2010年宣武区中考一模数学试题

2010年宣武区中考一模数学试题

北京市宣武区2009－2010学年度第二学期第一次质量检测 ‎ 九年级数学 　2010.5‎ 考生须知 ‎1．本试卷共6页，共七道大题，25个小题，满分120分．考试时间120分钟．‎ ‎2．在试卷和答题纸的密封线内认真填写学校名称、姓名和准考证号． ‎ ‎3．试题答案一律书写在答题纸上，在试卷上作答无效．‎ ‎4．考试结束时，请将试卷和答题纸一并交回．‎ ‎ ‎ ‎ 第Ⅰ卷 （选择题 共32分） ‎ 一、选择题（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的。 ‎ ‎1. 的绝对值是 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎2. 据《法制晚报》报道2010年北京市即将参加中考的考生共有约10300人. 这里数字10300用科学记数法表示为 ‎ A. B. C. D. ‎ ‎3. 某物体的展开图如图所示，它的左视图为 ‎A．‎ B．‎ C．‎ D．‎ 第3题图 ‎4．不等式的解集为 ‎ A. B. C. D. ‎ O C B A 第5题图 ‎5．如图，点A、B、C都在⊙O上，且点C在弦AB所对的优弧上，‎ 若，则 的度数是 ‎ A．18° B．30° C．36° D．72°‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎6. 某次器乐比赛共有11名选手参加且他们的得分都互不相同．现在知道这次比赛按选手得分由高到低的顺序设置了6个获奖名额．若已知某位选手参加这次比赛的得分，要判断他能否获奖，则在下列描述选手比赛成绩的统计量中，只需知道 ‎ A．方差 B．平均数 C．众数 D．中位数 ‎7. 若，则的值为 ‎ A.32 B‎.22 C. 12 D. ‎ 第8题图 ‎8. 如图，正方形的边长为2, 将长为2的线段的两端放在正 方形相邻的两边上同时滑动．如果点从点出发，沿图中所示方向按 滑动到点为止，同时点从点出发，沿 图中所示方向按滑动到点为止，那么在这个 过程中，线段的中点所经过的路线围成的图形的面积为 A. 2 　　　　　B. 4－ ‎ C. 　 　　　　D.‎ ‎ ‎ 第Ⅱ卷 （非选择题 共88分）‎ 二、填空题（本题共有4个小题，每小题4分，共16分）‎ ‎2‎ ‎1‎ 第10题图 ‎9．分解因式：______ ．‎ ‎10．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，‎ 如果∠1=28o，那么∠2的度数是 __．‎ ‎ ‎ ‎11．从，，，，这五个数中任取一个数，作为关于的一元二次方程中的值，则所得的方程中有两个不相等的实数根的概率是 .‎ ‎12．如图，在第一象限内作与x轴的夹角为的射线OC，在射线 O x A y H C y=x2‎ 第12题图 OC上取一点，过点作轴于点.在抛物线 上取一点P，在y轴上取一点Q，使得以P，O，Q为顶点的三角形与 ‎△AOH全等，则符合条件的点A的坐标是 .‎ ‎ ‎ 三、解答题（本题共有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13．计算：．‎ ‎14．用配方法解一元二次方程：．‎ ‎15．先化简，再求值： ÷，其中，． ‎ ‎16．已知：如图，是正方形．是 上的一点，于，于． ‎ A D E F C G B 第16题图 第16题图 ‎（1）求证：△≌△； ‎ ‎（2）求证：．‎ ‎17．已知：如图，直线与反比例函数（＜0）的图象相交于点、点，‎ 与轴交于点，其中点的坐标为（－2，4），点的横坐标为－4.‎ 第17题图 ‎（1）试确定反比例函数的关系式；‎ ‎（2）求△的面积．‎ 第 ‎ ‎18．请在所给网格中按下列要求操作：‎ 第18题图 ‎⑴ 请在网格中建立平面直角坐标系， 使点坐标为(0，2)，‎ 点坐标为(－2，0)；‎ ‎⑵ 在（1）的条件下，在轴上画点C，使△为等腰三角形，请画出所有符 合条件的点，并直接写出相应的点坐标．‎ 四、应用题（本题6分）‎ ‎19．为了防控甲型H1N1流感，某校积极进行校园的环境消毒，为此购买了甲、乙两种消毒 液．现已知过去两次购买这两种消毒液的瓶数和总费用如下表所示：‎ 甲种消毒液（瓶）‎ 乙种消毒液（瓶）‎ 总费用（元）‎ 第一次 ‎40‎ ‎60‎ ‎660‎ 第二次 ‎80‎ ‎30‎ ‎690‎ ‎(1)求每瓶甲种消毒液和每瓶乙种消毒液各多少元？‎ ‎(2)销售员提示，现在买乙种消毒液有优惠，具体方法是：如果买乙种消毒液超过30瓶，那么超出部分可以享受8折优惠．学校现决定从甲、乙两种消毒液中买其中一种消毒液，数量为100瓶，请你帮助学校判断一下买哪种消毒液比较省钱，并说明理由．‎ 五、解答题（本题共有2个小题，共11分，其中第20题5分，第21题6分）‎ ‎20．已知：如图，在△ABC中，AD是BC上的高，．‎ 第20题图 ‎(1)求证：AC=BD；‎ ‎(2)当，BC=12时，求AD的长．‎ 第21题图 ‎21．已知：如图，⊙是△的外接圆，为⊙直径，‎ 且⊥于点，⊥于点．‎ ‎(1)求证：是⊙的切线；‎ ‎(2)当=，=时，求的长．‎ 六、解答题（本题４分）‎ ‎22. 某校为了解九年级学生体育测试情况，以九年级（1）班学生的体育测试成绩为样本，按四个等级进行统计，并将统计结果绘制成如下的统计图． ‎ B ‎46%‎ C ‎24%‎ D A ‎20%‎ 等级 人数 ‎（说明：A级：90分~100分；B级：75分~89分；C级：60分~74分；D级：60分以下）‎ ‎ 请你结合图中所给信息解答下列问题：‎ ‎(1)请把条形统计图补充完整；‎ ‎(2)样本中D级的学生人数占全班学生人数的百分比是 ；‎ ‎(3)扇形统计图中A级所在的扇形的圆心角度数是 ；‎ ‎(4)若该校九年级有500名学生，请你用此样本估计体育测试中A级和B级的学生人数约为 ‎ ‎ 人．‎ 七、解答题（本题共3个小题，每小题7分，共21分）　‎ ‎23．已知：，平分．‎ ‎⑴在图1中，若＝120°，＝＝90°，‎ ‎ ＋ ．（填写“＞”，“＜”，“＝”）‎ ‎⑵在图2中，若＝120°，＋＝180°，则⑴中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由．‎ ‎⑶在图3中：‎ ‎①若＝60°，＋＝180°，判断＋与的数量关系，并说明理由；‎ ‎②若＝α（0°＜α＜180°），＋＝180°，则＋＝____（用含α的三角函数表示,直接写出结果，不必证明）‎ ‎ ‎ 图3‎ 图2‎ 图1‎ ‎ ‎ ‎24．已知：将函数的图象向上平移2个单位，得到一个新的函数的图像． ‎ ‎(1)求这个新的函数的解析式；‎ ‎(2)若平移前后的这两个函数图象分别与y轴交于、两点，与直线 x y O 交于、两点．试判断以、、、四点为顶点的 四边形形状，并说明理由；‎ ‎(3)若⑵中的四边形（不包括边界）始终覆盖着二次函数 的图象的一部分，求满足条件的实数b的取值范围．‎ ‎25．已知：如图，在直角坐标系中，已知点的坐标为，将线段按逆时针方向旋转，再将其长度伸长为的2倍，得到线段；又将线段按逆时针方向旋转，长度伸长为的2倍，得到线段；如此下去，得到线段，，，（为正整数）‎ O x y ‎(1)求点的坐标；‎ ‎(2)求的面积； ‎ ‎(3)我们规定：把点（）的横坐标 ‎、纵坐标都取绝对值后得到的新坐标称之为点 的“绝对坐标”．根据图中点的分布规律，请你猜想点 的“绝对坐标”，并写出来．‎ 北京市宣武区2009－2010学年度第二学期第一次质量检测 ‎ 九年级数学参考答案及评分标准 2010.5‎ 一、选择题（本题共有8个小题，每小题4分，共32分）在下列各题的四个备选答案中，只有一个是正确的.‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ 答案 A A B C C D A B 二、填空题（本题共有4个小题，每小题4分，共16分）‎ 题号 ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 ‎,, , ‎ 三、解答题（本题共有6个小题，每小题5分，共30分）‎ ‎13．计算：．‎ 解：原式= -----------------------------------------------------------4分 ‎ =． -------------------------------------------------------------------------------------5分 ‎14．用配方法解一元二次方程： ．‎ 解：原方程化为 ．‎ 配方，得 ．‎ 即 ， ∴ ． --------------------------------------------------4分 ‎∴ 原方程的解为，． ----------------------------------------5分 ‎15．解：‎ 原式=‎ ‎ =． . ---------------------------------------------------------------------------4分 当，时，原式=． --------------------------5分 ‎16．证明：‎ ‎（1）∵ 是正方形， ∴ ． ∴ ．‎ ‎∵ 于， ∴ ．‎ ‎ ∴ ．‎ ‎ ∵ 于，于， ∴ ．‎ ‎ ∵ 在正方形中，， ∴ △≌△．------------------------4分 ‎ （2）证明：∵ △≌△， ∴ ．‎ ‎ ∵ ， ∴ ． -------------------------------------------5分 ‎17．解：‎ ‎（1）∵ 反比例函数（＜0）的图象相交于点A（－2，4），‎ ‎ ∴ ． ∴ 所求的反比例函数的解析式为 ．-----------------------------2分 ‎（2）∵ 反比例函数（＜0）的图象相交于点，且点的横坐标为－4，‎ ‎∴ 点的纵坐标为，即点的坐标为．‎ ‎∵ 直线过点A、点B，‎ ‎∴ 解得 ．‎ ‎∴ 的解析式为． ‎ 此时，点C的坐标为．　∴ △AOC的面积为=． ---------5分 ‎18．解：‎ ‎⑴在网格中建立平面直角坐标系如图所示． ----------------------------------------------------2分 ‎⑵满足条件的点有4个： C：（2，0）；C：（，0）‎ C：（0，0）；C：（，0）． -----------------------------------------------------5分 四、应用题（本题6分）‎ ‎19．解：‎ ‎(1)设甲种消毒液每瓶售价元，乙种消毒液每瓶售价元．‎ 依题意得：‎ 解得 ‎ 答：甲、乙两种消毒液每瓶各6元和8元．-----------------------------------------------------4分 ‎(2)买甲种消毒液所需费用为6×100=600 (元)；‎ 买乙种消毒液所需费用为7×30+7×0.86×（100-30）=602 (元)．‎ 因为，602>600， 所以，买甲种消毒液省钱．‎ 答：学校应买甲种消毒液．----------------------------------------------------------------- --------6分 五、解答题（本题共有2个小题，共11分，其中第20题5分，第21题6分）‎ ‎20．解：‎ ‎(1)∵AD是BC上的高，∴AD⊥BC．‎ ‎∴∠ADB=90°，∠ADC=90°． ‎ 在Rt△ABD和Rt△ADC中，‎ ‎∵=，=． ‎ 又已知，‎ ‎ ∴ =．∴ AC=BD． -----------------------------------------------------------------3分 ‎ (2)在Rt△ADC中， ，故可设AD=12k，AC=13k．‎ ‎∴ ==5． ‎ ‎∵，又，‎ ‎∴ ． ‎ 由已知BC=12， ∴ 18k=12． ∴ k=． ‎ ‎∴ =12k=12=8． ------------------------------------------------------------------------5分 ‎ ‎21. 解： ‎ ‎(1)如图，连接OC．‎ ‎∵PA⊥AB，　∴ ∠PAO=90°．‎ ‎∵AO=CO，PO⊥AC于点M，‎ ‎∴∠AOP=∠COP．　又∵PO=PO，‎ ‎∴△PAO≌△PCO．‎ ‎∴∠PCO=∠PAO=90°，PA=PC，‎ ‎∴PC是⊙O的切线．------------------------3分 ‎(2)方法一：‎ ‎∵ PO⊥AC于点M， ∴ M为AC中点．‎ 又∵ O是AB中点， ∴ MO∥BC，‎ ‎∴ ∠MOA=∠B， ∴ cos∠MOA=cos∠B=．‎ ‎ ∵ PO⊥AC于点M，‎ ‎∴ 在Rt△AMO中，AO===4．‎ ‎∵ cos∠POA =，‎ ‎∴ 在Rt△PAO中，PO===8．‎ ‎　∴　PA==4， ∴PC=PA=4．-------------------------------------------6分 方法二：‎ 同方法一，求出AO=4．‎ ‎∵ cos∠POA =， ∴ tan∠POA=． ‎ ‎∴ PA=AO· tan∠POA=4． ∴ PC=PA=4．------------------------------------------- 6分 六、解答题（本题４分）‎ ‎22. 解：‎ ‎(1)如图；------------------------------------------------------------------------------------------------1分 ‎(2) 10%；------------------------------------------------------------------------------------ -----------2分 ‎(3)72度；------------------------------------------------------------------------------------------------3分 ‎(4)330．--------------------------------------------------------------------------------------------------4分 七、解答题（本题共3个小题，每小题7分，共21分）　‎ ‎23.解：‎ ‎(1) AB＋AD = AC．--------------------------------------------------------------------------1分 ‎(2) 仍然成立．‎ 证明：如图2过C作CE⊥AM于E，CF⊥AN于F，‎ 则∠CEA=∠CFA=90°．‎ ‎∵ AC平分∠MAN，∠MAN=120°，‎ ‎∴ ∠MAC=∠NAC=60°．‎ 又∵ AC=AC，　∴ △AEC≌△AFC，‎ ‎∴ AE=AF，CE=CF．‎ ‎∵ 在Rt△CEA中，∠EAC=60°，‎ 图2‎ ‎∴ ∠ECA=30°，　∴ AC=2AE．‎ ‎∴ AE+AF=2AE=AC．　∴ ED+DA+AF=AC．‎ ‎∵ ∠ABC＋∠ADC＝180°，∠CDE+∠ADC=180°，‎ ‎∴ ∠CDE=∠CBF．‎ 又∵ CE=CF，∠CED=∠CFB，　∴ △CED≌△CFB．‎ ‎∴ ED=FB，　∴ FB+DA+AF=AC．‎ ‎∴ AB+AD=AC．----------------------------------------- 4分 ‎(3)①AB+AD=AC．‎ 证明：如图3，方法同(2)可证△AGC≌△AHC．‎ ‎∴AG=AH．‎ ‎∵∠MAN=60°，　∴∠GAC=∠HAC=30°．‎ 图3‎ ‎∴AG=AH=AC．∴AG+AH=AC．‎ ‎∴GD+DA+AH=AC．‎ 方法同(2)可证△GDC≌△HBC．‎ ‎∴GD=HB，　∴ HB+DA+AH=AC．‎ ‎∴AD+AB=AC．-------------------------------------------------------------------------------------6分 ‎②AB＋AD＝·AC．-------------------------------------------------------------------7分 ‎24．解： ‎ ‎⑴． ----------------------------------------------------------------------------------------1分 ‎⑵答：四边形AOCB为菱形．‎ 由题意可得AB//CO，BC//AO，AO=2． ‎ ‎∴四边形AOCB为平行四边形易得A(0，2)，B． ‎ 由勾股定理可得AB=2， 　∴AB= AO∴平行四边形AOCB为菱形．----------------------3分 ‎ ‎⑶二次函数化为顶点式为：． ‎ ‎∴ 抛物线顶点在直线上移动．‎ 假设四边形的边界可以覆盖到二次函数，则B点和A点分别是二次函数与四边形接触的边界点，‎ 将B，代入二次函数，解得，（不合题意,舍去）．‎ 将A（0，2），代入二次函数，解得，（不合题意,舍去）．‎ 所以实数b的取值范围：．-------------------------------------------------------7分 A O C B A O C B ‎25．解：‎ ‎(1)根据旋转规律，点落在轴的负半轴，而点到坐标原点的距离始终等于前一个点到原点距离的倍，故其坐标为，即．------------------------------------------1分 ‎ ‎(2)由已知可得，‎ ‎， ‎ 设，则，‎ ‎， 　又．‎ ‎．．--------------------------------4分 ‎ ‎(3)由题意知，旋转次之后回到轴正半轴，在这次中，点分别落在坐标象限的平分线上或轴或轴上，但各点绝对坐标的横、纵坐标均为非负数，因此，点的坐标可分三类情况：‎ 令旋转次数为． ‎ ‎①当或时（其中为自然数），点落在轴上，‎ 此时，点的绝对坐标为； ‎ ‎②当或或或时（其中为自然数），点落在各象限的平分线上，‎ 此时，点的绝对坐标为，即． ‎ ‎③当或时（其中为自然数），点落在轴上，‎ 此时，点的绝对坐标为．--------------------------------------------------------------------7分