2019年柳州市初中学业水平考试数学试题

2019年柳州市初中学业水平考试数学试题

‎2019年柳州市初中学业水平考试与高中阶段学校招生考试 时间：120分钟　满分：120分 第Ⅰ卷(选择题　共36分)‎ 一、选择题(共12小题，每小题3分，计36分．每小题只有一个选项是符合题意的)‎ ‎1. 据CCTV新闻报道，今年5月我国新能源汽车销量达到104400辆，该销量用科学记数法表示为(　　)　　　 ‎ A. 0.1044×106辆 B. 1.044×106辆 C. 1.044×105辆 D. 10.44×104辆 ‎2. 如图，这是一个机械零部件，该零部件的左视图是(　　)‎ 第2题图 ‎3. 下列四个标志是关于安全警示的标志，在这些标志中，是轴对称图形的是(　　)‎ ‎4. 计算：x(x2－1)＝(　　)‎ A. x3－1 B. x3－x C. x3＋x D. x2－x ‎5. 反比例函数y＝的图象位于(　　)‎ A. 第一、三象限 B. 第二、三象限 C. 第一、二象限 D. 第二、四象限 ‎6. 如图，A，B，C，D是⊙O上的点，则图中与∠A相等的角是(　　)‎ A. ∠B B. ∠C C. ∠DEB D. ∠D 第6题图 　第7题图 ‎7. 如图，在▱ABCD中，全等三角形的对数共有(　　)‎ A. 2对 B. 3对 C. 4对 D. 5对 阅读【资料】‎ 完成第8、9题．‎ ‎【资料】：如图，这是根据公开资料整理绘制而成的2004－2018年中美两国国内生产总值(GDP)的直方图及发展趋势线．(注：趋势线由Excel系统根据数据自动生成，趋势线中的y表示GDP，x表示年数)‎ ‎2004－2018年中美两国国内生产总值(GDP，单位：万亿美元)直方图及发展趋势线 ‎8. 依据【资料】中所提供的信息，2016—2018年中国GDP的平均值大约是(　　)‎ A. 12.30 B. 14.19 C. 19.57 D. 19.71‎ ‎9. 依据【资料】中所提供的信息，可以推算出中国的GDP要超过美国，至少要到(　　)‎ A. 2052年 B. 2038年 C. 2037年 D. 2034年 ‎10. 已知A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间(小时)，y表示余下的路程(千米)，则y关于x的函数解析式是(　　)‎ A. y＝4x(x≥0) B. y＝4x－3(x≥) C. y＝3－4x(x≥0) D. y＝3－4x(0≤x≤)‎ ‎11. 小李与小陈做猜拳游戏，规定每人每次至少要出一个手指，两人出拳的手指数之和为偶数时小李获胜，那么，小李获胜的概率为(　　)‎ A. B. C. D. 第11题图 ‎12. 定义：形如a＋bi的数称为复数(其中a和b为实数，i为虚数单位，规定i2＝－1)，a称为复数的实部，b称为复数的虚部．复数可以进行四则运算，运算的结果还是一个复数．例如(1＋3i)2＝12＋2×1×3i＋(3i)2＝1＋6i＋9i2＝1＋6i－9＝－8＋6i，因此，(1＋3i)2的实部是－8，虚部是6.已知复数(3－mi)2的虚部是12，则实部是(　　)‎ A. －6 B. 6 C. 5 D. －5‎ 第Ⅱ卷(非选择题　共84分)‎ 二、填空题(共6小题，每小题3分，计18分)‎ ‎13. 计算：7x－4x＝________．‎ ‎14. 如图，若AB∥CD，则在图中所标注的角中，一定相等的角是________．‎ 第14题图 ‎15. 柳州市某校的生物兴趣小组在老师的指导下进行了多项有意义的生物研究并取得成果．下面是这个兴趣小组在相同的实验条件下，对某植物种子发芽率进行研究时所得到的数据：‎ 种子数n ‎30‎ ‎75‎ ‎130‎ ‎210‎ ‎480‎ ‎856‎ ‎1250‎ ‎2300‎ 发芽数m ‎28‎ ‎72‎ ‎125‎ ‎200‎ ‎457‎ ‎814‎ ‎1187‎ ‎2185‎ 发芽频率 ‎0.9333‎ ‎0.9600‎ ‎0.9615‎ ‎0.9524‎ ‎0.9521‎ ‎0.9509‎ ‎0.9496‎ ‎0.9500‎ 依据上面的数据可以估计，这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是________(结果精确到0.01)．‎ 16. 在半径为5的圆形纸片上裁出一个边长最大的正方形纸片，则这个正方形纸片的边长应为________．‎ ‎17. 如图，在△ABC中，sinB＝，tanC＝，AB＝3，则AC的长为________．‎ 第17题图 ‎18. 已知一组数据共有5个数，它们的方差是0.4，众数、中位数和平均数都是8，最大的数是9，则最小的数是________．‎ 三、解答题(共8小题，计66分．解答时应写出过程)‎ ‎19. (本题满分6分)‎ 计算：22＋|－3|－＋π0.‎ ‎20. (本题满分6分)‎ 已知：∠AOB.‎ 求作：∠A′O′B′，使得∠A′O′B′＝∠AOB.‎ 作法：‎ ‎①以O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D；‎ ‎②画一条射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；‎ ‎③以点C′为圆心，CD长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点D′；‎ ‎④过点D′画射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB.‎ 根据上面的作法，完成以下问题：‎ ‎(1)使用直尺和圆规，作出∠A′O′B′(请保留作图痕迹)；‎ ‎(2)完成下面证明∠A′O′B′＝∠AOB的过程(注：括号里填写推理的依据)．‎ 证明：由作法可知O′C′＝OC，O′D′＝OD，D′C′＝________．‎ ‎∴△C′O′D′≌△COD.(________)‎ ‎∴∠A′O′B′＝∠AOB.(________)‎ 第20题图 ‎21. (本题满分8分)‎ 据公开报道，2017年全国教育经费总投入为42557亿元，比上年增长9.43%，其中投入在各学段的经费占比(即所占比例)如图，根据图中提供的信息解答下列问题．‎ ‎(1)在2017年全国教育经费总投入中，义务教育段的经费总投入应该是多少亿元？‎ ‎(2)2016年全国教育经费总投入约为多少亿元？(精确到0.1)‎ 第21题图 ‎22. (本题满分8分)‎ 平行四边形的其中一个判定定理是：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．请你证明这个判定定理．‎ 已知：如图，在四边形ABCD中，AB＝CD，AD＝BC.‎ 求证：四边形ABCD是平行四边形．‎ 第22题图 ‎23. (本题满分8分)‎ 小张去文具店购买作业本，作业本有大、小两种规格，大本作业本的单价比小本作业本贵0.3元．已知用8元购买大本作业本的数量与用5元购买小本作业本的数量相同．‎ ‎(1)求大本作业本与小本作业本每本各多少元？‎ ‎(2)因作业需要，小张要再购买一些作业本，购买小本作业本的数量是大本作业本数量的2倍，总费用不超过15元．则大本作业本最多能购买多少本？‎ ‎24. (本题满分10分)‎ 如图，直线AB与x轴交于点A(1，0)，与y轴交于点B(0，2)，将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，反比例函数y＝(k≠0，x>0)的图象经过点C.‎ ‎(1)求直线AB和反比例函数y＝(k≠0，x>0)的解析式；‎ ‎(2)已知点P是反比例函数y＝(k≠0，x>0)图象上的一个动点，求点P到直线AB距离最短时的坐标．‎ 第24题图 ‎25. (本题满分10分)‎ 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点F是⊙O上一点，且＝，连接FB，FD，FD交AB于点N.‎ ‎(1)若AE＝1，CD＝6，求⊙O的半径； ‎ ‎(2)求证：△BNF为等腰三角形；‎ ‎(3)连接FC并延长，交BA的延长线于点P，过点D作⊙O的切线，交BA的延长线于点M.求证：ON·OP＝OE·OM.‎ 第25题图 ‎26. (本题满分10分)‎ 如图，直线y＝x－3交x轴于点A，交y轴于点C，点B的坐标为(1，0)，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过A，B，C三点，抛物线的顶点为点D，对称轴与x轴的交点为点E，点E关于原点的对称点为F，连接CE，以点F为圆心，CE的长为半径作圆，点P为直线y＝x－3上的一个动点．‎ ‎(1)求抛物线的解析式；‎ ‎(2)求△BDP周长的最小值；‎ ‎(3)若动点P与点C不重合，点Q为⊙F上的任意一点，当PQ的最大值等于CE时，过P，Q两点的直线与抛物线交于M，N两点(点M在点N的左侧)，求四边形ABMN的面积．‎ 第26题图 一、选择题 ‎1. C　【解析】将一个大于10的数用科学记数法表示，其形式为a×10n，其中1≤a＜10，n为原数整数位数减1.故104400＝1.044×105.‎ ‎2. C　【解析】从左面看到的图形是一个矩形，里面有一个圆，必须C符合．‎ ‎3. D　【解析】A、B、C、D四个选项中只有D项的图形沿着一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，故选D.‎ ‎4. B　【解析】x(x2－1)＝x3－x.‎ ‎5. A　【解析】反比例函数y＝，k＝2>0，所以其图象位于第一、三象限，故选A.‎ ‎6. D　【解析】在⊙O中，∵∠A与∠D都是所对的圆周角，∴∠A＝∠D.‎ ‎7. C　【解析】△ABD≌△CDB，△ADO≌△CBO，△AOB≌△COD，△ABC≌△CDA，共4对全等三角形．‎ ‎8. A　【解析】依据【资料】中所提供的信息，2016、2017、2018年中国GDP的值分别为11.19万亿美元、12.24万亿美元、13.46万亿美元，2016－2018年中国GDP的平均值为≈12.30万亿美元．‎ ‎9. B　【解析】依据【资料】中所提供的信息，要使中国的GDP超过美国，则0.468＋0.86x＞11.778＋0.53x，解得x> ≈34.3，要使中国的GDP超过美国至少要到2003＋35＝2038年．‎ ‎10. D　【解析】∵A、B两地相距3千米，小黄从A地到B地，平均速度为4千米/小时，若用x表示行走的时间(小时)，y表示余下的路程(千米)，‎ ‎∴y＝3－4x，其中，解得0≤x≤.‎ ‎11. A　【解析】画树状图如解图：‎ 第11题解图 共有25种情况，其中和为偶数的有13种，P(小李获胜)＝.‎ 12. ‎ C　【解析】根据复数及其各部的名称、四则运算的定义，(3－mi)2＝9－m2－6mi，∵(3－mi)2的虚部是12，‎ ‎∴－6m＝12，解得m＝－2. ∴(3－mi)2的实部为9－m2＝9－4＝5.‎ 二、填空题 ‎13. 3x　【解析】7x－4x＝(7－4)x＝3x.‎ ‎14. ∠1＝∠3　【解析】∵AB∥CD，∴∠1＝∠3(两直线平行，同位角相等)．‎ ‎15. 0.95　【解析】经大量实验，频率稳定在0.95，所以这种植物种子在该实验条件下发芽的概率约是0.95.‎ ‎16. 5　【解析】如解图，四边形ABCD为正方形，BD为⊙O的直径，OA为半径，则OA＝OB＝5，OA⊥OB，∴AB＝ ＝＝5.‎ 第16题解图 ‎17. 　【解析】如解图，过点A作AD⊥BC交BC于点D.‎ ‎∵AB＝3，sinB＝＝，∴＝，即AD＝1. ∵tanC＝＝，∴＝，解得DC＝.∴AC＝＝＝.‎ 第17题解图 ‎18. 7　【解析】剩下的两个数的和为5×8－9－8－8＝15，其中一个设为x，则另一个数为15－x，则[(8－8)2＋(8－8)2＋(9－8)2＋(x－8)2＋(15－x－8)2]＝0.4，解得x＝7或8.当x＝7时，另一个数为15－7＝8；当x＝8时，另一个数为15－8＝7，所以这5个数为7，8，8，8，9，中位数是8，符合题意，所以最小的数是7.‎ 三、解答题 ‎19. 解：原式＝4＋3－2＋1(4分)‎ ‎ ＝6.(6分)‎ ‎20. 解：(1)如解图所示，∠A′O′B′即为所求；‎ ‎　　‎ 第20题解图 (3分)‎ ‎(2)DC；(4分)‎ ‎ SSS；(5分)‎ ‎ 全等三角形的对应角相等．(6分)‎ ‎21. 解：(1)42557×45%＝19150.65(亿元)，(3分)‎ 答：义务教育段的经费投入应该是19150.65亿元；(4分)‎ ‎(2)≈38889.7(亿元)，(7分)‎ 答：2016年全国教育经费总投入约为38889.7亿元 .(8分)‎ ‎22. 证明：如解图，连接BD，‎ 在△ABD与△CDB中，‎ ‎∴△ABD≌△CDB(SSS)．(4分)‎ ‎∴∠1＝∠2，∠3＝∠4.(6分)‎ ‎∴AB∥CD，AD∥BC.‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形．(8分)‎ 第22题解图 ‎23. 解：(1)设大本作业本每本x元，小本作业本每本(x－0.3)元，‎ 则有＝，解得x＝0.8，(2分)‎ 经检验x＝0.8是分式方程的根，(3分)‎ 答：大本作业本每本0.8元，小本作业本每本0.8－0.3＝0.5元；(4分)‎ ‎(2)设大本作业本最多能购买x本，则小本作业本的数量是2x本，‎ 则有0.5×2x＋0.8x≤15，(6分)‎ 解得x≤.(7分)‎ 答：大本作业本最多能购买8本．(8分)‎ ‎24. 解：(1)【思维教练】过点C作CD⊥x轴于点D，要求反比例函数的解析式，只需知道其上的一点的坐标，由图形可知，只需求出点C的坐标，要求点C的坐标只需求出AD，CD的长，而这可由△BAO≌△ACD证明得到；‎ 如解图，过点C作CD⊥x轴于点D，‎ ‎∴∠CAD＋∠ACD＝90°.‎ ‎∵将线段AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AC，‎ ‎∴AB＝AC，AB⊥AC.‎ ‎∴∠BAO＋∠CAD＝90°，‎ ‎∴∠BAO＝∠ACD.‎ 又∵∠BOA＝∠ADC＝90°，‎ ‎∴△BAO≌△ACD(AAS)(2分)‎ ‎∴AD＝OB，OA＝CD ‎∵A(1，0)，B(0，2)，‎ ‎∴OB＝2，OA＝1，‎ ‎∴AD＝OB＝2, CD＝OA＝1.‎ ‎∴C(3，1)．(3分)‎ ‎∵点C在反比例函数y＝(k≠0，x>0)图象上，‎ ‎∴1＝，解得k＝3.‎ ‎∴反比例函数的解析式为y＝(x>0)．(4分)‎ ‎∵点B(0，2)，‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝kx＋2；(5分)‎ ‎∵点A(1，0)在直线AB上，‎ ‎∴k＋2＝0，即k＝－2.‎ ‎∴直线AB的解析式为y＝－2x＋2；(6分)‎ 第24题解图 ‎(2)【思维教练】要在反比例函数图象上找一点，使其到已知直线的距离最短，这个点在平行于已知直线的直线上，当距离最短时，这条直线与反比例函数只有一个交点；‎ 设过点P与AB平行的直线的解析式为y＝－2x＋b，‎ ‎∵当它与反比例函数只有一个交点时，此交点到AB的距离最短．‎ ‎∴方程－2x＋b＝(x>0)，只有一个实数根且b>0，(7分)‎ 方程－2x＋b＝可化为2x2－bx＋3＝0，‎ 则b2－4×2×3＝0，解得b＝2(负值已舍去)，(8分)‎ 此时－2x＋2＝(x>0)，有唯一解，x＝，∴y＝，(9分)‎ ‎∴点P的坐标为(，)时到AB的距离最短．(10分)‎ ‎25. (1)解：如解图①，连接OC，设⊙O的半径为r，‎ ‎∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，‎ ‎∴直线AB垂直平分CD.‎ ‎∵CD＝6，∴CE＝3.‎ ‎∵AE＝1，∴OE＝r－1.‎ 在Rt△CEO中，∵OE2＋CE2＝OC2，‎ ‎∴(r－1)2＋32＝r2，解得r＝5；‎ ‎∴⊙O的半径为5；(3分)‎ 第25题解图①‎ ‎(2)证明：如解图②，连接AF，‎ ‎∵AB为⊙O直径，‎ ‎∴∠3＋∠1＝90°.‎ ‎∵弦CD⊥AB，‎ ‎∴＝，∠CDF＋∠DNE＝90°.(4分)‎ 又∵＝，‎ ‎∴＝，‎ ‎∴∠3＝∠CDF，∴∠CDF＋∠1＝90°.‎ ‎∴∠1＝∠DNE，而∠DNE＝∠2，‎ ‎∴∠1＝∠2，∴△BNF是等腰三角形；(6分)‎ 第25题解图②‎ ‎(3)证明：如解图③，连接PD，OD，‎ ‎∵DM是切线，‎ ‎∴OD⊥DM，‎ ‎∴∠DMO＋∠EOD＝90°.‎ ‎∵CD⊥AB，‎ ‎∴∠EDO＋∠EOD＝90°，‎ ‎∴∠EDO＝∠DMO.(7分)‎ ‎∵∠EOD＝∠EOD，‎ ‎∴△ODE∽△OMD，‎ ‎∴＝，‎ 即OD2＝OE·OM.(8分)‎ ‎∵AB垂直平分CD，‎ ‎∴∠OPF＝∠OPD，∠DOA＝∠DFC.‎ 又∵∠DNO＝∠FNP，‎ ‎∴∠ODN＝∠OPF.‎ ‎∴∠ODN＝∠OPD.‎ ‎∵∠NOD＝∠DOP，∠ODN＝∠OPD，‎ ‎∴△ODN∽△OPD.(9分)‎ ‎∴＝，‎ ‎∴OD2＝ON·OP，‎ ‎∴ON·OP＝OE·OM.(10分)‎ 第25题解图③‎ ‎26. (1)解：∵直线y＝x－3交x轴于点A，交y轴于点C，‎ ‎∴A(3，0)，C(0，－3)．‎ ‎∵A、B两点为抛物线与x轴的两个交点，点B的坐标为(1，0)，‎ ‎∴抛物线的解析式可设为y＝a(x－3)(x－1)．‎ ‎∵C(0，－3)在抛物线的图象上，‎ ‎∴－3＝a(0－3)(0－1)，解得a＝－1，‎ ‎∴抛物线的解析式为y＝－(x－3)(x－1)＝－x2＋4x－3；(3分)‎ ‎(2)如解图①，连接BD，作点D关于直线AC对称点D′，连接D′B交AC于点P，并连接DP，‎ ‎∵CA垂直平分DD′，‎ ‎∴PD＝PD′，∴BD′＋BD是△BDP周长的最小值．‎ ‎∵点A、点B关于直线DE成轴对称，而A(3，0)，B(1，0)‎ ‎∴抛物线的对称轴为x＝2，将x＝2代入抛物线的解析式y＝－(x－3)(x－1)，(4分)‎ 可得y＝1，即点D的坐标为(2，1)，‎ ‎∴BD＝＝.∴AD＝.‎ ‎∵AB＝2，∴AB2＝BD2＋AD2，‎ ‎∴△ADB为等腰直角三角形，∠ADB＝90°.(5分)‎ ‎∵AD′＝AD＝，‎ ‎∴BD′＝＝ .‎ ‎∴△BDP周长的最小值＝BD′＋BD＝＋；(6分)‎ 第26题解图①‎ ‎(3)∵E(2，0)，C(0，－3)，‎ ‎∴OE＝2，OC＝3，‎ ‎∴CE＝＝.‎ ‎∴PQ＝CE＝.‎ 设P(x，x－3)，‎ PQ若取最大值，则必过点F(－2，0)，‎ PF＝.‎ ‎∵⊙F的半径为CE＝，‎ ‎∴QF＝.‎ ‎∴PQ＝PF＋QF＝＋＝CE ‎＝.‎ 解得x＝0或x＝1，则P(0，－3)或(1，－2)(8分)‎ ‎∵动点P与点C不重合，‎ ‎∴P(1，－2)．‎ 过点P、Q的直线即过点P(1，－2)，F(－2，0)的直线，‎ ‎∴根据P(1，－2)，F(－2，0)可得直线为y＝－x－.‎ 联立得　　或(9分)‎ ‎∵点M在点N的左侧，‎ ‎∴M(，)，N(，－)．‎ 如解图②，连接AN、BM，‎ S四边形ABMN＝S△AFN－S△BFM ‎ ＝×5×－×3× ‎ ＝.(10分)‎ 第26题解图②‎