2019年甘肃中考数学试题（解析版）
{来源}2019年淮安市中考数学试卷
{适用范围:3． 九年级}
甘肃省二〇一九年初中学业水平考试
考试时间：120分钟 满分：120分
{题型:1-选择题}一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小只有一个正确选项.
{题目}1．（3分）下列四个图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
{答案}A
{解析}本题考查了中心对称图形的概念. 如果把一个图形绕着某一点旋转180度后能与另一个图形重合，那么我们就说，这两个图形成中心对称.中心对称图形具有三个基本特征：①两个图形；②必须旋转180度；③能完全重合. 故选择A.
{分值}3
{章节:[1-23-2-2]中心对称图形}
{考点:中心对称图形}
类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}2．（3分）在0，2，﹣3，﹣这四个数中，最小的数是（ ）
A．0 B．2 C．﹣3 D．﹣
{答案}C
{解析}本题考查了实数大小比较.正实数都大于0，负实数都小于0，正实数大于一切负实数，两个负实数绝对值大的反而小，据此判断即可．根据实数比较大小的方法，可得
﹣3＜﹣＜0＜2，所以最小的数是﹣3．故选：C．
{分值}3
{章节:[1-1-2-4]绝对值}
{考点:有理数的大小比较}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}3．（3分）使得式子有意义的x的取值范围是（ ）
A．x≥4 B．x＞4 C．x≤4 D．x＜4
{答案}D
{解析}本题考查了二次根式有意义的条件和分式成立的条件．成立的条件是，成立的条件是.4﹣x＞0，解得：x＜4.故选择D.
{分值}3
{章节:[1-16-1]二次根式}
{考点:二次根式的有意义的条件}{考点:分式方程的定义}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}4．（3分）计算（﹣2a）2•a4的结果是（ ）
A．﹣4a6 B．4a6 C．﹣2a6 D．﹣4a8
{答案}B
{解析}本题考查了积的乘方运算以及同底数幂的乘法运算.（﹣2a）2•a4＝4a2•a4＝4a6．故选择B.
{分值}3
{章节:[1-2-1]整式}
{考点:同底数幂的乘法}{考点:幂的乘方}{考点:积的乘方}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}5．（3分）如图，将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，若∠1＝48°，那么∠2的度数是（ ）
A．48° B．78° C．92° D．102°
{答案}D
{解析}本题主要考查了平行线的性质.∵将一块含有30°的直角三角板的顶点放在直尺的一边上，∠1＝48°，∴∠2＝180°﹣48°﹣30°＝102°．故选择D．
{分值}3
{章节:[1-5-3]平行线的性质}
{考点:两直线平行同旁内角互补}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}6．（3分）已知点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，则点P的坐标是（ ）
A．（4，0） B．（0，4） C．（﹣4，0） D．（0，﹣4）
{答案}A
{解析}本题考查了点的坐标的特点.若点P（a,b）,若点P在第一象限，则
；若点P在第二象限，则；若点P在第三象限，则；若点P在第四象限，则；若点P在x轴上，则；若点P在y轴上，则.∵点P（m+2，2m﹣4）在x轴上，∴2m﹣4＝0，解得：m＝2，
∴m+2＝4，则点P的坐标是：（4，0）．
故选A．
{分值}3
{章节:[1-7-2]平面直角坐标系}
{考点:点的坐标}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}7．（3分）若一元二次方程x2﹣2kx+k2＝0的一根为x＝﹣1，则k的值为（ ）
A．﹣1 B．0 C．1或﹣1 D．2或0
{答案}A
{解析}本题考查了一元二次方程的解.方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值．把x＝﹣1代入方程得：1+2k+k2＝0，解得：k＝﹣1，故选A．
{分值}3
{章节:[1-21-1]一元二次方程}
{考点:一元二次方程的解}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，点C、D是圆上两点，且∠AOC＝126°，则∠CDB＝（ ）
A．54° B．64° C．27° D．37°
{答案}C
{解析}本题考查了圆周角度数定理.在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角度数的一半.∵∠AOC＝126°，∴∠BOC＝180°﹣∠AOC＝54°，∵∠CDB＝∠BOC＝27°．故选C．
{分值}3
{章节:[1-24-1-4]圆周角}
{考点:圆周角定理}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}9．（3分）甲，乙两个班参加了学校组织的2019年“国学小名士”国学知识竞赛选拔赛，他们成绩的平均数、中位数、方差如下表所示，规定成绩大于等于95分为优异，则下列说法正确的是（ ）
参加人数
平均数
中位数
方差
甲
45
94
93
5.3
乙
45
94
95
4.8
A．甲、乙两班的平均水平相同
B．甲、乙两班竞赛成绩的众数相同
C．甲班的成绩比乙班的成绩稳定
D．甲班成绩优异的人数比乙班多
{答案}A
{解析}本题考查了平均数，众数，中位数，方差．在一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据众数；方差反映的是一组数据的离散程度.一组数据的方差越大，说明这组数据的波动越大，稳定性较差；当这组数据的方差越小，说明这组的波动越小，稳定性越好.反过来，当一组数据的波动越大时，说明它的方差越大，波动越小，方差越小.从图中直接可以看出，它们的平均数相同，但A组数据的波动比B组的波动大，中位数反映的是一组数据的中等水平.找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求．如果是偶数个则找中间两位数的平均数．这两组数据的平均数相同；众数无法比较；中位数甲<乙，规定成绩大于等于95分为优异，显然，乙班成绩优异的人数比甲班多；方差甲<乙，说明乙比较稳定；故选择A
{分值}3
{章节:[1-20-1-2]中位数和众数}
{考点:算术平均数}{考点:中位数}{考点:众数}{考点:方差}{考点:方差的性质}{考点:数据分析综合题}{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}10．（3分）如图是二次函数y＝ax2+bx+c的图象，对于下列说法：①ac＞0，②2a+b＞0，③4ac＜b2，④a+b+c＜0，⑤当x＞0时，y随x的增大而减小，其中正确的是（ ）
A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．③④⑤
{答案}C
{解析}本题考查了二次函数的图象与性质.①由图象可知：a＞0，c＜0，∴ac＜0，故①错误；②由于对称轴可知：＜1，∴2a+b＞0，故②正确；③由于抛物线与x轴有两个交点，∴△＝b2﹣4ac＞0，故③正确；④由图象可知：x＝1时，y＝a+b+c＜0，故④正确；⑤当x＞时，y随着x的增大而增大，故⑤错误；故选C．
{分值}3
{章节:[1-22-1-4]二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质}
{考点:二次函数y＝ax2+bx+c的性质}{考点:二次函数的系数与图象的关系}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题型:2-填空题}二、填空题：本大题共8小题，每小题3分，共24分.
{题目}11．（3分）分解因式：x3y﹣4xy＝ ．
{答案} xy（x+2）（x﹣2）
{解析}本题考查了分解因式．.因式分解的方法有：提取公因式法形如ma+mb+mc=m(a+b+c)、公式法(，，.因式分解需要注意的问题是，必须分解到不能再分解为止. x3y﹣4xy＝xy（x2﹣4）＝xy（x+2）（x﹣2）．
{分值}3
{章节:[1-14-3]因式分解}
{考点:因式分解－提公因式法}{考点:因式分解－平方差}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}12．（3分）不等式组的最小整数解是 ．
{答案}0
{解析}本题考查了一元一次不等式组的解法．不等式组的解集：若a>b，，则不等式组的解集为x>a（同大取大）、若a>b，，则不等式组的解集为x
b，，则不等式组的解集为b<b，，则不等式组的解集为无解（大大小小无处找）. ，∴不等式组的解集为﹣1＜x≤2，
则最小的整数解为0，
{分值}3
{章节:[1-9-3]一元一次不等式组}
{考点:解一元一次不等式组}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}13．（3分）分式方程＝的解为 ．
{答案}
{解析}本题考查了解分式方程..解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、花未知数系数为1, 去分母得：3x+6＝5x+5，解得：x＝，经检验x＝是分式方程的解．
{分值}3
{章节:[1-15-3]分式方程}
{考点:解含两个分式的分式方程}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}14．（3分）在△ABC中∠C＝90°，tanA＝，则cosB＝ ．
{答案}
{解析}本题考查了特殊角的三角函数值.由tanA＝，可知，则.则cosB＝．
{分值}3
{章节:[1-28-3]锐角三角函数}
{考点:三角函数的关系}{考点:特殊角的三角函数值}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}15．（3分）已知某几何体的三视图如图所示，其中俯视图为等边三角形，则该几何体的左视图的面积为 ．
{答案}（18+2）cm2
{解析}本题考查了三视图．三视图是观测者从上面、左面、正面三个不同角度观察同一个空间几何体而画出的图形.主视图和俯视图的长要相等；主视图和左视图的高要相等；左视图和俯视图的宽要相等.该几何体是一个三棱柱，底面等边三角形边长为2cm，高为cm，三棱柱的高为3，所以，其表面积为3×2×3+2×＝18+2（cm2）．
{分值}3
{章节:[1-4-1-1]立体图形与平面图形}
{考点: {考点:几何体的三视图}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}16．（3分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC＝2，点D是AB的中点，以A、B为圆心，AD、BD长为半径画弧，分别交AC、BC于点E、F，则图中阴影部分的面积为 ．
{答案}2﹣
{解析}本题考查了扇形的面积、等腰直角三角形的性质等知识.S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE.在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，CA＝CB＝2，∴AB＝2，∠A＝∠B＝45°，
∵D是AB的中点，∴AD＝DB＝，∴S阴＝S△ABC﹣2•S扇形ADE＝×2×2﹣2×＝2﹣.
{分值}3
{章节:[1-24-4]弧长和扇形面积}
{考点:扇形的面积}{考点:等腰直角三角形}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}17．（3分）如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝6，E为BC上一点，把△CDE沿DE折叠，使点C落在AB边上的F处，则CE的长为 ．
{答案}
{解析}本题考查了矩形、勾股定理、图形的变换等知识.设CE＝x，则BE＝6﹣x由折叠性质可知，EF＝CE＝x，DF＝CD＝AB＝10，在Rt△DAF中，AD＝6，DF＝10，∴AF＝8，∴BF＝AB﹣AF＝10﹣8＝2，在Rt△BEF中，BE2+BF2＝EF2，即（6﹣x）2+22＝x2，解得x＝.
{分值}3
{章节:[1-18-2-1]矩形}
{考点:勾股定理}{考点:矩形的性质}{考点:折叠问题}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}18．（3分）如图，每一图中有若干个大小不同的菱形，第1幅图中有1个菱形，第2幅图中有3个菱形，第3幅图中有5个菱形，如果第n幅图中有2019个菱形，则n＝ ．
{答案}1010
{解析}本题考查了规律型中的图形变化问题.通过观察，分析、归纳并发现其中的规律．根据题意分析可得：第1幅图中有1个；第2幅图中有2×2﹣1＝3个；第3幅图中有2×3
﹣1＝5个；第4幅图中有2×4﹣1＝7个．…．可以发现，每个图形都比前一个图形多2个．故第n幅图中共有（2n﹣1）个．当图中有2019个菱形时，
2n﹣1＝2019，n＝1010.
{分值}3
{章节:[1-19-4]课题学习 选择方案}
{考点:几何综合}
{类别:思想方法}
{难度:3-中等难度}
{题型:4-解答题}三、解答题（一）本大共5小题，共26分.解答应写出必要的文字说明，证明过程成演算步骤.
{题目}19．（4分）计算：
{解析}本题考查了实数运算．，，，|-3|=3.原式=4+1-1-3=1.
{答案}1
{分值}4
{章节:[1-1-3-1]有理数的加法}
{考点:有理数的加减混合运算}{考点:负指数的定义}{考点:零次幂}{考点:绝对值的性质}{考点:特殊角的三角函数值}
{类别:常考题}
{难度:1-最简单}
{题目}20．（4分）如图，在△ABC中，点P是AC上一点，连接BP，求作一点M，使得点M到AB和AC两边的距离相等，并且到点B和点P的距离相等．（不写作法，保留作图痕迹）
{解析}本题考查的是尺规作图.到角两边距离相等的点在角平分线上，到线段两端距离相等的点在线段垂直平分线上.因此，作的平分线和线段BP的垂直平分线，交点即为所作的点.
{答案}如图，点M即为所求，
（2）
{分值}4
{章节:[1-12-3]角的平分线的性质}
{考点:与角平分线有关的作图问题}{考点:垂直平分线常见辅助线的作法}
{类别:北京作图}
{难度:2-简单}
{题目}21．（6分）中国古代入民很早就在生产生活中发现了许多有趣的数学问题，其中《孙子算经》中有个问题，原文：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？
{解析}本题考查了一元一次方程的应用．解一元一次方程组应用题的步骤：审、设、列、解、答.
{答案}解：设共有x人，根据题意得：+2＝，去分母得：2x+12＝3x﹣27，解得：x＝39，∴＝15，答：共有39人，15辆车．
{分值}6
{章节:[1-3-3]实际问题与一元一次方程}
{考点:一元一次方程的应用（配套问题）}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}22．（6分）为了保证人们上下楼的安全，楼梯踏步的宽度和高度都要加以限制．中小学楼梯宽度的范围是260mm～300mm含（300mm），高度的范围是120mm～150mm（含150mm）．如图是某中学的楼梯扶手的截面示意图，测量结果如下：AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，各踏步互相平行，AB＝CD，AC＝900mm，∠ACD＝65°，试问该中学楼梯踏步的宽度和高度是否符合规定．（结果精确到1mm，参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423）
{解析}本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题．根据题意，作出合适的辅助线，然后根据锐角三角函数即可求得BM和DM的长，然后计算出该中学楼梯踏步的宽度和高度，再与规定的比较大小，即可解答本题．
{答案}解：连接BD，作DM⊥AB于点M，∵AB＝CD，AB，CD分别垂直平分踏步EF，GH，∴AB∥CD，AB＝CD，∴四边形ABCD是平行四边形，∴∠C＝∠ABD，AC＝BD，∵∠C＝65°，AC＝900，∴∠ABD＝65°，BD＝900，∴BM＝BD•cos65°＝900×0.423≈381，DM＝BD•sin65°＝900×0.906≈815，∵381÷3＝127，120＜127＜150，
∴该中学楼梯踏步的高度符合规定，∵815÷3≈272，260＜272＜300，
∴该中学楼梯踏步的宽度符合规定，由上可得，该中学楼梯踏步的宽度和高度都符合规定．
{分值}6
{章节:[1-28-2-1]特殊角}
{考点:解直角三角形的应用—测高测距离}
{类别:高度原创}{类别:常考题}
{难度:4-较高难度}
{题目}23．（6分）在甲乙两个不透明的口袋中，分别有大小、材质完全相同的小球，其中甲口袋中的小球上分别标有数字1，2，3，4，乙口袋中的小球上分别标有数字2，3，4，先从甲袋中任意摸出一个小球，记下数字为m，再从乙袋中摸出一个小球，记下数字为n．
（1）请用列表或画树状图的方法表示出所有（m，n）可能的结果；
（2）若m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小明获胜；若m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解时，则小利获胜，问他们两人谁获胜的概率大？
{解析}本题考查了列表法与树状图法、一元二次方差的解法以及概率公式. （1）首先根据题意画出树状图，然后由树状图可得所有可能的结果；（2）方程x2﹣5x+6＝0的解是2、3；游戏公平看游戏的概率大小.当游戏的概率相等是，游戏公平，反之，不公平.画树状图展示所有6种等可能的结果数，再找出数字之积能被2整除的结果数，然后根据概率公式求解．
{答案}解：（1）树状图如图所示：
（2）∵m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解，∴m＝2，n＝3，或m＝3，n＝2，
由树状图得：共有12个等可能的结果，m，n都是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，
m，n都不是方程x2﹣5x+6＝0的解的结果有2个，小明获胜的概率为＝，小利获胜的概率为＝，∴小明、小利获胜的概率一样大．
{分值}6
{章节:[1-25-2]用列举法求概率}
{考点:公式法}{考点:两步事件不放回}{考点:游戏的公平性}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题型:4-解答题}四、解答题（二）：本大题共5小题，共40分解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤
{题目}24．（7分）良好的饮食对学生的身体、智力发育和健康起到了极其重要的作用，荤菜中蛋白质、钙、磷及脂溶性维生素优于素食，而素食中不饱和脂肪酸、维生素和纤维素又优于荤食，只有荤食与素食适当搭配，才能强化初中生的身体素质．某校为了了解学生的体质健康状况，以便食堂为学生提供合理膳食，对本校七年级、八年级学生的体质健康状况进行了调查，过程如下：
收集数据：
从七、八年级两个年级中各抽取15名学生，进行了体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：
七年级：74 81 75 76 70 75 75 79 81 70 74 80 91 69 82
八年级：81 94 83 77 83 80 81 70 81 73 78 82 80 70 50
整理数据：
年级
x＜60
60≤x＜80
80≤x＜90
90≤x≤100
七年级
0
10
4
1
八年级
1
5
8
1
（说明：90分及以上为优秀，80～90分（不含90分）为良好，60～80分（不含80分）为及格，60分以下为不及格）
分析数据：
年级
平均数
中位数
众数
七年级
75
75
八年级
77.5
80
得出结论：
（1）根据上述数据，将表格补充完整；
（2）可以推断出 年级学生的体质健康状况更好一些，并说明理由；
（3）若七年级共有300名学生，请估计七年级体质健康成绩优秀的学生人数．
{解析}本题主要考查了统计表，众数，中位数以及方差的综合运用.（1）由平均数和众数的定义即可得出结果；（2）从平均数、中位数以及众数的角度分析，即可得到哪个年级学生的体质健康情况更好一些；（3）由七年级总人数乘以优秀人数所占比例，即可得出结果．
{答案}解：（1）七年级的平均数为＝76.8，
八年级的众数为81；
（2）八年级学生的体质健康状况更好一些；理由如下：
八年级学生的平均数、中位数以及众数均高于七年级，说明八年级学生的体质健康情况更好一些；故答案为：八；
（3）若七年级共有300名学生，则七年级体质健康成绩优秀的学生人数＝300×
＝20（人）．
{分值}7
{章节:[1-20-3]课题学习 体质健康测试中的数据分析}
{考点:中位数}{考点:众数}{考点:统计的应用问题}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}25．（7分）如图，一次函数y＝kx+b的图象与反比例函数y＝的图象相交于A（﹣1，n）、B（2，﹣1）两点，与y轴相交于点C．
（1）求一次函数与反比例函数的解析式；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求△ABD的面积；
（3）若M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝上的两点，当x1＜x2＜0时，比较y2与y1的大小关系．
{解析}本题考查反比例函数与一次函数的交点问题.（1）利用待定系数法即可解决求问题．
（2）根据对称性求出点D坐标，发现BD∥x轴，利用三角形的面积公式计算即可．
（3）观察图像即可解决问题．
{答案}解：（1）∵反比例函数y＝经过点B（2，﹣1），∴m＝﹣2，∵点A（﹣1，n）在y＝上，∴n＝2，∴A（﹣1，2），把A，B坐标代入y＝kx+b，则有，解得，∴一次函数的解析式为y＝﹣x+1，反比例函数的解析式为y＝﹣．
（2）∵直线y＝﹣x+1交y轴于C，∴C（0，1），∵D，C关于x轴对称，∴D（0，﹣1），∵B（2，﹣1），∴BD∥x轴，∴S△ABD＝×2×3＝3．
（3）∵M（x1，y1）、N（x2，y2）是反比例函数y＝﹣上的两点，且x1＜x2＜0，
∴y1＜y2．
{分值}7
{章节:[1-19-3]一次函数与方程、不等式}
{考点:反比例函数与一次函数的综合}{考点:坐标系中的轴对称}
{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}26．（8分）如图，在正方形ABCD中，点E是BC的中点，连接DE，过点A作AG⊥ED交DE于点F，交CD于点G．
（1）证明：△ADG≌△DCE；
（2）连接BF，证明：AB＝FB．
{解析}本题主要考查了正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.（1）依据正方形的性质以及垂线的定义，即可得到∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，∠DAG＝∠CDE，即可得出△ADG≌△DCE；（2）延长DE交AB的延长线于H，根据△DCE≌△HBE，即可得出B是AH的中点，进而得到AB＝FB．
{答案}解：（1）∵四边形ABCD是正方形，∴∠ADG＝∠C＝90°，AD＝DC，又∵AG⊥DE，∴∠DAG+∠ADF＝90°＝∠CDE+∠ADF，∴∠DAG＝∠CDE，
∴△ADG≌△DCE（ASA）；
（2）如图所示，延长DE交AB的延长线于H，∵E是BC的中点，
∴BE＝CE，又∵∠C＝∠HBE＝90°，∠DEC＝∠HEB，∴△DCE≌△HBE（ASA），∴BH＝DC＝AB，即B是AH的中点，又∵∠AFH＝90°，∴Rt△AFH中，BF＝AH＝AB．
{分值}8
{章节:[1-18-2-3] 正方形}
{考点:等边三角形的判定}{考点:正方形的性质}{考点:全等三角形的性质}
{类别:常考题}
{难度:2-简单}
{题目}27．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以BC为直径的⊙O交AB于点D，切线DE交AC于点E．
（1）求证：∠A＝∠ADE；
（2）若AD＝8，DE＝5，求BC的长．
{解析}本题考查了圆的切线的性质、勾股定理、等腰三角形的判定和性质等知识.（1）只要证明∠A+∠B＝90°，∠ADE+∠B＝90°即可解决问题；
（2）首先证明AC＝2DE＝10，在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，可得x2+62＝（x+8）2﹣102，解方程即可解决问题．
{答案}（1）证明：连接OD，
∵DE是切线，∴∠ODE＝90°，∴∠ADE+∠BDO＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OD＝OB，∴∠B＝∠BDO，∴∠ADE＝∠A．
（2）解：连接CD．∵∠ADE＝∠A，∴AE＝DE，
∵BC是⊙O的直径，∠ACB＝90°，∴EC是⊙O的切线，∴ED＝EC，∴AE＝EC，
∵DE＝5，∴AC＝2DE＝10，
在Rt△ADC中，DC＝6，设BD＝x，在Rt△BDC中，BC2＝x2+62，在Rt△ABC中，BC2＝（x+8）2﹣102，∴x2+62＝（x+8）2﹣102，
解得x＝，∴BC＝＝．
{分值}8
{章节:[1-24-2-2]直线和圆的位置关系}
{考点:勾股定理}{考点:切线的性质}{考点:切线的判定}
{类别:思想方法} }{类别:常考题}
{难度:3-中等难度}
{题目}28．（10分）如图，已知二次函数y＝x2+bx+c的图象与x轴交于点A（1，0）、B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求二次函数的解析式；
（2）若点P为抛物线上的一点，点F为对称轴上的一点，且以点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，求点P的坐标；
（3）点E是二次函数第四象限图象上一点，过点E作x轴的垂线，交直线BC于点D，求四边形AEBD面积的最大值及此时点E的坐标．
{解析}主要考查了二次函数的解析式的求法与二次函数与平行四边形的综合应用以及求四边形的面积最大值． （1）用交点式函数表达式，即可求解；（2）分当AB为平行四边形一条边、对角线，两种情况，分别求解即可；（3）利用S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE），即可求解．
{答案}解：（1）用交点式函数表达式得：y＝（x﹣1）（x﹣3）＝x2﹣4x+3；
故二次函数表达式为：y＝x2﹣4x+3；
（2）①当AB为平行四边形一条边时，如图1，
则AB＝PE＝2，
则点P坐标为（4，3），
当点P在对称轴左侧时，即点C的位置，点A、B、P、F为顶点的四边形为平行四边形，
故：点P（4，3）或（0，3）；
②当AB是四边形的对角线时，如图2，
AB中点坐标为（2，0）
设点P的横坐标为m，点F的横坐标为2，其中点坐标为：，
即：＝2，解得：m＝2，
故点P（2，﹣1）；
故：点P（4，3）或（0，3）或（2，﹣1）；
（3）直线BC的表达式为：y＝﹣x+3，
设点E坐标为（x，x2﹣4x+3），则点D（x，﹣x+3），
S四边形AEBD＝AB（yD﹣yE）＝﹣x+3﹣x2+4x﹣3＝﹣x2+3x，
∵﹣1＜0，故四边形AEBD面积有最大值，
当x＝，其最大值为，此时点E（，﹣）．
{分值}10
{章节:[1-22-2]二次函数与一元二次方程}
{考点:二次函数与平行四边形综合}{考点:二次函数的三种形式}{考点:两组对边分别平行的四边形是平行四边形}{考点:平行四边形角的性质}{考点:代数综合}
{类别:高度原创}{类别:常考题}{难度:4-较高难度}
