2014上海市嘉定区初三第一学期期末数学试卷及答案

2014上海市嘉定区初三第一学期期末数学试卷及答案

2013~14 学年上海市嘉定区初三第一学期期末考试数学试卷 （满分：150 分 考试时间：100 分钟） 考生注意： 1、本试卷含有三个大题，共 25 小题； 2、答题时，考生务必按照答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题 一律无效； 3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或 计算的主要步骤 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确项的代号并填涂在答题 纸的相应位置上】 1、已知 3 2 x y  ，那么下列等式中，不一定正确是（ ） A、 5xyB、 23xy C、 5 2 xy y   D、 3 5 x xy 2、在 Rt△ABC 中，∠A＝90°，AB＝12，AC＝5，那么 tan B 等于（ ）[来源:学科网] A、 5 13 B、 12 13 C、 5 12 D、12 5 3、抛物线 2( 2) 3yx    的顶点坐标是（ ） A、 ( 2,3) B、 (2,3) C、 (2, 3) D、 ( 2, 3) 4、如图一，在平行四边形 ABCD 中，如果 AB a ， AD b ，那么 ab 等于（ ） A、 BD B、 AC C、 D、CA 图1 BA CD 5、下列四个命题中，假命题是（ ） A、有一个锐角相等的两个等腰三角形相似； B、有一个锐角相等的两个直角三角形相似； C、底边和腰对应成比例的两个等腰三角形相似； D、斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似。 6、已知 O 的 半径长为 2cm，如果直线 l 上有一点 P 满足 PO＝2cm，那么直线 l 与 O 的 位置关系是（ ） A、相切 B、相交 C、相离或相切 D、相切或相交 二、填空题：（本大题共 12 小题，每小题 4 分，满分 48分） 【请直接将结果填入答题纸的相应位置】 7、如果二次函数   22 1 3 1y k x x    的图像开口向上，那么常数 k 的取值范围是_______. 8、如果将抛物线  231yx向上平移 1 个单位，再向左平移 2 个单位，那么所得到的抛物 线的表达式是______________________________. 9、抛物线  211yx    在对称轴的右侧部分是__________的。（“上升”、“下降”） 10、甲乙两地的实际距离为 250km，如果画在比例尺为 1:5000000 的地图上，那么甲乙两地 在图上的距离是_____cm。 11、如果在观察点 A 测得点 B 的仰角是 32°，那么在点 B 观测点 A，所测得的俯角的度数 是________. 12、如图 2，已知△ABC 中，∠C＝90°,AC＝3，BC＝2，点 D 在边 AC 上，DE⊥AB，垂 足为 E，则 cot ADE 的值是__________。 图2 E C A B D 图3 E BA C D 图4 E DA B C 13、已知△ABC 中，AD 是中线，点 G 是△ABC 的重心，AD m ，那么用向量 m 表示向量GA ＝_______________。 14、正五边形的中心角的度数是_________。 15、将一副三角尺按照图 3 所示的方式叠放在一起（∠B＝45°，∠D＝30°），点 E 是 BC 与 AD 的交点，则 DE AE 的值为_______。 16、已知 O 的半径为 5cm，点 P 是 O 外一点，OP＝8cm，那么以 P 为圆心且与 O 相 切的圆的半径长是________cm。 17、新定义：平行于三角形一边的直 线被其他两边所截得的线段叫做三角形的弦。已知等 边三角形的一条弦的长度为 2cm，且这条弦将等边三角形分成面积相等的两个部分，那么这 个等边三角形的边长为_________cm。 18、如图 4，在矩形 ABCD 中，已知 AB＝12，AD＝8，如果将矩形沿直线 l 翻折后，点 A 落在边 CD 的中点 E 处，直线 l 分别与边 AB、AD 交于点 M、N，那么 MN＝___________。 三、解答题：（本大题共 7 小题，满分 78 分） 19、（本题满分 10 分） 计算： 2 2 2sin 60 cos60 tan 60 4sin 45       20、（本题满分 10 分，每小题 5 分） 在平面直角坐标系 xOy 中，如图 5 所示，已知点  3,0A 、点  2,5B  、点  0, 3C  。 （1）求经过点 A、B、C 的抛物线的表达式； （2）若点 D 是（1）中求出的抛物线的顶点，求 tan CAD 的值。 x y 图5 O 21、（本题满分 10 分） 如图 6，点 A、B、C 在 O 上，且∠COB＝53°，CD⊥OB，垂足为 D，当 1 2OD AB 时， 求∠OBA 的度数。 图6 D A O C B 22、（本题满分 10 分） 如图 7，某水库大坝的横断面为梯形 ABCD，坝顶宽 BC＝3 米，坝高为 2 米，背水坡 AB 的 坡度 1:1i  ，迎水坡 CD 的坡脚∠ADC 为 30°，求坝底 AD 的长度。 图7 B DA C 23、（本题满分 12 分，每小题 6 分） 四边形 ABCD 是平行四边形，E 是对角线 AC 上一点，射线 DE 分别交射线 CB、AB 于点 F、 G。 （1）如图 8，如果点 F在 CB 边上，点 G 在 AB 边的延长线上，求证： 1EF FG DE DG。 （2）如果点 F 在 CB 边的延长线上，点 G 在 AB 边上，试写出 EF DE 与 FG DG 之间的一种等量 关系，并给出证明。 图8 F GA D B C E 备用图 A D B C 24、（本题满分 12 分，每小题满分 4 分） 在平面直角坐标系中，已知  1,3A  、  2,Bn两点在二次函数 21 43y x bx    的图像上。 （1）求 b 和 n 的值； （2）联结 OA、OB、AB，求△AOB 的面积； （3）若点 P（不与点 A 重合）在题目给出的二次函数的图像上，且∠POB＝45°，求点 P 坐标。 x y 图9 A B O 25、（本题满分 14 分，其中第 1 小题 4 分，第 2 小题 5 分，第 3 小题 5 分） 已知 O 的半径长为 5，点 A、B、C 在 O 上，AB＝BC＝6，点 E 在射线 BO 上。 （1）如图 10，联结 AE、CE，求证：AE＝CE； （2）如图 11，以点 C 为圆心，CO 为半径画弧交半径 OB 于 D，求 BD 的长； （3）当 11 5OE  时，求线段 AE 的长。 图10 C O A B E 图11 D C O A B E 备用图 C O A B 2013~14 学年上海市嘉定区初三第一学期期末考试数学试卷参考答 案 一、选择题 1、A 2、C 3、B 4、B 5、A 6、D 二、填空题 7、 1 2k  8、  23 3 1yx   9、下降 10、5 11、32 12、 3 2 13、 2 3 m 14、 72 15、 3 16、3 或 13 17、 22 18、125 5()12 12 或10 三、解答题 19、 2 2 3 1 12 ( ) 2 12 2 2 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2( 3) 4 2           解：原式 20、解：（1） 2 ,A B C y ax bx c  设经过点 、 、 的抛物线表达式为 代入坐标得： 9 3 0 1 4 2 5 2 33 a b c a a b c b cc              解得： [来源:学_科_网 Z_X_X_K] 2, 2 3A B C y x x  所以 经过点 、 、 的抛物线表达式为 （2） 223 4 ( 1) 4y x x x     由 ， (1, 4)DD得顶点 的坐标是 2 2 23 3 18AC = + = ， 2 2 2(1 0) ( 4 3) 2CD = +    ， 2 2 2(3 1) (0 4) 20AD + + = 2 2 2AC +CD =AD 2190 , tan 332 CDACD= CAD AC       21、解： ,O OE AB E过点 作 垂足为 , , , 1O A B O OE AB BE= AB2是圆心 点 、 在 上 ,1OD= AB BE=OD2  ,B C O OB=OC点 、 在 上 ,,CD OB ODC=90 OE AB OEB=90      在 Rt△OBE 和 Rt△OCD 中， ,BE=OD OB=OC ∴ Rt△OBE≌Rt△OCD。 OBA= COB  53 , 53COB= OBA=    22、解：分别过 B、C 作 BE⊥AD、CF⊥AD，垂足为 E、F，可得 BE∥CF 又∵BC∥AD，∴BC＝EF、BE＝CF , 3 , 2EF BC BE CF   由题意 得 , 45AB i BAE  背水坡 的坡度 =1:1 在 Rt△ABE 中， 90 , 45 , 2AEB BAE BE       cot 45 2 1 2AE BE       在 Rt△CDF 中， 90 , 30 , 2CFD ADC CF       cot30 2 3 2 3DF CF       2 3 2 3 5 2 3AD AE EF DF         米 答：坝底 AD 的长度为(5 2 3) 米。 23、（ 1）证明： ABCD四边形 是平行四边形 [来源:学科网 ZXXK] AD ∥ ,BC AD=BC ,EF CF FG BF DE AD DG AD   1EF FG CF BF CF BF BC AD DE DG AD AD AD AD AD         （2） 1EF FG EF FG DE DG DE DG与 之间的等量关系是 ABCD证明： 四边形 是平行四边形 AD ∥ ,BC AD=BC ,EF CF FG BF DE AD DG AD   1EF FG CF BF CF BF BC AD DE DG AD AD AD AD AD         24、解：（1） 21( 1,3) 43A y x bx    点 在二次函数 的图像上， 2123 ( 1) 4 ,33bb      解得 212( 1,3) , (2, ) 433A B n y x x     经过点 两点的二次函数的解析式是 2122 2 4 , 433nn       即 （2） , , ,A AD x D B BE AD E过点 作 轴 垂足为 过点 作 垂足为 , 1 , 3 , 3 , 4 , 1OD AD BE DE AE    由题意 易得 [来源:学科网] 11( ) 4 4 822ODEB S OD BE DE       梯形 的面积为 13 22ADOS AD OD   13 22AEBS BE AE   8 3 5AOB ADO AEBS S S S       （ 3 ） 10 , 10 , 20 ,AO= AB= OB= AOB分别计算： 利用勾股定理证明 是直角三角形 45AO AB AOB ABO     由 得到 45 ,POB P A   不与点 重合 90AOP AOB POB       , 90 , 90P PH x H POH AOD OAD AOD          过 作 轴，垂足为 由 [来源:学&科&网] POH OAD   1tan tan 3 PH ODPOH OADOH AD       1 , , 3 , (3 , )3 PH PH k OH k P k kOH   不妨设 则 得 212(3 , ) (3 ) (3 ) 433P k k k k k     将 代入抛物线解析式，得 1 2 1 2 441 , , ( 3, 1) , (4, )33k k P P    解得： 得 2 44(4, ) , , (4, ).33P P P经检验发现 不合题意 舍去 故所求点 坐标为 25、（ 1）证明： ,O OF BC OG AB F G.过点 分别作 、 垂足为 、 ,,AB=BC OF BC OG AB 11,,22OF OG BF BC BG AB BF BG      在 Rt△OBF 和 Rt△OBG 中， ,OB OB BF BG ∴Rt△OBF≌Rt△OBG。 OBG OBF   在△ABE 和△CBE 中， ,,AB AC OBG OBF BE BE     ∴△ABE≌△CBE， AE CE （2）过点 C 作 CH⊥BC，垂足为 G，由 CO＝CD 得 OH＝DH， 过点 O 作 OG⊥BC，垂足为 G，由 OB＝OC 得 BG＝CG， ∵BC＝6，∴BG＝CG＝3， 3cos 5 BGOBG OB   在 Rt△BCH 中，BC＝6， 390 , cos 5BHC OBG     3 18cos 6 55BH BC OBG       18 7 145 , 25 5 5OH OB BH OD OH        14 115 55BD OB OD      （3）当点 E 在线段 BO 的延长线上时， 11 11 36, 5 , 55 5 5OE OB BE     ，联结 CE， 5 5 5,,36 66 5 AB OB BC OB BE BC BE AB     OBC ABE  又 ，∴△OBC∽△ABE AE AB OC OB 6OC OB AE AB    当点 E 在线段 BO 上时， 11 145 55BE BO OE     ， 过点 A 作 AH⊥OB，垂足为 H，由第（2）小题知 3cos cos 5ABH OBC    ，易得 4sin 5ABH 在 Rt△ABH 中， 6 , 90AB AHB    4 24sin ABH 6 55AH AB       3 18cos 6 55BH AB ABH       18 14 4 5 5 5EH BH BE      在 Rt△AEH 中， 24 490 , , ,55AHE AH EH     2 2 2 224 4 4( ) ( ) 375 5 5AE AH BH      .