2010年内蒙古赤峰市中考数学试卷

2010年内蒙古赤峰市中考数学试卷

一、选择题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎1、（2010•南通）9的算术平方根是（　　）‎ ‎ A、±3 B、3‎ ‎ C、﹣3 D、‎‎3‎ 考点：算术平方根。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据算术平方根的定义：一个非负数的正的平方根，即为这个数的算术平方根．所以结果必须为正数，由此即可求出9的算术平方根．‎ 解答：解：∵32=9，‎ ‎∴9的算术平方根是3．‎ 故选B．‎ 点评：此题主要考查了算术平方根的定义，易错点正确区别算术平方根与平方根的定义．‎ ‎2、（2010•娄底）2010年3月，温家宝总理在2010年政府工作报告中指出，2009年在国际金融危机的强烈冲击下，我国国内生产总值仍达到33.5万亿元，比上年增长8.7%．33.5万亿元这个数据用科学记数法表示为（　　）‎ ‎ A、33.5×109元 B、33.5×1012元 ‎ C、3.35×1012元 D、3.35×1013元 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：33.5万亿=33 500 000 000 000=3.35×1013元．‎ 故选D．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎3、（2010•赤峰）下列平面图形中，不能镶嵌平面的图形是（　　）‎ ‎ A、任意一个三角形 B、任意一个四边形 ‎ C、任意一个正五边形 D、任意一个正六边形 考点：平面镶嵌（密铺）。‎ 分析：几何图形镶嵌成平面的关键是：围绕一点拼在一起的多边形的内角加在一起恰好组成一个周角．‎ 解答：解：∵用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案，‎ ‎∴A、B能镶嵌平面的图形；‎ C、任意一个正五边形的内角为108°，不能镶嵌平面的图形；‎ ‎∵用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案，‎ ‎∴D能镶嵌平面的图形．‎ 故选C．‎ 点评：用一般凸多边形镶嵌，用任意的同一种三角形或四边形能镶嵌成一个平面图案．因为三角形内角和为180°，用6个同一种三角形就可以在同一顶点镶嵌，而四边形的内角和为360°，用4个同一种四边形就可以在同一顶点处镶嵌．‎ 用一种正多边形镶嵌，只有正三角形，正四边形，正六边形三种正多边形能镶嵌成一个平面图案．‎ ‎4、（2010•赤峰）下列图形中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心对称图形；轴对称图形。‎ 分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念和各图的特点求解．‎ 解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ B、既是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；‎ C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；‎ D、不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．‎ 故选B．‎ 点评：掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．‎ 在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．‎ 如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形．这条直线叫做对称轴．‎ ‎5、（2010•赤峰）如图，⊙O的圆心O到直线l的距离为3cm，⊙O的半径为1cm，将直线l向右（垂直于l的方向）平移，使l与⊙O相切，则平移的距离为（　　）‎ ‎ A、1cm B、2cm ‎ C、4cm D、2cm或4cm 考点：直线与圆的位置关系；平移的性质。‎ 分析：直线l向右平移时，会与圆在左边相切，或者右边相切，有两种情况．‎ 解答：解：∵圆心O到直线l的距离为3，半径为1，‎ ‎∴当直线与圆在左边相切时，平移距离为：3﹣1=2，‎ 当直线与圆在右边相切时，平移距离为：3+1=4，‎ 故选D．‎ 点评：本题考查的是直线与圆的位置关系，解决此类问题可通过比较圆心到直线距离d与圆半径大小关系完成判定．‎ ‎6、（2010•赤峰）分式方程‎1‎x+1‎+‎1‎x﹣1‎=0的解是（　　）‎ ‎ A、x=1 B、x=﹣1‎ ‎ C、x=0 D、x=‎‎1‎‎2‎ 考点：解分式方程。‎ 专题：计算题。‎ 分析：本题考查解分式方程的能力，观察可得最简公分母是（x+1）（x﹣1），方程两边乘以最简公分母，可以把分式方程化为整式方程，再求解．‎ 解答：解：方程的两边同乘（x+1）（x﹣1），得 x﹣1+x+1=0，‎ 解得x=0．‎ 检验：把x=0代入（x+1）（x﹣1）=﹣1≠0．‎ ‎∴原方程的解为：x=0．‎ 故选C．‎ 点评：解分式方程首先把分式方程转化成整式方程，解分式方程一定注意要验根．‎ ‎7、（2010•赤峰）某一超市在“五•一”期间开展有奖促销活动，每买100元商品可参加抽奖一次，中奖的概率为‎1‎‎3‎．小张这期间在该超市买商品获得了三次抽奖机会，则小张（　　）‎ ‎ A、能中奖一次 B、能中奖两次 ‎ C、至少能中奖一次 D、中奖次数不能确定 考点：概率的意义。‎ 分析：由于中奖概率为‎1‎‎3‎，说明此事件为随机事件，即可能发生，也可能不发生．‎ 解答：解：根据随机事件的定义判定，中奖次数不能确定．故选D．‎ 点评：解答此题要明确概率和事件的关系：‎ ‎①P（A）=0，为不可能事件；‎ ‎②P（A）=1为必然事件；‎ ‎③0＜P（A）＜1为随机事件．‎ ‎8、（2010•赤峰）如图，有一矩形纸片ABCD，AB=6，AD=8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则CFCD的值是（　　）‎ ‎ A、1 B、‎‎1‎‎2‎ ‎ C、‎1‎‎3‎ D、‎‎1‎‎4‎ 考点：翻折变换（折叠问题）；矩形的性质；相似三角形的判定与性质。‎ 分析：观察第3个图，易知△ECF∽△ADF，欲求CF、CD的比值，必须先求出CE、AD的长；由折叠的性质知：AB=BE=6，那么BD=EC=2，即可得到EC、AD的长，由此得解．‎ 解答：解：由题意知：AB=BE=6，BD=AD﹣AB=2，AD=AB﹣BD=4；‎ ‎∵CE∥AB，‎ ‎∴△ECF∽△ADF，‎ 得CEAD‎=‎CFDF=‎1‎‎2‎，‎ 即DF=2CF，所以CF：CD=1：3；‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了图形的翻折变换、矩形的性质以及相似三角形的判定和性质，难度不大．‎ 二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）‎ ‎9、（2010•赤峰）（﹣2）2的相反数是 ．‎ 考点：有理数的乘方；相反数。‎ 分析：根据相反数的性质分析：只有符号不同的两个数互为相反数．‎ 解答：解：（﹣2）2=4，4的相反数是﹣4．‎ 点评：主要考查相反数性质：互为相反数的两个数相加等于0．‎ ‎10、（2010•赤峰）北京市从2010年7月4日起，开始上调最低工资标准，由原来的每月800元调至960元，则这次上调的百分比是 ．‎ 考点：有理数的混合运算。‎ 分析：列出算式，按照计算法则计算即可．‎ 解答：解：（960﹣800）÷800×100%‎ ‎=160÷800×100%‎ ‎=0.2×100%‎ ‎=20%．‎ 点评：上调的百分比=（现在的最低工资﹣原来的最低工资）÷原来的最低工资×100%．‎ ‎11、（2010•赤峰）如图是一个几何体的三视图，则这个几何体是 ．‎ 考点：由三视图判断几何体。‎ 分析：如图：该几何体的主视图与左视图均为矩形，俯视图为三角形，易得出该几何体的形状．‎ 解答：解：该几何体的主视图为矩形，左视图亦为矩形，俯视图是一个三角形，则可得出该几何体为三棱柱．‎ 点评：本题的难度简单，主要考查的是三视图的相关知识．‎ ‎12、（2010•赤峰）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB于点C，交⊙O于点D，点E在⊙O上，∠AED=25°，则∠OBA的度数是 ．‎ 考点：圆周角定理；垂径定理。‎ 分析：连接OA，由圆周角定理可得∠AOB=2∠AED，再由三角形内角和定理及等腰三角形的性质即可求出∠OBA的度数．‎ 解答：解：连接OA，‎ ‎∵∠AED=25°，‎ ‎∴∠AOD=50°，‎ ‎∵OA=OB，OC⊥AB，‎ ‎∴∠AOB=2∠AOD=2×50°=100°，‎ ‎∴∠OAB=∠OBA=‎180‎‎°‎‎﹣∠AOB‎2‎=‎180‎‎°‎‎﹣‎‎100‎‎°‎‎2‎=40°．‎ 点评：本题考查的是圆周角定理及等腰三角形的性质，解答此题的关键是连接OA，构造出等腰三角形及圆心角，沟通已知角与所求角的关系．‎ ‎13、（2010•赤峰）阳光中学去年在“教师节”期间举行了演讲比赛，有8名学生进入决赛，选手要通过抽签确定演讲题目．有A、B两组题目，每个题目4名选手演讲．第一个选手抽到的题目是A，则第二个选手抽到的题目也是A的概率是 ．‎ 考点：概率公式。‎ 分析：根据题意可知：还有7种情况可以选择，其中题目是A的还有3种情况，所以第二个选手抽到的题目也是A的概率是‎3‎‎7‎．‎ 解答：解：根据题意得：‎ 还有7种情况可以选择，‎ 其中题目是A的还有3种情况，‎ ‎∴第二个选手抽到的题目也是A的概率是‎3‎‎7‎．‎ 点评：找到所有的情况m，符合条件的情况n，则概率为nm．‎ ‎14、（2010•赤峰）已知反比例函数y=‎2‎x，当﹣4≤x≤﹣1时，y的最大值是 ．‎ 考点：反比例函数的性质。‎ 分析：对反比例函数y=‎2‎x，在﹣4≤x≤﹣1，y随x的增大而减小，则在x=﹣4时取得最大值．‎ 解答：解：当﹣4≤x≤﹣1时，反比例函数y=‎2‎x的图象随x的增大而减小，‎ 则y在x=﹣4时取得最大值，y=‎﹣‎‎1‎‎2‎．‎ 点评：本题考查了反比例函数的性质，重点是注意y=kx（k≠0）中k的取值．‎ ‎15、（2010•赤峰）小明同学要用纸板制作一个高4cm，底面周长是6πcm的圆锥形漏斗模型，若不计接缝和损耗，则她所需纸板的面积是 cm2．‎ 考点：圆锥的计算。‎ 分析：易得底面半径，利用勾股定理可得母线长，那么圆锥的侧面积=底面周长×母线长÷2．‎ 解答：解：底面周长是6πcm，则底面半径=3，由勾股定理知，母线长=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5，那么侧面面积=‎1‎‎2‎×6π×5=15πcm2．‎ 点评：本题利用了勾股定理，圆的周长公式和扇形面积公式求解．‎ ‎16、（2010•赤峰）观察式子：‎1‎‎1×3‎=‎1‎‎2‎（1﹣‎1‎‎3‎），‎1‎‎3×5‎=‎1‎‎2‎（‎1‎‎3‎﹣‎1‎‎5‎），‎1‎‎5×7‎=‎1‎‎2‎（‎1‎‎5‎﹣‎1‎‎7‎），…．由此计算：‎1‎‎1×3‎+‎1‎‎3×5‎+‎1‎‎5×7‎+…+‎1‎‎2009×2011‎= ．‎ 考点：分式的加减法。‎ 专题：规律型。‎ 分析：根据所给式子，发现规律：‎1‎n（n+2）‎=‎1‎‎2‎（‎1‎n‎﹣‎‎1‎n+2‎），然后运用抵消的方法进行计算．‎ 解答：解：原式=‎1‎‎2‎（1﹣‎1‎‎3‎+‎1‎‎3‎﹣‎1‎‎5‎+…+‎1‎‎2009‎﹣‎1‎‎2011‎）=‎1‎‎2‎×（1﹣‎1‎‎2011‎）=‎1‎‎2‎×‎2010‎‎2011‎=‎1005‎‎2011‎．‎ 点评：计算此类题的时候，要善于找到拆分的规律，然后运用抵消的方法简便计算．‎ 三、解答题（共9小题，满分102分）‎ ‎17、（2010•赤峰）（1）计算：‎∣﹣2∣﹣4sin45°﹣（‎1‎‎2‎‎）‎‎﹣1‎+2‎2‎﹣（‎3‎﹣‎‎2‎‎）‎‎0‎；‎ ‎（2）解不等式组‎&2x﹣1＞x+6‎‎&x+2＞4x﹣3‎，并把解集在数轴上表示出来．‎ 考点：实数的运算；在数轴上表示不等式的解集；解一元一次不等式组。‎ 分析：（1）本题涉及零指数幂、负指数、特殊角的三角函数值、绝对值四个考点．在计算时，需要针对每个考点分别进行计算，然后根据实数的运算法则求得计算结果；‎ ‎（2）首先分别解每一个不等式，然后由“大大小小找不到”确定不等式组的解集即可．‎ 解答：解：（1）原式=2﹣4×‎2‎‎2‎﹣2+2‎2‎﹣1=﹣1；‎ ‎（2）解2x﹣1＞x+6得，x＞7，‎ 解x+2＞4x﹣3得，x＜‎5‎‎3‎，‎ ‎∴不等式组的解集为无解．‎ 点评：本题主要考查了实数的综合运算能力，是各地中考题中常见的计算题型．解决此类题目的关键是熟练掌握零指数幂、特殊角的三角函数等考点的运算．还考查了不等式组的解法．‎ ‎18、（2010•赤峰）今年青海玉树大地震后，赤峰市某中学开展了“我为灾区献爱心”活动，活动结束后，九年级一班的团支部书记将全班50名同学捐款进行了统计，并绘制成下面的统计图．‎ ‎（1）写出这50名同学捐款的众数和中位数；‎ ‎（2）求这50名同学捐款的平均数；‎ ‎（3）该校共有学生1600人，请你根据该班的捐款情况，估计这个中学的捐款总数．‎ 考点：条形统计图；用样本估计总体；算术平均数；中位数；众数。‎ 专题：图表型。‎ 分析：（1）根据中位数和众数的定义解答；‎ ‎（2）根据平均数的公式计算求解；‎ ‎（3）用总数乘以捐款平均数即可得到捐款总数．‎ 解答：解：（1）数据总数为50，所以中位数是第25、26位数的平均数，即（20+20）÷2=20，‎ 数据20出现了19次，出现次数最多，所以众数是20；‎ ‎（2）50名同学捐款的平均数=（6×5+15×10+19×20+8×30+2×50）÷50=18（元）；‎ ‎（3）估计这个中学的捐款总数=1600×18=28800元．‎ 点评：本题考查的是条形统计图的综合运用．读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．除此之外，本题也考查了平均数、中位数、众数的认识．‎ ‎19、（2010•赤峰）在▱ABCD中，AC是一条对角线，∠B=∠CAD，延长BC至点E，使CE=BC，连接DE．‎ ‎（1）求证：四边形ABED是等腰梯形；‎ ‎（2）若AB=AD=4，求梯形ABED的面积．‎ 考点：等腰梯形的判定。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）要证ABED是等腰梯形，只需证AB=DE，通过△ABC≌△DCE可证．‎ ‎（2）代入梯形面积公式，直接进行求解．‎ 解答：（1）证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，‎ ‎∴∠CAD=∠ACB．‎ ‎∵∠B=∠CAD，‎ ‎∴∠ACB=∠B．‎ ‎∴AB=AC．‎ ‎∵AB∥CD，‎ ‎∴∠B=∠DCE．‎ 又∵BC=CE，‎ ‎∴△ABC≌△DCE（SAS）．‎ ‎∴AC=DE=AB．‎ ‎∵AD∥BE，‎ ‎∴为等腰梯形．‎ ‎（2）解：∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴AD=BC=CE=4．‎ ‎∴△ABC为等边三角形．‎ ‎∴梯形高=三角形高=2‎3‎．‎ ‎∴S=（4+8）×2‎3‎×‎1‎‎2‎=12‎3‎．‎ 点评：命题意图：①检验学生对等腰梯形判定方法的掌握情况，②对梯形面积公式的考查．‎ ‎20、（2010•赤峰）如图，AB是⊙O的直径，BC是一条弦，连接OC并延长至点P，使PC=BC，∠BOC=60°．‎ ‎（1）求证：PB是⊙O的切线；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，且AB、PB的长是方程x2+bx+c=0的两根，求b、c的值．‎ 考点：切线的判定；根与系数的关系。‎ 专题：计算题；证明题。‎ 分析：（1）由PC=BC，易得∠P=∠CBP，又由于OB=OC，∠BOC=60°，可证△BOC实等边三角形，于是∠OCB=∠BOC=60°；利用三角形外角的性质，易求∠P=∠CBP=30°，即∠P+∠BOC=90°，再利用三角形内角和定理可求∠OBP=90°，即BP是⊙O的切线；‎ ‎（2）由OB=1，∠P=30°，易求AB=2，BP=‎3‎，再利用根与系数的关系可得：AB+BP=﹣b，AB•BP=c，即可求b、c．‎ 解答：证明：‎ ‎（1）∵PC=BC，‎ ‎∴∠P=∠CBP，‎ 又∵OB=OC，∠BOC=60°，‎ ‎∴△BOC是等边三角形，‎ ‎∴∠OCB=∠BOC=60°，‎ 又∠OCB=∠P+∠PBC，‎ ‎∴∠P=∠CBP=30°，‎ 在△BOP中，∠P=30°，∠BOP=60°，‎ ‎∴∠OBP=90°，‎ ‎∴BP是⊙O的切线；‎ ‎（2）∵OB=1，∠P=30°，‎ ‎∴AB=2，BP=‎3‎，‎ 又∵AB、BP是方程x2+bx+c=0的两根，‎ ‎∴AB+BP=﹣b，AB•BP=c，‎ ‎∴b=﹣2﹣‎3‎，c=2‎3‎．‎ 点评：本题利用了等边对等角、等边三角形的判定和性质、切线的判定、三角形外角性质、根与系数的关系．‎ ‎21、（2010•‎ 赤峰）从甲地到乙地的路有一段平路与一段上坡路．如果骑自行车保持平路每小时行15km，上坡路每小时行10km，下坡路每小时行18km，那么从甲地到乙地需29min，从乙地到甲地需25min．从甲地到乙地的路程是多少？‎ 考点：一元一次方程的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：本题首先依据题意得出等量关系即甲地到乙地的路程是不变的，进而列出方程为10（‎29‎‎60‎‎﹣10x）=18（‎25‎‎60‎‎﹣x），从而解出方程并作答．‎ 解答：解：设平路所用时间为x小时，‎ ‎29分=‎29‎‎60‎小时，25分=‎25‎‎60‎，‎ 则依据题意得：10（‎29‎‎60‎‎﹣10x）=18（‎25‎‎60‎‎﹣x），‎ 解得：x=‎1‎‎3‎，‎ 则甲地到乙地的路程是15×‎1‎‎3‎+10×（‎29‎‎60‎‎﹣‎‎1‎‎3‎）=6.5km，‎ 答：从甲地到乙地的路程是6.5km．‎ 点评：本题主要考查一元一次方程的应用，解题的关键是熟练掌握列方程解应用题的一般步骤，即①根据题意找出等量关系②列出方程③解出方程④作答．‎ ‎22、（2010•赤峰）两块完全相同的三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）如图①放置在同一平面上（∠C=∠C1=90°，∠ABC=∠A1B1C1=60°），斜边重合．若三角板Ⅱ不动，三角板Ⅰ在三角板Ⅱ所在的平面上向右滑动，图②是滑动过程中的一个位置．‎ ‎（1）在图②中，连接BC1、B1C，求证：△A1BC1≌△AB1C；‎ ‎（2）三角板Ⅰ滑到什么位置（点B1落在AB边的什么位置）时，四边形BCB1C1是菱形？说明理由．‎ 考点：菱形的判定；全等三角形的判定。‎ 专题：证明题；探究型。‎ 分析：利用全等三角形的性质得出一些条件，然后再进行证明．‎ 解答：（1）证明：∵三角板Ⅰ（△ABC）和Ⅱ（△A1B1C1）是两块完全相同的三角板，‎ ‎∴AC=A1C1AB=A1B1∠A=∠A1‎ ‎∴在图②中A1B=AB1‎ ‎∴△A1BC1≌△AB1C．‎ ‎（2）点B1落在AB边的中点．‎ 如图②所示，由已知条件知BC=B1C1，BC∥B1C1‎ ‎∴四边形BCB1C1是平行四边形．‎ 要使四边形BCB1C1是菱形，‎ 则BC=CB1∵∠ABC=∠A1B1C1=60°，‎ ‎∴△BCB1为等边三角形．‎ ‎∴BB1=B1C，‎ ‎∴点B1落在AB边的中点．‎ 点评：（1）灵活把握题中隐含的条件是解题的关键．‎ ‎（2）菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：‎ ‎①定义；‎ ‎②四边相等；‎ ‎③对角线互相垂直平分．‎ ‎23、（2010•赤峰）张老师于2008年2月份在赤峰某县城买了一套楼房，当时（即2月份）在农行借了9万元住房贷款，贷款期限为6年，从开始贷款的下一个月起逐月偿还，贷款月利率是0.5%（每月还款数额=平均每月应还的贷款本金数额+月利息，月利息=上月所剩贷款本金数额×月利率）．‎ ‎（1）求张老师借款后第一个月的还款数额．‎ ‎（2）假设贷款月利率不变，请写出张老师借款后第n（n是正整数）个月还款数额p与n之间的函数关系式（不必化简）．‎ ‎（3）在（2）的条件下，求张老师2010年7月份的还款数额．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 分析：（1）求张老师借款后第一个月的还款数额，即每期的数额加上第一期的月利息；‎ ‎（2）分别求出第n期应还本金数和上月所生贷款本金数额的值便可求出需要的函数关系式；‎ ‎（3）通过计算可知2010年7月为第17期，将n=17代入所求出的函数关系式即可得出答案．‎ 解答：解：（1）90000÷（6×12）+90000×0.5%=1700（元）‎ 答：张老师借款后第一个月的还款数额为1700元．‎ ‎（2）p=‎‎90000‎‎12×6‎‎+（90000﹣‎90000‎‎12×6‎n）×0.5%‎ 即p=1250+（90000﹣1250n）×0.5%；‎ ‎（3）将n=17代入p=1250+（90000﹣1250n）×0.5%‎ 解得p=1593.75‎ 即张老师2010年7月份的还款数额1593.75元．‎ 点评：利用一次函数性质，解决实际问题，把复杂的实际问题转换为数学问题．‎ ‎24、（2010•赤峰）关于三角函数有如下的公式：‎ sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ①‎ cos（α+β）=cosαcosβ﹣sinαsinβ②‎ tan（α+β）=tanα+tanβ‎1﹣tanα•tanβ③‎ 利用这些公式可将某些不是特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数来求值，如：‎ tan105°=tan（45°+60°）=tan45°+tan60°‎‎1﹣tan45°•tan60°‎=‎1+‎‎3‎‎1﹣1•‎‎3‎=‎（1+‎3‎）（1+‎3‎）‎‎（1﹣‎3‎）（1+‎3‎）‎=﹣（2+‎3‎）．‎ 根据上面的知识，你可以选择适当的公式解决下面的实际问题：‎ 如图，直升飞机在一建筑物CD上方A点处测得建筑物顶端D点的俯角α=60°，底端C点的俯角β=75°，此时直升飞机与建筑物CD的水平距离BC为42m，求建筑物CD的高．‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 专题：阅读型。‎ 分析：先由俯角β的正切值及BC求得AB，再由俯角α的正切值及BC求得A、D两点垂直距离．CD的长由二者相减即可求得．‎ 解答：解：由于α=60°，β=75°，BC=42，‎ 则AB=BC•tanβ=42tan75°=42•tan45°+tan30°‎‎1﹣tan45°•tan30°‎=42•‎1+‎‎3‎‎3‎‎1﹣‎‎3‎‎3‎=42（‎3‎‎+2‎），‎ A、D垂直距离为BC•tanα=42‎3‎，‎ ‎∴CD=AB﹣42‎3‎=84（米）．‎ 答：建筑物CD的高为84米．‎ 点评：本题考查俯角的定义，要求学生能借助俯角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎25、（2010•赤峰）已知抛物线y=ax2+bx+c的顶点为A（3，﹣3），与x轴的一个交点为B（1，0）．‎ ‎（1）求抛物线的解析式．‎ ‎（2）P是y轴上一个动点，求使P到A、B两点的距离之和最小的点P0的坐标．‎ ‎（3）设抛物线与x轴的另一个交点为C．在抛物线上是否存在点M，使得△MBC的面积等于以点A、P0、B、C为顶点的四边形面积的三分之一？若存在，请求出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．‎ 考点：二次函数综合题。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）已知了抛物线的顶点坐标，可将其解析式设为顶点坐标式，然后将B点坐标代入其中，即可求得该抛物线的解析式．‎ ‎（2）取B点关于y轴的对称点B′，其坐标易得，那么直线AB′与y轴的交点即为所求的P0点，可先求出直线AB′的解析式，进而可求出P0的坐标．‎ ‎（3）根据抛物线的解析式，易求得C点坐标，进而可由△B′AC、△B′P0B的面积差求出四边形AP0BC的面积，进而可得到△BCM的面积，BC的长已求得，根据其面积可求出M点的纵坐标绝对值，将其代入抛物线的解析式中即可求出M点的坐标．‎ 解答：解：（1）设抛物线的解析式为：y=a（x﹣3）2﹣3，依题意有：‎ a（1﹣3）2﹣3=0，a=‎3‎‎4‎，‎ ‎∴该抛物线的解析式为：y=‎3‎‎4‎（x﹣3）2﹣3=‎3‎‎4‎x2﹣‎9‎‎2‎x+‎15‎‎4‎．‎ ‎（2）设B点关于y轴的对称点为B′，则B′（﹣1，0）；‎ 设直线AB′的解析式为y=kx+b，则有：‎ ‎&3k+b=﹣3‎‎&﹣k+b=0‎‎，‎ 解得‎&k=﹣‎‎3‎‎4‎‎&b=﹣‎‎3‎‎4‎；‎ ‎∴y=﹣‎3‎‎4‎x﹣‎3‎‎4‎；‎ 故P0（0，﹣‎3‎‎4‎）．‎ ‎（3）由（1）的抛物线知：‎ y=‎3‎‎4‎x2﹣‎9‎‎2‎x+‎15‎‎4‎=‎3‎‎4‎（x﹣1）（x﹣5），‎ 故C（5，0）；‎ ‎∵S四边形AP0BC=S△AB′C﹣S△BB′P0=‎1‎‎2‎×6×3﹣‎1‎‎2‎×2×‎3‎‎4‎=‎33‎‎4‎；‎ ‎∴S△BCM=‎1‎‎3‎S四边形AP0BC=‎11‎‎4‎；‎ 易知BC=4，则|yM|=‎11‎‎8‎；‎ 当M的纵坐标为‎11‎‎8‎时，‎3‎‎4‎x2﹣‎9‎‎2‎x+‎15‎‎4‎=‎11‎‎8‎，‎ 解得x=3+‎210‎‎6‎，x=3﹣‎210‎‎6‎；‎ 当M的纵坐标为﹣‎11‎‎8‎时，‎3‎‎4‎x2﹣‎9‎‎2‎x+‎15‎‎4‎=﹣‎11‎‎8‎，‎ 解得x=3+‎78‎‎6‎，x=3﹣‎78‎‎6‎；‎ 故符合条件的M点有四个，它们的坐标分别是：‎ M1（3+‎210‎‎6‎，‎11‎‎8‎），M2（3﹣‎210‎‎6‎，‎11‎‎8‎），M3（3+‎78‎‎6‎，﹣‎11‎‎8‎），M4（3﹣‎78‎‎6‎，﹣‎11‎‎8‎）．‎ 点评：此题考查的知识点有：二次函数解析式的确定、平面展开﹣最短路径问题、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法等，综合性强，难度中上．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ zhangchao；huangling；lanyuemeng；zhehe；wangcen；lifeng；答案；bjy；wdyzwbf；py168；lanchong；xiawei；MMCH；lbz；HJJ；xinruozai；zcx；zhangCF；CJX；csiya。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日