海南省2019年初中学业水平考试数学试题

海南省2019年初中学业水平考试数学试题

海南省 2019 年初中学业水平考试数学 (考试时间 100 分钟，满分 120 分) 一、选择题(本大题满分 36 分，每小题 3 分) 在下列各题的四个备选答案中，有且只有一个是正确的，请在答题卡上把你认为正确的答案的字母代 号按要求用 2B 铅笔涂黑． 1．如果收入 100 元记作＋100 元，那么支出 100 元记作(　　) A. －100 元　 　　B. ＋100 元 C. －200 元 D. ＋200 元 2．当 m＝－1 时，代数式 2m＋3 的值是(　　) A. －1　　 　B. 0　　 　C. 1　 　　D. 2 3．下列运算正确的是(　　) A. a·a2＝a3 B. a6÷a2＝a3 C. 2a2－a2＝2 D. (3a2)2＝6a4 4．分式方程 1 x＋2＝1 的解是(　　) A. x＝1 B. x＝－1 C. x＝2 D. x＝－2 5．海口市首条越江隧道——文明东越江通道项目将于 2020 年 4 月份完工，该项目总投资 3710000000 元，数据 3710000000 用科学计数法表示为(　　) A. 371×107 B. 37.1×108 C. 3.71×108 D. 3.71×109 6．如图是由 5 个大小相同的小正方体摆成的几何体，它的俯视图是(　　) 　 第 6 题图 7．如果反比例函数 y＝a－2 x (a 是常数)的图象在第一、三象限，那么 a 的取值范围是(　　) A. a＜0 B. a＞0 C. a＜2 D. a＞2 8．如图，在平面直角坐标系中，已知点 A(2，1)，点 B(3，－1)，平移线段 AB，使点 A 落在点 A1(－2， 2)处，则点 B 的对应点 B1 的坐标为(　　) A. (－1，－1) B. (1，0) C. (－1，0) D. (3，0) 第 8 题图 9．如图，直线 l1∥l2，点 A 在直线 l1 上，以点 A 为圆心，适当长度为半径画弧，分别交直线 l1、l2 于 B、C 两点，连接 AC、BC.若∠ABC＝70°，则∠1 的大小为(　　) A. 20° B. 35° C. 40° D. 70° 　　 第 9 题图 10．某路口的交通信号灯每分钟红灯亮 30 秒，绿灯亮 25 秒，黄灯亮 5 秒，当小明到达该路口时，遇 到绿灯的概率是(　　) A. 1 2 B. 3 4 C. 1 12 D. 5 12 11．如图，在▱ABCD 中，将△ADC 沿 AC 折叠后，点 D 恰好落在 DC 的延长线的点 E 处．若∠B＝ 60°，AB＝3，则△ADE 的周长为(　　) A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 第 11 题图 第 12 题图 12．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，AB＝5，BC＝4，点 P 是边 AC 上一动点，过点 P 作 PQ∥AB 交 BC 于点 Q，D 为线段 PQ 的中点，当 BD 平分∠ABC 时，AP 的长度为(　　) A. 8 13 B. 15 13 C. 25 13 D. 32 13 二、填空题(本大题满分 16 分，每小题 4 分) 13．因式分解：ab－a＝________． 14．如图，⊙O 与正五边形 ABCDE 的边 AB、DE 分别相切于点 B、D，则劣弧BD ︵ 所对的圆心角∠BOD 的大小为________度． 第 14 题图 第 15 题图 15．如图，将 Rt△ABC 的斜边 AB 绕点 A 顺时针旋转 α(0°＜α＜90°)得到 AE，直角边 AC 绕点 A 逆时针 旋转 β(0°＜β＜90°)得到 AF，连接 EF.若 AB＝3，AC＝2，且 α＋β＝∠B，则 EF＝________． 16．有 2019 个数排成一行，对于任意相邻的三个数，都有中间的数等于前后两数的和．如果第一个数 是 0，第二数是 1，那么前 6 个数的和是________，这 2019 个数的和是________． 三、解答题(本大题满分 68 分) 17．(满分 12 分，每小题 6 分) (1)计算：9×3－2＋(－1)3－ 4； (2)解不等式组{x＋1＞0， x＋4＞3x，并求出它的整数解． 18．(满分 10 分)时下正是海南百香果丰收的季节，张阿姨到“海南爱心扶贫网”上选购百香果，若购 买 2 千克“红土”百香果和 1 千克“黄金”百香果需付 80 元，若购买 1 千克“红土”百香果和 3 千克“黄 金”百香果需付 115 元，请问这两种百香果每千克各是多少元？ 19．(满分 8 分)为宣传 6 月 6 日世界海洋日，某校九年级举行了主题为“珍惜海洋资源，保护海洋生物 多样性”的知识竞赛活动，为了解全年级 500 名学生此次竞赛成绩(百分制)的情况，随机抽取了部分参赛学 生的成绩，整理并绘制出如下不完整的统计表和统计图，请根据图表信息解答以下问题： (1)本次调查一共随机抽取了________个参赛学生的成绩； (2)表中 a＝________； (3)所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在的“组别”是________； (4)请你估计，该校九年级竞赛成绩达到 80 分以上(含 80 分)的学生约有________人． 知识竞赛成绩分组统计表　知识竞赛成绩扇形统计图 　 第 19 题图 20．(满分 10 分)如图是某区域的平面示意图，码头 A 在观测站 B 的正东方向，码头 A 的北偏西 60°方 向上有一小岛 C，小岛 C 在观测站 B 的北偏西 15°方向上，码头 A 到小岛 C 的距离 AC 为 10 海里． (1)填空：∠BAC＝________度，∠C＝________度； (2)求观测站 B 到 AC 的距离 BP(结果保留根号)． 第 20 题图 组别 分数/分 频数 A 60≤x＜70 a B 70≤x＜80 10 C 80≤x＜90 14 D 90≤x＜100 18 21．(满分 13 分)如图，在边长为 1 的正方形 ABCD 中，E 是边 CD 的中点，点 P 是边 AD 上一点(与点 A、D 不重合)，射线 PE 与 BC 的延长线交于点 Q. (1)求证：△PDE≌△QCE； (2)过点 E 作 EF∥BC 交 PB 于点 F，连接 AF，当 PB＝PQ 时． ①求证：四边形 AFEP 是平行四边形； ②请判断四边形 AFEP 是否为菱形，并说明理由． 第 21 题图 22．(满分 15 分)如图，已知抛物线 y＝ax2＋bx＋5 经过 A(－5，0)、B(－4，－3)两点，与 x 轴的另一个 交点为 C，顶点为 D，连接 CD. (1)求该抛物线的表达式； (2)点 P 为该抛物线上一动点(与点 B、C 不重合)，设点 P 的横坐标为 t. ①当点 P 在直线 BC 的下方运动时，求△PBC 的面积的最大值； ②该抛物线上是否存在点 P，使得∠PBC＝∠BCD？若存在，求出所有点 P 的坐标；若不存在，请说明 理由． 第 22 题图 　　　海南省 2019 年初中学业水平考试数学解析 一、选择题(本大题满分 36 分，每小题 3 分) 1. A 2. C　【解析】当 m＝－1 时，2m＋3＝2×(－1)＋3＝1. 3. A　【解析】逐项分析如下： 选项 逐项分析 正误 A a·a2＝a3 √ B a6÷a2＝ a4≠a3 C 2a2－a2＝a2≠2 D (3a2)2＝9a4≠6a4 4. B　【解析】两边同乘(x＋2)，得 1＝x＋2，解得 x＝－1.检验：当 x＝－1 时，x＋2≠0.∴原分式方程 的解为 x＝－1. 5. D　【解析】将一个大于等于 10 的数表示成 a×10n 的形式，其中 1≤a＜10，∴a＝3.71，n 为原数的 整数位减 1，∴n＝10－1＝9.∴3710000000＝3.71×109. 6. D 7. D　【解析】由题意可得 a－2＞0，解得 a＞2. 8. C　【解析】∵点 A(2，1)向左平移 4 个单位，再向上平移 1 个单位得到点 A1(－2，2)，∴平移线段 AB 后点 B1 的坐标为(－1，0)． 9. C　【解析】由作图可知 AC＝AB，又∵∠ABC＝70°，∴∠ACB＝∠ABC＝70°.∴∠BAC＝40°.∵l1∥ l2，∴∠1＝∠BAC＝40°. 10. D　【解析】P(遇到绿灯)＝ 25 30＋25＋5＝ 5 12. 11. C　【解析】∵四边形 ABCD 是平行四边形，∠B＝60°，AB＝3，∴CD＝3，∠D＝60°.由折叠的性 质可得，∠E＝∠D＝60°，CE＝CD＝3，∴△ADE 是等边三角形．∴△ADE 的周长为 AE＋AD＋DE＝3DE＝ 18. 12. B　【解析】∵AB＝5，BC＝4，∠C＝90°，∴AC＝ AB2－BC2＝3.∵点 D 是 PQ 的中点，∴DQ＝ DP.∵BD 平分∠ABC，∴∠QBD＝∠ABD.∵PQ∥AB，∴∠QDB＝∠ABD，△CPQ∽△CAB.∴∠QBD＝ ∠QDB.∴BQ＝DQ＝DP.∵△CPQ∽△CAB，∴QC BC＝QP AB，即4－BQ 4 ＝2BQ 5 .解得BQ＝20 13.∵PQ∥AB，∴AP AC＝BQ BC， 即AP 3 ＝ 20 13 4 .解得 AP＝15 13. 二、填空题(本大题满分 16 分，每小题 4 分) 13. a(b－1) 14. 144　【解析】∵五边形的内角和为 540°，正五边形的每个内角为 108°，AB、DE 与⊙O 相切，∴∠ BOD＝540°－108°－108°－90°－90°＝144°. 15. 13　【解析】由旋转的性质可得，AE＝AB＝3，AF＝AC＝2. ∵∠ACB＝90°，∴∠B＋∠BAC＝ 90°.∵α＋β＝∠B，∴α＋∠BAC＋β＝90°，即∠EAF＝90°.∴在 Rt△AEF 中，EF＝ AE2＋AF2＝ 13. 16. 0，2　【解析】由题意可得，这 2019 个数依次为 0，1，1，0，－1，－1，0，1，1，…，且 6 个 数为一个循环，∴前 6 个数的和是 0.∵2019÷6＝336……3，∴这 2019 个数的和是 2. 三、解答题(本大题满分 68 分) 17. 解：(1)9×3－2＋(－1)3－ 4 ＝9×1 9＋(－1)－2 ＝1－1－2 ＝－2；(6 分) (2)由{x＋1＞0，① x＋4＞3x，② 解不等式①，得 x＞－1， 解不等式②，得 x＜2， 所以这个不等式组的解集是－1＜x＜2， 因此，这个不等式组的整数解是 0，1.(12 分) 18. 解：设“红土”百香果每千克 x 元，“黄金”百香果每千克 y 元， 依题意得{2x＋y＝80， x＋3y＝115，(7 分) 解得{x＝25， y＝30. 答：“红土”百香果每千克 25 元，“黄金”百香果每千克 30 元．(10 分) 19. 解：(1)50；(2 分) 【解法提示】∵18÷36%＝50(个)，∴本次调查一共随机抽取了 50 个参赛学生的成绩． (2)8；(4 分) 【解法提示】a＝50－10－14－18＝8. (3)C；(6 分) 【解法提示】一共抽取了 50 个参赛学生的成绩，中位数为第 25 名和第 26 名学生的成绩的平均数，∵ 第 25 名和第 26 名学生的成绩在 C 组，∴所抽取的参赛学生的成绩的中位数落在 C 组． (4)320. (8 分) 【解法提示】500×14＋18 50 ＝320(人). 20. 解：(1)30，45；(4 分) 【解法提示】∠BAC＝90°－60°＝30°，∠C＝180°－∠BAC－∠ABC＝180°－30°－(90°＋15°)＝45°. (2)设 BP＝x 海里， 由题意得 BP⊥AC，∴∠BPC＝∠BPA＝90°. ∵∠C＝45°，∴∠CBP＝∠C＝45°. ∴CP＝BP＝x. 在 Rt△ABP 中，∠BAC＝30°，∴∠ABP＝60°. ∴AP＝tan∠ABP·BP＝tan60°·BP＝ 3x. ∴ 3x＋x＝10. 解得 x＝5 3－5. ∴BP＝5 3－5. 答：观测站 B 到 AC 的距离 BP 为(5 3－5)海里．(10 分) 21. (1)证明：∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠D＝∠BCD＝90°. ∴∠ECQ＝90°＝∠D. ∵E 是 CD 的中点， ∴DE＝CE. 又∵∠DEP＝∠CEQ， ∴△PDE≌△QCE(ASA)；(4 分) 第 21 题解图 (2)①证明：如解图，由(1)可知△PDE≌△QCE， ∴PE＝QE＝1 2PQ. 又∵EF∥BC， ∴PF＝FB＝1 2PB. ∵PB＝PQ， ∴PF＝PE. ∴∠1＝∠2. ∵四边形 ABCD 是正方形， ∴∠BAD＝90°. 在 Rt△ABP 中，F 是 PB 的中点， ∴AF＝1 2BP＝FP. ∴∠3＝∠4. 又∵AD∥BC，EF∥BC， ∴AD∥EF. ∴∠1＝∠4. ∴∠2＝∠3. 又∵PF＝FP， ∴△APF≌△EFP(AAS)． ∴AP＝EF. 又∵AP∥EF， ∴四边形 AFEP 是平行四边形；(9 分) ②解：四边形 AFEP 不是菱形，理由如下： 设 PD＝x，则 AP＝1－x. 由(1)可知△PDE≌△QCE. ∴CQ＝PD＝x. ∴BQ＝BC＋CQ＝1＋x. ∵点 E，F 分别是 PQ，PB 的中点， ∵EF 是△PBQ 的中位线． ∴EF＝1 2BQ＝1＋x 2 . 由①可知 AP＝EF. 即 1－x＝1＋x 2 ，解得 x＝1 3. ∴PD＝1 3，AP＝2 3. 在 Rt△PDE 中，DE＝1 2， ∴PE＝ PD2＋DE2＝ 13 6 . ∴AP≠PE. ∴四边形 AFEP 不是菱形．(13 分) 22. 解：(1)∵抛物线 y＝ax2＋bx＋5 经过点 A(－5，0)， B(－4，－3)， ∴{25a－5b＋5＝0， 16a－4b＋5＝－3， 解得{a＝1， b＝6. ∴该抛物线的表达式为 y＝x2＋6x＋5；(4 分) 第 22 题解图① (2)①如解图①，过点 P 作 PE⊥x 轴于点 E，交直线 BC 于点 F. 在抛物线 y＝x2＋6x＋5 中， 令 y＝0，则 x2＋6x＋5＝0， 解得 x1＝－5，x2＝－1. ∴点 C 的坐标为(－1，0)． 由点 B(－4，－3)和 C(－1，0)，可得直线 BC 的表达式为 y＝x＋1. 设点 P 的坐标为(t，t2＋6t＋5)，由题意知－4＜t＜－1， 则点 F(t，t＋1)． ∴FP＝(t＋1)－(t2＋6t＋5)＝－t2－5t－4. ∴S△PBC＝S△FPB＋S△FPC ＝1 2FP·BP＋1 2FP·CE＝1 2·FP·3 ＝3 2(－t2－5t－4)＝－3 2t2－15 2 t－6 ＝－3 2(t＋5 2)2＋27 8 . ∵－4＜－5 2＜－1， ∴当 t＝－5 2时，△PBC 的面积的最大值为27 8 .(10 分) ②存在． ∵y＝x2＋6x＋5＝(x＋3)2－4， ∴抛物线的顶点 D 的坐标为(－3，－4)． 由点 C(－1，0)和 D(－3，－4)，可得直线 CD 的表达式为 y＝2x＋2. 分两种情况讨论： 第 22 题解图② Ⅰ. 当点 P 在直线 BC 上方时，有∠PBC＝∠BCD，如解图②. 若∠PBC＝∠BCD， 则 PB∥CD. ∴设直线 PB 的表达式为 y＝2x＋b. 把 B(－4，－3)代入 y＝2x＋b，得 b＝5， ∴直线 PB 的表达式为 y＝2x＋5. 由 x2＋6x＋5＝2x＋5， 解得 x1＝0，x2＝－4(舍去)． ∴点 P 的坐标为(0，5)； Ⅱ. 当点 P 在直线 BC 下方时，有∠PBC＝∠BCD，如解图③. 设直线 BP 与 CD 交于点 M，则 MB＝MC. 第 22 题解图③ 过点 B 作 BN⊥x 轴交于点 N，则点 N(－4，0)， ∴NB＝NC＝3. ∴MN 垂直平分线段 BC. 设直线 MN 与 BC 交于点 G， 则线段 BC 的中点 G 的坐标为(－5 2，－3 2)． 由点 N(－4，0)和 G(－5 2，－3 2)， 得直线 NG 的表达式为 y＝－x－4. ∵直线 CD：y＝2x＋2 与直线 NG：y＝－x－4 交于点 M， ∴2x＋2＝－x－4，解得 x＝－2. ∴点 M 的坐标为(－2，－2)， 由 B(－4，－3)和 M(－2，－2)， 得直线 BM 的表达式为 y＝1 2x－1， 由 x2＋6x＋5＝1 2x－1，解得 x1＝－3 2，x2＝－4(舍去)， ∴点 P 的坐标为(－3 2，－7 4)． 综上所述，存在满足条件的点 P 的坐标为(0，5)和(－3 2，－7 4)．(15 分)