九年级数学上册 2124 一元二次方程的根与系数的关系教学 新版新人教版

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* 21.2.4 　一元二次方程的根与系数的关系 知识点一 知识点二 知识点一 二次项系数为 “ 1” 的一元二次方程的根与系数的关系 由于二次项系数为 “ 1” 的方程可以化简成 x 2 +px+q= 0 的形式 , 所以当方程有两个根 x 1 , x 2 时 , 一定有一次项系数 p=- ( x 1 +x 2 ), 常数项 q=x 1 · x 2 . 名师解读 : 由 x 1 +x 2 =-p , x 1 ·x 2 =q 知 , 若已知 x 1 , x 2 , p , q 这四个量中的任何两个 , 都能确定另外两个 , 利用这种关系可以解答相关的问题 . 知识点一 知识点二 例 1 　 (2015· 遵义模拟 ) 如果关于 x 的一元二次方程 x 2 +px+q= 0 的两根分别为 x 1 = 2, x 2 =- 1, 那么 p , q 的值分别是 ( 　　 ) A.1, - 2 B. - 1, - 2 C. - 1,2 D.1,2 解析 : 观察可以发现 , 方程的二次项系数为 “ 1”, 所以有 p=- [2 + ( - 1)] =- 1, q= 2 × ( - 1) =- 2 . 答案 : B 知识点一 知识点二 解答这类问题 , 关键是正确掌握二次项系数为 “ 1” 的一元二次方程的根与系数的关系 , 当方程的二次项系数不为 “ 1” 时 , 不能使用 . 知识点一 知识点二 例 2 　 已知 x 1 , x 2 是方程 x 2 - 5 x- 2 = 0 的两个实数根 , 则 的值为 ( 　　 ) A.31 B.29 C.25 D.17 解析 : 此题若先解方程求得两个根 , 再代入求值 , 计算量会很大 , 但是根据一元二次方程的根与系数的关系 , 容易求得 x 1 与 x 2 的和与积 , 如果再把所求的代数式转变成用两根的和与积表示出来的式子 ,“ 整体代入 ” 求值则比较方便 . ∵ x 1 , x 2 是方程 x 2 - 5 x- 2 = 0 的两个根 , ∴ x 1 +x 2 = 5, x 1 x 2 =- 2 . 答案 : A 知识点一 知识点二 解答这类求代数式的值的问题 , 先利用根与系数的关系分别求出 “ x 1 +x 2 ” 和 “ x 1 x 2 ” 的值 , 然后把所求值的代数式变形转化成含有 “ x 1 +x 2 ” 和 “ x 1 x 2 ” 的式子 , 利用 “ 整体代入 ” 的思想代入求值 . 知识点一 知识点二 知识点二 二次项系数不是 “ 1” 的一元二次方程的根与系数的关系 任何一个一元二次方程的根与系数的关系为 : 两个根的和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数 , 两个根的积等于常数项与二次项系数的比 . 用式子表示为 这个关系还叫做韦达定理 . 名师解读 : 利用这两个关系式可以解答 “ 已知其中的三个量 , 求另外的两个量的问题 ” , 还可以解答求代数式的值的问题 . 要特别注意等式中的 a , b , c 所表示的含义 . 知识点一 知识点二 知识点一 知识点二 解答这类问题 , 先求出方程的解再代入代数式求值 , 计算量会很大 , 一般先把求值的代数式进行变形 , 使其变成包含两根的和与两根的积的式子 , 再利用整体代入的方法求值 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 利用韦达定理由方程的根确定原方程 例 1 　 已知 α , β 满足 α+β= 5, 且 αβ= 6, 则以 α , β 为两根的二次项系数为 “ 1” 的一元二次方程是 ( 　　 ) A. x 2 + 5 x+ 6 = 0 B. x 2 - 5 x+ 6 = 0 C. x 2 - 5 x- 6 = 0 D. x 2 + 5 x- 6 = 0 解析 : 以 α , β 为两根的一元二次方程的两根是 α , β , 且 α , β 满足 α+β= 5, αβ= 6 . 所以这个方程的系数应满足两根之和是 , 两根之积是 , 当二次项系数 a= 1 时 , 一次项系数 b=- 5, 常数项 c= 6, 所以方程为 x 2 - 5 x+ 6 = 0 . 答案 : B 拓展点一 拓展点二 拓展点三 满足 α+β= 5, 且 αβ= 6, 则以 α , β 为两根的一元二次方程有无数多个 , 形式为 a ( x-α )( x-β ) = 0( a ≠0), 只要二次项系数 a 改变 , 方程就会随着改变 . 但是此题可以利用排除法解答 , 也可以通过解各个方程找到正确答案 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点二 已知方程的一根 , 利用根与系数的关系求另一根或字母的值 例 2 　 (2015· 北京校级模拟 ) 方程 4 x 2 -kx+ 6 = 0 的一个根是 2, 那么 k 的值和方程的另一个根分别是 ( 　　 ) 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解答这类问题时 , 两种方法都能解决问题 , 根据问题的实际情况灵活选取 , 只要计算简便即可 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 拓展点三 根与系数的关系与判别式的综合运用 例 3 　 已知 x 1 , x 2 是关于 x 的一元二次方程 x 2 - 2( k+ 1) x+k 2 - 3 = 0 的两实根 , 且 ( x 1 + 1)·( x 2 + 1) = 8, 求 k 的值 . 分析 : 根据一元二次方程的根与系数的关系知 x 1 +x 2 = 2( k+ 1), x 1 x 2 =k 2 - 3, 代入 ( x 1 + 1)·( x 2 + 1) = 8, 即 x 1 x 2 + ( x 1 +x 2 ) + 1 = 8 即可得到关于 k 的方程 , 可求出 k 的值 , 再根据 Δ 与 0 的关系舍去不合理的 k 值 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 解 : 依题意可知 , x 1 +x 2 = 2( k+ 1) = 2 k+ 2, x 1 x 2 =k 2 - 3, 由 ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = 8 得 x 1 x 2 +x 1 +x 2 + 1 = 8, 得 k 2 - 3 + 2 k+ 2 + 1 = 8, 即 k 2 + 2 k- 8 = 0, 解得 k 1 = 2, k 2 =- 4 . 而 Δ= [ - 2( k+ 1)] 2 - 4( k 2 - 3) ≥ 0, 所以 k ≥ - 2 . 所以 k= 2 . 拓展点一 拓展点二 拓展点三 一元二次方程只有有根的情况下 , 才能研究根的情况 , 所以解答此类问题时所求出的字母的值须使原方程有实根 . 如 : 本题中不要只根据 ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = 8, 求出 k 的值 , 而忽略 Δ 与 0 的关系 .