2010年江苏省南京市中考数学试卷

2010年江苏省南京市中考数学试卷

一、选择题（共6小题，每小题2分，满分12分）‎ ‎1、（2010•南京）﹣3的倒数是（　　）‎ ‎ A、3 B、‎‎1‎‎3‎ ‎ C、﹣‎1‎‎3‎ D、﹣3‎ 考点：倒数。‎ 分析：利用倒数的定义，直接得出结果．‎ 解答：解：∵﹣3×（﹣‎1‎‎3‎）=1，‎ ‎∴﹣3的倒数是﹣‎1‎‎3‎．‎ 故选C．‎ 点评：主要考查倒数的定义，要求熟练掌握．需要注意的是负数的倒数还是负数．‎ 倒数的定义：若两个数的乘积是1，我们就称这两个数互为倒数．‎ ‎2、（2010•南京）a3•a4的结果是（　　）‎ ‎ A、a4 B、a7‎ ‎ C、a6 D、a12‎ 考点：同底数幂的乘法。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据同底数幂的乘法法则计算，am•an=am+n．‎ 解答：解：a3•a4=a3+4=a7．‎ 故选B．‎ 点评：主要考查了同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即am•an=am+n．‎ ‎3、（2010•南京）如图，下列各数中，数轴上点A表示的可能是（　　）‎ ‎ A、4的算术平方根 B、4的立方根 ‎ C、8的算术平方根 D、8的立方根 考点：估算无理数的大小。‎ 分析：先根据数轴判断A的范围，再根据下列选项分别求得其具体值，选取最符合题意的值即可．‎ 解答：解：根据数轴可知点A的位置在2和3之间，且靠近3，‎ 而‎4‎=2，‎3‎‎4‎＜2，2＜‎8‎=2‎2‎＜3，‎3‎‎8‎=2，‎ 只有8的算术平方根符合题意．‎ 故选C．‎ 点评：此题主要考查了利用数轴确定无理数的大小，解题需掌握二次根式的基本运算技能，灵活应用．“夹逼法”是估算的一般方法，也是常用方法．‎ ‎4、（2010•南京）甲种蔬菜保鲜适宜的温度是1℃～5℃，乙种蔬菜保鲜适宜的温度是3℃～8℃，将这两种蔬菜放在一起同时保鲜，适宜的温度是（　　）‎ ‎ A、1℃～3℃ B、3℃～5℃‎ ‎ C、5℃～8℃ D、1℃～8℃‎ 考点：一元一次不等式组的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：根据“1℃～5℃”，“3℃～8℃”组成不等式组，解不等式组即可求解．‎ 解答：解：设温度为x℃，根据题意可知‎&x≥1‎‎&x≤5‎‎&x≥3‎‎&x≤8‎ 解得3≤x≤5．‎ 故选B．‎ 点评：本题考查一元一次不等式组的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出不等式关系式即可求解．‎ ‎5、（2010•南京）如图，在平面直角坐标系中，菱形OABC的顶点C的坐标是（3，4），则顶点A、B的坐标分别是（　　）‎ ‎ A、（4，0）（7，4） B、（4，0）（8，4）‎ ‎ C、（5，0）（7，4） D、（5，0）（8，4）‎ 考点：菱形的性质；坐标与图形性质。‎ 分析：过C作CE⊥OA，根据勾股定理求出OC的长度，则A、B两点坐标便不难求出．‎ 解答：解：过C作CE⊥OA于E，‎ ‎∵顶点C的坐标是（3，4），‎ ‎∴OE=3，CE=4，‎ ‎∴OC=OE‎2‎‎+‎CE‎2‎=‎3‎‎2‎‎+‎‎4‎‎2‎=5，‎ ‎∴点A的坐标为（5，0），‎ ‎5+3=8，‎ 点B的坐标为（8，4）．‎ 故选D．‎ 点评：根据菱形的性质和点C的坐标，作出辅助线是解决本题的突破口．‎ ‎6、（2010•南京）如图，夜晚，小亮从点A经过路灯C的正下方沿直线走到点B，他的影长y随他与点A之间的距离x的变化而变化，那么表示y与x之间的函数关系的图象大致为（　　）‎ ‎ A、 B、‎ ‎ C、 D、‎ 考点：中心投影；函数的图象。‎ 分析：等高的物体垂直地面时，在灯光下，离点光源近的物体它的影子短，离点光源远的物体它的影子长．‎ 解答：解：影长将随着离灯光越来越近而越来越短，到灯下的时候，将是一个点，进而随着离灯光的越来越远而影长将变大，但不会符合抛物线解析式，故选A．‎ 点评：本题综合考查了中心投影的特点和规律．注意离点光源的远近决定影长的大小．‎ 二、填空题（共10小题，每小题2分，满分20分）‎ ‎7、（2010•广东）﹣2的绝对值是 ．‎ 考点：绝对值。‎ 分析：计算绝对值要根据绝对值的定义求解．第一步列出绝对值的表达式；第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ 解答：解：|﹣2|=2．‎ 故填2．‎ 点评：规律总结：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是是它的相反数；0的绝对值是0．‎ ‎8、（2010•南京）函数y=‎‎1‎x﹣1‎中，自变量x的取值范围是 ．‎ 考点：函数自变量的取值范围；分式有意义的条件。‎ 分析：分式的意义可知分母：就可以求出x的范围．‎ 解答：解：根据题意得：x﹣1≠0，解得：x≠1的一切实数．‎ 点评：主要考查了函数自变量的取值范围的确定和分式的意义．函数自变量的范围一般从三个方面考虑：‎ ‎（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；‎ ‎（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；‎ ‎（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．‎ ‎9、（2010•南京）南京地铁2号线（含东延线）、4号线南延线来开通后，南京地铁总里程约为85 000m．将85 000用科学记数法表示为 ．‎ 考点：科学记数法—表示较大的数。‎ 专题：应用题。‎ 分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于1时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．‎ 解答：解：85 000用科学记数法表示为8.5×104．‎ 点评：此题考查科学记数法的表示方法，科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．‎ ‎10、（2010•南京）如图，O是直线l上一点，∠AOB=100°，则∠1+∠2= 度．‎ 考点：角的计算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：根据∠1、∠2、∠AOB三个角合在一起是一个平角解答．‎ 解答：解：∵∠AOB=100°，‎ ‎∴∠1+∠2=180°﹣∠AOB=180°﹣100°=80°．‎ 故答案为80°．‎ 点评：本题主要考查角的比较与运算，根据平角等于180°求解．‎ ‎11、（2010•南京）计算‎2a‎•‎8a（a≥0）‎的结果是 ．‎ 考点：二次根式的乘除法。‎ 分析：根据二次根式的乘法法则得出．‎ 解答：解：‎2a‎•‎8a（a≥0）‎=‎2a•8a=4a．‎ 点评：主要考查了二次根式的乘法运算．二次根式的乘法法则：a‎•‎b=ab．‎ ‎12、（2010•南京）反比例函数的图象经过点P（﹣2，1），则这个函数的图象位于第 象限．‎ 考点：反比例函数的性质。‎ 分析：反比例函数y=kx（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大．首先利用待定系数法确定函数的表达式，再根据常数的正负确定函数图象经过的象限．‎ 解答：解：设y=kx，图象过（﹣2，1），‎ ‎∴k=﹣2＜0，‎ ‎∴函数图象位于第二，四象限．‎ 点评：本题考查了待定系数法求反比例函数的常数k和考查了反比例函数图象的性质．‎ ‎13、（2010•南京）甲、乙两人5次射击命中的环数如下：‎ 甲：7 9 8 6 10；乙：7 8 9 8 8．‎ 则这两人5次射击命中的环数的平均数x甲‎=x乙=8‎，方差s甲2 s乙2．（填“＞”“＜”或“=”）．‎ 考点：方差；算术平均数。‎ 分析：分别计算出甲、乙两人的方差，再比较．‎ 解答：解：由题意得：‎ ‎∴数据的方差S甲2=‎1‎‎5‎[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（6﹣8）2+（10﹣8）2]=2，‎ S乙2=‎1‎‎5‎[（7﹣8）2+（9﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2+（8﹣8）2]=‎2‎‎5‎，‎ ‎∴s甲2＞s乙2．‎ 故填＞．‎ 点评：本题考查方差的定义与意义：一般地设n个数据，x1，x2，…xn的平均数为x，则方差S2=‎1‎n[（x1﹣x）2+（x2﹣x）2+…+（xn﹣x）2]，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立．‎ ‎14、（2010•南京）如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆的弦AB是小圆的切线，C为切点，若两圆的半径分别为3cm和5cm，则AB的长为 cm．‎ 考点：切线的性质；勾股定理；垂径定理。‎ 分析：连接OC、OA；由切线的性质知：OC⊥AB；在Rt△OAC中，可由勾股定理求得AC的长；根据垂径定理知：AB=2AC，由此得解．‎ 解答：解：连接OC、OA，‎ ‎∵AB切⊙O于C，‎ ‎∴OC⊥AB，‎ ‎∴AB=2AC；‎ ‎∵在Rt△OAC中，OA=5cm，OC=3cm，‎ ‎∴AC=OA‎2‎‎﹣‎OC‎2‎=4cm，‎ ‎∴AB=2AC=8cm．‎ 点评：此题主要考查了切线的性质、垂径定理以及勾股定理的应用．‎ ‎15、（2010•南京）如图，点C在⊙O上，将圆心角∠AOB绕点O按逆时针方向旋转到∠A′O′B′，旋转角为α（0°＜α＜180°）．若∠AOB=30°，∠BCA′=40°，则∠α= 度．‎ 考点：圆周角定理。‎ 分析：根据圆周角定理可求∠BOA′=2∠BC′A=80°，又已知∠AOB=30°，故∠α可求．‎ 解答：解：∵∠BCA′=40°，∠AOB=30°，‎ ‎∴∠BOA′=2∠BCA′=80°，‎ ‎∴∠α=∠AOB+∠BOA′=110°．‎ 点评：此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．‎ ‎16、（2010•南京）如图，AB⊥BC，AB=BC=2cm，弧OA与弧OC关于点O中心对称，则AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积是 cm2．‎ 考点：中心对称。‎ 分析：由弧OA与弧OC关于点O中心对称，根据中心对称的定义，如果连接AC，则点O为AC的中点，则题中所求面积等于△BAC的面积．‎ 解答：解：连接AC．‎ ‎∵弧OA与弧OC关于点O中心对称，‎ ‎∴点O为AC的中点，‎ ‎∴AB、BC、弧CO、弧OA所围成的面积=△BAC的面积=‎1‎‎2‎‎×2×2‎=2cm2．‎ 点评：根据中心对称的性质，把所求的不规则图形转化为规则图形即△BAC的面积，是解决本题的关键．‎ 三、解答题（共12小题，满分88分）‎ ‎17、（2010•南京）解方程组：‎&2x+y=4‎‎&x+2y=5‎．‎ 考点：解二元一次方程组。‎ 分析：此题x、y的系数较小，故可用加减消元法或代入消元法求解．‎ 解答：解：方法一：②×2，得2x+4y=10，③‎ ‎③﹣①，得3y=6，‎ 解这个方程，得y=2，（3分）‎ 将y=2代入①，得x=1，（15分）‎ 所以原方程组的解是：‎&x=1‎‎&y=2‎．（6分）‎ 方法二：由①，得y=4﹣2x，③‎ 将③代入②，得x+2（4﹣2x）=5，‎ 解这个方程，得x=1，（13分）‎ 将x=1代入③，得y=2，（5分）‎ 所以原方程组的解是‎&x=1‎‎&y=2‎．（6分）‎ 点评：本题考查的是二元一次方程组的解法，方程组中未知数的系数较小时可用代入法，当未知数的系数相等或互为相反数时用加减消元法较简单．‎ ‎18、（2010•南京）计算：‎‎（‎1‎a﹣‎1‎b）÷‎a‎2‎‎﹣‎b‎2‎ab 考点：分式的混合运算。‎ 专题：计算题。‎ 分析：先把括号内的式子通分，再利用平方差公式把分子分解因式，把除法变乘法后约分使计算简便．‎ 解答：解：‎‎（‎1‎a﹣‎1‎b）÷‎a‎2‎‎﹣‎b‎2‎ab ‎=‎b﹣aab‎÷‎‎（a+b）（a﹣b）‎ab ‎=b﹣aab‎•‎ab‎（a+b）（a﹣b）‎（4分）‎ ‎=﹣‎a﹣bab‎•‎ab‎（a+b）（a﹣b）‎ ‎=﹣‎1‎a+b．（6分）‎ 点评：解答分式的混合运算要注意运算顺序．‎ ‎19、（2010•南京）为了估计西瓜、苹果和香蕉三种水果一个月的销售量，某水果店对这三种水果7天的销售量进行了统计，统计结果如图所示 ‎（1）若西瓜、苹果和香蕉的售价分别是6元/千克、8元/千克和3元/千克，则这7天销售额最大的水果品种是（ A ）‎ A、西瓜，B、苹果，C、香蕉．‎ ‎（2）估计一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果多少千克？‎ 考点：用样本估计总体；条形统计图。‎ 分析：（1）根据统计图得到每种水果的销售量，销量与单价的积就是销售额，即可比较大小；‎ ‎（2）首先从统计图中得到7天苹果的销售量，然后计算平均数，再利用样本估计总体的思想即可求出一个月（按30天计算）该水果店可销售苹果的销售量．‎ 解答：解：（1）根据统计图得 A、西瓜的销售额为250×6=1500元；‎ B、苹果的销售额为140×8=1120元；‎ C、香蕉的销售额为400×3=1200元，‎ ‎∴A销售额最大；‎ ‎（2）‎140‎‎7‎×30=600（千克）‎ 答：估计一个月该水果店可销售苹果600千克．‎ 点评：生产中遇到的估算产量问题，通常采用样本估计总体的方法．‎ ‎20、（2010•南京）如图，小明欲利用测角仪测量树的高度．已知他离树的水平距离BC为10m，测角仪的高度CD为1.5m，测得树顶A的仰角为33°．求树的高度AB．‎ ‎（参考数据：sin33°≈0.54，cos33°≈0.84，tan33°≈0.65）‎ 考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题。‎ 分析：过D作DE⊥AB于E，在直角三角形中运用正切函数计算．‎ 解答：解：如图，过点D作DE⊥AB，垂足为E．‎ 在Rt△ADE中，DE=BC=10，∠ADE=33°，‎ tan∠ADE=AEDE，‎ ‎∴AE=DE•tan∠ADE≈10×0.65=6.5（m）． （5分）‎ ‎∴AB=AE+BE=AE+CD=6.5+1.5=8（m）．‎ 答：树的高度AB约为8m． （7分）‎ 点评：本题考查仰角的定义，要求学生能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形．‎ ‎21、（2010•南京）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD相较于点O，△ABC≌△BAD．‎ 求证：（1）OA=OB；（2）AB∥CD．‎ 考点：全等三角形的性质；平行线的判定。‎ 专题：证明题。‎ 分析：（1）要证OA=OB，由等角对等边需证∠CAB=∠DBA，由已知△ABC≌△BAD即可证．‎ ‎（2）要证AB∥CD，根据平行线的性质需证∠CAB=∠ACD，由已知和（1）可证∠OCD=∠ODC，又因为 ‎∠AOB=∠COD，所以可证∠CAB=∠ACD，即AB∥CD获证．‎ 解答：证明：（1）∵△ABC≌△BAD，‎ ‎∴∠CAB=∠DBA，‎ ‎∴OA=OB ．‎ ‎（2）∵△ABC≌△BAD，‎ ‎∴AC=BD，‎ 又∵OA=OB，‎ ‎∴OC=OD，‎ ‎∴∠OCD=∠ODC，‎ ‎∵∠AOB=∠COD，∠CAB=‎180°﹣∠AOB‎2‎，∠ACD=‎180°﹣∠COD‎2‎，‎ ‎∴∠CAB=∠ACD，‎ ‎∴AB∥CD ．‎ 点评：本题考查了全等三角形的性质和等腰三角形的性质及平行线的性质．解答时，除必备的知识外，还应将条件和所求联系起来，即将所求的角与已知角通过全等及内角之间的关系联系起来．‎ ‎22、（2010•南京）已知点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b图象上．‎ ‎（1）用含a的代数式表示b；‎ ‎（2）如果该二次函数的图象与x轴只有一个交点，求这个二次函数的图象的顶点坐标．‎ 考点：抛物线与x轴的交点；二次函数图象上点的坐标特征。‎ 分析：（1）因为二次函数y=x2﹣2ax+b图象上的任何一点都满足方程式y=x2﹣2ax+b，所以，把点A（1，1）代入方程求解即可；‎ ‎（2）根据b2﹣4ac与零的关系即可判断出二次函数y=x2﹣2x+1的图象与x轴交点的个数．‎ 解答：解：（1）因为点A（1，1）在二次函数y=x2﹣2ax+b的图象上，所以1=1﹣2a+b 可得b=2a（3分）‎ ‎（2）根据题意，方程x2﹣2ax+b=0有两个相等的实数根，所以4a2﹣4b=4a2﹣8a=0‎ 解得a=0，或a=2（5分）‎ 当a=0时，y=x2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）‎ 当a=2时，y=x2﹣4x+4=（x﹣2）2，这个二次函数的图象的顶点坐标为（2，0）‎ 所以，这个二次函数的图象的顶点坐标为（0，0）或（2，0）‎ 点评：考查二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交点的个数的判断．‎ ‎23、（2010•南京）某厂为新型号电视机上市举办促销活动，顾客每买一台该型号电视机，可获得一次抽奖机会，该厂拟按10%设大奖，其余90%为小奖．‎ 厂家设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入10个黄球和90个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到黄球的顾客获得大奖，摸到白球的顾客获得小奖．‎ ‎（1）厂家请教了一位数学老师，他设计的抽奖方案是：在一个不透明的盒子中，放入2个黄球和3个白球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出2个球，摸到的2个球都是黄球的顾客获得大奖，其余的顾客获得小奖．该抽奖方案符合厂家的设奖要求吗？请说明理由；‎ ‎（2）下图是一个可以自由转动的转盘，请你将转盘分为2个扇形区域，分别涂上黄、白两种颜色，并设计抽奖方案，使其符合厂家的设奖要求．（友情提醒：1．转盘上用文字注明颜色和扇形的圆心角的度数，2、结合转盘简述获奖方式，不需说明理由．）‎ 考点：模拟实验。‎ 专题：方案型；开放型。‎ 分析：（1）列举出所有情况，看摸到的2个球都是黄球的情况占所有情况的多少即可求得获大奖的概率，进而求得获小奖的概率；‎ ‎（2）让表示大奖的角的度数占周角的‎1‎‎10‎即可．‎ 解答：解：（1）该抽奖方案符合厂家的设奖要求：‎ 分别用黄1、黄2、白1、白2、白3表示这5个球，从中任意摸出2个球，可能出现的结果有：（黄1，黄2）、（黄1，白1）、（黄1，白2）、（黄1，白3）、（黄2，白1）、（黄2，白2）、（黄2，白3）、（白1．白2）、（白1，白3）、（白2，白3），共有10种，它们出现的可能性相同．‎ 所有的结果中，满足摸到的2个球都是黄球（记为事件A）的结果有1种，即（黄1，黄2），所以P（A）=‎1‎‎10‎，即顾客获得大奖的概率为10%，获得小奖的概率为90%；‎ ‎（2）本题答案不唯一，下列解法供参考．‎ 如图，将转盘中圆心角为36°的扇形区域涂上黄色，其余的区域涂上白色，顾客每购买一台该型号电视机，可获得一次转动转盘的机会，任意转动这个转盘，当转盘停止时，指针指向黄色区域获得大奖，指向白色区域获得小奖．‎ 点评：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=mn，注意本题是放回实验．解决本题的关键是得到相应的概率．‎ ‎24、（2010•南京）甲车从A地出发以60km/h的速度沿公路匀速行驶，0.5小时后，乙车也从A地出发，以80km/h的速度沿该公路与甲车同向匀速行驶，求乙车出发后几小时追上甲车．‎ 请建立一次函数关系解决上述问题．‎ 考点：一次函数的应用。‎ 专题：应用题。‎ 分析：设乙车出发x小时后追上甲车，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km和y2km，分别表示出甲车和乙车x小时走过的路程，当乙车追上甲车时，y1=y2，列方程求解即可．‎ 解答：解：设乙车出发x小时后追上甲车，甲、乙两车离A地的路程分别是y1km和y2km，根据题意，得 y1=60（x+0.5）=60x+30，y2=80x 当乙车追上甲车时，y1=y2，即60x+30=80x 解这个方程，得x=1.5（h）‎ 答：乙车出发后1.5h追上甲车．‎ 点评：主要考查了利用一次函数的模型解决实际问题的能力．关键是根据题意准确的列出函数关系式，再根据实际题意找到等量关系进行解题．‎ ‎25、（2010•南京）如图，AB是⊙O的直径，点D在⊙O上，∠DAB=45°，BC∥AD，CD∥AB．‎ ‎（1）判断直线CD与⊙O的位置关系，并说明理由；‎ ‎（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积（结果保留π）‎ 考点：扇形面积的计算；切线的判定。‎ 分析：（1）直线与圆的位置关系无非是相切或不相切，可连接OD，证OD是否与CD垂直即可．‎ ‎（2）阴影部分的面积可由梯形OBCD和扇形OBD的面积差求得；扇形的半径和圆心角已求得，那么关键是求出梯形上底CD的长，可通过证四边形ABCD是平行四边形，得出CD=AB，由此可求出CD的长，即可得解．‎ 解答：解：（1）直线CD与⊙O相切，如图，连接OD ‎∵OA=OD，∠DAB=45°，‎ ‎∴∠ODA=45°‎ ‎∴∠AOD=90°‎ ‎∵CD∥AB ‎∴∠ODC=∠AOD=90°，即OD⊥CD 又∵点D在⊙O上，∴直线CD与⊙O相切；（4分）‎ ‎（2）∵BC∥AD，CD∥AB ‎∴四边形ABCD是平行四边形 ‎∴CD=AB=2‎ ‎∴S梯形OBCD=‎（OB+CD）×OD‎2‎=‎（1+2）×1‎‎2‎=‎3‎‎2‎；‎ ‎∴图中阴影部分的面积等于S梯形OBCD﹣S扇形OBD=‎3‎‎2‎﹣‎1‎‎4‎×π×12=‎3‎‎2‎﹣π‎4‎．（8分）‎ 点评：此题主要考查了切线的判定、平行四边形的判定和性质以及扇形的面积计算方法．不规则图形的面积一定要注意分割成规则图形的面积进行计算．‎ ‎26、（2010•南京）学习《图形的相似》后，我们可以借助探索两个直角三角形全等的条件所获得经验，继续探索两个直角三角形相似的条件．‎ ‎（1）“对与两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，两个直角三角形全等”．类似地你可以得到：“满足 ，或 ，两个直角三角形相似”．‎ ‎（2）“满足斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等”，类似地你可以得到“满足 的两个直角三角形相似”．‎ 请结合下列所给图形，写出已知，并完成说理过程．‎ 已知：如图， ．‎ 试说明Rt△ABC∽Rt△A′B′C′‎ 考点：相似三角形的判定。‎ 专题：几何综合题。‎ 分析：列举两种方法证Rt△ABC∽Rt△A′B′C′；‎ ‎①可设AB、A′B′，AC、A′C′的比为k，进而由勾股定理求出BC：B′C′的值，此时可得两三角形的三边都对应成比例，由此来得出两三角形相似的结论；‎ ‎②可设AB＞A′B′，在AB上截取AB″=AB，然后过B″作AC的垂线，易证得B″C″∥BC，则△AB″C″与△ABC相似，再证△AB″C″与△AB′C′全等即可．‎ 解答：解：（1）一个锐角对应相等（1分）‎ 两直角边对应成比例（2分）‎ ‎（2）斜边和一条直角边对应成比例（3分）‎ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，∠C=∠C′=90°，ABA‎'‎B‎'‎‎=‎ACA'C'‎（4分）‎ 解法一：设ABA‎'‎B‎'‎‎=‎ACA'C'‎=k，则AB=kA′B′，AC=kA′C′；‎ 在Rt△ABC和Rt△A′B′C′中，‎ BCB'C'‎‎=AB‎2‎‎﹣‎AC‎2‎A'B'‎‎2‎‎﹣‎A'C'‎‎2‎=k‎2‎A'B'‎‎2‎‎﹣‎k‎2‎A'C'‎‎2‎A'B'‎‎2‎‎﹣‎A'C'‎‎2‎=k ‎∴‎ABA'B'‎‎=ACA'C'‎=‎BCB'C'‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．（8分）‎ 解法二：如图，假设AB＞A′B′，在AB上截取AB″=A′B′，过B″作B″C″⊥AC，垂足为C″‎ ‎∴∠C=∠AC″B″，‎ ‎∴BC∥B″C″；‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△AB″C″，‎ ‎∴‎ACAC″‎‎=‎ABAB″‎ ‎∵AB″=A′B′，‎ ‎∴‎ACAC″‎‎=‎ABA'B'‎ 又∵ABA'B'‎‎=‎ACA'C'‎，‎ ‎∴ACAC″‎‎=‎ACA'C'‎，‎ ‎∴AC″=A′C′‎ ‎∵AB″=A′B′，∠C′=∠AC″B″=90°‎ ‎∴Rt△AB″C″≌Rt△A′B′C′；‎ ‎∴Rt△ABC∽Rt△A′B′C′．（8分）‎ 点评：此题考查的是相似三角形的判定以及全等三角形的判定和性质．能够正确的理解材料的含义，熟练掌握相似三角形的判定方法是解答此题的关键．‎ ‎27、（2010•南京）某批发商以每件50元的价格购进800件T恤，第一个月以单价80元销售，售出了200件；第二个月如果单价不变，预计仍可售出200件，批发商为增加销售量，决定降价销售，根据市场调查，单价每降低1元，可多售出10件，但最低单价应高于购进的价格；第二个月结束后，批发商将对剩余的T恤一次性清仓销售，清仓是单价为40元，设第二个月单价降低x元．‎ ‎（1）填表：（不需化简）‎ ‎（2）如果批发商希望通过销售这批T恤获利9000元，那么第二个月的单价应是多少元？‎ 考点：一元二次方程的应用。‎ 专题：销售问题。‎ 分析：（1）根据题意直接用含x的代数式表示即可；‎ ‎（2）利用“获利9000元”，即销售额﹣进价=利润，作为相等关系列方程，解方程求解后要代入实际问题中检验是否符合题意，进行值的取舍．‎ 解答：解：（1）80﹣x，200+10x，800﹣200﹣（200+10x）（3分）‎ ‎（2）根据题意，得 ‎80×200+（80﹣x）（200+10x）+40[800﹣200﹣（200+10x）]﹣50×800=9000（6分）‎ 整理，得x2﹣20x+100=0‎ 解这个方程，得x1=x2=10‎ 当x=10时，80﹣x=70＞50‎ 答：第二个月的单价应是70元．（8分）‎ 点评：解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．有关销售问题中的等量关系一般为：利润=售价﹣进价．‎ ‎28、（2010•南京）如图，正方形ABCD的边长是2，M是AD的中点，点E从点A出发，沿AB运动到点B停止，连接EM并延长交射线CD于点F，过M作EF的垂线交射线BC于点G，连接EG、FG．‎ ‎（1）设AE=x时，△EGF的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；‎ ‎（2）P是MG的中点，请直接写出点P的运动路线的长．‎ 考点：正方形的性质；根据实际问题列二次函数关系式；全等三角形的判定与性质；相似三角形的判定与性质。‎ 专题：压轴题。‎ 分析：（1）①E、A重合时，三角形EFG的底和高都等于正方形的边长，由此可得到其面积；‎ ‎②E、A不重合时；易证得△AEM≌△DFM，则EM=FM，由勾股定理易求得EM的长，即可得出EF的长；下面求MG的长，过M作MN⊥BC于N，则AB=MN=2AM，由于∠AME和∠NMC同为∠EMN的余角，由此可证得△AEM∽△NCM，根据相似三角形得到的关于AM、MN、EM、MC的比例关系式，即可求得MC的表达式，进而可由三角形的面积公式求出y、x的函数关系式；‎ ‎（2）可分别作出E、A重合与E、B重合时P点的位置，此时可发现PP′正好是△EGG′的中位线，则P点运动的距离为GG′的一半；Rt△BMG′中，MG⊥BG′，易证得∠MBG=∠GMG′，根据∠MBG的正切值即可得到GG′、GM（即正方形的边长）的比例关系，由此得解．‎ 解答：解：（1）当点E与点A重合时，x=0，y=‎1‎‎2‎×2×2=2‎ 当点E与点A不重合时，0＜y≤2‎ 在正方形ABCD中，∠A=∠ADC=90°‎ ‎∴∠MDF=90°，∴∠A=∠MDF ‎∵AM=DM，∠AME=∠DMF ‎∴△AME≌△DMF ‎∴ME=MF 在Rt△AME中，AE=x，AM=1，ME=‎x‎2‎‎+1‎ ‎∴EF=2ME=2‎x‎2‎‎+1‎ 过M作MN⊥BC，垂足为N（如图）‎ 则∠MNG=90°，∠AMN=90°，MN=AB=AD=2AM ‎∴∠AME+∠EMN=90°‎ ‎∵∠EMG=90°‎ ‎∴∠GMN+∠EMN=90°‎ ‎∴∠AME=∠GMN ‎∴Rt△AME∽Rt△NMG ‎∴AMNM=MEMG，即MEMG=‎‎1‎‎2‎ ‎∴MG=2ME=2‎x‎2‎‎+1‎ ‎∴y=‎1‎‎2‎EF×MG=‎1‎‎2‎×2x‎2‎‎+1‎×2x‎2‎‎+1‎=2x2+2‎ ‎∴y=2x2+2，其中0≤x≤2；（6分）‎ ‎（2）如图，PP′即为P点运动的距离；‎ 在Rt△BMG′中，MG⊥BG′；‎ ‎∴∠MBG=∠G′MG=90°﹣∠BMG；‎ ‎∴tan∠BMG=tan∠GMG′=2；‎ ‎∴GG′=2BG=4；‎ ‎△MGG′中，P、P′分别是MG、MG′的中点，‎ ‎∴PP′是△MGG′的中位线；‎ ‎∴PP′=‎1‎‎2‎GG′=2；‎ 即：点P运动路线的长为2．（8分）‎ 点评：此题考查了正方形的性质，等腰三角形、相似三角形、全等三角形的判定和性质以及二次函数等知识；综合性强，难度较大．‎ 参与本试卷答题和审题的老师有：‎ Linaliu；CJX；lanyuemeng；huangling；shenzigang；lanchong；zhjh；张伟东；MMCH；mama258；lzhzkkxx；wangcen；137-hui；lihongfang；nhx600；bjy；智波；xinruozai。（排名不分先后）‎ ‎2011年2月17日