‎ ‎ 1. 已知：在△ABC中，AB=AC． （1）求作：△ABC的外接圆．（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法） （2）若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4，BC=6，则S⊙O=______． ‎ ‎ ‎ 2. 图①是放置在水平面上的台灯，图②是其侧面示意图（台灯底座高度忽略不计），其中灯臂AC=40cm，灯罩CD=30cm，灯臂与底座构成的∠CAB=60°．CD可以绕点C上下调节一定的角度．使用发现：当CD与水平线所成的角为30°时，台灯光线最佳．现测得点D到桌面的距离为49.6cm．请通过计算说明此时台灯光线是否为最佳？（参考数据：‎3‎取1.73）． ‎ ‎ ‎ 1. ‎2019年中国北京世界园艺博览会（以下简称“世园会”）于4月29日至10月7日在北京延庆区举行．世园会为满足大家的游览需求，倾情打造了4条各具特色的趣玩路线，分别是：A．“解密世园会”、B．“爱我家，爱园艺”、C．“园艺小清新之旅”和D．“快速车览之旅”．李欣和张帆都计划暑假去世园会，他们各自在这4条线路中任意选择一条线路游览，每条线路被选择的可能性相同． （1）李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是多少？ （2）用画树状图或列表的方法，求李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率． ‎ 2. 为弘扬传统文化，某校开展了“传承经典文化，阅读经典名著”活动．为了解七、八年级学生（七、八年级各有600名学生）的阅读效果，该校举行了经典文化知识竞赛．现从两个年级各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行分析，过程如下： 收集数据： 七年级：79，85，73，80，75，76，87，70，75，94，75，79，81，71，75，80，86，59，83，77． 八年级：92，74，87，82，72，81，94，83，77，83，80，81，71，81，72，77，82，80，70，41． 整理数据：‎ ‎40≤x≤49‎ ‎50≤x≤59‎ ‎60≤x≤69‎ ‎70≤x≤79‎ ‎80≤x≤89‎ ‎90≤x≤100‎ 七年级 ‎0‎ ‎1‎ ‎0‎ a ‎7‎ ‎1‎ 八年级 ‎1‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎7‎ b ‎2‎ 分析数据：‎ 平均数 众数 中位数 七年级 ‎78‎ ‎75‎ c 八年级 ‎78‎ d ‎80.5‎ 应用数据： （1）由上表填空：a=______，b=______，c=______，d=______． （2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有多少人？ （3）你认为哪个年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好，请说明理由． ‎ 1. 如图，已知反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点 （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）已知点P（a，0）（a＞0），过点P作平行于y轴的直线，在第一象限内交一次函数y=-x+b的图象于点M，交反比例函数y=kx上的图象于点N．若PM＞PN，结合函数图象直接写出a的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 1. 如图，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，点D在BC边上，⊙D经过点A和点B且与BC边相交于点E． （1）求证：AC是⊙D的切线； （2）若CE=2‎3‎，求⊙D的半径．‎ ‎ ‎ 2. 阅读下面的例题及点拨，并解决问题： 例题：如图①，在等边△ABC中，M是BC边上一点（不含端点B，C），N是△ABC的外角∠ACH的平分线上一点，且AM=MN．求证：∠AMN=60°． 点拨：如图②，作∠CBE=60°，BE与NC的延长线相交于点E，得等边△BEC，连接EM．易证：△ABM≌△EBM（SAS），可得AM=EM，∠1=∠2；又AM=MN，则EM=MN，可得∠3=∠4；由∠3+∠1=∠4+∠5=60°，进一步可得∠1=∠2=∠5，又因为∠2+∠6=120°，所以∠5+∠6=120°，即：∠AMN=60°． 问题：如图③，在正方形A1B1C1D1中，M1是B1C1边上一点（不含端点B1，C1），N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点，且A1M1=M1N1．求证：∠A1M1N1=90°． ‎ ‎ ‎ 1. 如图，抛物线y=ax2+bx+4交x轴于A（-3，0），B（4，0）两点，与y轴交于点C，连接AC，BC．点P是第一象限内抛物线上的一个动点，点P的横坐标为m． （1）求此抛物线的表达式； （2）过点P作PM⊥x轴，垂足为点M，PM交BC于点Q．试探究点P在运动过程中，是否存在这样的点Q，使得以A，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形．若存在，请求出此时点Q的坐标，若不存在，请说明理由； （3）过点P作PN⊥BC，垂足为点N．请用含m的代数式表示线段PN的长，并求出当m为何值时PN有最大值，最大值是多少？‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 答案和解析 ‎1.【答案】C 【解析】‎ 解：A、该几何体为四棱柱，不符合题意； B、该几何体为四棱锥，不符合题意； C、该几何体为三棱柱，符合题意； D、该几何体为圆柱，不符合题意． 故选：C． 分别判断各个几何体的形状，然后确定正确的选项即可． 考查了认识立体图形的知识，解题的关键是能够认识各个几何体，难度不大．‎ ‎2.【答案】D 【解析】‎ 解：∵数轴的单位长度为1，如果点A表示的数是-1， ∴点B表示的数是：3． 故选：D． 直接利用数轴结合A，B点位置进而得出答案． 此题主要考查了实数轴，正确应用数形结合分析是解题关键．‎ ‎3.【答案】A 【解析】‎ 解：∵32=9，42=16， ∴3＜＜4， 10与9的距离小于16与10的距离， ∴与最接近的是3． 故选：A． 由于9＜10＜16，于是＜＜，10与9的距离小于16与10的距离，可得答案． 本题考查了无理数的估算，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．‎ ‎4.【答案】D 【解析】‎ 解：0.000000007=7×10-9； 故选：D． 由科学记数法知0.000000007=7×10-9； ‎ 本题考查科学记数法；熟练掌握科学记数法a×10n中a与n的意义是解题的关键．‎ ‎5.【答案】B 【解析】‎ 解：根据相似图形的定义知，用放大镜将图形放大，属于图形的形状相同，大小不相同，所以属于相似变换． 故选：B． 根据放大镜成像的特点，结合各变换的特点即可得出答案． 本题考查的是相似形的识别，关键要联系图形，根据相似图形的定义得出．‎ ‎6.【答案】C 【解析】‎ 解：黑色正五边形的内角和为：（5-2）×180°=540°， 故选：C． 根据多边形内角和公式（n-2）×180°即可求出结果． 本题考查了多边形的内角和公式，解题关键是牢记多边形的内角和公式．‎ ‎7.【答案】A 【解析】‎ 解：去括号，得2x+9≥3x+6， 移项，合并得-x≥-3 系数化为1，得x≤3； 故选：A． 先去括号，然后移项、合并同类项，再系数化为1即可． 本题考查了解简单不等式的能力，解答这类题学生往往在解题时不注意移项要改变符号这一点而出错． 解不等式要依据不等式的基本性质，在不等式的两边同时加上或减去同一个数或整式不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个正数不等号的方向不变；在不等式的两边同时乘以或除以同一个负数不等号的方向改变．‎ ‎8.【答案】B 【解析】‎ 解：- =- = ‎ ‎=． 故从第②步开始出现错误． 故选：B． 直接利用分式的加减运算法则计算得出答案． 此题主要考查了分式的加减运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．‎ ‎9.【答案】C 【解析】‎ 解：设圆心为O，连接OA、OB，如图， ∵弦AB的长度等于圆半径的倍， 即AB=OA， ∴OA2+OB2=AB2， ∴△OAB为等腰直角三角形，∠AOB=90°， ∴∠ASB=∠AOB=45°． 故选：C． 设圆心为0，连接OA、OB，如图，先证明△OAB为等腰直角三角形得到∠AOB=90°，然后根据圆周角定理确定∠ASB的度数． 本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎10.【答案】B 【解析】‎ 解：当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，△AOP面积最大为3． ∴AB•=3，即AB•BC=12． 当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7， ∴AB+BC=7． 则BC=7-AB，代入AB•BC=12，得AB2-7AB+12=0，解得AB=4或3， 因为AB＜AD，即AB＜BC， 所以AB=3，BC=4． 故选：B． 当P点在AB上运动时，△AOP面积逐渐增大，当P点到达B点时，结合图象可得△AOP面积最大为3，得到AB与BC的积为12；当P点在BC上运动时，△AOP面积逐渐减小，当P点到达C点时，△AOP面积为0，此时结合图象可知P点运动路径长为7，得到AB与BC的和为7，构造关于AB的一元二方程可求解． ‎ 本题主要考查动点问题的函数图象，解题的关键是分析三角形面积随动点运动的变化过程，找到分界点极值，结合图象得到相关线段的具体数值．‎ ‎11.【答案】（-1，1） 【解析】‎ 解：如图所示：可得原点位置，则“兵”位于（-1，1）． 故答案为：（-1，1）． 直接利用“帅”位于点（0，-2），可得原点的位置，进而得出“兵”的坐标． 本题考查了直角坐标系、点的坐标，解题的关键是确定坐标系的原点的位置．‎ ‎12.【答案】0.5 【解析】‎ 解：因为表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动， 所以估计硬币出现“正面朝上”的概率为0.5． 故答案为0.5． 由于表中硬币出现“正面朝上”的频率在0.5左右波动，则根据频率估计概率可得到硬币出现“正面朝上”的概率． 本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．用频率估计概率得到的是近似值，随实验次数的增多，值越来越精确．‎ ‎13.【答案】x（y+2）（y-2） 【解析】‎ 解：xy2-4x， =x（y2-4）， =x（y+2）（y-2）． 先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解． 本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．‎ ‎14.【答案】4 【解析】‎ 解： 由题意，△=b2-4ac=（）2-4=0 得m=4 故答案为4 要使方程有两个相等的实数根，即△=b2-4ac=0，则利用根的判别式即可求得一次项的系数． 此题主要考查一元二次方程的根的判别式，利用一元二次方程根的判别式（△=b2-4ac）可以判断方程的根的情况：一元二次方程的根与根的判别式 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；②当△=0 时，方程有两个相等的实数根；③当△＜0  时，方程无实数根，但有2个共轭复根．上述结论反过来也成立．‎ ‎15.【答案】y=（x-2）2+1 【解析】‎ 解：y=x2-4x+5=x2-4x+4+1=（x-2）2+1， 所以，y=（x-2）2+1． 故答案为：y=（x-2）2+1． 利用配方法整理即可得解． 本题考查了二次函数的解析式有三种形式： （1）一般式：y=ax2+bx+c（a≠0，a、b、c为常数）； （2）顶点式：y=a（x-h）2+k； （3）交点式（与x轴）：y=a（x-x1）（x-x2）．‎ ‎16.【答案】4-π 【解析】‎ 解：如图： 新的正方形的边长为1+1=2， ∴恒星的面积=2×2-π=4-π． 故答案为4-π． 恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积，依此列式计算即可． ‎ 本题考查了扇形面积的计算，关键是理解恒星的面积=边长为2的正方形面积-半径为1的圆的面积．‎ ‎17.【答案】‎8‎‎5‎或‎1‎‎4‎ 【解析】‎ 解： ①当∠A为顶角时，等腰三角形两底角的度数为：=50° ∴特征值k== ②当∠A为底角时，顶角的度数为：180°-80°-80°=20° ∴特征值k== 综上所述，特征值k为或 故答案为或 可知等腰三角形的两底角相等，则可求得底角的度数．从而可求解 本题主要考查等腰三角形的性质，熟记等腰三角形的性质是解题的关键，要注意到本题中，已知∠A的底数，要进行判断是底角或顶角，以免造成答案的遗漏．‎ ‎18.【答案】13a+21b 【解析】‎ 解：由题意知第7个数是5a+8b，第8个数是8a+13b，第9个数是13a+21b， 故答案为：13a+21b． 由题意得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和，从而得出答案． 本题主要考查数字的变化规律，解题的关键是得出从第3个数开始，每个数均为前两个数的和的规律．‎ ‎19.【答案】解：（-2）2-|‎2‎-2|-2cos45°+（3-π）0， =4-（2-‎2‎）-2×‎2‎‎2‎+1， =4-2+‎2‎-‎2‎+1， =3． 【解析】‎ ‎ 先根据乘方的计算法则、绝对值的性质、零指数幂及特殊角的三角函数值分别计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可． 本题考查的是实数的运算，熟知零指数幂的计算法则、绝对值的性质及特殊角的三角函数值是解答此题的关键．‎ ‎20.【答案】解：设中性笔和笔记本的单价分别是x元、y元，根据题意可得： ‎12x+20y=144‎‎12y+20x=112‎， 解得：y=6‎x=2‎， 答：中性笔和笔记本的单价分别是2元、6元． 【解析】‎ ‎ 根据对话分别利用总钱数得出等式求出答案． 此题主要考查了二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键．‎ ‎21.【答案】25π 【解析】‎ 解：（1）如图⊙O即为所求． （2）设线段BC的垂直平分线交BC于点E． 由题意OE=4，BE=EC=3， 在Rt△OBE中，OB==5， ∴S圆O=π•52=25π． 故答案为25π． （1）作线段AB，BC的垂直平分线，两线交于点O，以O为圆心，OB为半径作⊙O，⊙O即为所求． （2）在Rt△OBE中，利用勾股定理求出OB即可解决问题． 本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．‎ ‎22.【答案】解：如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F． ∵∠CEH=∠CFH=∠FHE=90°， ∴四边形CEHF是矩形， ∴CE=FH， 在Rt△ACE中，∵AC=40cm，∠A=60°， ∴CE=AC•sin60°=34.6（cm）， ∴FH=CE=34.6（cm） ∵DH=49.6cm， ∴DF=DH-FH=49.6-34.6=15（cm）， 在Rt△CDF中，sin∠DCF=DFCD=‎15‎‎30‎=‎1‎‎2‎， ∴∠DCF=30°， ∴此时台灯光线为最佳． 【解析】‎ ‎ 如图，作CE⊥AB于E，DH⊥AB于H，CF⊥DH于F．解直角三角形求出∠DCF即可判断． 本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是学会添加常用辅助线面构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．‎ ‎23.【答案】解：（1）在这四条线路任选一条，每条被选中的可能性相同， ∴在四条线路中，李欣选择线路C．“园艺小清新之旅”的概率是‎1‎‎4‎； （2）画树状图分析如下： 共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游览的结果有4种， ∴李欣和张帆恰好选择同一线路游览的概率为‎4‎‎16‎=‎1‎‎4‎． 【解析】‎ ‎ （1）由概率公式即可得出结果； （2）画出树状图，共有16种等可能的结果，李欣和张帆恰好选择同一线路游 览的结果有4种，由概率公式即可得出结果． 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．‎ ‎24.【答案】11   10   78   81 【解析】‎ 解：（1）由题意知a=11，b=10， 将七年级成绩重新排列为：59，70，71，73，75，75，75，75，76，77，79，79，80，80，81，83，85，86，87，94， ∴其中位数c==78， 八年级成绩的众数d=81， 故答案为：11，10，78，81； （2）估计该校七、八两个年级学生在本次竞赛中成绩在90分以上的共有1200×=90（人）； （3）八年级的总体水平较好， ∵七、八年级的平均成绩相等，而八年级的中位数大于七年级的中位数， ∴八年级得分高的人数相对较多， ∴八年级的学生对经典文化知识掌握的总体水平较好（答案不唯一，合理即可）． （1）根据已知数据及中位数和众数的概念求解可得； （2）利用样本估计总体思想求解可得； （3）答案不唯一，合理均可． 本题考查了众数、中位数以及平均数，掌握众数、中位数以及平均数的定义是解题的关键．‎ ‎25.【答案】解：（1）∵反比例函数y=kx（k≠0）的图象与一次函数y=-x+b的图象在第一象限交于A（1，3），B（3，1）两点， ∴3=k‎1‎，3=-1+b， ∴k=3，b=4， ∴反比例函数和一次函数的表达式分别为y=‎3‎x，y=-x+4； （2）由图象可得：当1＜a＜3时，PM＞PN． 【解析】‎ ‎ （1）利用待定系数法即可求得； ‎ ‎（2）根据图象可解． 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求解析式，利用函数图象性质解决问题是本题的关键．‎ ‎26.【答案】（1）证明：连接AD， ∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°， ∵AD=BD， ∴∠BAD=∠B=30°， ∴∠ADC=60°， ∴∠DAC=180°-60°-30°=90°， ∴AC是⊙D的切线； （2）解：连接AE， ∵AD=DE，∠ADE=60°， ∴△ADE是等边三角形， ∴AE=DE，∠AED=60°， ∴∠EAC=∠AED-∠C=30°， ∴∠EAC=∠C， ∴AE=CE=2‎3‎， ∴⊙D的半径AD=2‎3‎． 【解析】‎ ‎ （1）连接AD，根据等腰三角形的性质得到∠B=∠C=30°，∠BAD=∠B=30°，求得∠ADC=60°，根据三角形的内角和得到∠DAC=180°-60°-30°=90°，于是得到AC是⊙D的切线； （2）连接AE，推出△ADE是等边三角形，得到AE=DE，∠AED=60°，求得∠EAC=∠AED-∠C=30°，得到AE=CE=2，于是得到结论． 本题考查了切线的判定和性质，等腰三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键．‎ ‎27.【答案】解：延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，如图所示： 则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1， ∴△EB1C1是等腰直角三角形， ∴∠B1EC1=∠B1C1E=45°， ∵N1是正方形A1B1C1D1的外角∠D1C1H1的平分线上一点， ∴∠M1C1N1=90°+45°=135°， ∴∠B1C1E+∠M1C1N1=180°， ∴E、C1、N1，三点共线， ‎ 在△A1B1M1和△EB1M1中，A‎1‎B‎1‎‎=EB‎1‎‎∠A‎1‎B‎1‎M‎1‎=∠EB‎1‎M‎1‎B‎1‎M‎1‎‎=‎B‎1‎M‎1‎， ∴△A1B1M1≌△EB1M1（SAS）， ∴A1M1=EM1，∠1=∠2， ∵A1M1=M1N1， ∴EM1=M1N1， ∴∠3=∠4， ∵∠2+∠3=45°，∠4+∠5=45°， ∴∠1=∠2=∠5， ∵∠1+∠6=90°， ∴∠5+∠6=90°， ∴∠A1M1N1=180°-90°=90°． 【解析】‎ ‎ 延长A1B1至E，使EB1=A1B1，连接EM1C、EC1，则EB1=B1C1，∠EB1M1中=90°=∠A1B1M1，得出△EB1C1是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质得出∠B1EC1=∠B1C1E=45°，证出∠B1C1E+∠M1C1N1=180°，得出E、C1、N1，三点共线，由SAS证明△A1B1M1≌△EB1M1得出A1M1=EM1，∠1=∠2，得出EM1=M1N1，由等腰三角形的性质得出∠3=∠4，证出∠1=∠2=∠5，得出∠5+∠6=90°，即可得出结论． 此题是四边形综合题目，考查了正方形的性质、全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、三角形的外角性质等知识；本题综合性强，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构造三角形全等是解本题的关键．‎ ‎28.【答案】解：（1）由二次函数交点式表达式得：y=a（x+3）（x-4）=a（x2-x-12）， 即：-12a=4，解得：a=-‎1‎‎3‎， 则抛物线的表达式为y=-‎1‎‎3‎x2+‎1‎‎3‎x+4； （2）存在，理由： 点A、B、C的坐标分别为（-3，0）、（4，0）、（0，4）， 则AC=5，AB=7，BC=4‎2‎，∠OAB=∠OBA=45°， 将点B、C的坐标代入一次函数表达式：y=kx+b并解得：y=-x+4…①， 同理可得直线AC的表达式为：y=‎4‎‎3‎x+4， 设直线AC的中点为M（-‎3‎‎2‎，4），过点M与CA垂直直线的表达式中的k值为-‎3‎‎4‎， ‎ 同理可得过点M与直线AC垂直直线的表达式为：y=-‎3‎‎4‎x+‎7‎‎8‎…②， ①当AC=AQ时，如图1， 则AC=AQ=5， 设：QM=MB=n，则AM=7-n， 由勾股定理得：（7-n）2+n2=25，解得：n=3或4（舍去4）， 故点Q（1，3）； ②当AC=CQ时，如图1， CQ=5，则BQ=BC-CQ=4‎2‎-5， 则QM=MB=‎8-5‎‎2‎‎2‎， 故点Q（‎5‎‎2‎‎2‎，‎8-5‎‎2‎‎2‎）； ③当CQ=AQ时， 联立①②并解得：x=‎25‎‎2‎（舍去）； 故点Q的坐标为：Q（1，3）或（‎5‎‎2‎‎2‎，‎8-5‎‎2‎‎2‎）； （3）设点P（m，-‎1‎‎3‎m2+‎1‎‎3‎m+4），则点Q（m，-m+4）， ∵OB=OC，∴∠ABC=∠OCB=45°=∠PQN， PN=PQsin∠PQN=‎2‎‎2‎（-‎1‎‎3‎m2+‎1‎‎3‎m+4+m-4）=-‎2‎‎6‎m2+‎7‎‎2‎‎6‎m， ∵-‎2‎‎6‎＜0，∴PN有最大值， 当m=‎7‎‎2‎时，PN的最大值为：‎49‎‎2‎‎24‎． 【解析】‎ ‎ （1）由二次函数交点式表达式，即可求解； （2）分AC=AQ、AC=CQ、CQ=AQ三种情况，分别求解即可； （3）由PN=PQsin∠PQN=（-m2+m+4+m-4）即可求解． 主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综 合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．‎