2018年浙江省宁波市中考数学试卷

2018年浙江省宁波市中考数学试卷

‎2018年浙江省宁波市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.55×106 B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104‎ ‎3．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5‎ ‎4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 ‎7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4‎ ‎11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）‎ A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）计算：|﹣2018|=　 　．‎ ‎14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足　 　．‎ ‎15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为　 　．‎ ‎16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　 　米（结果保留根号）．‎ ‎17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　 　．‎ ‎18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有8小题，共78分）‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．‎ ‎20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；‎ ‎（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．‎ ‎21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生人数；‎ ‎（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．‎ ‎22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．‎ ‎23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．‎ ‎24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．‎ ‎（1）求甲、乙两种商品的每件进价；‎ ‎（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？‎ ‎25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．‎ ‎（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．‎ ‎26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．‎ ‎（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；‎ ‎（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，‎ ‎①求证：△OCE∽△OEA；‎ ‎②求点E的坐标；‎ ‎（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．‎ ‎　‎ ‎2018年浙江省宁波市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题4分，共48分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）‎ ‎1．（4分）在﹣3，﹣1，0，1这四个数中，最小的数是（　　）‎ A．﹣3 B．﹣1 C．0 D．1‎ ‎【分析】根据正数大于零，零大于负数，可得答案．‎ ‎【解答】解：由正数大于零，零大于负数，得 ‎﹣3＜﹣1＜0＜1，‎ 最小的数是﹣3，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（4分）2018中国（宁波）特色文化产业博览会于4月16日在宁波国际会展中心闭幕．本次博览会为期四天，参观总人数超55万人次，其中55万用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.55×106 B．5.5×105 C．5.5×104 D．55×104‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：550000=5.5×105，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（4分）下列计算正确的是（　　）‎ A．a3+a3=2a3 B．a3•a2=a6 C．a6÷a2=a3 D．（a3）2=a5‎ ‎【分析】‎ 根据同底数幂的除法法则，同底数幂的乘法的运算方法，合并同类项的方法，以及幂的乘方与积的乘方的运算方法，逐项判定即可．‎ ‎【解答】解：∵a3+a3=2a3，‎ ‎∴选项A符合题意；‎ ‎∵a3•a2=a5，‎ ‎∴选项B不符合题意；‎ ‎∵a6÷a2=a4，‎ ‎∴选项C不符合题意；‎ ‎∵（a3）2=a6，‎ ‎∴选项D不符合题意．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎4．（4分）有五张背面完全相同的卡片，正面分别写有数字1，2，3，4，5，把这些卡片背面朝上洗匀后，从中随机抽取一张，其正面的数字是偶数的概率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】让正面的数字是偶数的情况数除以总情况数5即为所求的概率．‎ ‎【解答】解：∵从写有数字1，2，3，4，5这5张纸牌中抽取一张，其中正面数字是偶数的有2、4这2种结果，‎ ‎∴正面的数字是偶数的概率为，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎5．（4分）已知正多边形的一个外角等于40°，那么这个正多边形的边数为（　　）‎ A．6 B．7 C．8 D．9‎ ‎【分析】根据正多边形的外角和以及一个外角的度数，求得边数．‎ ‎【解答】解：正多边形的一个外角等于40°，且外角和为360°，‎ 则这个正多边形的边数是：360°÷40°=9．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎6．（4分）如图是由6个大小相同的立方体组成的几何体，在这个几何体的三视图中，是中心对称图形的是（　　）‎ A．主视图 B．左视图 C．俯视图 D．主视图和左视图 ‎【分析】根据从上边看得到的图形是俯视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：从上边看是一个田字，‎ ‎“田”字是中心对称图形，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎7．（4分）如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，连结OE．若∠ABC=60°，∠BAC=80°，则∠1的度数为（　　）‎ A．50° B．40° C．30° D．20°‎ ‎【分析】直接利用三角形内角和定理得出∠BCA的度数，再利用三角形中位线定理结合平行线的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：∵∠ABC=60°，∠BAC=80°，‎ ‎∴∠BCA=180°﹣60°﹣80°=40°，‎ ‎∵对角线AC与BD相交于点O，E是边CD的中点，‎ ‎∴EO是△DBC的中位线，‎ ‎∴EO∥BC，‎ ‎∴∠1=∠ACB=40°．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．（4分）若一组数据4，1，7，x，5的平均数为4，则这组数据的中位数为（　　）‎ A．7 B．5 C．4 D．3‎ ‎【分析】先根据平均数为4求出x的值，然后根据中位数的概念求解．‎ ‎【解答】解：∵数据4，1，7，x，5的平均数为4，‎ ‎∴=4，‎ 解得：x=3，‎ 则将数据重新排列为1、3、4、5、7，‎ 所以这组数据的中位数为4，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（4分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，AB=4，以点B为圆心，BC长为半径画弧，交边AB于点D，则的长为（　　）‎ A．π B．π C．π D．π ‎【分析】先根据ACB=90°，AB=4，∠A=30°，得圆心角和半径的长，再根据弧长公式可得到弧CD的长．‎ ‎【解答】解：∵∠ACB=90°，AB=4，∠A=30°，‎ ‎∴∠B=60°，BC=2‎ ‎∴的长为=，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎10．（4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=（k1＞0，x＞0），y=（k2＞0，x＞‎ ‎0）的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1﹣k2的值为（　　）‎ A．8 B．﹣8 C．4 D．﹣4‎ ‎【分析】设A（a，h），B（b，h），根据反比例函数图象上点的坐标特征得出ah=k1，bh=k2．根据三角形的面积公式得到S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，求出k1﹣k2=8．‎ ‎【解答】解：∵AB∥x轴，‎ ‎∴A，B两点纵坐标相同．‎ 设A（a，h），B（b，h），则ah=k1，bh=k2．‎ ‎∵S△ABC=AB•yA=（a﹣b）h=（ah﹣bh）=（k1﹣k2）=4，‎ ‎∴k1﹣k2=8．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎11．（4分）如图，二次函数y=ax2+bx的图象开口向下，且经过第三象限的点P．若点P的横坐标为﹣1，则一次函数y=（a﹣b）x+b的图象大致是（　　）‎ A． B． C．‎ ‎ D．‎ ‎【分析】根据二次函数的图象可以判断a、b、a﹣b的正负情况，从而可以得到一次函数经过哪几个象限，本题得以解决．‎ ‎【解答】解：由二次函数的图象可知，‎ a＜0，b＜0，‎ 当x=﹣1时，y=a﹣b＜0，‎ ‎∴y=（a﹣b）x+b的图象在第二、三、四象限，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．（4分）在矩形ABCD内，将两张边长分别为a和b（a＞b）的正方形纸片按图1，图2两种方式放置（图1，图2中两张正方形纸片均有部分重叠），矩形中未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示，设图1中阴影部分的面积为S1，图2中阴影部分的面积为S2．当AD﹣AB=2时，S2﹣S1的值为（　　）‎ A．2a B．2b C．2a﹣2b D．﹣2b ‎【分析】利用面积的和差分别表示出S1和S2，然后利用整式的混合运算计算它们的差．‎ ‎【解答】解：S1=（AB﹣a）•a+（CD﹣b）（AD﹣a）=（AB﹣a）•a+（AB﹣b）（AD﹣a），‎ S2=AB（AD﹣a）+（a﹣b）（AB﹣a），‎ ‎∴S2﹣S1=AB（AD﹣a）+‎ ‎（a﹣b）（AB﹣a）﹣（AB﹣a）•a﹣（AB﹣b）（AD﹣a）=（AD﹣a）（AB﹣AB+b）+（AB﹣a）（a﹣b﹣a）=b•AD﹣ab﹣b•AB+ab=b（AD﹣AB）=2b．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题4分，共24分）‎ ‎13．（4分）计算：|﹣2018|=　2018　．‎ ‎【分析】直接利用绝对值的性质得出答案．‎ ‎【解答】解：|﹣2018|=2018．‎ 故答案为：2018．‎ ‎　‎ ‎14．（4分）要使分式有意义，x的取值应满足　x≠1　．‎ ‎【分析】直接利用分式有意义则分母不能为零，进而得出答案．‎ ‎【解答】解：要使分式有意义，则：x﹣1≠0．‎ 解得：x≠1，故x的取值应满足：x≠1．‎ 故答案为：x≠1．‎ ‎　‎ ‎15．（4分）已知x，y满足方程组，则x2﹣4y2的值为　﹣15　．‎ ‎【分析】根据平方差公式即可求出答案．‎ ‎【解答】解：原式=（x+2y）（x﹣2y）‎ ‎=﹣3×5‎ ‎=﹣15‎ 故答案为：﹣15‎ ‎　‎ ‎16．（4分）如图，某高速公路建设中需要测量某条江的宽度AB，飞机上的测量人员在C处测得A，B两点的俯角分别为45°和30°．若飞机离地面的高度CH为1200米，且点H，A，B在同一水平直线上，则这条江的宽度AB为　1200（‎ ‎﹣1）　米（结果保留根号）．‎ ‎【分析】在Rt△ACH和Rt△HCB中，利用锐角三角函数，用CH表示出AH、BH的长，然后计算出AB的长．‎ ‎【解答】解：由于CD∥HB，‎ ‎∴∠CAH=∠ACD=45°，∠B=∠BCD=30°‎ 在Rt△ACH中，∵∴∠CAH=45°‎ ‎∴AH=CH=1200米，‎ 在Rt△HCB，∵tan∠B=‎ ‎∴HB==‎ ‎==1200（米）．‎ ‎∴AB=HB﹣HA ‎=1200﹣1200‎ ‎=1200（﹣1）米 故答案为：1200（﹣1）‎ ‎　‎ ‎17．（4分）如图，正方形ABCD的边长为8，M是AB的中点，P是BC边上的动点，连结PM，以点P为圆心，PM长为半径作⊙P．当⊙P与正方形ABCD的边相切时，BP的长为　3或4　．‎ ‎【分析】分两种情形分别求解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时；如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形；‎ ‎【解答】解：如图1中，当⊙P与直线CD相切时，设PC=PM=m．‎ 在Rt△PBM中，∵PM2=BM2+PB2，‎ ‎∴x2=42+（8﹣x）2，‎ ‎∴x=5，‎ ‎∴PC=5，BP=BC﹣PC=8﹣5=3．‎ 如图2中当⊙P与直线AD相切时．设切点为K，连接PK，则PK⊥AD，四边形PKDC是矩形．‎ ‎∴PM=PK=CD=2BM，‎ ‎∴BM=4，PM=8，‎ 在Rt△PBM中，PB==4．‎ 综上所述，BP的长为3或4．‎ ‎　‎ ‎18．（4分）如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠B是锐角，AE⊥BC于点E，M是AB的中点，连结MD，ME．若∠EMD=90°，则cosB的值为　　．‎ ‎【分析】延长DM交CB的延长线于点H．首先证明DE=EH，设BE=x，利用勾股定理构建方程求出x即可解决问题．‎ ‎【解答】解：延长DM交CB的延长线于点H．‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=AD=2，AD∥CH，‎ ‎∴∠ADM=∠H，‎ ‎∵AM=BM，∠AMD=∠HMB，‎ ‎∴△ADM≌△BHM，‎ ‎∴AD=HB=2，‎ ‎∵EM⊥DH，‎ ‎∴EH=ED，设BE=x，‎ ‎∵AE⊥BC，‎ ‎∴AE⊥AD，‎ ‎∴∠AEB=∠EAD=90°‎ ‎∵AE2=AB2﹣BE2=DE2﹣AD2，‎ ‎∴22﹣x2=（2+x）2﹣22，‎ ‎∴x=﹣1或﹣﹣1（舍弃），‎ ‎∴cosB==，‎ 故答案为．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题有8小题，共78分）‎ ‎19．（6分）先化简，再求值：（x﹣1）2+x（3﹣x），其中x=﹣．‎ ‎【分析】首先计算完全平方，再计算单项式乘以多项式，再合并同类项，化简后再把x的值代入即可．‎ ‎【解答】解：原式=x2﹣2x+1+3x﹣x2=x+1，‎ 当x=﹣时，原式=﹣+1=．‎ ‎　‎ ‎20．（8分）在5×3的方格纸中，△ABC的三个顶点都在格点上．‎ ‎（1）在图1中画出线段BD，使BD∥AC，其中D是格点；‎ ‎（2）在图2中画出线段BE，使BE⊥AC，其中E是格点．‎ ‎【分析】（1）将线段AC沿着AB方向平移2个单位，即可得到线段BD；‎ ‎（2）利用2×3的长方形的对角线，即可得到线段BE⊥AC．‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，线段BD即为所求；‎ ‎（2）如图所示，线段BE即为所求．‎ ‎　‎ ‎21．（8分）在第23个世界读书日前夕，我市某中学为了解本校学生的每周课外阅读时间（用t表示，单位：小时），采用随机抽样的方法进行问卷调查，调查结果按0≤t＜2，2≤t＜3，3≤t＜4，t≥4分为四个等级，并依次用A，B，C，D表示，根据调查结果统计的数据，绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图，由图中给出的信息解答下列问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生人数；‎ ‎（2）求扇形统计图中等级B所在扇形的圆心角度数，并把条形统计图补充完整；‎ ‎（3）若该校共有学生1200人，试估计每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数．‎ ‎【分析】（1）由条形图、扇形图中给出的级别A的数字，可计算出调查学生人数；‎ ‎（2）先计算出C在扇形图中的百分比，用1﹣[（A+D+C）在扇形图中的百分比]可计算出B在扇形图中的百分比，再计算出B在扇形的圆心角．‎ ‎（3）总人数×课外阅读时间满足3≤t＜4的百分比即得所求．‎ ‎【解答】解：（1）由条形图知，A级的人数为20人，‎ 由扇形图知：A级人数占总调查人数的10%‎ 所以：20÷10%=20×=200（人）‎ 即本次调查的学生人数为200人；‎ ‎（2）由条形图知：C级的人数为60人 所以C级所占的百分比为：×100%=30%，‎ B级所占的百分比为：1﹣10%﹣30%﹣45%=15%，‎ B级的人数为200×15%=30（人）‎ D级的人数为：200×45%=90（人）‎ B所在扇形的圆心角为：360°×15%=54°．‎ ‎（3）因为C级所占的百分比为30%，‎ 所以全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的人数为：1200×30%=360（人）‎ 答：全校每周课外阅读时间满足3≤t＜4的约有360人．‎ ‎　‎ ‎22．（10分）已知抛物线y=﹣x2+bx+c经过点（1，0），（0，）．‎ ‎（1）求该抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）将抛物线y=﹣x2+bx+c平移，使其顶点恰好落在原点，请写出一种平移的方法及平移后的函数表达式．‎ ‎【分析】（1）把已知点的坐标代入抛物线解析式求出b与c的值即可；‎ ‎（2）指出满足题意的平移方法，并写出平移后的解析式即可．‎ ‎【解答】解：（1）把（1，0），（0，）代入抛物线解析式得：，‎ 解得：，‎ 则抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+；‎ ‎（2）抛物线解析式为y=﹣x2﹣x+=﹣（x+1）2+2，‎ 将抛物线向右平移一个单位，向下平移2个单位，解析式变为y=﹣x2．‎ ‎　‎ ‎23．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D是AB边上一点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．‎ ‎（1）求证：△ACD≌△BCE；‎ ‎（2）当AD=BF时，求∠BEF的度数．‎ ‎【分析】（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）‎ ‎（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数．‎ ‎【解答】解：（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，‎ ‎∵∠ACB=90°，‎ ‎∴∠ACD=∠ACB﹣∠DCB，‎ ‎∠BCE=∠DCE﹣∠DCB，‎ ‎∴∠ACD=∠BCE，‎ 在△ACD与△BCE中，‎ ‎∴△ACD≌△BCE（SAS）‎ ‎（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，‎ ‎∴∠A=45°，‎ 由（1）可知：∠A=∠CBE=45°，‎ ‎∵AD=BF，‎ ‎∴BE=BF，‎ ‎∴∠BEF=67.5°‎ ‎　‎ ‎24．（10分）某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．已知乙种商品每件进价比甲种商品每件进价多8元，且购进的甲、乙两种商品件数相同．‎ ‎（1）求甲、乙两种商品的每件进价；‎ ‎（2）该商场将购进的甲、乙两种商品进行销售，甲种商品的销售单价为60元，乙种商品的销售单价为88元，销售过程中发现甲种商品销量不好，商场决定：甲种商品销售一定数量后，将剩余的甲种商品按原销售单价的七折销售；乙种商品销售单价保持不变．要使两种商品全部售完后共获利不少于2460元，问甲种商品按原销售单价至少销售多少件？‎ ‎【分析】（1）设甲种商品的每件进价为x元，乙种商品的每件进价为y元．根据“某商场购进甲、乙两种商品，甲种商品共用了2000元，乙种商品共用了2400元．购进的甲、乙两种商品件数相同”列出方程；‎ ‎（2）设甲种商品按原销售单价销售a件，则由“两种商品全部售完后共获利不少于2460元”列出不等式．‎ ‎【解答】解：（1）设甲种商品的每件进价为x元，则乙种商品的每件进价为（x+8）元．‎ 根据题意，得，=，‎ 解得 x=40．‎ 经检验，x=40是原方程的解．‎ 答：甲种商品的每件进价为40元，乙种商品的每件进价为48元；‎ ‎（2）甲乙两种商品的销售量为=50．‎ 设甲种商品按原销售单价销售a件，则 ‎（60﹣40）a+（60×0.7﹣40）（50﹣a）+（88﹣48）×50≥2460，‎ 解得 a≥20．‎ 答：甲种商品按原销售单价至少销售20件．‎ ‎　‎ ‎25．（12分）若一个三角形一条边的平方等于另两条边的乘积，我们把这个三角形叫做比例三角形．‎ ‎（1）已知△ABC是比例三角形，AB=2，BC=3，请直接写出所有满足条件的AC的长；‎ ‎（2）如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，对角线BD平分∠ABC，∠BAC=∠ADC．求证：△ABC是比例三角形．‎ ‎（3）如图2，在（2）的条件下，当∠ADC=90°时，求的值．‎ ‎【分析】（1）根据比例三角形的定义分AB2=BC•AC、BC2=AB•AC、AC2=AB•BC三种情况分别代入计算可得；‎ ‎（2）先证△ABC∽△DCA得CA2=BC•AD，再由∠ADB=∠CBD=∠ABD知AB=AD即可得；‎ ‎（3）作AH⊥BD，由AB=AD知BH=BD，再证△ABH∽△DBC得AB•BC=BH•DB，即AB•BC=BD2，结合AB•BC=AC2知BD2=AC2，据此可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵△ABC是比例三角形，且AB=2、AC=3，‎ ‎①当AB2=BC•AC时，得：4=3AC，解得：AC=；‎ ‎②当BC2=AB•AC时，得：9=2AC，解得：AC=；‎ ‎③当AC2=AB•BC时，得：AC=6，解得：AC=（负值舍去）；‎ 所以当AC=或或时，△ABC是比例三角形；‎ ‎（2）∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ACB=∠CAD，‎ 又∵∠BAC=∠ADC，‎ ‎∴△ABC∽△DCA，‎ ‎∴=，即CA2=BC•AD，‎ ‎∵AD∥BC，‎ ‎∴∠ADB=∠CBD，‎ ‎∵BD平分∠ABC，‎ ‎∴∠ABD=∠CBD，‎ ‎∴∠ADB=∠ABD，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴CA2=BC•AB，‎ ‎∴△ABC是比例三角形；‎ ‎（3）如图，过点A作AH⊥BD于点H，‎ ‎∵AB=AD，‎ ‎∴BH=BD，‎ ‎∵AD∥BC，∠ADC=90°，‎ ‎∴∠BCD=90°，‎ ‎∴∠BHA=∠BCD=90°，‎ 又∵∠ABH=∠DBC，‎ ‎∴△ABH∽△DBC，‎ ‎∴=，即AB•BC=BH•DB，‎ ‎∴AB•BC=BD2，‎ 又∵AB•BC=AC2，‎ ‎∴BD2=AC2，‎ ‎∴=．‎ ‎　‎ ‎26．（14分）如图1，直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），与y轴交于点B，点C是线段OA上一动点（0＜AC＜）．以点A为圆心，AC长为半径作⊙A交x轴于另一点D，交线段AB于点E，连结OE并延长交⊙A于点F．‎ ‎（1）求直线l的函数表达式和tan∠BAO的值；‎ ‎（2）如图2，连结CE，当CE=EF时，‎ ‎①求证：△OCE∽△OEA；‎ ‎②求点E的坐标；‎ ‎（3）当点C在线段OA上运动时，求OE•EF的最大值．‎ ‎【分析】（1）利用待定系数法求出b即可得出直线l表达式，即可求出OA，OB，即可得出结论；‎ ‎（2）①先判断出∠CDF=2∠CDE，进而得出∠OAE=∠ODF，即可得出结论；‎ ‎②设出EM=3m，AM=4m，进而得出点E坐标，即可得出OE的平方，再根据①的相似得出比例式得出OE的平方，建立方程即可得出结论；‎ ‎（3）利用面积法求出OG，进而得出AG，HE，再构造相似三角形，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵直线l：y=﹣x+b与x轴交于点A（4，0），‎ ‎∴﹣×4+b=0，‎ ‎∴b=3，‎ ‎∴直线l的函数表达式y=﹣x+3，‎ ‎∴B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ 在Rt△AOB中，tan∠BAO==；‎ ‎（2）①如图2，连接DF，∵CE=EF，‎ ‎∴∠CDE=∠FDE，‎ ‎∴∠CDF=2∠CDE，‎ ‎∵∠OAE=2∠CDE，‎ ‎∴∠OAE=∠ODF，‎ ‎∵四边形CEFD是⊙O的圆内接四边形，‎ ‎∴∠OEC=∠ODF，‎ ‎∴∠OEC=∠OAE，‎ ‎∵∠COE=∠EOA，‎ ‎∴△COE∽△EOA，‎ ‎②过点E⊥OA于M，‎ 由①知，tan∠OAB=，‎ 设EM=3m，则AM=4m，‎ ‎∴OM=4﹣4m，AE=5m，‎ ‎∴E（4﹣4m，3m），AC=5m，∴‎ OC=4﹣5m，‎ 由①知，△COE∽△EOA，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE2=OA•OC=4（4﹣5m）=16﹣20m，‎ ‎∵E（4﹣4m，3m），‎ ‎∴（4﹣4m）2+9m2=25m2﹣32m+16，‎ ‎∴25m2﹣32m+16=16﹣20m，‎ ‎∴m=0（舍）或m=，‎ ‎∴4﹣4m=，3m=，‎ ‎∴E（，），‎ ‎（3）如图，设⊙O的半径为r，过点O作OG⊥AB于G，‎ ‎∵A（4，0），B（0，3），‎ ‎∴OA=4，OB=3，‎ ‎∴AB=5，‎ ‎∴AB×OG=OA×OB，‎ ‎∴OG=，‎ ‎∴AG==×=，‎ ‎∴EG=AG﹣AE=﹣r，‎ 连接FH，‎ ‎∵EH是⊙O直径，‎ ‎∴EH=2r，∠EFH=90°=∠EGO，‎ ‎∵∠OEG=∠HEF，‎ ‎∴△OEG∽△HEF，‎ ‎∴，‎ ‎∴OE•EF=HE•EG=2r（﹣r）=﹣2（r﹣）2+，‎ ‎∴r=时，OE•EF最大值为．‎ ‎　‎