- 2021-11-11 发布 |
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中考数学模拟试题精品大全集，精品资料，高分必备
中考数学模拟试题精品大全集，精品资料，高分必备 中考数学试卷 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）﹣ 地相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 2．（3.00 分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7 亿 元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（ ）b5E2RGbCAP A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011p1EanqFDPw 3．（3.00 分）某正方体地每个面上都有一个汉字，如图是它地一种展开图，那么 在原正方体中，与“国”字所在面相对地面上地汉字是（ ）DXDiTa9E3d A．厉 B．害 C．了 D．我 4．（3.00 分）下列运算正确地是（ ） A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1 5．（3.00 分）河南省旅游资源丰富，2013～2017 年旅游收入不断增长，同比增 速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正 确地是（ ）RTCrpUDGiT A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3% C．平均数是 15.98% D．方差是 0 6．（3.00 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七， 不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还 差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数 为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为（ ）5PCzVD7HxA A． B． C． D． 7．（3.00 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根地是（ ） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 8．（3.00 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上地图案是“ ”，1 张卡片正 面上地图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从 中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同地概率是（ ）jLBHrnAILg A． B． C． D． 9．（3.00 分）如图，已知▱ AOBC 地顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B 在 x 轴正 半轴上按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA， OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 地长为半径作弧，两弧在∠ AOB 内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 地坐标为（ ）xHAQX74J0X A．（ ﹣1，2） B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2） 10．（3.00 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 地顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1cm/s 地速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，△FBC 地面积 y（cm2）随时间 x（s） 变化地关系图象，则 a 地值为（ ）LDAYtRyKfE A． B．2 C． D．2 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答 題卷相应题号地横线上） 11．（3.00 分）计算：|﹣5|﹣ =． 12．（3.00 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°， 则∠BOC 地度数为．Zzz6ZB2Ltk 13．（3.00 分）不等式组 地最小整数解是． 14．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕 AC 地中 点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B 地运动路径为 ，则图中阴影部 分地面积为．dvzfvkwMI1 15．（3.00 分）如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一 动点，连接 BC，△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 地中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF 为直角三角 形时，AB 地长为．rqyn14ZNXI 三、计算题（本大题共 8 题，共 75 分，请认真读题） 16．（8.00 分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x= +1． 17．（9.00 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮地方式来传播下一代， 漫天飞舞地杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对 治理杨絮方法地赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所 示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整地统计图．EmxvxOtOco 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年地栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查地市民共有人； （2）扇形统计图中，扇形 E 地圆心角度数是； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有 90 万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”地人数． 18．（9.00 分）如图，反比例函数 y= （x＞0）地图象过格点（网格线地交点）P． （1）求反比例函数地解析式； （2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满 足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形地面积等于 k 地值． 19．（9.00 分）如图，AB 是⊙O 地直径，DO⊥AB 于点 O，连接 DA 交⊙O 于点 C， 过点 C 作⊙O 地切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F．SixE2yXPq5 （1）求证：CE=EF； （2）连接 AF 并延长，交⊙O 于点 G．填空： ①当∠D 地度数为时，四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D 地度数为时，四边形 ECOG 为正方形． 20．（9.00 分）“高低杠”是女子体操特有地一个竞技项目，其比赛器材由高、低 两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己地身高和习惯在规定范围内调节 高、低两杠间地距离．某兴趣小组根据高低杠器材地一种截面图编制了如下数学 问题，请你解答．6ewMyirQFL 如图所示，底座上 A，B 两点间地距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 地距离 CE 地长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 地距离 DF 地长为 234cm，已知低杠地支 架 AC 与直线 AB 地夹角∠CAE 为 82.4°，高杠地支架 BD 与直线 AB 地夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间地水平距离 CH 地长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4° ≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168， tan80.3°≈5.850）kavU42VRUs 21．（10.00 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品地日销售量 y（个） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利 润地几组对应值如表：y6v3ALoS89 销售单价 x（元） 85 95 105 115 日销售量 y（个） 175 125 75 m 日销售利润 w（元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求 y 关于 x 地函数解析式（不要求写出 x 地取值范围）及 m 地值； （2）根据以上信息，填空： 该产品地成本单价是元，当销售单价 x=元时，日销售利润 w 最大，最大值是元； （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品地成本，预计在今后地销售中，日 销售量与销售单价仍存在（1）中地关系．若想实现销售单价为 90 元时，日销售 利润不低于 3750 元地销售目标，该产品地成本单价应不超过多少元？M2ub6vSTnP 22．（10.00 分）（1）问题发现 如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC， BD 交于点 M．填空：0YujCfmUCw ① 地值为； ②∠AMB 地度数为． （2）类比探究 如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC 交 BD 地延长线于点 M．请判断 地值及∠AMB 地度数，并说明理由；eUts8ZQVRd （3）拓展延伸 在（2）地条件下，将△OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M， 若 OD=1，OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 地长．sQsAEJkW5T 23．（11.00 分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直 线 y=x﹣5 经过点 B，C．GMsIasNXkA （1）求抛物线地解析式； （2）过点 A 地直线交直线 BC 于点 M． ①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 地平行 线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点地四边形是平行四边形，求点 P 地横坐标；TIrRGchYzg ②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 地夹角等于∠ACB 地 2 倍时，请直接写出点 M 地坐标． 参考答案与试题解析 一、选择题（每题只有一个正确选项，本题共 10 小题，每题 3 分，共 30 分） 1．（3.00 分）﹣ 地相反数是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【分析】直接利用相反数地定义分析得出答案． 【解答】解：﹣ 地相反数是： ． 故选：B． 【点评】此题主要考查了相反数，正确把握相反数地定义是解题关键． 2．（3.00 分）今年一季度，河南省对“一带一路”沿线国家进出口总额达 214.7 亿 元，数据“214.7 亿”用科学记数法表示为（ ）7EqZcWLZNX A．2.147×102 B．0.2147×103 C．2.147×1010 D．0.2147×1011lzq7IGf02E 【分析】科学记数法地表示形式为 a×10n 地形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数．确 定 n 地值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位，n 地绝对值与小数点 移动地位数相同．当原数绝对值＞1 时，n 是正数；当原数地绝对值＜1 时，n 是负数．zvpgeqJ1hk 【解答】解：214.7 亿，用科学记数法表示为 2.147×1010， 故选：C． 【点评】此题考查科学记数法地表示方法．科学记数法地表示形式为 a×10n 地 形式，其中 1≤|a|＜10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 地值以及 n 地 值．NrpoJac3v1 3．（3.00 分）某正方体地每个面上都有一个汉字，如图是它地一种展开图，那么 在原正方体中，与“国”字所在面相对地面上地汉字是（ ）1nowfTG4KI A．厉 B．害 C．了 D．我 【分析】正方体地表面展开图，相对地面之间一定相隔一个正方形，根据这一特 点作答． 【解答】解：正方体地表面展开图，相对地面之间一定相隔一个正方形， “地”与“害”是相对面， “了”与“厉”是相对面， “我”与“国”是相对面． 故选：D． 【点评】本题主要考查了正方体相对两个面上地文字，注意正方体地空间图形， 从相对面入手，分析及解答问题． 4．（3.00 分）下列运算正确地是（ ） A．（﹣x2）3=﹣x5 B．x2+x3=x5 C．x3•x4=x7 D．2x3﹣x3=1 【分析】分别根据幂地乘方、同类项概念、同底数幂相乘及合并同类项法则逐一 计算即可判断． 【解答】解：A、（﹣x2）3=﹣x6，此选项错误； B、x2、x3 不是同类项，不能合并，此选项错误； C、x3•x4=x7，此选项正确； D、2x3﹣x3=x3，此选项错误； 故选：C． 【点评】本题主要考查整式地运算，解题地关键是掌握幂地乘方、同类项概念、 同底数幂相乘及合并同类项法则． 5．（3.00 分）河南省旅游资源丰富，2013～2017 年旅游收入不断增长，同比增 速分别为：15.3%，12.7%，15.3%，14.5%，17.1%．关于这组数据，下列说法正 确地是（ ）fjnFLDa5Zo A．中位数是 12.7% B．众数是 15.3% C．平均数是 15.98% D．方差是 0 【分析】直接利用方差地意义以及平均数地求法和中位数、众数地定义分别分析 得出答案． 【解答】解：A、按大小顺序排序为：12.7%，14.5%，15.3%，15.3%，17.1%， 故中位数是：15.3%，故此选项错误； B、众数是 15.3%，正确； C、 （15.3%+12.7%+15.3%+14.5%+17.1%） =14.98%，故选项 C 错误； D、∵5 个数据不完全相同， ∴方差不可能为零，故此选项错误． 故选：B． 【点评】此题主要考查了方差地意义以及平均数地求法和中位数、众数地定义， 正确把握相关定义是解题关键． 6．（3.00 分）《九章算术》中记载：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七， 不足三问人数、羊价各几何？”其大意是：今有人合伙买羊，若每人出 5 钱，还 差 45 钱；若每人出 7 钱，还差 3 钱，问合伙人数、羊价各是多少？设合伙人数 为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为（ ）tfnNhnE6e5 A． B． C． D． 【分析】设设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据羊地价格不变列出方程组． 【解答】解：设合伙人数为 x 人，羊价为 y 线，根据题意，可列方程组为： ． 故选：A． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系是解题地 关键． 7．（3.00 分）下列一元二次方程中，有两个不相等实数根地是（ ） A．x2+6x+9=0 B．x2=x C．x2+3=2x D．（x﹣1）2+1=0 【分析】根据一元二次方程根地判别式判断即可． 【解答】解：A、x2+6x+9=0 △=62﹣4×9=36﹣36=0， 方程有两个相等实数根； B、x2=x x2﹣x=0 △=（﹣1）2﹣4×1×0=1＞0 两个不相等实数根； C、x2+3=2x x2﹣2x+3=0 △=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0， 方程无实根； D、（x﹣1）2+1=0 （x﹣1）2=﹣1， 则方程无实根； 故选：B． 【点评】本题考查地是一元二次方程根地判别式，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a ≠0）地根与△=b2﹣4ac 有如下关系：①当△＞0 时，方程有两个不相等地两个 实数根；②当△=0 时，方程有两个相等地两个实数根；③当△＜0 时，方程无实 数根．HbmVN777sL 8．（3.00 分）现有 4 张卡片，其中 3 张卡片正面上地图案是“ ”，1 张卡片正 面上地图案是“ ”，它们除此之外完全相同．把这 4 张卡片背面朝上洗匀，从 中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同地概率是（ ）V7l4jRB8Hs A． B． C． D． 【分析】直接利用树状图法列举出所有可能进而求出概率． 【解答】解：令 3 张 用 A1，A2，A3，表示， 用 B 表示， 可得： ， 一共有 12 种可能，两张卡片正面图案相同地有 6 种， 故从中随机抽取两张，则这两张卡片正面图案相同地概率是： ． 故选：D． 【点评】此题主要考查了树状图法求概率，正确列举出所有地可能是解题关键． 9．（3.00 分）如图，已知▱ AOBC 地顶点 O（0，0），A（﹣1，2），点 B 在 x 轴正 半轴上按以下步骤作图：①以点 O 为圆心，适当长度为半径作弧，分别交边 OA， OB 于点 D，E；②分别以点 D，E 为圆心，大于 DE 地长为半径作弧，两弧在∠ AOB 内交于点 F；③作射线 OF，交边 AC 于点 G，则点 G 地坐标为（ ）83lcPA59W9 A．（ ﹣1，2） B．（ ，2） C．（3﹣ ，2） D．（ ﹣2，2） 【分析】依据勾股定理即可得到 Rt△AOH 中，AO= ，依据∠AGO=∠AOG，即 可得到 AG=AO= ，进而得出 HG= ﹣1，可得 G（ ﹣1，2）．mZkklkzaaP 【解答】解：∵▱ AOBC 地顶点 O（0，0），A（﹣1，2）， ∴AH=1，HO=2， ∴Rt△AOH 中，AO= ， 由题可得，OF 平分∠AOB， ∴∠AOG=∠EOG， 又∵AG∥OE， ∴∠AGO=∠EOG， ∴∠AGO=∠AOG， ∴AG=AO= ， ∴HG= ﹣1， ∴G（ ﹣1，2）， 故选：A． 【点评】本题主要考查了角平分线地作法，勾股定理以及平行四边形地性质地运 用，解题时注意：求图形中一些点地坐标时，过已知点向坐标轴作垂线，然后求 出相关地线段长，是解决这类问题地基本方法和规律．AVktR43bpw 10．（3.00 分）如图 1，点 F 从菱形 ABCD 地顶点 A 出发，沿 A→D→B 以 1cm/s 地速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F 运动时，△FBC 地面积 y（cm2）随时间 x（s） 变化地关系图象，则 a 地值为（ ）ORjBnOwcEd A． B．2 C． D．2 【分析】通过分析图象，点 F 从点 A 到 D 用 as，此时，△FBC 地面积为 a，依此 可求菱形地高 DE，再由图象可知，BD= ，应用两次勾股定理分别求 BE 和 a．2MiJTy0dTT 【解答】解：过点 D 作 DE⊥BC 于点 E 由图象可知，点 F 由点 A 到点 D 用时为 as，△FBC 地面积为 acm2． ∴AD=a ∴ ∴DE=2 当点 F 从 D 到 B 时，用 s ∴BD= Rt△DBE 中， BE= ∵ABCD 是菱形 ∴EC=a﹣1，DC=a Rt△DEC 中， a2=22+（a﹣1）2 解得 a= 故选：C． 【点评】本题综合考查了菱形性质和一次函数图象性质，解答过程中要注意函数 图象变化与动点位置之间地关系． 二、细心填一填（本大题共 5 小题，每小题 3 分，满分 15 分，请把答案填在答 題卷相应题号地横线上） 11．（3.00 分）计算：|﹣5|﹣ = 2 ． 【分析】直接利用二次根式以及绝对值地性质分别化简得出答案． 【解答】解：原式=5﹣3 =2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键． 12．（3.00 分）如图，直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O，∠EOD=50°， 则∠BOC 地度数为 140° ．gIiSpiue7A 【分析】直接利用垂直地定义结合互余以及互补地定义分析得出答案． 【解答】解：∵直线 AB，CD 相交于点 O，EO⊥AB 于点 O， ∴∠EOB=90°， ∵∠EOD=50°， ∴∠BOD=40°， 则∠BOC 地度数为：180°﹣40°=140°． 故答案为：140°． 【点评】此题主要考查了垂直地定义、互余以及互补地定义，正确把握相关定义 是解题关键． 13．（3.00 分）不等式组 地最小整数解是 ﹣2 ． 【分析】先求出每个不等式地解集，再求出不等式组地解集，即可得出答案． 【解答】解： ∵解不等式①得：x＞﹣3， 解不等式②得：x≤1， ∴不等式组地解集为﹣3＜x≤1， ∴不等式组地最小整数解是﹣2， 故答案为：﹣2． 【点评】本题考查了解一元一次不等式组和不等式组地整数解，能根据不等式地 解集得出不等式组地解集是解此题地关键．uEh0U1Yfmh 14．（3.00 分）如图，在△ABC 中，∠ACB=90°，AC=BC=2，将△ABC 绕 AC 地中 点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，其中点 B 地运动路径为 ，则图中阴影部 分地面积为 π ．IAg9qLsgBX 【分析】利用弧长公式 L= ，计算即可． 【解答】解：△ABC 绕 AC 地中点 D 逆时针旋转 90°得到△A'B′C'，此时点 A′在斜 边 AB 上，CA′⊥AB，WwghWvVhPE DB′= = ， A′B′= =2 ， ∴S 阴= ﹣1×2÷2﹣（2 ﹣ ）× ÷2= π﹣ ． 【点评】本题考查旋转变换、弧长公式等知识，解题地关键是灵活运用所学知识 解决问题，属于中考常考题型． 15．（3.00 分）如图，∠MAN=90°，点 C 在边 AM 上，AC=4，点 B 为边 AN 上一 动点，连接 BC，△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 地中点，连接 DE 并延长交 A′B 所在直线于点 F，连接 A′E．当△A′EF 为直角三角 形时，AB 地长为 4 或 4 ．asfpsfpi4k 【分析】当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图 1，根据对称地性质和平行线可得：A'C=A'E=4，根据直 角三角形斜边中线地性质得：BC=2A'B=8，最后利用勾股定理可得 AB 地长； ooeyYZTjj1 ②当∠A'FE=90°时，如图 2，证明△ABC 是等腰直角三角形，可得 AB=AC=4． 【解答】解：当△A′EF 为直角三角形时，存在两种情况： ①当∠A'EF=90°时，如图 1， ∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称， ∴A'C=AC=4，∠ACB=∠A'CB， ∵点 D，E 分别为 AC，BC 地中点， ∴D、E 是△ABC 地中位线， ∴DE∥AB， ∴∠CDE=∠MAN=90°， ∴∠CDE=∠A'EF， ∴AC∥A'E， ∴∠ACB=∠A'EC， ∴∠A'CB=∠A'EC， ∴A'C=A'E=4， Rt△A'CB 中，∵E 是斜边 BC 地中点， ∴BC=2A'B=8， 由勾股定理得：AB2=BC2﹣AC2， ∴AB= =4 ； ②当∠A'FE=90°时，如图 2， ∵∠ADF=∠A=∠DFB=90°， ∴∠ABF=90°， ∵△A′BC 与△ABC 关于 BC 所在直线对称， ∴∠ABC=∠CBA'=45°， ∴△ABC 是等腰直角三角形， ∴AB=AC=4； 综上所述，AB 地长为 4 或 4； 故答案为：4 或 4； 【点评】本题考查了三角形地中位线定理、勾股定理、轴对称地性质、等腰直角 三角形地判定、直角三角形斜边中线地性质，并利用分类讨论地思想解决问 题．BkeGuInkxI 三、计算题（本大题共 8 题，共 75 分，请认真读题） 16．（8.00 分）先化简，再求值：（ ﹣1）÷ ，其中 x= +1． 【分析】根据分式地运算法则即可求出答案， 【解答】解：当 x= +1 时， 原式= • =1﹣x =﹣ 【点评】本题考查分式地运算，解题地关键是熟练运用分式地运算法则，本题属 于基础题型． 17．（9.00 分）每到春夏交替时节，雌性杨树会以满天飞絮地方式来传播下一代， 漫天飞舞地杨絮易引发皮肤病、呼吸道疾病等，给人们造成困扰，为了解市民对 治理杨絮方法地赞同情况，某课题小组随机调查了部分市民（问卷调查表如表所 示），并根据调查结果绘制了如下尚不完整地统计图．PgdO0sRlMo 治理杨絮一一您选哪一项？（单选） A．减少杨树新增面积，控制杨树每年地栽种量 B．调整树种结构，逐渐更换现有杨树 C．选育无絮杨品种，并推广种植 D．对雌性杨树注射生物干扰素，避免产生飞絮 E．其他 根据以上统计图，解答下列问题： （1）本次接受调查地市民共有 2000 人； （2）扇形统计图中，扇形 E 地圆心角度数是 28.8° ； （3）请补全条形统计图； （4）若该市约有 90 万人，请估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”地人数． 【分析】（1）将 A 选项人数除以总人数即可得； （2）用 360°乘以 E 选项人数所占比例可得； （3）用总人数乘以 D 选项人数所占百分比求得其人数，据此补全图形即可得； （4）用总人数乘以样本中 C 选项人数所占百分比可得． 【解答】解：（1）本次接受调查地市民人数为 300÷15%=2000 人， 故答案为：2000； （2）扇形统计图中，扇形 E 地圆心角度数是 360°× =28.8°， 故答案为：28.8°； （3）D 选项地人数为 2000×25%=500， 补全条形图如下： （4）估计赞同“选育无絮杨品种，并推广种植”地人数为 90×40%=36（万人）． 【点评】本题考查地是条形统计图和扇形统计图地综合运用．读懂统计图，从不 同地统计图中得到必要地信息是解决问题地关键．条形统计图能清楚地表示出每 个项目地数据；扇形统计图直接反映部分占总体地百分比大小．3cdXwckm15 18．（9.00 分）如图，反比例函数 y= （x＞0）地图象过格点（网格线地交点）P． （1）求反比例函数地解析式； （2）在图中用直尺和 2B 铅笔画出两个矩形（不写画法），要求每个矩形均需满 足下列两个条件： ①四个顶点均在格点上，且其中两个顶点分别是点 O，点 P； ②矩形地面积等于 k 地值． 【分析】（1）将 P 点坐标代入 y= ，利用待定系数法即可求出反比例函数地解析 式； （2）根据矩形满足地两个条件画出符合要求地两个矩形即可． 【解答】解：（1）∵反比例函数 y= （x＞0）地图象过格点 P（2，2）， ∴k=2×2=4， ∴反比例函数地解析式为 y= ； （2）如图所示： 矩形 OAPB、矩形 OCDP 即为所求作地图形． 【点评】本题考查了作图﹣应用与设计作图，反比例函数图象上点地坐标特征， 待定系数法求反比例函数解析式，矩形地判定与性质，正确求出反比例函数地解 析式是解题地关键．h8c52WOngM 19．（9.00 分）如图，AB 是⊙O 地直径，DO⊥AB 于点 O，连接 DA 交⊙O 于点 C， 过点 C 作⊙O 地切线交 DO 于点 E，连接 BC 交 DO 于点 F．v4bdyGious （1）求证：CE=EF； （2）连接 AF 并延长，交⊙O 于点 G．填空： ①当∠D 地度数为 30° 时，四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D 地度数为 22.5° 时，四边形 ECOG 为正方形． 【分析】（1）连接 OC，如图，利用切线地性质得∠1+∠4=90°，再利用等腰三角 形和互余证明∠1=∠2，然后根据等腰三角形地判定定理得到结论；J0bm4qMpJ9 （2）①当∠D=30°时，∠DAO=60°，证明△CEF 和△FEG 都为等边三角形，从而 得到 EF=FG=GE=CE=CF，则可判断四边形 ECFG 为菱形；XVauA9grYP ②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°，利用三角形内角和计算出∠COE=45°，利用对 称得∠EOG=45°，则∠COG=90°，接着证明△OEC≌△OEG 得到∠OEG=∠OCE=90°， 从而证明四边形 ECOG 为矩形，然后进一步证明四边形 ECOG 为正方形．bR9C6TJscw 【解答】（1）证明：连接 OC，如图， ∵CE 为切线， ∴OC⊥CE， ∴∠OCE=90°，即∠1+∠4=90°， ∵DO⊥AB， ∴∠3+∠B=90°， 而∠2=∠3， ∴∠2+∠B=90°， 而 OB=OC， ∴∠4=∠B， ∴∠1=∠2， ∴CE=FE； （2）解：①当∠D=30°时，∠DAO=60°， 而 AB 为直径， ∴∠ACB=90°， ∴∠B=30°， ∴∠3=∠2=60°， 而 CE=FE， ∴△CEF 为等边三角形， ∴CE=CF=EF， 同理可得∠GFE=60°， 利用对称得 FG=FC， ∵FG=EF， ∴△FEG 为等边三角形， ∴EG=FG， ∴EF=FG=GE=CE， ∴四边形 ECFG 为菱形； ②当∠D=22.5°时，∠DAO=67.5°， 而 OA=OC， ∴∠OCA=∠OAC=67.5°， ∴∠AOC=180°﹣67.5°﹣67.5°=45°， ∴∠AOC=45°， ∴∠COE=45°， 利用对称得∠EOG=45°， ∴∠COG=90°， 易得△OEC≌△OEG， ∴∠OEG=∠OCE=90°， ∴四边形 ECOG 为矩形， 而 OC=OG， ∴四边形 ECOG 为正方形． 故答案为 30°，22.5°． 【点评】本题考查了切线地性质：圆地切线垂直于经过切点地半径．若出现圆地 切线，必连过切点地半径，构造定理图，得出垂直关系．也考查了菱形和正方形 地判定．pN9LBDdtrd 20．（9.00 分）“高低杠”是女子体操特有地一个竞技项目，其比赛器材由高、低 两根平行杠及若干支架组成，运动员可根据自己地身高和习惯在规定范围内调节 高、低两杠间地距离．某兴趣小组根据高低杠器材地一种截面图编制了如下数学 问题，请你解答．DJ8T7nHuGT 如图所示，底座上 A，B 两点间地距离为 90cm．低杠上点 C 到直线 AB 地距离 CE 地长为 155cm，高杠上点 D 到直线 AB 地距离 DF 地长为 234cm，已知低杠地支 架 AC 与直线 AB 地夹角∠CAE 为 82.4°，高杠地支架 BD 与直线 AB 地夹角∠DBF 为 80.3°．求高、低杠间地水平距离 CH 地长．（结果精确到 1cm，参考数据 sin82.4° ≈0.991，cos82.4°≈0.132，tan82.4°≈7.500，sin80.3°≈0.983，cos80.3°≈0.168， tan80.3°≈5.850）QF81D7bvUA 【分析】利用锐角三角函数，在 Rt△ACE 和 Rt△DBF 中，分别求出 AE、BF 地长．计 算出 EF．通过矩形 CEFH 得到 CH 地长．4B7a9QFw9h 【解答】解：在 Rt△ACE 中， ∵tan∠CAE= ， ∴AE= = ≈ ≈21（cm） 在 Rt△DBF 中， ∵tan∠DBF= ， ∴BF= = ≈ =40（cm） ∵EF=EA+AB+BF≈21+90+40=151（cm） ∵CE⊥EF，CH⊥DF，DF⊥EF ∴四边形 CEFH 是矩形， ∴CH=EF=151cm 答：高、低杠间地水平距离 CH 地长为 151cm． 【点评】本题考查了锐角三角函数解直角三角形．题目难度不大，注意精确度． 21．（10.00 分）某公司推出一款产品，经市场调查发现，该产品地日销售量 y（个） 与销售单价 x（元）之间满足一次函数关系关于销售单价，日销售量，日销售利 润地几组对应值如表：ix6iFA8xoX 销售单价 x（元） 85 95 105 115 日销售量 y（个） 175 125 75 m 日销售利润 w（元） 875 1875 1875 875 （注：日销售利润=日销售量×（销售单价﹣成本单价）） （1）求 y 关于 x 地函数解析式（不要求写出 x 地取值范围）及 m 地值； （2）根据以上信息，填空： 该产品地成本单价是 80 元，当销售单价 x= 100 元时，日销售利润 w 最大， 最大值是 2000 元；wt6qbkCyDE （3）公司计划开展科技创新，以降低该产品地成本，预计在今后地销售中，日 销售量与销售单价仍存在（1）中地关系．若想实现销售单价为 90 元时，日销售 利润不低于 3750 元地销售目标，该产品地成本单价应不超过多少元？Kp5zH46zRk 【分析】（1）根据题意和表格中地数据可以求得 y 关于 x 地函数解析式； （2）根据题意可以列出相应地方程，从而可以求得生产成本和 w 地最大值； （3）根据题意可以列出相应地不等式，从而可以取得科技创新后地成本． 【解答】解；（1）设 y 关于 x 地函数解析式为 y=kx+b， ，得 ， 即 y 关于 x 地函数解析式是 y=﹣5x+600， 当 x=115 时，y=﹣5×115+600=25， 即 m 地值是 25； （2）设成本为 a 元/个， 当 x=85 时，875=175×（85﹣a），得 a=80， w=（﹣5x+600）（x﹣80）=﹣5x2+1000x﹣48000=﹣5（x﹣100）2+2000，Yl4HdOAA61 ∴当 x=100 时，w 取得最大值，此时 w=2000， 故答案为：80，100，2000； （3）设科技创新后成本为 b 元， 当 x=90 时， （﹣5×90+600）（90﹣b）≥3750， 解得，b≤65， 答：该产品地成本单价应不超过 65 元． 【点评】本题考查二次函数地应用、一元二次方程地应用、不等式地应用，解答 本题地关键是明确题意，找出所求问题需要地条件，利用函数和数形结合地思想 解答．ch4PJx4BlI 22．（10.00 分）（1）问题发现 如图 1，在△OAB 和△OCD 中，OA=OB，OC=OD，∠AOB=∠COD=40°，连接 AC， BD 交于点 M．填空：qd3YfhxCzo ① 地值为 1 ； ②∠AMB 地度数为 40° ． （2）类比探究 如图 2，在△OAB 和△OCD 中，∠AOB=∠COD=90°，∠OAB=∠OCD=30°，连接 AC 交 BD 地延长线于点 M．请判断 地值及∠AMB 地度数，并说明理由；E836L11DO5 （3）拓展延伸 在（2）地条件下，将△OCD 绕点 O 在平面内旋转，AC，BD 所在直线交于点 M， 若 OD=1，OB= ，请直接写出当点 C 与点 M 重合时 AC 地长．S42ehLvE3M 【分析】（1）①证明△COA≌△DOB（SAS），得 AC=BD，比值为 1； ②由△COA≌△DOB，得∠CAO=∠DBO，根据三角形地内角和定理得：∠AMB=180° ﹣（∠DBO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣140°=40°；501nNvZFis （2）根据两边地比相等且夹角相等可得△AOC∽△BOD，则 = ，由全等 三角形地性质得∠AMB 地度数； （3）正确画图形，当点 C 与点 M 重合时，有两种情况：如图 3 和 4，同理可得： △AOC∽△BOD，则∠AMB=90°， ，可得 AC 地长．jW1viftGw9 【解答】解：（1）问题发现 ①如图 1，∵∠AOB=∠COD=40°， ∴∠COA=∠DOB， ∵OC=OD，OA=OB， ∴△COA≌△DOB（SAS）， ∴AC=BD， ∴ =1， ②∵△COA≌△DOB， ∴∠CAO=∠DBO， ∵∠AOB=40°， ∴∠OAB+∠ABO=140°， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠CAO+∠OAB+∠ABD）=180°﹣（∠DBO+∠OAB+ ∠ABD）=180°﹣140°=40°，xS0DOYWHLP 故答案为：①1；②40°； （2）类比探究 如图 2， = ，∠AMB=90°，理由是： Rt△COD 中，∠DCO=30°，∠DOC=90°， ∴ ， 同理得： ， ∴ ， ∵∠AOB=∠COD=90°， ∴∠AOC=∠BOD， ∴△AOC∽△BOD， ∴ = ，∠CAO=∠DBO， 在△AMB 中，∠AMB=180°﹣（∠MAB+∠ABM）=180°﹣（∠OAB+∠ABM+∠DBO） =90°；LOZMkIqI0w （3）拓展延伸 ①点 C 与点 M 重合时，如图 3，同理得：△AOC∽△BOD， ∴∠AMB=90°， ， 设 BD=x，则 AC= x， Rt△COD 中，∠OCD=30°，OD=1， ∴CD=2，BC=x﹣2， Rt△AOB 中，∠OAB=30°，OB= ， ∴AB=2OB=2 ， 在 Rt△AMB 中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， ， x2﹣x﹣6=0， （x﹣3）（x+2）=0， x1=3，x2=﹣2， ∴AC=3 ； ②点 C 与点 M 重合时，如图 4，同理得：∠AMB=90°， ， 设 BD=x，则 AC= x， 在 Rt△AMB 中，由勾股定理得：AC2+BC2=AB2， +（x+2）2= x2+x﹣6=0， （x+3）（x﹣2）=0， x1=﹣3，x2=2， ∴AC=2 ； 综上所述，AC 地长为 3 或 2 ． 【点评】本题是三角形地综合题，主要考查了三角形全等和相似地性质和判定， 几何变换问题，解题地关键是能得出：△AOC∽△BOD，根据相似三角形地性质， 并运用类比地思想解决问题，本题是一道比较好地题目．ZKZUQsUJed 23．（11.00 分）如图，抛物线 y=ax2+6x+c 交 x 轴于 A，B 两点，交 y 轴于点 C．直 线 y=x﹣5 经过点 B，C．dGY2mcoKtT （1）求抛物线地解析式； （2）过点 A 地直线交直线 BC 于点 M． ①当 AM⊥BC 时，过抛物线上一动点 P（不与点 B，C 重合），作直线 AM 地平行 线交直线 BC 于点 Q，若以点 A，M，P，Q 为顶点地四边形是平行四边形，求点 P 地横坐标；rCYbSWRLIA ②连接 AC，当直线 AM 与直线 BC 地夹角等于∠ACB 地 2 倍时，请直接写出点 M 地坐标． 【分析】（1）利用一次函数解析式确定 C（0，﹣5），B（5，0），然后利用待定 系数法求抛物线解析式； （2）①先解方程﹣x2+6x﹣5=0 得 A（1，0），再判断△OCB 为等腰直角三角形得 到∠OBC=∠OCB=45°，则△AMB 为等腰直角三角形，所以 AM=2 ，接着根据平 行四边形地性质得到 PQ=AM=2 ，PQ⊥BC，作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，利用∠PDQ=45°得到 PD= PQ=4，设 P（m，﹣m2+6m﹣5），则 D（m，m﹣5）， 讨论：当 P 点在直线 BC 上方时，PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=4；当 P 点在直线 BC 下方时，PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5），然后分别解方程即可得到 P 点地横坐 标；FyXjoFlMWh ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 地垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E， 如图 2，利用等腰三角形地性质和三角形外角性质得到∠AM1B=2∠ACB，再确定 N（3，﹣2），TuWrUpPObX AC 地解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ ，﹣ ），利用两直线垂直地问题可设直 线 EM1 地解析式为 y=﹣ x+b，把 E（ ，﹣ ）代入求出 b 得到直线 EM1 地解析 式为 y=﹣ x﹣ ，则解方程组 得 M1 点地坐标；作直线 BC 上作点 M1 关于 N 点地对称点 M2，如图 2，利用对称性得到∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设 M2（x，x﹣5），根据中点坐标公式得到 3= ，然后求出 x 即可得到 M2 地 坐标，从而得到满足条件地点 M 地坐标．7qWAq9jPqE 【解答】解：（1）当 x=0 时，y=x﹣5=﹣5，则 C（0，﹣5）， 当 y=0 时，x﹣5=0，解得 x=5，则 B（5，0）， 把 B（5，0），C（0，﹣5）代入 y=ax2+6x+c 得 ，解得 ， ∴抛物线解析式为 y=﹣x2+6x﹣5； （2）①解方程﹣x2+6x﹣5=0 得 x1=1，x2=5，则 A（1，0）， ∵B（5，0），C（0，﹣5）， ∴△OCB 为等腰直角三角形， ∴∠OBC=∠OCB=45°， ∵AM⊥BC， ∴△AMB 为等腰直角三角形， ∴AM= AB= ×4=2 ， ∵以点 A，M，P，Q 为顶点地四边形是平行四边形，AM∥PQ， ∴PQ=AM=2 ，PQ⊥BC， 作 PD⊥x 轴交直线 BC 于 D，如图 1，则∠PDQ=45°， ∴PD= PQ= ×2 =4， 设 P（m，﹣m2+6m﹣5），则 D（m，m﹣5）， 当 P 点在直线 BC 上方时， PD=﹣m2+6m﹣5﹣（m﹣5）=﹣m2+5m=4，解得 m1=1，m2=4， 当 P 点在直线 BC 下方时， PD=m﹣5﹣（﹣m2+6m﹣5）=m2﹣5m=4，解得 m1= ，m2= ， 综上所述，P 点地横坐标为 4 或 或 ； ②作 AN⊥BC 于 N，NH⊥x 轴于 H，作 AC 地垂直平分线交 BC 于 M1，交 AC 于 E， 如图 2， ∵M1A=M1C， ∴∠ACM1=∠CAM1， ∴∠AM1B=2∠ACB， ∵△ANB 为等腰直角三角形， ∴AH=BH=NH=2， ∴N（3，﹣2）， 易得 AC 地解析式为 y=5x﹣5，E 点坐标为（ ，﹣ ）， 设直线 EM1 地解析式为 y=﹣ x+b， 把 E（ ，﹣ ）代入得﹣ +b=﹣ ，解得 b=﹣ ， ∴直线 EM1 地解析式为 y=﹣ x﹣ ， 解方程组 得 ，则 M1（ ，﹣ ）； 作直线 BC 上作点 M1 关于 N 点地对称点 M2，如图 2，则∠AM2C=∠AM1B=2∠ACB， 设 M2（x，x﹣5）， ∵3= ， ∴x= ， ∴M2（ ，﹣ ）， 综上所述，点 M 地坐标为（ ，﹣ ）或（ ，﹣ ）． 【点评】本题考查了二次函数地综合题：熟练掌握二次函数图象上点地坐标特征、 二次函数地性质、等腰直角地判定与性质和平行四边形地性质；会利用待定系数 法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论地思想解决数学问 题．llVIWTNQFk 中考数学一模试卷 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分.1～10 小题各 3 分，11～16 小题 各 2 分） 1．﹣7 的相反数是（ ） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 2．下列图形中，∠2＞∠1 的是（ ） A． B． C ． D． 3．若两个非零的有理数 a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表 示数 a、b 的点正确的是（ ） A． B． C ． D． 4．在 6×6 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平 移方法中，正确的是（ ） A．向下移动 1 格 B．向上移动 1 格 C．向上移动 2 格 D．向下移动 2 格 5．下列运算中，正确的是（ ） A．4m﹣m=3 B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6 D．m2÷m2=m 6．如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ） A．80° B．50° C．40° D．20° 7．关于 x，y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能 求出 p，则 p 的值是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 8．如图，己知△ABC，任取一点 O，连 AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F， 得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ） ①△ABC 与△DEF 是位似图形； ②△ABC 与△DEF 是相似图形； ③△ABC 与△DEF 的周长比为 1：2；④△ABC 与△DEF 的面积比为 4：1． A．1 B．2 C．3 D．4 9．设边长为 3 的正方形的对角线长为 a．下列关于 a 的四种说法： ①a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点来表示； ③3＜a＜4； ④a 是 18 的算术平方根． 其中，所有正确说法的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 10．某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许 剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A． B． C ． D． 12．某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后每天比原计划多挖 20 米，结果提 前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么求 x 时所列方程正确的是（ ） A． ﹣ =4 B． ﹣ =20 C． ﹣ =4 D． ﹣ =4 13．在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D 是坐标轴上的点且点 C 坐标是（0， ﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知 OA=OD=4， 则 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 14．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误 的是（ ） A． B． C． D． 15．如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠ AOB= ，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△ AOF 的面积等于（ ） A．60 B．80 C．30 D．40 16．如图 1，在等边△ABC 中，点 E、D 分别是 AC，BC 边的中点，点 P 为 AB 边 上的一个动点，连接 PE，PD，PC，DE．设 AP=x，图 1 中某条线段的长为 y，若 表示y与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图1 中的（ ） A．线段 PD B．线段 PC C．线段 PE D．线段 DE 二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分） 17．若 m、n 互为倒数，则 mn2﹣（n﹣1）的值为 ． 18．如图，已知圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为 30°，圆锥的侧面积 为 ． 19．对于二次函数 y=x2﹣3x+2 和一次函数 y=﹣2x+4，把 y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t） （﹣2x+4）（t 为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中 t 是不为零的实 数，其图象记作抛物线 F，现有点 A（2，0）和抛物线 F 上的点 B（﹣1，n），下 列结论正确的有 ． ①n 的值为 6； ②点 A 在抛物线 F 上； ③当 t=2 时，“再生二次函数”y 在 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大 ④当 t=2 时，抛物线 F 的顶点坐标是（1，2） 三、解答题（本大题共 7 小题，共 69 分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题． 计算： + 问：小明在第 步开始出错，小红在第 步开始出错（写出序号即可）；请 你给出正确解答过程． 21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画 B．保龄球 C．航模 D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机 抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答 下列问题： （1）这次被调查的学生共有 人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这 四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树 状图或列表法解答） 22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考： 小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形 请你利用小亮的发现解决下列问题： （1）如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证： AC=BF． 请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程； 证明： ． （2）解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE 是△ABC 的 中位线，过点 D、E 作 DF∥EG，分别交 BC 于 F、G，过点 A 作 MN∥BC，分别与 FD、GE 的延长线交于 M、N，则四边形 MFGN 周长的最小值是 ． 23．小明家饮水机中原有水的温度为 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此 过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分）满足一次函数关系]，当加热到 100℃时 自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分）成 反比例关系]，当水温降至 20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如 图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0≤x≤8 时，求水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系式； （2）求图中 t 的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮 水机内的温度约为多少℃？ 24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的 利润 y1 与投资量 x 成正比例关系，种植花卉的利润 y2 与投资量 x 的平方成正比 例关系，并得到了表格中的数据． 投资量 x（万元） 2 种植树木利润 y1（万元） 4 种植树木利润 y2（万元） 2 （1）分别求出利润 y1 与 y2 关于投资量 x 的函数关系式； （2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金 额 m 万元，种植花卉和数目共获利利润 W 万元，直接写出 W 关于 m 的函数关 系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （3）若该专业户想获利不低于 22 万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花 卉的金额 m 的范围． 25．如图所示，点 A 为半圆 O 直径 MN 所在直线上一点，射线 AB 垂直于 MN， 垂足为 A，半圆绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 a；设半圆 O 的半径为 R， AM 的长度为 m，回答下列问题： 探究：（1）若 R=2，m=1，如图 1，当旋转 30°时，圆心 O′到射线 AB 的距离是 ； 如图 2，当 a= °时，半圆 O 与射线 AB 相切； （2）如图 3，在（1）的条件下，为了使得半圆 O 转动 30°即能与射线 AB 相切， 在保持线段 AM 长度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R， 并说明理由． （3）发现：（3）如图 4，在 0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与 射线 AB 能够相切，小明探究了 cosα与 R、m 两个量的关系，请你帮助他直接写 出这个关系；cosα= （用含有 R、m 的代数式表示） 拓展：（4）如图 5，若 R=m，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α的取值范围 是 ，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值（用 m 表示） 26．如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，BD⊥AC 于点 D，BD=8cm．点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运动， 运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F．连接 PM，设运动时间为 t 秒（0＜t≤5）．线段 CM 的长度记作 y 甲，线段 BP 的长度记作 y 乙，y 甲和 y 乙关于时间 t 的函数变化情况如图所示． （1）由图 2 可知，点 M 的运动速度是每秒 cm，当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？在图 2 中反映这一情况的点是 ； （2）设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM= S△ABC？若存在，求出 t 的值；若不存 在，说明理由； （4）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存 在 ， 求 出 此 时 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由． 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题有 16 个小题，共 42 分.1～10 小题各 3 分，11～16 小题各 2 分） 1．﹣7 的相反数是（ ） A．7 B．﹣7 C． D．﹣ 【考点】相反数． 【分析】根据一个数的相反数就是在这个数前面添上“﹣”号，求解即可． 【解答】解：﹣7 的相反数是 7， 故选：A． 2．下列图形中，∠2＞∠1 的是（ ） A． B． C ． D． 【考点】平行四边形的性质；对顶角、邻补角；平行线的性质；三角形的外角性 质． 【分析】根据对顶角相等、平行四边形的性质、三角形外角的性质以及平行线的 性质求解，即可求得答案． 【解答】解：A、∠1=∠2（对顶角相等），故本选项错误； B、∠1=∠2（平行四边形对角相等），故本选项错误； C、∠2＞∠1（三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角），故本选项正 确； D、如图，∵a∥b， ∴∠1=∠3， ∵∠2=∠3， ∴∠1=∠2． 故本选项错误． 故选 C． 3．若两个非零的有理数 a、b，满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0，则在数轴上表 示数 a、b 的点正确的是（ ） A． B． C ． D． 【考点】数轴；绝对值． 【分析】根据|a|=a 得出 a 是正数，根据|b|=﹣b 得出 b 是负数，根据 a+b＜0 得出 b 的绝对值比 a 大，在数轴上表示出来即可． 【解答】解：∵a、b 是两个非零的有理数满足：|a|=a，|b|=﹣b，a+b＜0， ∴a＞0，b＜0， ∵a+b＜o， ∴|b|＞|a|， ∴在数轴上表示为： 故选 B． 4．在 6×6 方格中，将图 1 中的图形 N 平移后位置如图 2 所示，则图形 N 的平 移方法中，正确的是（ ） A．向下移动 1 格 B．向上移动 1 格 C．向上移动 2 格 D．向下移动 2 格 【考点】生活中的平移现象． 【分析】根据题意，结合图形，由平移的概念求解． 【解答】解：观察图形可知：从图 1 到图 2，可以将图形 N 向下移动 2 格． 故选：D． 5．下列运算中，正确的是（ ） A．4m﹣m=3 B．﹣（m﹣n）=m+n C．（m2）3=m6 D．m2÷m2=m 【考点】整式的混合运算． 【分析】根据合并同类项的法则，只把系数相加减，字母与字母的次数不变；去 括号法则，括号前面是负号，去掉括号和负号，括号里的各项都变号；幂的乘方， 底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减，对各选项分析判断后利 用排除法求解． 【解答】解：A、应为 4m﹣m=3m，故本选项错误； B、应为﹣（m﹣n）=﹣m+n，故本选项错误； C、应为（m2）3=m2×3=m6，正确； D、m2÷m2=1，故本选项错误． 故选 C． 6．如图，在⊙O 中，弦 AB∥CD，若∠ABC=40°，则∠BOD=（ ） A．80° B．50° C．40° D．20° 【考点】圆周角定理． 【分析】先根据平行线的性质得∠BCD=∠ABC=40°，然后根据圆周角定理求解． 【解答】解：∵AB∥CD， ∴∠BCD=∠ABC=40°， ∴∠BOD=2∠BCD=80°． 故选 A． 7．关于 x，y 的方程组 的解是 ，其中 y 的值被盖住了，不过仍能 求出 p，则 p 的值是（ ） A．﹣ B． C．﹣ D． 【考点】二元一次方程组的解． 【分析】将 x=1 代入方程 x+y=3 求得 y 的值，将 x、y 的值代入 x+py=0，可得关 于 p 的方程，可求得 p． 【解答】解：根据题意，将 x=1 代入 x+y=3，可得 y=2， 将 x=1，y=2 代入 x+py=0，得：1+2p=0， 解得：p=﹣ ， 故选：A． 8．如图，己知△ABC，任取一点 O，连 AO，BO，CO，并取它们的中点 D，E，F， 得△DEF，则下列说法正确的个数是（ ） ①△ABC 与△DEF 是位似图形； ②△ABC 与△DEF 是相似图形； ③△ABC 与△DEF 的周长比为 1：2；④△ABC 与△DEF 的面积比为 4：1． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点】位似变换． 【分析】根据位似图形的性质，得出①△ABC 与△DEF 是位似图形进而根据位似 图形一定是相似图形得出 ②△ABC 与△DEF 是相似图形，再根据周长比等于位 似比，以及根据面积比等于相似比的平方，即可得出答案． 【解答】解：根据位似性质得出①△ABC 与△DEF 是位似图形， ②△ABC 与△DEF 是相似图形， ∵将△ABC 的三边缩小的原来的 ， ∴△ABC 与△DEF 的周长比为 2：1， 故③选项错误， 根据面积比等于相似比的平方， ∴④△ABC 与△DEF 的面积比为 4：1． 故选 C． 9．设边长为 3 的正方形的对角线长为 a．下列关于 a 的四种说法： ①a 是无理数； ②a 可以用数轴上的一个点来表示； ③3＜a＜4； ④a 是 18 的算术平方根． 其中，所有正确说法的序号是（ ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①③④ 【考点】估算无理数的大小；算术平方根；无理数；实数与数轴；正方形的性质． 【分析】先利用勾股定理求出 a=3 ，再根据无理数的定义判断①；根据实数与 数轴的关系判断②；利用估算无理数大小的方法判断③；利用算术平方根的定义 判断④． 【解答】解：∵边长为 3 的正方形的对角线长为 a， ∴a= = =3 ． ①a=3 是无理数，说法正确； ②a 可以用数轴上的一个点来表示，说法正确； ③∵16＜18＜25，4＜ ＜5，即 4＜a＜5，说法错误； ④a 是 18 的算术平方根，说法正确． 所以说法正确的有①②④． 故选 C． 10．某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 【考点】众数；统计表；加权平均数；中位数． 【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解． 【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6=40， 得 45 分的人数最多，众数为 45， 第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： =45， 平均数为： =44.425． 故错误的为 D． 故选 D． 11．如图，是四张形状不同的纸片，用剪刀沿一条直线将它们分别剪开（只允许 剪一次），不能够得到两个等腰三角形纸片的是（ ） A． B． C ． D． 【考点】等腰三角形的判定． 【分析】如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等，据此进 行判断即可． 【解答】解：A、如图所示，△ACD 和△BCD 都是等腰三角形； B、如图所示，△ABC 不能够分成两个等腰三角形； C、如图所示，△ACD 和△BCD 都是等腰三角形； D、如图所示，△ACD 和△BCD 都是等腰三角形； 故选：B． 12．某农场开挖一条长 480 米的渠道，开工后每天比原计划多挖 20 米，结果提 前 4 天完成任务，若设原计划每天挖 x 米，那么求 x 时所列方程正确的是（ ） A． ﹣ =4 B． ﹣ =20 C． ﹣ =4 D． ﹣ =4 【考点】由实际问题抽象出分式方程． 【分析】本题的关键描述语是：“提前 4 天完成任务”；等量关系为：原计划用时 ﹣实际用时=4． 【解答】解：设原计划每天挖 x 米，那么原计划用时为： ，实际用时为： ． 根据题意，得： ﹣ =4， 故选 D． 13．在平面直角坐标系中，点 A、B、C、D 是坐标轴上的点且点 C 坐标是（0， ﹣1），AB=5，点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界），已知 OA=OD=4， 则 a 的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【考点】两条直线相交或平行问题；在数轴上表示不等式的解集． 【分析】根据勾股定理即可得出 OB 的长度，由此可得出点 B 的坐标，由 OA、 OD 的长度可得出点 A、D 的坐标，根据点 A、D、B、C 的坐标利用待定系数法即 可求出直线 AD、BC 的解析式，联立两直线解析式成方程组，通过解方程组即可 求出其交点的坐标，再根据点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界） 结合点 B 以及交点的横坐标即可得出结论． 【解答】解：∵AB=5，OA=4， ∴OB= =3， ∴点 B（﹣3，0）． ∵OA=OD=4， ∴点 A（0，4），点 D（4，0）． 设直线 AD 的解析式为 y=kx+b， 将 A（0，4）、D（4，0）代入 y=kx+b， ，解得： ， ∴直线 AD 的解析式为 y=﹣x+4； 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n， 将 B（﹣3，0）、C（0，﹣1）代入 y=mx+n， ，解得： ， ∴直线 BC 的解析式为 y=﹣ x﹣1． 联立直线 AD、BC 的解析式成方程组， ，解得： ， ∴直线 AD、BC 的交点坐标为（ ，﹣ ）． ∵点（a，b）在如图所示的阴影部分内部（不包括边界）， ∴﹣3＜a＜ ． 故选 D． 14．用直尺和圆规作 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线 CD，以下四个作图中，作法错误 的是（ ） A． B． C． D． 【考点】作图—基本作图． 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线作图即可求解． 【解答】解：A、根据垂径定理作图的方法可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高 线，不符合题意； B、根据直径所对的圆周角是直角的方法可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线， 不符合题意； C、根据相交两圆的公共弦的性质可知，CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，不符 合题意； D、无法证明 CD 是 Rt△ABC 斜边 AB 上的高线，符合题意． 故选：D． 15．如图，O 为坐标原点，四边形 OACB 是菱形，OB 在 x 轴的正半轴上，sin∠ AOB= ，反比例函数 y= 在第一象限内的图象经过点 A，与 BC 交于点 F，则△ AOF 的面积等于（ ） A．60 B．80 C．30 D．40 【考点】反比例函数与一次函数的交点问题；反比例函数图象上点的坐标特征； 菱形的性质． 【分析】过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，设 OA=a，通过解直角三角形找出点 A 的坐 标，结合反比例函数图象上点的坐标特征即可求出 a 的值，再根据四边形 OACB 是菱形、点 F 在边 BC 上，即可得出 S△AOF= S 菱形 OBCA，结合菱形的面积公式即可 得出结论． 【解答】解：过点 A 作 AM⊥x 轴于点 M，如图所示． 设 OA=a， 在 Rt△OAM 中，∠AMO=90°，OA=a，sin∠AOB= ， ∴AM=OA•sin∠AOB= a，OM= = a， ∴点 A 的坐标为（ a， a）． ∵点 A 在反比例函数 y= 的图象上， ∴ a× a= =48， 解得：a=10，或 a=﹣10（舍去）． ∴AM=8，OM=6，OB=OA=10． ∵四边形 OACB 是菱形，点 F 在边 BC 上， ∴S△AOF= S 菱形 OBCA= OB•AM=40． 故选 D． 16．如图 1，在等边△ABC 中，点 E、D 分别是 AC，BC 边的中点，点 P 为 AB 边 上的一个动点，连接 PE，PD，PC，DE．设 AP=x，图 1 中某条线段的长为 y，若 表示y与 x 的函数关系的图象大致如图 2 所示，则这条线段可能是图1 中的（ ） A．线段 PD B．线段 PC C．线段 PE D．线段 DE 【考点】动点问题的函数图象． 【分析】设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质确定各个线段取最小值 时，x 的范围，结合图象得到答案． 【解答】解：设边长 AC=a， 则 0＜x＜a， 根据题意和等边三角形的性质可知， 当 x= a 时，线段 PE 有最小值； 当 x= a 时，线段 PC 有最小值； 当 x= a 时，线段 PD 有最小值； 线段 DE 的长为定值． 故选：C． 二、填空题（本大题共 3 个小题，每小题 3 分，共 9 分） 17．若 m、n 互为倒数，则 mn2﹣（n﹣1）的值为 1 ． 【考点】代数式求值；倒数． 【分析】由 m，n 互为倒数可知 mn=1，代入代数式即可． 【解答】解：因为 m，n 互为倒数可得 mn=1，所以 mn2﹣（n﹣1）=n﹣（n﹣1） =1． 18．如图，已知圆锥的高为 ，高所在直线与母线的夹角为 30°，圆锥的侧面积 为 2π ． 【考点】圆锥的计算． 【分析】先利用三角函数计算出 BO，再利用勾股定理计算出 AB，然后利用圆锥 的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于 圆锥的母线长和扇形的面积公式计算圆锥的侧面积． 【解答】解：如图，∠BAO=30°，AO= ， 在 Rt△ABO 中，∵tan∠BAO= ， ∴BO= tan30°=1，即圆锥的底面圆的半径为 1， ∴AB= =2，即圆锥的母线长为 2， ∴圆锥的侧面积= •2π•1•2=2π． 故答案为 2π． 19．对于二次函数 y=x2﹣3x+2 和一次函数 y=﹣2x+4，把 y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t） （﹣2x+4）（t 为常数）称为这两个函数的“再生二次函数”．其中 t 是不为零的实 数，其图象记作抛物线 F，现有点 A（2，0）和抛物线 F 上的点 B（﹣1，n），下 列结论正确的有 ①②③ ． ①n 的值为 6； ②点 A 在抛物线 F 上； ③当 t=2 时，“再生二次函数”y 在 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大 ④当 t=2 时，抛物线 F 的顶点坐标是（1，2） 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征． 【分析】①已知点 B 在抛物线 E 上，将该点坐标代入抛物线 E 的解析式中直接求 解，即可得到 n 的值． ②将点 A 的坐标代入抛物线 E 上直接进行验证即可； ③代入 t=2 得到二次函数，从而确定其增减性即可． ④将 t 的值代入“再生二次函数”中，通过配方可得到顶点的坐标． 【解答】解：①将 x=﹣1 代入抛物线 E 的解析式中，得： n=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=6，正确． ②将 x=2 代入 y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4），得 y=0， ∴点 A（2，0）在抛物线 E 上，正确． ③当 t=2 时，y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2（x﹣1）2﹣2， 对称轴为 x=1，开口向上， ∴当 x＞2 时，y 随 x 的增大而增大，正确； ④将 t=2 代入抛物线 E 中，得：y=t（x2﹣3x+2）+（1﹣t）（﹣2x+4）=2x2﹣4x=2 （x﹣1）2﹣2， ∴此时抛物线的顶点坐标为：（1，﹣2），错误； 故答案为：①②③ 三、解答题（本大题共 7 小题，共 69 分，解答时应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 20．请你阅读小明和小红两名同学的解题过程，并回答所提出的问题． 计算： + 问：小明在第 ② 步开始出错，小红在第 ② 步开始出错（写出序号即可）； 请你给出正确解答过程． 【考点】分式的加减法． 【分析】根据分式的加减，可得答案． 【解答】（1）②，② 原式= ﹣ = ． 21．某学校为了丰富学生课余生活，决定开设以下体育课外活动项目：A．版画 B．保龄球 C．航模 D．园艺种植，为了解学生最喜欢哪一种活动项目，随机 抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了两幅不完整的统计图，请回答 下列问题： （1）这次被调查的学生共有 200 人； （2）请你将条形统计图（2）补充完整； （3）在平时的保龄球项目训练中，甲、乙、丙、丁四人表现优秀，现决定从这 四名同学中任选两名参加保龄球比赛，求恰好选中甲、乙两位同学的概率（用树 状图或列表法解答） 【考点】列表法与树状图法；扇形统计图；条形统计图． 【分析】（1）由 A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36°，即可求得这次被调查 的学生数； （2）首先求得 C 项目对应人数，即可补全统计图； （3）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与恰好选 中甲、乙两位同学的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【解答】解：（1）∵A 类有 20 人，所占扇形的圆心角为 36°， ∴这次被调查的学生共有：20÷ =200（人）； 故答案为：200； （2）C 项目对应人数为：200﹣20﹣80﹣40=60（人）； 补充如图． （3）画树状图得： ∵共有 12 种等可能的情况，恰好选中甲、乙两位同学的有 2 种， ∴P（选中甲、乙）= = ． 22．在学习三角形中位线的性质时，小亮对课本给出的解集办法进行了认真思考： 小亮发现：可能证法的实质是用中心对称的方法来构造全等三角形 请你利用小亮的发现解决下列问题： （1）如图 2，AD 是△ABC 的中线，BE 交 AC 于 E，交 AD 于 F，且 AE=EF，求证： AC=BF． 请你帮助小亮写出辅助线作法并完成论证过程； 证明： 延长 AD 至点 M，使 MD=FD，连接 MC， 在△BDF 和△CDM 中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）． ∴MC=BF，∠M=∠BFM． ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠MAC， ∴AC=MC， ∴AC=BF； ． （2）解决问题：如图 3，在△ABC 中，∠B=45°，AB=10，BC=8，DE 是△ABC 的 中位线，过点 D、E 作 DF∥EG，分别交 BC 于 F、G，过点 A 作 MN∥BC，分别与 FD、GE 的延长线交于 M、N，则四边形 MFGN 周长的最小值是 10 +8 ． 【考点】三角形综合题． 【分析】（1）先判断出△BDF≌△CDM 进而得出 MC=BF，∠M=∠BFM．再判断 出∠M=∠MAC 得出 AC=MC 即可得出结论； （2）先判断出四边形 MFGN 是平行四边形，再判断出 MN=FG=DE=4，进而判断 出 MF⊥BC 时，四边形 MFGN 的周长最小，最后构造出直角三角形求出 AH 即可 得出结论． 【解答】（1）延长 AD 至点 M，使 MD=FD，连接 MC， 在△BDF 和△CDM 中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）． ∴MC=BF，∠M=∠BFM． ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠MAC， ∴AC=MC， ∴BF=AC； 故答案为：延长 AD 至点 M，使 MD=FD，连接 MC， 在△BDF 和△CDM 中， ， ∴△BDF≌△CDM（SAS）． ∴MC=BF，∠M=∠BFM． ∵EA=EF， ∴∠EAF=∠EFA， ∵∠AFE=∠BFM， ∴∠M=∠MAC， ∴AC=MC， ∴BF=AC； （2）如图， ∵MN∥BC，FM∥GN， ∴四边形 MFGN 是平行四边形， ∴MF=NG，MN=FG， ∵DE 是△ABC 的中位线， ∴DE= BC=4，DE∥BC， ∴MN=FG= BC=4， ∴四边形 MFGN 周长=2（MF+FG）=2MF+8， ∴MF⊥BC 时，MF 最短， 即：四边形 MFGN 的周长最小， 过点 A 作 AH⊥BC 于 H， ∴FM=AH 在 Rt△ABH 中，∠B=45°，AB=10， ∴AH= =5 ， ∴四边形 MFGN 的周长最小为 2MF+8=10 +8． 故答案为 10 +8． 23．小明家饮水机中原有水的温度为 20℃，通电开机后，饮水机自动开始加热[此 过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分）满足一次函数关系]，当加热到 100℃时 自动停止加热，随后水温开始下降[此过程中水温 y（℃）与开机时间 x（分）成 反比例关系]，当水温降至 20℃时，饮水机又自动开始加热…，重复上述程序（如 图所示），根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）当 0≤x≤8 时，求水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系式； （2）求图中 t 的值； （3）若小明在通电开机后即外出散步，请你预测小明散步 45 分钟回到家时，饮 水机内的温度约为多少℃？ 【考点】反比例函数的应用． 【分析】（1）利用待定系数法代入函数解析式求出即可； （2）首先求出反比例函数解析式进而得出 t 的值； （3）利用已知由 x=5 代入求出饮水机内的温度即可． 【解答】解：（1）当 0≤x≤8 时，设水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关 系为：y=kx+b， 依据题意，得 ， 解得： ， 故此函数解析式为：y=10x+20； （2）在水温下降过程中，设水温 y（℃）与开机时间 x（分）的函数关系式为： y= ， 依据题意，得：100= ， 即 m=800， 故 y= ， 当 y=20 时，20= ， 解得：t=40； （3）∵45﹣40=5≤8， ∴当 x=5 时，y=10×5+20=70， 答：小明散步 45 分钟回到家时，饮水机内的温度约为 70℃． 24．某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的 利润 y1 与投资量 x 成正比例关系，种植花卉的利润 y2 与投资量 x 的平方成正比 例关系，并得到了表格中的数据． 投资量 x（万元） 2 种植树木利润 y1（万元） 4 种植树木利润 y2（万元） 2 （1）分别求出利润 y1 与 y2 关于投资量 x 的函数关系式； （2）如果这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金 额 m 万元，种植花卉和数目共获利利润 W 万元，直接写出 W 关于 m 的函数关 系式，并求他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ （3）若该专业户想获利不低于 22 万，在（2）的条件下，直接写出投资种植花 卉的金额 m 的范围． 【考点】二次函数的应用． 【分析】（1）根据题意设 y1=kx、y2=ax2，将表格中数据分别代入求解可得； （2）由种植花卉 m 万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元，根据“总 利润=花卉利润+树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可； （3）根据获利不低于 22 万，列出不等式求解可得． 【解答】解：（1）设 y1=kx， 由表格数据可知，函数 y1=kx 的图象过（2，4）， ∴4=k•2， 解得：k=2， 故利润 y1 关于投资量 x 的函数关系式是 y1=2x（x≥0）； ∵设 y2=ax2， 由表格数据可知，函数 y2=ax2 的图象过（2，2）， ∴2=a•22， 解得：a= ， 故利润 y2 关于投资量 x 的函数关系式是：y2= x2（x≥0）； （2）因为种植花卉 m 万元（0≤m≤8），则投入种植树木（8﹣m）万元， w=2（8﹣m）+ m2= m2﹣2m+16= （m﹣2）2+14， ∵a=0.5＞0，0≤m≤8， ∴当 m=2 时，w 的最小值是 14， ∵a= ＞0， ∴当 m＞2 时，w 随 m 的增大而增大 ∵0≤m≤8， ∴当 m=8 时，w 的最大值是 32， 答：他至少获得 14 万元利润，他能获取的最大利润是 32 万元． （3）根据题意，当 w=22 时， （m﹣2）2+14=22， 解得：m=﹣2（舍）或 m=6， 故：6≤m≤8． 25．如图所示，点 A 为半圆 O 直径 MN 所在直线上一点，射线 AB 垂直于 MN， 垂足为 A，半圆绕 M 点顺时针转动，转过的角度记作 a；设半圆 O 的半径为 R， AM 的长度为 m，回答下列问题： 探究：（1）若 R=2，m=1，如图 1，当旋转 30°时，圆心 O′到射线 AB 的距离是 +1 ；如图 2，当 a= 60 °时，半圆 O 与射线 AB 相切； （2）如图 3，在（1）的条件下，为了使得半圆 O 转动 30°即能与射线 AB 相切， 在保持线段 AM 长度不变的条件下，调整半径 R 的大小，请你求出满足要求的 R， 并说明理由． （3）发现：（3）如图 4，在 0°＜α＜90°时，为了对任意旋转角都保证半圆 O 与 射线 AB 能够相切，小明探究了 cosα与 R、m 两个量的关系，请你帮助他直接写 出这个关系；cosα= （用含有 R、m 的代数式表示） 拓展：（4）如图 5，若 R=m，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α的取值范围 是 90°＜α≤120° ，并求出在这个变化过程中阴影部分（弓形）面积的最大值 （用 m 表示） 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）如图 1 中，作 O′E⊥AB 于 E，MF⊥O′E 于 F．则四边形 AMFE 是矩 形，EF=AM=1．如图 2 中，设切点为 F，连接 O′F，作 O′E⊥OA 于 E，则四边形 O′EAF 是矩形，在 Rt△O′EM 中，由 sinα= = ，推出α=60°． （2）设切点为 P，连接 O′P，作 MQ⊥O′P，则四边形 APQM 是矩形．列出方程 即可解决问题． （3）设切点为 P，连接 O′P，作 MQ⊥O′P，则四边形 APQM 是矩形．列出方程 即可解决问题、 （4）当半圆与射线 AB 相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当 N′落在 AB 上时，为半圆与 AB 有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠ AMN′=60°，所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α的取值 范围是：90°＜α≤120°．当 N′落在 AB 上时，阴影部分面积最大，求出此时的面 积即可． 【解答】解：（1）如图 1 中，作 O′E⊥AB 于 E，MF⊥O′E 于 F．则四边形 AMFE 是矩形，EF=AM=1．想办法求出 O′E 的长即可． 在 Rt△MFO′中，∵∠MO F=30°，MO′=2， ∴O′F=O′M•cos30°= ，O′E= +1， ∴点 O′到 AB 的距离为 +1． 如图 2 中，设切点为 F，连接 O′F，作 O′E⊥OA 于 E，则四边形 O′EAF 是矩形， ∴AE=O′F=2， ∵AM=1， ∴EM=1， 在 Rt△O′EM 中，sinα= = ， ∴α=60° 故答案为 +1，60°． （2）设切点为 P，连接 O′P，作 MQ⊥O′P，则四边形 APQM 是矩形． ∵O′P=R， ∴R= R+1， ∴R=4+2 ． （3）设切点为 P，连接 O′P，作 MQ⊥O′P，则四边形 APQM 是矩形． 在 Rt△O′QM 中，O′Q=R•cosα，QP=m， ∵O′P=R， ∴R•cosα+m=R， ∴cosα= ． 故答案为 ． （4）如图 5 中， 当半圆与射线 AB 相切时，之后开始出现两个交点，此时α=90°；当 N′落在 AB 上 时，为半圆与 AB 有两个交点的最后时刻，此时∵MN′=2AM，所以∠AMN′=60°， 所以，α=120°因此，当半圆弧线与射线 AB 有两个交点时，α的取值范围是：90° ＜α≤120° 故答案为 90°＜α≤120°； 当 N′落在 AB 上时，阴影部分面积最大， 所以 S═ ﹣ • m• m= ﹣ m2． 26．如图，在△ABC 中，AB=AC=10cm，BD⊥AC 于点 D，BD=8cm．点 M 从点 A 出发，沿 AC 的方向匀速运动，同时直线 PQ 由点 B 出发，沿 BA 的方向匀速运动， 运动过程中始终保持 PQ∥AC，直线 PQ 交 AB 于点 P、交 BC 于点 Q、交 BD 于点 F．连接 PM，设运动时间为 t 秒（0＜t≤5）．线段 CM 的长度记作 y 甲，线段 BP 的长度记作 y 乙，y 甲和 y 乙关于时间 t 的函数变化情况如图所示． （1）由图 2 可知，点 M 的运动速度是每秒 2 cm，当 t 为何值时，四边形 PQCM 是平行四边形？在图 2 中反映这一情况的点是 E（ ， ） ； （2）设四边形 PQCM 的面积为 ycm2，求 y 与 t 之间的函数关系式； （3）是否存在某一时刻 t，使 S 四边形 PQCM= S△ABC？若存在，求出 t 的值；若不存 在，说明理由； （4）连接 PC，是否存在某一时刻 t，使点 M 在线段 PC 的垂直平分线上？若存 在 ， 求 出 此 时 t 的 值 ； 若 不 存 在 ， 说 明 理 由． 【考点】四边形综合题． 【分析】（1）先由图 2 判断出点 M 的速度为 2cm/s，PQ 的运动速度为 1cm/s， 再由四边形 PQCM 为平行四边形，根据平行四边形的性质得到对边平行，进而得 到 AP=AM，列出关于 t 的方程，求出方程的解得到满足题意 t 的值； （2）根据 PQ∥AC 可得△PBQ∽△ABC，根据相似三角形的形状必然相同可知△ BPQ 也为等腰三角形，即 BP=PQ=t，再用含 t 的代数式就可以表示出 BF，进而得 到梯形的高 PE=DF=8﹣t，又点 M 的运动速度和时间可知点 M 走过的路程 AM=2t， 所以梯形的下底 CM=10﹣2t．最后根据梯形的面积公式即可得到 y 与 t 的关系式； （3）根据三角形的面积公式，先求出三角形 ABC 的面积，又根据 S 四边形 PQCM= S △ABC，求出四边形 PQCM 的面积，从而得到了 y 的值，代入第二问求出的 y 与 t 的解析式中求出 t 的值即可； （4）假设存在，则根据垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等即可得到 MP=MC，过点 M 作 MH 垂直 AB，由一对公共角的相等和一对直角的相等即可得 到△AHM∽△ADB，由相似得到对应边成比例进而用含 t 的代数式表示出 AH 和 HM 的长，再由 AP 的长减 AH 的长表示出 PH 的长，从而在直角三角形 PHM 中 根据勾股定理表示出 MP 的平方，再由 AC 的长减 AM 的长表示出 MC 的平方， 根据两者的相等列出关于 t 的方程进而求出 t 的值． 【解答】解：（1）由图 2 得，点 M 的运动速度为 2cm/s，PQ 的运动速度为 1cm/s， ∵四边形 PQCM 是平行四边形，则 PM∥QC， ∴AP：AB=AM：AC， ∵AB=AC， ∴AP=AM，即 10﹣t=2t， 解得：t= ， ∴当 t= 时，四边形 PQCM 是平行四边形，此时，图 2 中反映这一情况的点是 E（ ， ） 故答案为：2，E（ ， ）． （2）∵PQ∥AC， ∴△PBQ∽△ABC， ∴△PBQ 为等腰三角形，PQ=PB=t， ∴ ，即 ， 解得：BF= t， ∴FD=BD﹣BF=8﹣ t， 又∵MC=AC﹣AM=10﹣2t， ∴y= （PQ+MC）•FD= （t+10﹣2t）（8﹣ t）= t2﹣8t+40； （3）存在； ∵S△ABC= AC•BD= ×10×8=40， 当 S 四边形 PQCM= S△ABC 时，y= t2﹣8t+40=20， 解得：t=10﹣5 ，或 t=10+5 （不合题意，舍）； 即：t=10﹣5 时，S 四边形 PQCM= S△ABC． （4）假设存在某一时刻 t，使得 M 在线段 PC 的垂直平分线上，则 MP=MC， 过 M 作 MH⊥AB，交 AB 与 H，如图所示： ∵∠A=∠A，∠AHM=∠ADB=90°， ∴△AHM∽△ADB， ∴ ， 又∵AD=6， ∴ ， ∴HM= t，AH= t， ∴HP=10﹣t﹣ t=10﹣ t， 在 Rt△HMP 中，MP2=（ t）2+（10﹣ t）2= t2﹣44t+100， 又∵MC2=（10﹣2t）2=100﹣40t+4t2， ∵MP2=MC2， ∴ t2﹣44t+100=100﹣40t+4t2， 解得 t1= ，t2=0（舍去）， ∴t= s 时，点 M 在线段 PC 的垂直平分线上． 中考数学一模试卷 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．﹣ 的倒数是（ ） A． B．2 C．﹣ D．﹣2 2．共享单车的投放使用为人们的工作和生活带来了极大的便利，不仅有效缓解了出行“最 后一公里”问题，而且经济环保，据相关部门 2018 年 11 月统计数据显示，郑州市互联 网租赁自行车累计投放超过 49 万辆，将 49 万用科学记数法表示正确的是（ ） A．4.9×104 B．4.9×105 C．0.49×104 D．49×104 3．三个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（ ） A． B． C． D． 4．下列计算中正确的是（ ） A．（a+b）2＝a2+b2 B．a2•a3＝a5 C．a8÷a2＝a2 D．a2+a3＝a5 5．如图，点 A 是函数 y＝ 图象上的一点，已知 B（﹣ ，﹣ ），C（ ， ）．试 利用性质：“y＝ 图象上的任意一点 P 都满足|PB﹣PC|＝2 ”求解下面问题：作∠BAC 的内角平分线 AE，过 B 作 AE 的垂线交 AE 于 F．当点 A 在函数 y＝ 图象上运动时，点 F 也总在一图形上运动，该图形为（ ） A．圆 B．双曲线 C．抛物线 D．直线 6．某校九年级（1）班全体学生 2015 年初中毕业体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 35 39 42 44 45 48 50 人数（人） 2 5 6 6 8 7 6 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（ ） A．该班一共有 40 名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是 45 分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是 45 分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是 45 分 7．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，菱形 ABCD 的顶点 D 在 x 轴上，边 BC 在 y 轴上，若 点 A 的坐标为（12，13），则点 C 的坐标是（ ） A．（0，﹣5） B．（0，﹣6） C．（0，﹣7） D．（0，﹣8） 8．如图，在△ABC 中，有一点 P 在直线 AC 上移动，若 AB＝AC＝5，BC＝6，则 BP 的最 小值为（ ） A．4.8 B．5 C．4 D． 9．如图，将半径为 3 的圆形纸片，按下列顺序折叠两次．若折叠后的 和 都经过圆心 O 则图中阴影部分的面积是（ ） A． B．3 π C．9 D．18 π10．下列图形是由同样大小的围棋棋子按照一定规律摆成的“山”字，其中第 ① 个“山” 字中有 7 颗棋子，第 ② 个“山”字中有 12 颗棋子，第 ③ 个“山”字中有 17 颗棋子，…， 按照此规律，第 ⑥ 个“山”字中棋子颗数为（ ）颗． A．32 B．37 C．22 D．42 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．cos60°+ sin45°+ tan30°＝ ． 12．若关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根，则 k 的取值范围是 ． 13．班里有 18 名男生，15 名女生，从中任意抽取 a 人打扫卫生，若女生被抽到是必然事件， 则 a 的取值范围是 ． 14．如图，点 A（﹣2，0），B（0，1），以线段 AB 为边在第二象限作矩形 ABCD，双曲线 y＝ （k＜0）经过点 D，连接 BD，若四边形 OADB 的面积为 6，则 k 的值是 ． 15．已知，如图，在矩形 ABCD 中，AB＝8，BC＝12，点 E 为线段 AB 上一动点（不与点 A、 点 B 重合），先将矩形 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 落在点 F 处，CF 交 AD 于点 H，若折 叠后，点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，则 AE 的长是 ． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．（8 分）先化简，再求代数式 的值，其中 a＝ tan60°+2cos45° 17．（9 分）某中学为了考察九年级学生的中考体育测试成绩（满分 30 分），随机抽查了 40 名学生成绩（单位：分），得到如下的统计图 ① 和图 ② ．请根据相关信息，解答下列 问题： （Ⅰ）图中 m 的值为 ； （Ⅱ）求这 40 个样本数据的平均数、众数和中位数； （Ⅲ）根据样本数据，估计该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分的大约有 多少名学生． 18．（9 分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数 y＝ax+1（a≠0）与反比例函数 y ＝ （k≠0）的图象交于 A、D 两点，AB⊥x 轴于点 B，tan∠AOB＝ ，△AOB 的面积 为 3． （1）求反比例函数和一次函数的解析式； （2）求△AOD 的面积； （3）当 x 为何值时，一次函数值不小于反比例函数值． 19．（9 分）如图，四边形 ABCD 是 ⊙ O 内接四边形，连接 AC，AC 平分∠BAD， （1）如图 1，求证：BC＝CD （2）如图 2，若 AD+AB＝ AC，求证：∠BCD＝90° （3）如图 3，连接 BD，把△ABD 沿着 BD 翻折得到△EBD，BE 交 CD 于 F，连接 CE， CE∥BD，若 BF＝6，AD＝4，求 BC 的长． 20．（9 分）下图是工人在施工时经常用的“人字梯”．按规定，“人字梯”的上部夹角的 安全范围是 35°≤∠AOB≤45°且铰链必需牢固，并应有可靠的拉撑措施在人字梯的一 A，B 处和 C，D 处（AB∥CD）各需系上一根高强度的软钢丝以确保用梯安全．现测得 OA＝OB＝2 米，在 A，B，C，D 处固定用去的钢丝忽略不计，则所需钢丝的长度应该在 什么范围内？（结果精确到 0.1 米，参考据：sin17.5°＝0.30，cos17.5°＝0.95，tan17.5° ＝0.32，sin22.5°＝0.38，Cos22.50.92，tan22.5°＝0.41） 21．（10 分）列方程组解应用题： 开学初，某中学八（1）班学生去商场购买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，八（2）班学生购买了 A 品牌足球 3 个、B 品牌足球 1 个，共花费 230 元． （1）求购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需多少元？ （2）为响应习总书记“足球进校园”的号召，学校使用专项经费 1500 元全部购买 A、B 两种品牌的足球供学生使用，那么学校有多少种购买足球的方案？请分别设计出来． 22．（10 分）请完成下面的几何探究过程： （1）观察填空 如图 1，在 R△ABC 中，∠C＝90°，AC＝BC＝4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A， B 重合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°得到线段 CE，连 DE，BE，则 ① ∠CBE 的度数为 ； ② 当 BE＝ 时，四边形 CDBE 为正方形 （2）探究证明 如图 2，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，BC＝2AC＝4，点 D 为斜边 AB 上一动点（不与点 A，B 重合），把线段 CD 绕点 C 顺时针旋转 90°后并延长为原来的两倍到线段 CE，连 DE，BE，则： ① 在点 D 的运动过程中，请判断∠CBE 与∠A 的大小关系，并证明； ② 当 CD⊥AB 时，求证：四边形 CDBE 为矩形 （3）拓展延伸 如图 2，在点 D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，请直接写出此时 AD 的长． 23．（11 分）如图，已知平面直角坐标系中，地物线 y＝ax2+bx+4 与 x 轴交于 A，B 两点， 与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（﹣2，0），点 B 的坐标为（8，0） （1）求抛物线的解析式； （2）有一动点 D 从点 C 出发，以每秒 个单位的速度在射线 CB 上运动，过点 D 作 x 轴的垂线，交抛物线于点 E，交 x 轴于点 F，连接 CE，OD，设点 D 运动的时间为 t（0 ＜t＜4）秒． ① 若点 D 在线段 CB 上运动，则当 为何值时，△OCD 与△CDE 的面积相等？ ② 在点 D 的运动过程中，是否存某一时刻，使四边形 DOCE 为平行四边形？若存在，请 直接写出 t 的值；若不存在，请说明理由． 参考答案与试题解析 一．选择题（共 10 小题，满分 30 分，每小题 3 分） 1．【分析】根据乘积为 1 的两个数互为倒数，直接解答即可． 【解答】解：∵﹣ ×（﹣2）＝1， ∴﹣ 的倒数是﹣2， 故选：D． 【点评】本题主要考查倒数的定义，解决此类题目时，只要找到一个数与这个数的积为 1， 那么此数就是这个数的倒数，特别要注意：正数的倒数也一定是正数，负数的倒数也一 定是负数． 2．【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a|＜10，n 为整数， 据此判断即可． 【解答】解：49 万＝4.9×105． 故选：B． 【点评】此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为 a×10n，其中 1≤|a| ＜10，确定 a 与 n 的值是解题的关键． 3．【分析】根据俯视图的定义和空间想象，得出图形即可． 【解答】解：俯视图从左到右分别是 ，1， 个正方形，如图所示： ． 故选：C． 【点评】此题考查了简单组合体的俯视图，关键是对几何体的三种视图的空间想象能力． 4．【分析】分别利用完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则化简求出即可． 【解答】解：A、（a+b）2＝a2+b2+2ab，故此选项错误； B、a2•a3＝a5，正确； C、a8÷a2＝a6，故此选项错误； D、a2+a3 无法计算，故此选项错误； 故选：B． 【点评】此题主要考查了完全平方公式以及同底数幂的乘除法运算法则等知识，正确掌 握运算法则是解题关键． 5．【分析】如图：延长 AC 交 BF 的延长线于 G，连接 OF．只要证明 OF 是△BCG 的中位 线，可得 OF＝ CG＝ ，即可解决问题． 【解答】解：如图：延长 AC 交 BF 的延长线于 G，连接 OF． ∵AF⊥BG， ∴∠AFB＝∠AFG＝90°， ∴∠BAF+∠ABF＝90°，∠G+∠GAF＝90°， ∵∠BAF＝∠FAG， ∴∠ABF＝∠G， ∴AB＝AG，∵AF⊥BG， ∴BF＝FG， ∵B（﹣ ，﹣ ），C（ ， ）， ∴OB＝OC， ∴OF＝ CG， ∵|AB﹣AC|＝2 ，AB＝AG， ∴CG＝2 ， ∴OF＝ ， ∴点 F 在以 O 为圆心 为半径的圆上运动． 故选：A． 【点评】本题考查反比例函数综合题、等腰三角形的判定和性质、三角形的中位线定理， 圆等知识，解题的关键是学会添加辅助线，利用三角形的中位线定理解决问题，属于中 考选择题中的压轴题． 6．【分析】结合表格根据众数、平均数、中位数的概念求解． 【解答】解：该班人数为：2+5+6+6+8+7+6＝40， 得 45 分的人数最多，众数为 45， 第 20 和 21 名同学的成绩的平均值为中位数，中位数为： ＝45， 平均数为： ＝44.425． 故错误的为 D． 故选：D． 【点评】本题考查了众数、平均数、中位数的知识，掌握各知识点的概念是解答本题的 关键． 7．【分析】在 Rt△ODC 中，利用勾股定理求出 OC 即可解决问题； 【解答】解：∵A（12，13）， ∴OD＝12，AD＝13， ∵四边形 ABCD 是菱形， ∴CD＝AD＝13， 在 Rt△ODC 中，OC＝ ＝ ＝5， ∴C（0，﹣5）． 故选：A． 【点评】本题考查菱形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决 问题，属于中考常考题型． 8．【分析】根据点到直线的连线中，垂线段最短，得到当 BP 垂直于 AC 时，BP 的长最小， 过 A 作等腰三角形底边上的高 AD，利用三线合一得到 D 为 BC 的中点，在直角三角形 ADC 中，利用勾股定理求出 AD 的长，进而利用面积法即可求出此时 BP 的长． 【解答】解：根据垂线段最短，得到 BP⊥AC 时，BP 最短， 过 A 作 AD⊥BC，交 BC 于点 D， ∵AB＝AC，AD⊥BC， ∴D 为 BC 的中点，又 BC＝6， ∴BD＝CD＝3， 在 Rt△ADC 中，AC＝5，CD＝3， 根据勾股定理得：AD＝ ＝ ＝4， 又∵S△ABC＝ BC•AD＝ BP•AC， ∴BP＝ ＝ ＝4.8． 故选：A． 【点评】此题考查了勾股定理，等腰三角形的三线合一性质，三角形的面积求法，以及 垂线段最短；熟练掌握勾股定理是解本题的关键． 9．【分析】作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO，求出∠OAD＝30°，得到∠AOB＝2 ∠AOD＝120°，进而求得∠AOC＝120°，再利用阴影部分的面积＝S 扇形 AOC 求解． 【解答】解；如图，作 OD⊥AB 于点 D，连接 AO，BO，CO， ∵OD＝ AO， ∴∠OAD＝30°， ∴∠AOB＝2∠AOD＝120°， 同理∠BOC＝120°， ∴∠AOC＝120°， ∴阴影部分的面积＝S 扇形 AOC＝ ＝3 π ． 故选：B． 【点评】本题考查的是扇形面积的计算，熟记扇形的面积公式是解答此题的关键． 10．【分析】设第 n 个“山”字中有 an 个棋子，观察图形，根据图形中“山”字中棋子的 变化可得出“an＝5n+2（n 为正整数）”，再代入 n＝6 即可得出结论．（因为只找第 ⑥个“山”字中棋子颗数，用列举法直接找出 a6 亦可） 【解答】解：设第 n 个“山”字中有 an 个棋子， 观察图形，可知：a1＝7，a2＝a1+5＝12，a3＝a1+5×2＝17，a4＝a1+5×3＝22，…，（可 直接利用列举法，找出第 ⑥ 个“山”字中棋子颗数） ∴an＝a1+5（n﹣1）＝5n+2（n 为正整数）， ∴a6＝5×6+2＝32． 故选：A． 【点评】本题考查了规律型：图形的变化类，根据图形中棋子数量的变化找出变化规律 “an＝5n+2（n 为正整数）”是解题的关键． 二．填空题（共 5 小题，满分 15 分，每小题 3 分） 11．【分析】直接利用特殊角的三角函数值进而化简得出答案． 【解答】解：原式＝ + × + × ＝2． 故答案为：2． 【点评】此题主要考查了实数运算，正确记忆相关数据是解题关键． 12．【分析】根据关于 x 的一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根，得出△＝4+4k＜0，再 进行计算即可． 【解答】解：∵一元二次方程 x2﹣2x﹣k＝0 没有实数根， ∴△＝（﹣2）2﹣4×1×（﹣k）＝4+4k＜0， ∴k 的取值范围是 k＜﹣1； 故答案为：k＜﹣1． 【点评】本题考查了一元二次方程 ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式△＝b2﹣4ac：当 △＞0，方程有两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方 程没有实数根． 13．【分析】根据必然事件的定义求解可得． 【解答】解：因为班里共有 18 名男生，若要使女生被抽到是必然事件，则抽取的人数不 少于 19 人， 又总人数为 33 人， 所以 18＜a＜33， 故答案为：18＜a≤33 的整数． 【点评】本题主要考查随机事件，解题的关键是掌握确定性事件和随机事件的定义． 14．【分析】过 D 作 DM⊥x 轴于 M，根据相似三角形的性质和判定求出 DM＝2AM．设 AM ＝x，则 DM＝2x．根据三角形的面积求出 x，即可求出 DM 和 OM，得出答案即可． 【解答】解：∵点 A（﹣2，0），B（0，1）， ∴OA＝2，OB＝1， 过 D 作 DM⊥x 轴于 M，则∠DMA＝90°． ∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠DAB＝90°， ∴∠DMA＝∠DAB＝∠AOB＝90°， ∴∠DAM+∠BAO＝90°，∠DAM+∠ADM＝90°， ∴∠ADM＝∠BAO， ∴△DMA∽△AOB， ∴ ＝ ＝ ＝2， 即 DM＝2MA， 设 AM＝x，则 DM＝2x， ∵四边形 OADB 的面积为 6， ∴S 梯形 DMOB﹣S△DMA＝6， ∴ （1+2x）（x+2）﹣ •2x•x＝6， 解得：x＝2， 则 AM＝2，OM＝4，DM＝4， 即 D 点的坐标为（﹣4，4）， ∴k＝﹣4×4＝﹣16， 故答案为﹣16． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征、反比例函数系数 k 的几何意义、 三角形的面积、相似三角形的性质和判定等知识点，能求出 DM＝2AM 是解此题的关键． 15．【分析】依据点 B 的对应点 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，分两种情况讨论：F 在横 对称轴上与 F 在竖对称轴上，分别求出 BF 的长即可． 【解答】解：分两种情况： ① 当 F 在横对称轴 MN 上，如图所示， 此时 CN＝ CD＝4，CF＝BC＝12， ∴FN＝ ＝8 ， ∴MF＝12﹣8 ， 由折叠得，EF＝BE，EM＝4﹣BE， ∵EM2+MF2＝EF2， 即（4﹣BE）2+（12﹣8 ）2＝BE2， ∴BE＝36﹣24 ， ∴AE＝24 ﹣28； ② 当 F 在竖对称轴 MN 上时，如图所示， 此时 AB∥MN∥CD， ∴∠BEC＝∠FOE， ∵∠BEC＝∠FEC， ∴∠FEC＝∠FOE， ∴EF＝OF， 由折叠的性质得，BE＝EF，∠EFC＝∠B＝90°， ∵BN＝CN， ∴OC＝OE， ∴FO＝OE， ∴△EFO 是等边三角形， ∴∠FEC＝60°， ∴∠BEC＝60°， ∴BE＝ BC＝4 ， ∴AE＝8﹣4 ． 综上所述，点 B 的对应 F 落在矩形 ABCD 的对称轴上，此时 AE 的长是 24 ﹣28 或 8 ﹣4 ． 故答案为：24 ﹣28 或 8﹣4 ． 【点评】本题考查了折叠问题，解题时常常设要求的线段长为 x，然后根据折叠和轴对称 的性质用含 x 的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列 出方程求出答案． 三．解答题（共 8 小题，满分 75 分） 16．【分析】先根据分式的混合运算顺序和运算法则化简原式，再由特殊锐角的三角函数值 求得 a 的值，代入计算可得． 【解答】解：原式＝ ÷ ＝ ＝ ， ∵a＝ ， ∴原式＝ ﹣ ． 【点评】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是掌握分式混合运算顺序和运算法 则及特殊锐角的三角函数值． 17．【分析】（Ⅰ）根据统计图中的数据可以求得 m 的值； （Ⅱ）根据条形统计图中的数据可以计算出平均数，得到众数和中位数； （Ⅲ）根据统计图中的数据可以求得该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分 的大约有多少名学生． 【解答】解：（Ⅰ）m%＝10÷40×100%＝25%， 故答案为：25； （Ⅱ） ＝28.15， 众数是 28，中位数是 28； （Ⅲ）2000× ＝300（名）， 答：该中学九年级 2000 名学生中，体育测试成绩得满分的大约有 300 名学生． 【点评】本题考查条形统计图、用样本估计总体、加权平均数、中位数、众数，解答本 题的关键是明确它们各自的计算方法，利用数形结合的思想解答． 18．【分析】（1）求出 A 的坐标，代入两函数的解析式，求出即可； （2）求出两函数的解析式组成的方程组，求出方程组的解，即可得出 D 的坐标，求出 C 的坐标，根据三角形的面积公式求出即可； （3）由图象直接可得． 【解答】解：（1）∵tan∠AOB＝ ＝ ， ∴设 AB＝3a，BO＝2a， ∵△ABO 的面积为 3， ∴ •3a•2a＝3， 解得 a＝1， ∴AB＝3，OB＝2， ∴A 的坐标是（2，3）， 把 A 的坐标代入 y＝ 得：k＝6， ∴反比例函数的解析式是：y＝ ， 把 A 的坐标代入 y＝ax+1 得：3＝2a+1 得：a＝1， ∴一次函数的解析式是：y＝x+1； （2）解方程组 ， 得： ， ， ∵A（2，3）， ∴D（﹣3，﹣2）． 把 y＝0 代入 y＝x+1 得：0＝x+1，解得 x＝﹣1， 设 AD 与 x 轴交于点 C，则 OC＝1， ∴S△AOD＝S△AOD+S△DOC＝ ×1×3+ ×1×2＝ （3）由图象可得：当﹣3≤x＜0 或 x≥2 时，一次函数值不小于反比例函数值． 【点评】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题的应用，主要考查学生的计算能 力，用了数形结合思想． 19．【分析】（1）由圆周角相等推出圆心角相等，再由圆心角相等推出弦相等． （2）将线段 AD 和 AB 转换为共线线段，把△ADC 绕点 C 旋转至使 CD 与 BC 重合，利 用勾股定理的逆定理证明夹角为 90°． （3）延长 CE、AD 交于点 G，根据翻折和平行推出△DEG 为等腰三角形，再根据△CDG ∽△ACG，解出 CG，也能得到线段 DC 和 AC 的比值，再根据△BFD∽△ACD，解出 BD 的长度，设 BD 和 AC 的交点为 H，最后根据△BCH∽△ADH，解出 BC 的长度． 【解答】解：（1）连接 BO、CO、DO， ∵AC 平分∠BAD， ∴∠BAC＝∠DAC， ∴∠BOC＝∠COD， ∴BC＝CD． （2）如图所示，延长 AB 至点 E，使 BE＝AD，连接 EC， ∵四边形 BACD 为圆的内接四边形， ∴∠ABC+∠ADC＝180°， ∴∠EBC＝∠ADC， ∵BC＝CD， ∴△ACD≌△ECB（SAS）， ∴EC＝AC， ∵AD+AB＝ AC， ∴AE＝ AC＝ EC， ∴AC2+EC2＝AE2， ∴∠ECA＝90°， ∴∠BCD＝90°． （3）如图所示，延长 AD、CE 交于点 G， ∵∠ADB＝∠EDB，CE∥BD， ∴∠DEG＝∠BDE，∠G＝∠BDA， ∴∠DEG＝∠G， ∴DE＝DG， ∵AD＝4， ∴DE＝DG＝4， ∴D 为 AG 的中点， ∵ ，即 AH＝HC， ∵∠DCG＝∠BDC，∠BDC＝∠BAC＝∠CAG， ∴∠DCG＝∠CAG， ∵∠G＝∠CGA， ∴△DCG∽△ACG， ∴ ，即 ， 解得 CG＝4 ，HD＝ CG＝2 ， ， ∵∠ACD＝∠ABD，∠ABD＝∠DBE， ∴∠ACD＝∠DBF， ∴△BDF∽△CAD， ∴ ，即 ， ∴ ＝ ， ∴BD＝6 ， ∵∠BCA＝∠BDA， ∴∠BCA＝∠G， ∴△BCA∽△CAG， ∴ ，即 ， 设 BC＝ x，则 AC＝2x， 则 AH＝CH＝x， ∵△BCH∽△AHD， ∴ ，即 ， 解得 HD＝2 ，∴BH＝BD﹣DH＝4 ， ∴x＝4， ∴BC＝ x＝4 ． 【点评】此题考查了圆周角和圆心角的转化，圆心角和弦之间的转化，全等三角形的判 定及性质，勾股定理逆定理的应用，及相似三角形的性质和判定． 20．【分析】人字梯可简化为一个等腰三角形如右图，先作 OE⊥AB 于 E，由等腰三解形三 线合一的性质可知 OE 是∠AOB 的平分线，再根据题意判断出∠AOD 的取值范围，利用 锐角三角函数的定义即可求出钢丝 AB 的取值范围．从而求出所需的钢丝的长度． 【解答】解： 如图作辅助线 OE⊥AB 于， ∵△OAB 中，OA＝OB，且 OE⊥AB， ∴∠AOE＝∠BOE＝ ∠AOB，AE＝EB＝ AB 在 Rt△OAE 中，sin∠AOE＝ ∴AE＝OA•sin∠AOE 由题意知：35°≤∠AOB≤45° 当∠AOE＝17.5°时，AE＝OA•sin∠AOE＝2×sin17.5°＝0.6 米 此时，AB＝1.2 米，所需要的钢丝为 2.4 米 当∠AOE＝22.5°时，AE＝OA•sin∠AOE＝2×sin22.5°＝0.76 米 此时，AB＝1.52 米，所需要的钢丝为 3.1 米 故所需钢丝的长度应该在 2.4 米到 3.1 米之间 【点评】此题主要考查利用锐角三角函数解直角三角形．利用锐角三角函数时要分清所 求的锐角在直角三角形中的对边、斜边及邻边的位置． 21．【分析】（1）设 A 种品牌足球的单价为 x 元，B 种品牌足球的单价为 y 元，根据“购 买了 A 品牌足球 1 个、B 品牌足球 2 个，共花费 210 元，购买了 A 品牌足球 3 个、B 品 牌足球 1 个，共花费 230 元”可得出关于 x、y 的二元一次方程组，解方程组即可得出结 论； （2）设第二次购买 A 种足球 a 个，则购买 B 种足球 b 个，根据“使用专项经费 1500 元 全部购买 A、B 两种品牌的足球供学生使用”可得出关于 a，b 的二元一次方程，由此即 可得出结论． 【解答】解：（1）设 A 品牌需要要 x 元，B 品牌 y 元， ， 解得 ， 答：购买一个 A 种品牌、一个 B 种品牌的足球各需 50 元，80 元； （2）设购买 A 种产品 a 个，B 种 b 个 50a+80b＝1500，其中 a≥0，b≥0 ① b＝0，a＝30 ② b＝5，a＝22 ③ b＝10，a＝14 ④ b＝15，a＝6 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式组的应用，解题的关键 是：（1）根据数量关系找出关于 x、y 的二元一次方程组；（2）根据数量关系找出关于 a，b 的二元一次方程． 22．【分析】（1） ① 由等腰直角三角形的性质得出∠A＝∠ABC＝45°，由旋转的性质得： ∠ACD＝∠BCE，CD＝CE，证明△BCE≌△ACD，即可得出结果； ② 由 ① 得∠CBE＝45°，求出∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°，作 EM⊥BC 于 M，则△ BEM 是等腰直角三角形，证出△CME 是等腰直角三角形，求出∠BEC＝90°，证出四边 形 CDBE 是矩形，再由垂直平分线的性质得出 BE＝CE，即可得出结论； （2） ① 证明△BCE∽△ACD，即可得出∠CBE＝∠A； ② 由垂直的定义得出∠ADC＝∠BDC＝90°，由相似三角形的性质得出∠BEC＝∠ADC ＝90°，即可得出结论； （3）存在两种情况： ① 当 CD＝BD 时，证出 CD＝BD＝AD，由勾股定理求出 AB，即可 得出结果； ② 当 BD＝BC＝4 时，得出 AD＝AB＝BD＝2 ﹣4 即可． 【解答】解：（1） ① ∵∠ACB＝90°，AC＝BC， ∴∠A＝∠ABC＝45°， 由旋转的性质得：∠ACD＝∠BCE，CD＝CE， 在△BCE 和△ACD 中， ， ∴△BCE≌△ACD（SAS）， ∴∠CBE＝∠A＝45°； 故答案为：45°； ② 当 BE＝2 时，四边形 CDBE 是正方形；理由如下： 由 ① 得：∠CBE＝45°， ∴∠DBE＝∠ABC+∠CBE＝90°， 作 EM⊥BC 于 M，如图所示： 则△BEM 是等腰直角三角形， ∵BE＝2 ， ∴BM＝EM＝2， ∴CM＝BC﹣BM＝2， ∴BM＝CM＝EM， ∴△CME 是等腰直角三角形， ∴∠CEM＝45°， ∴∠BEC＝45°+45°＝90°， 又∵∠ACB＝90°， ∴四边形 CDBE 是矩形， 又∵EM 垂直平分 BC， ∴BE＝CE， ∴四边形 CDBE 是正方形； 故答案为：2 ； （2） ① ∠CBE＝∠A，理由如下： 由旋转的性质得：∠BCE＝∠ACD， ∵BC＝2AC，CE＝2CD， ∴ ＝ ＝2， ∴△BCE∽△ACD， ∴∠CBE＝∠A； ② ∵CD⊥AB， ∴∠ADC＝∠BDC＝90°， 由 ① 得：△BCE∽△ACD， ∴∠BEC＝∠ADC＝90°， 又∵∠DCE＝90°， ∴四边形 CDBE 是矩形； （3）在点 D 的运动过程中，若△BCD 恰好为等腰三角形，存在两种情况： ① 当 CD＝BD 时，则∠DCB＝∠DBC， ∵∠DBC+∠A＝90°，∠ACD+∠DCB＝90°， ∴∠A＝∠ACD， ∴CD＝AD， ∴CD＝BD＝AD， ∴AD＝ AB， ∵AB＝ ＝ ＝2 ， ∴AD＝ ； ② 当 BD＝BC＝4 时，AD＝AB＝BD＝2 ﹣4； 综上所述：若△BCD 恰好为等腰三角形，此时 AD 的长为 或 2 ﹣4． 【点评】本题是四边形综合题目，考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、等腰 直角三角形的判定与性质、矩形的判定、正方形的判定、相似三角形的判定与性质、勾 股定理以及分类讨论等知识；本题综合性强，熟练掌握旋转的性质，证明三角形相似是 解决问题的关键，注意分类讨论． 23．【分析】（1）代入点 A、B 坐标可求出抛物线解析式． （2） ① △OCD 与△CDE 的面积相等，可推出 OC＝ED，点坐标转换为线段长度，可求 出 t 的值． ② 四边形 DOCE 为平行四边形，可推出 OC＝ED，点坐标转换为线段长度，可求出 t 的 值． 【解答】解：（1）∵A（﹣2，0），B（8，0）， 则有 解得 ∴抛物线的解析式为 y＝﹣ x2+ x+4． （2） ① 当△OCD 与△CDE 的面积相等时， ∵CO∥ED， ∴点 C 到 ED 的距离等于点 D 到 CO 的距离， ∴OC＝ED， 令 x＝0，y＝4， ∴OC＝4，C（0，4）， 设直线 BC 的解析式为 y＝kx+b， 则有 解得 ∴直线 BC 的解析式为 y＝﹣ x+4，∵CD＝ t， ∴D（2t，4﹣t）， ∴E（2t，﹣t2+3t+4）， ∴DE＝|﹣t2+4t|， ∵0＜t＜4， ∴4＝﹣t2+4t， 解得 t＝2， 故答案为：2． ② 存在． ∵四边形 DOCE 为平行四边形， ∴DE＝OC， ∵DE＝﹣t2+4t，OC＝4， ∴4＝﹣t2+4t， 解得 t＝2， ∴当 t 的值为 2 时，四边形 DOCE 为平行四边形． 【点评】此题考查了待定系数法求函数解析式，点坐标转化为线段长度，平行四边形与 二次函数结合的问题．关键在于把面积相等和平行四边形转换为 DE 和 OC 相等． 专题一 在坐标系中求解相关量 类型一 平面直角坐标系中图形的变换 如图，矩形 ABCD 的边 BC 在 x 轴上，点 A 在第二象限，点 D 在第一象限，AB＝2 3， OD＝4，将矩形 ABCD 绕点 O 旋转，使点 D 落在 x 轴上，则点 C 对应点的坐标是( ) A．(－ 3，1) B．(－1， 3) C．(－1， 3)或(1，－ 3) D．(－ 3，1)或(1，－ 3) 【分析】 根据矩形的性质得到 CD＝AB＝2 3，∠DCO＝90°，根据已知条件得到∠DOC＝ 60°，OC＝2，①当顺时针旋转至△OD′C′时，过 C′作 C′E⊥OD′于 E，②当逆时针旋转至 △OD″C″时，如解图，过点 C″作 C″F⊥OD″于 F，解直角三角形即可得到结论． 【自主解答】 在矩形 ABCD 中， ∵CD＝AB＝2 3，∠DCO＝90°， OD＝4， ∴∠DOC＝60°，OC＝2. ①当顺时针旋转至△OD′C′时，如解图，∠D′OC′＝∠DOC＝60°，OC′＝OC＝2， 过点 C′作 CE⊥OD′于 E，则 OE＝1 2OC′＝1，C′E＝ 3 2 OC′＝ 3，∴C′(1，－ 3)． ②当逆时针旋转至△OD″C″时，如解图，∠D″OC″＝∠DOC＝60°，OC″＝OC＝2， 过 C″作 C″F⊥OD″于 F，则 OF＝1 2OC″＝1，C″F＝ 3 2 OC′＝ 3.∴C″(－1， 3)．综上所述， 点 C 对应点的坐标是(1，－ 3)，(－1， 3)，故选 C. 1．(2018·河南说明与检测)如图，菱形 OABC 的一边 OA 在 x 轴上，将菱形 OABC 绕原点 O 顺时针旋转 75°至 OA′B′C′的位置．若 OB＝2 3，∠C＝120°，则点 B′的坐标为( ) A．(3， 3) B．(3，－ 3) C．( 6， 6) D．( 6，－ 6) 2．(2018·河南模拟)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，直线 y＝ 3x 经过点 A，作 AB⊥x 轴 于点 B，将△ABO 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BCD.若点 B 的坐标为(2，0)，则点 C 的坐标 为( ) A．(5， 3) B．(5，1) C．(6， 3) D．(6，1) 3．(2018·新乡改编)如图，在平面直角坐标系中，正方形 MNEO 的边长为 5，O 为坐标原点， M、E 在坐标轴上，把正方形 MNEO 绕点 O 顺时针旋转后得到正方形 M′N′E′O，N′E′交 y 轴 于点 F，且点 F 恰为 N′E′的中点，则点 M′的坐标为( ) A．(－1，2) B．(－ 3，1) C．(－1， 3) D．(－2，1) 4．在平面直角坐标系中，Rt△AOB 的两条直角边 OA、OB 分别在 x 轴和 y 轴上，OA＝3， OB＝4.把△AOB 绕点 A 顺时针旋转 120°，得到△ADC.边 OB 上的一点 M 旋转后的对应点为 M′.当 AM′＋DM 取得最小值时，点 M 的坐标为( ) A．(0，3 3 5 ) B．(0，3 4) C．(0， 3 5 ) D．(0，3) 类型二 平面直角坐标系中图形的规律探索 如图，动点 P 从(0，3)出发，沿箭头所示方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹 时反射角等于入射角．当点 P 第 2 018 次碰到矩形的边时，点 P 的坐标为( ) A．(1，4) B．(5，0) C．(7，4) D．(8，3) 【分析】 根据反射角与入射角的定义作出图形，可知每 6 次反弹为一个循环组依次循环， 用 2018 除以 6，根据商和余数的情况确定所对应的点的坐标即可． 【自主解答】 如解图，经过 6 次反弹后动点回到出发点(0，3)，∵2 018÷6＝336……2，∴ 当点 P 第 2 018 次碰到矩形的边时为第 337 个循环组的第 2 次反弹，点 P 的坐标为(7，4)． 1．(2018·河南说明与检测)如图所示，小球从台球桌面 ABCD 上的点 P(0，1)出发，撞击桌 边发生反弹，反射角等于入射角．若小球以每秒 2个单位长度的速度沿图中箭头方向运动， 则第 50 秒时小球所在位置的坐标为( ) A．(2，3) B．(3，4) C．(3，2) D．(0，1) 2．(2018·河南说明与检测)如图，在平面直角坐标中，函数 y＝2x 和 y＝－x 的图象分别为直 线 l1，l2，过点(1，0)作 x 轴的垂线交 l1 于点 A1，过点 A1 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A2，过点 A2 作 x 轴的垂线交 l1 于点 A3，过点 A3 作 y 轴的垂线交 l2 于点 A4，…，依次进行下去，则点 A2 018 的坐标为( ) A．(－21 009，21 009) B．(－21 008，21 009) C．(21 008，21 009) D．(21 009，－21 009) 3．如图所示，平面直角坐标系中，已知 A(0，0)，B(2，0)，△AP1B 是等腰直角三角形，且 ∠P1＝90°，把△AP1B 绕 B 顺时针旋转 180°，得到△BP2C；把△BP2C 绕点 C 顺时针旋转 180°，得到△CP3D…，依次类推，则旋转 2 017 次后得到的等腰直角三角形的直角顶点 P2 018 的坐标为( ) A．(4 034，1) B．(4 033，－1) C．(4 036，－1) D．(4 035，－1) 4．(2018·阜新改编)如图，在平面直角坐标系中，将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后 得到正方形 OA1B1C1，依此方式，绕点 O 连续旋转 2 018 次得到正方形 OA2 018B2 018C2 018，如 果点 A 的坐标为(1，0)，那么点 B2 018 的坐标为________________． 类型三 根据几何图形中的动点问题判断函数图象 (2018·潍坊)如图，菱形 ABCD 的边长是 4 厘米，∠B＝60°，动点 P 以 1 厘米/秒的速 度自 A 点出发沿 AB 方向运动至 B 点停止，动点 Q 以 2 厘米/秒的速度自 B 点出发沿折线 BCD 运动至 D 点停止．若点 P、Q 同时出发运动了 t 秒，记△BPQ 的面积为 S 厘米 2，下面图象 中能表示 S 与 t 之间的函数关系的是( ) 【分析】 应根据 0≤t＜2 和 2≤t＜4 两种情况进行讨论．把 t 当作已知数值，就可以求出 S， 从而得到函数的解析式，进一步即可求解． 【自主解答】 当 0≤t＜2 时，S＝2t× 3 2 ×(4－t)＝－ 3t2＋4 3t；当 2≤t＜4 时，S＝1 2×4× 3 2 ×(4 －t)＝－ 3t＋4 3；只有选项 D 的图象符合，故选 D. 1．(2018·攀枝花)如图，点 A 的坐标为(0，1)，点 B 是 x 轴正半轴上的一动点，以 AB 为边作 Rt△ABC，使∠BAC＝90°，∠ACB＝30°，设点 B 的横坐标为 x，点 C 的纵坐标为 y，能表示 y 与 x 的函数关系的图象大致是( ) 2．(2018·东营)如图所示，已知△ABC 中，BC＝12，BC 边上的高 h＝6，D 为 BC 上一点， EF∥BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F.设点 E 到边 BC 的距离为 x，则△DEF 的面积 y 关于 x 的函数图象大致为( ) 3．(2018·烟台)如图，矩形 ABCD 中，AB＝8 cm，BC＝6 cm，点 P 从点 A 出发，以 1 cm/s 的速度沿 A→D→C 方向匀速运动，同时点 Q 从点 A 出发，以 2 cm/s 的速度沿 A→B→C 方 向匀速运动．当一个点到达点 C 时，另一个点也随之停止．设运动时间为 t(s)，△APQ 的面 积为 S(cm2)，下列能大致反映 S 与 t 之间函数关系的图象是( ) 4．(2018·葫芦岛)如图，在▱ ABCD 中，AB＝6，BC＝10，AB⊥AC，点 P 从点 B 出发沿着 B→A→C 的路径运动，同时点 Q 从点 A 出发沿着 A→C→D 的路径以相同的速度运动，当点 P 到达点 C 时，点 Q 随之停止运动，设点 P 运动的路程为 x，y＝PQ2，下列图象中大致反 映 y 与 x 之间的函数关系的是( ) 5．(2018·河南说明与检测)如图， 菱形 ABCD 的边长为 5 cm，sin A＝4 5.点 P 从点 A 出发， 以1 cm/s的速度沿折线AB→BC→CD运动，到达点D停止；点Q同时从点A出发，以1 cm/s 的速度沿 AD 运动，到达点 D 停止．设点 P 运动 x(s)时，△APQ 的面积为 y(cm2)，则能够反 映 y 与 x 之间函数关系的图象是( ) 类型四 已知函数图象计算相关量 (2018·驻马店一模)如图①，则等边三角形 ABC 中，点 P 为 BC 边上的任意一点，且 ∠APD＝60°，PD 交 AC 于点 D.设线段 PB 的长度为 x，CD 的长度为 y，若 y 与 x 的函数关 系的大致图象如图②，则等边三角形 ABC 的面积为________． 图① 图② 【分析】 设出等边三角形的边长，根据等边三角形的性质和相似三角形的性质、以及二次 函数的最值，即可确定 CD 取得最大值时等边三角形的边长，进而得到△ABC 的面积． 【 自 主 解 答 】 由 题 可 得 ， ∠APD ＝ 60° ， ∠ABC ＝ ∠C ＝ 60° ， ∴∠BAP ＝ ∠CPD ， ∴△ABP∽△PCD，∴AB BP ＝PC CD.设 AB＝a，则a x ＝a－x y ，∴y＝－x2＋ax a .当 x＝1 2a 时，y 取得 最大值 2，即 P 为 BC 中点时，CD 的最大值为 2，∴此时∠APB＝∠PDC＝90°，∠CPD＝ 30°，∴PC＝BP＝4，∴等边三角形的边长为 8，∴根据等边三角形的性质，可得 S＝ 3 4 ×82 ＝16 3. 1．如图，矩形 ABCD 中，对角线 AC，BD 交于点 O，E，F 分别是边 BC，AD 的中点，AB ＝2，BC＝4，一动点 P 从点 B 出发，沿着 B－A－D－C 在矩形的边上运动，运动到点 C 停 止，点 M 为图①中某一定点，设点 P 运动的路程为 x，△BPM 的面积为 y，表示 y 与 x 的函 数关系的图象大致如图②所示．则点 M 的位置可能是图①中的( ) 图① 图② A．点 C B．点 O C．点 E D．点 F 2．(2016·许昌一模)如图①，四边形 ABCD 中，BC∥AD，∠A＝90°，点 P 从 A 点出发，沿 折线 AB→BC→CD 运动，到点 D 时停止．已知△PAD 的面积 S 大小与点 P 运动的路程 x 的 函数图象如图②所示，则点 P 从开始到停止运动的总路程为( ) 图① 图② A．4 B．2＋ 13 C．5 D．4＋ 13 3．如图①，在矩形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，动点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀 速运动，到达点 B 时停止．设点 P 所走的路程为 x，线段 OP 的长为 y.若 y 与 x 之间的函数 图象如图②所示，则矩形 ABCD 的周长为________． 图① 图② 4．(2018·信阳模拟)如图①，在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，点 P 以每秒 2 cm 的速度从点 A 出发，沿折线 AC－CB 运动，到点 B 停止．过点 P 作 PD⊥AB，垂足为 D，PD 的长 y(cm) 与点 P 的运动时间 x(秒)的函数图象如图②所示．当点 P 运动 5 秒时，PD 的长为 ________________． 图① 图② 参考答案 类型一 针对训练 1．D 2．A 【解析】∵AB⊥x 轴于点 B，点 B 的坐标为(2，0)，∴y＝2 3，∴点 A 的坐标为(2， 2 3)，∴AB＝2 3，OB＝2. 由勾股定理得，OA＝ AB2＋OB2＝ （2 3）2＋22＝4， 第 2 题解图 ∴∠A＝30°，∠AOB＝60°.∵△ABO 绕点 B 顺时针旋转 60°得到△BCD，∴∠C＝30°，CD∥x 轴 ． 设 AB 与 CD 相 交 于 点 E ， 则 BE ＝ 1 2 AB ＝ 1 2 ×2 3 ＝ 3 ， CE ＝ BC2－BE2 ＝ （2 3）2－（ 3）2＝3，∴点 C 的横坐标为 3＋2＝5，∴点 C 的坐标为(5， 3)，故选 A. 3．D 【解析】∵四边形 M′N′E′O 为正方形， 第 3 题解图 ∴OE′＝N′E′，∠OE′N′＝90°.又∵F 是 N′E′的中点，∴E′F＝1 2E′N′＝1 2OE′.∵由旋转性质可知， ∠E′OF＝∠MOM′，∴在 Rt△E′OF 中，tan∠E′OF＝1 2 ；过点 M′作 M′G⊥x 轴，垂足为点 G. 在 Rt△M′GO 中，tan∠MOM′＝1 2.设 M′G＝k，则 OG＝2k.在 Rt△M′GO 中，OM′＝ 5.根据勾 股定理，得 M′G2＋OG2＝OM′2.即 k2＋(2k)2＝( 5)2，解得 k1＝－1(舍)，k2＝1.∴M′G＝1，OG ＝2.又∵点 M′在第二象限，∴点 M′的坐标为(－2，1)．故选 D. 4．A 【解析】∵把△AOB 绕点 A 顺时针旋转 120°，得到△ADC，点 M 是 BO 边上的一点， ∴AM＝AM′，∴AM′＋DM 的最小值＝AM＋DM 的最小值．作点 D 关于直线 OB 的对称点 D′， 连接 AD′交 OB 于 M，则 AD′＝AM′＋DM 的最小值，过 D 作 DE⊥x 轴于 E，如解图，∵∠OAD ＝120°，∴∠DAE＝60°.∵AD＝AO＝3， 第 4 题解图 ∴DE＝ 3 2 ×3＝3 3 2 ，AE＝3 2 ，∴D(9 2 ，3 3 2 )，∴D′(－9 2 ，3 3 2 )．设直线 AD′的解析式为 y＝kx ＋b，∴ 0＝3k＋b， 3 3 2 ＝－9 2k＋b，∴ k＝－ 3 5 ，b＝3 3 5 ，∴直线 AD′的解析式为 y＝－ 3 5 x＋3 3 5 ，当 x＝0 时，y＝3 3 5 ，∴M(0，3 3 5 )，故选 A. 类型二 针对训练 1．A 2.A 3.D 4．(－1，1) 【解析】∵四边形 OABC 是正方形，且 OA＝1，∴B(1，1)，连接 OB，如解 图，由勾股定理，得 OB＝ 2，由旋转得：OB＝OB1＝OB2＝OB3＝…＝ 2.∵将正方形 OABC 绕点 O 逆时针旋转 45°后得到正方形 OA1B1C1，相当于将线段 OB 绕点 O 逆时针旋转 45°， 依次得到∠AOB＝∠BOB1＝∠B1OB2＝…＝45°，∴B1(0， 2)，B2(－1，1)，B3(－ 2，0)，…， 发现是 8 次一循环，所以 2 018÷8＝252…2，∴点 B2 018 的坐标为(－1，1)． 第 4 题解图 类型三 针对训练 1．C 【解析】如解图，过点 C 作 CD⊥y 轴于点 D，∵∠BAC＝90°，∴∠DAC＋∠OAB ＝ 90° ， ∵∠DCA ＋ ∠DAC ＝ 90° ， ∴∠DCA ＝ ∠OAB. 又 ∵∠CDA ＝ ∠AOB ＝ 90° ， ∴△CDA∽△AOB，∴OB DA ＝OA DC ＝AB AC ＝tan 30°，则 x y－1 ＝ 3 3 ，故 y＝ 3x＋1(x＞0)，则选项 C 符合题意．故选 C. 第 1 题解图 2．D 【解析】过点 A 向 BC 作 AH⊥BC 于点 H，所以根据相似比可知：EF 12 ＝6－x 6 ，即 EF ＝2(6－x)，所以 y＝1 2×2(6－x)x＝－x2＋6x(0＜x＜6)，该函数图象是抛物线的一部分，故选 D. 3．A 【解析】由题意，得 AP＝t，AQ＝2t.①当 0≤t≤4 时，Q 在边 AB 上，P 在边 AD 上， 如解图①， S△APQ＝1 2AP·AQ＝1 2·t·2t＝t2，故选项 C、D 不正确；②当 4＜t≤6 时，Q 在边 BC 上，P 在边 AD 上，如解图②，S△APQ＝1 2AP·AB＝1 2t·8＝4t，故选项 B 不正确；故选 A. 图① 图② 第 3 题解图 4．B 【解析】在 Rt△ABC 中，∠BAC＝90°，AB＝6，BC＝10，∴AC＝ BC2－AB2＝8， 当 0≤x≤6 时，AP＝6－x，AQ＝x，∴y＝PQ2＝AP2＋AQ2＝2x2－12x＋36；当 6≤x≤8 时，AP ＝x－6，AQ＝x，∴y＝PQ2＝(AQ－AP)2＝36；当 8≤x≤14 时，CP＝14－x，CQ＝x－8，∴y ＝PQ2＝CP2＋CQ2＝2x2－44x＋260，故选 B. 5．C 类型四 针对训练 1．B 【解析】∵AB＝2，BC＝4，四边形 ABCD 是矩形，∴当 x＝6 时，点 P 到达 D 点， 此时△BPM 的面积为 0，说明点 M 一定在 BD 上，∴从选项中可得只有 O 点符合，∴点 M 的位置可能是图①中的点 O. 2．D 【解析】作 CE⊥AD 于点 E，如解图所示，由图象可知，点 P 从 A 到 B 运动的路程 是 2，当点 P 与点 B 重合时，△ADP 的面积是 5，由 B 到 C 运动的路程为 2，∴AD·AB 2 ＝AD×2 2 ＝5，解得 AD＝5.又∵BC∥AD，∠A＝90°，CE⊥AD，∴∠B＝90°，∠CEA＝90°，∴四边 形 ABCE 是矩形，∴AE＝BC＝2，∴DE＝AD－AE＝5－2＝3，∴CD＝ CE 2＋DE 2＝ 22＋32 ＝ 13，∴点 P 从开始到停止运动的总路程为 AB＋BC＋CD＝2＋2＋ 13＝4＋ 13. 第 2 题解图 3．28 【解析】∵当 OP⊥AB 时，OP 最小，且此时 AP＝4，OP＝3，∴AB＝2AP＝8，AD ＝2OP＝6，∴C 矩形 ABCD＝2(AB＋AD)＝2×(8＋6)＝28. 4．2.4 cm 【解析】∵P 以每秒 2 cm 的速度从点 A 出发，∴从题图②中得出 AC＝2×3＝6 cm， BC＝(7－3)×2＝8 cm.∵在 Rt△ABC 中，∠ACB＝90°，∴AB＝ AC2＋BC2＝ 62＋82＝10 cm， ∴sin B＝AC AB ＝ 6 10 ＝3 5.∵当点 P 运动 5 秒时，BP＝2×7－2×5＝4 cm，∴PD＝4×sin B＝4×3 5 ＝ 2.4 (cm)． 初中升学统一考试数学试题 一、选择题（本大题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。） 1．与 2 1 互为倒数的是 （ ） A.-2 B．- 2 1 C． 2 1 D．2 2·用科学记数法表示数 5.8×10-5，它应该等于 （ ） A.0.005 8 B．0.000 58 C.0.000 058 D．0.O00 005 8 3．对任意实数 a，则下列等式一定成立的是 ( ) A． aa 2 B． aa 2 C． aa 2 D． aa 2 4·若一个圆锥的侧面积是 10，则下列图象中表示这个圆锥母线l 与底面半径 r 之间的函数关 系的是 ( ) l r B O l r C O l r D O l r A O （第 4 题） 5 若 a+b>0，且 b<0，贝 a，b，-a，-b 的大小关系为 （ ） A.-a<-b查看更多