2002年上海市中考数学试题及答案

2002年上海市中考数学试题及答案

上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试 数学试卷 （满分 120 分，考试时间 120 分钟） 考生注意：除第一、二大题外其余各题如无特别说明，都必须写出证明或计算的主要 步骤． 一．填空题（本大题共 14 题，每题 2 分，满分 28 分） 1．计算： 2 2 1       ＝__________． 2．如果分式 2 3   x x 无意义，那么 x＝__________． 3．在张江高科技园区的上海超级计算中心内，被称为“神威 1”的计算机运算速度为 每秒 384 000 000 000 次，这个速度用科学记数法表示为每秒___________次． 4．方程 12 2 x ＝x 的根是__________． 5．抛物线 y＝x2－6x＋3 的顶点坐标是 __________． 6．如果 f（x）＝kx，f（2）＝－4，那么 k＝__________． 7．在方程 x2＋ xx 3 1 2  ＝3x－4 中，如果设 y＝x2－3x，那么原方程可化为关于 y 的整 式方程是__________． 8．某出租车公司在“五一”长假期间平均每天的营业额为 5 万元，由此推断 5 月份的 总营业额约为 5×31＝155（万元）根据所学的统计知识，你认为这样的推断是否合理？答： __________． 9．在△ABC 中，点 D、E 分别在边 AB、AC 上，DE∥BC，如果 AD＝8，DB＝6， EC＝9，那么 AE＝__________． 10．在离旗杆 20 米处的地方用测角仪测得旗杆顶的仰角为 a，如果测角仪高为 1.5 米， 那么旗杆的高为__________米，（用含 a 的三角比表示）． 11．在△ABC 中，如果 AB＝AC＝5cm，BC＝8cm，那么这个三角形的重心 G 到 BC 的距离是__________cm． 12．两个以点 O 为圆心的同心圆中，大圆的弦 AB 与小圆相切，如果 AB 的长为 24， 大圆的半径 OA 为 13，那么小圆的半径为__________． 13．在 Rt△ABC 中，∠A＜∠B，CM 是斜边 AB 上的中线，将△ACM 沿直线 CM 折 叠，点 A 落在点 D 处，如果 CD 恰好与 AB 垂直，那么∠A 等于__________度． 14．已知 AD 是△ABC 的角平分线，E、F 分别是边 AB、AC 的中点，连结 DE、DF， 在不再连结其他线段的前提下，要使四边形 AEDF 成为菱形，还需添加一个条件，这个条 可以是__________． 二、多项选择题（本大题 4 题，每题 3 分，满分 12 分） ［每题列出的四个答案中，至少有一个是正确的，把所有正确答案的代号填入括号内， 错选或不选得 0 分，否则每漏选一个扣 1 分，直至扣完为止］ 15．在下列各数中，是无理数的是 （ ） （A）π ； （B） 7 22 ； （C） 9 ； （D） 4 ． 16．在下列各组根式中，是同类二次根式的是 （ ） （A） 2 和 12 ； （B） 和 2 1 ； （C） ab4 和 3ab ； （D） 1a 和 1a ． 17．如果两个半径不相等的圆有公共点，那么这两个圆的公切线可能是 （ ） （A）1 条； （B）2 条； （C）3 条； （D）4 条 18．下列命题中，正确的是 （ ） （A）正多边形都是轴对称图形； （B）正多边形一个内角的大小与边数成正比例； （C）正多边形一个外角的大小随边数的增加而减少； （D）边数大于 3 的正多边形的对角线长相等． 三、（大小题共 4 题，每题 7 分，满分 28 分） 19．计算： 9 62 6 12 1 2 22 2     x x xx xx x x ． 20．解不等式组：        ② ① .3 5663 4 ,1513 xx xx 21．如图 1，已知四边形 ABCD 中，BC＝CD＝DB，∠ADB＝90°，cos∠ABD＝ 5 4 ， 求 S△ABD︰S△BCD． 图 1 22．某校在六年级和九年级男生中分别随机抽取 20 名男生测量他们的身高，绘制的频 数分布直方图如图 2 所示，其中两条点划线上端的数值分别是每个年级被抽 20 名男生身高 的平均数，该根据该图提供的信息填空： 图 2 （1）六年级被抽取的 20 名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米； 九年级被抽取的 20 名男生身高的中位数所在组的范围是__________厘米． （2）估计这所学校九年级男生的平均身高比六年级男生的平均身高高__________厘米． （3）估计这所学校六、九两个年级全体男生中，身高不低于 153 厘米且低于 163 厘米 的男生所占的百分比是__________． 四、（本大题共 4 题，每题 10 分，满 40 分） 23．已知：二次函数 y＝x2－2（m－1）x＋m2－2m－3，其中 m 为实数． （1）求证：不论 m 取何实数，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点； （2）设这个二次函数的图象与 x 轴交于点 A（x1，0）．B（x2，0）， 且 x1、x2 的倒数和 为 3 2 ，求这个二次函数的解析式． 24．已知：如图 3，AB 是半圆 O 的直径，弦 CD∥AB，直线 CM、DN 分别切半圆于 点 C、D，且分别和直线 AB 相交于点 M、N． 图 3 （1）求证：MO＝NO； （2）设∠M＝30°，求证：NM＝4CD． 25．某班进行个人投篮比赛，受污损的下表记录了在规定时间内设进 n 个球的人数分布 情况： 同时，已知进球 3 个或 3 个以上的人平均每人投进 3.5 个球；进球 4 个或 4 个以下的人 平均每人投进 2.5 个求，问投进 3 个球和 4 个求的各有多少人． 26．如图 4，直线 y＝ 2 1 x＋2 分别交 x、y 轴于点 A、C，P 是该直线上在第一象限内 的一点，PB⊥x 轴，B 为垂足，S△ABP＝9． 图 4 （1）求点 P 的坐标； （2）设点 R 与点 P 的同一个反比例函数的图象上，且点 R 在直线 PB 的右侧，作 RT ⊥x 轴，T 为垂足，当△BRT 与△AOC 相似时，求点 R 的坐标. 五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）、（2）、（3）题均为 4 分） 27．操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对 角线 AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与射线 DC 相交于点 Q． 图 5 6 7 探究：设 A、P 两点间的距离为 x． （1）当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观 察得到结论； （2）当点 Q 在边 CD 上时，设四边形 PBCQ 的面积为 y，求 y 与 x 之间的函数解析 式，并写出函数的定义域； （3）当点 P 在线段 AC 上滑动时，△PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指 出所有能使△PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试 说明理由． （图 5、图 6、图 7 的形状大小相同，图 5 供操作、实验用，图 6 和图 7 备用） 上海市 2002 年中等学校高中阶段招生文化考试 数学试卷答案要点与评分说明 一．填空题（本大题共 14 题，每题 2 分，满分 28 分） 1．4； 2．2； 3．3.84×1011； 4．x＝1； 5．（ 3，－6）； 6．－2； 7．y2＋4y＋1＝0； 8．不合理； 9．12； 10．20tan＋1.5； 11．1； 12．5； 13．30； 14．AB＝AC、∠B＝∠C、AE＝AF、AE＝ED、DE∥AC、…中的一个 二、多项选择题（本大题共 4 题，每题 3 分，满分 12 分） 15．A、D； 16．B、C 17．A、B、C 18．A、C 三、（本大题共 4 题，每题 7 分，满分 28 分） 19．解：原式＝          33 32 23 1 1 2 2     xx x xx x x x ……………………（4 分） ＝ 3 2 3 1   xx x ……………………（2 分） ＝ 3 3   x x ＝1． ……………………（1 分） 20． 解：由①解得 x＜3 ……………………（3 分） 由②解得 x≥ 8 3 ……………………（3 分） ∴ 原不等式组的解集是 ≤x＜3 ……………………（1 分） 21． 解：∵ cos∠ABD＝ 5 4 ∴ 设 AB＝5k BD＝4k（k＞0），得 AD＝3k ……………………（1 分） 于是 S△ABC＝ 2 1 AD·BD＝6k2 ……………………（2 分） ∴ △BCD 是等边三角形， ∴ S△BCD＝ 4 3 BD2＝4 3 k2 ……………………（2 分） ∴ S△ABD︰S△BCD＝6k2︰4 3 k2＝ ︰2 ……………………（2 分） 22．（ 1）148～153 ……………………（1 分） 168～173 ……………………（1 分） （2）18.6 ……………………（2 分） （3）22.5% ……………………（3 分） 四、（本大题共 4 题，每题 10 分，满分 40 分） 23． （1）证明： 和这个二次函数对应的一元二次方程是 x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0 Δ ＝4（m－1）2－4（m2－2m－3） ……………………（1 分） ＝4m2－8m＋4－4m2＋8m＋12 ……………………（1 分） ＝16＞0． ……………………（1 分） ∵ 方程 x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0 必有两个不相等的实数根． ∴ 不论 m 取何值，这个二次函数的图象与 x 轴必有两个交点． ……………（1 分） （2）解： 由题意，可知 x1、x2 是方程 x2－2（m－1）x＋m2－2m－3＝0 的两个实数根， ∴ x1＋x2＝2（m－1），x1·x2＝m2－2m－3． ……………………（2 分） ∵ 3 211 21  xx ，即 3 2 21 21   xx xx ，∴   3 2 32 12 2   mm m （*） …………（1 分） 解得 m＝0 或 m＝5 ……………………（2 分） 经检验：m＝0，m＝5 都是方程（*）的解 ∴ 所求二次函数的解析是 y＝x2＋2x－3 或 y＝x2－8x＋12．……………………（1 分） 24．证明：连结 OC、OD． （1）∵ OC＝OD，∴ ∠OCD＝∠ODC ……………………（1 分） ∵ CD∥AB，∴ ∠COD＝∠COM，∠ODC∠DON． ∴ ∠COM＝∠DON ……………………（1 分） ∵ CM、DN 分别切半圆 O 于点 C、D，∴ ∠OCM＝∠ODN＝90°． …（1 分） ∴ △OCM≌△ODN． ……………………（1 分） ∴ OM＝ON． ……………………（1 分） （2）由（1）△OCM≌△ODN 可得∠M＝∠N． ∵ ∠M＝30°∴ ∠N＝30° ……………………（1 分） ∴ OM＝2OD，ON＝2OD，∠COM＝∠DON＝60° ……………………（1 分） ∴ ∠COD＝60° ……………………（1 分） ∴ △COD 是等边三角形，即 CD＝OC＝OD． ……………………（1 分） ∴ MN＝OM＋ON＝2OC＋2OD＝4CD． ……………………（1 分） 25．解：设投进 3 个球的有 x 个人，投进 4 个球的有 y 个人……………………（1 分） 由题意，得           .5.2721 43722110 ,5.32 2543 yx yx yx yx （*）……………………（4 分） 整理，得      183 ,6 yx yx ……………………（2 分） 解得      3 ,9 y x ……………………（2 分） 经检验： 是方程组（*）的解． 答：投进 3 个球的有 9 个人，投进 4 个球的有 3 个人． ……………………（1 分） 26．解： （1）由题意，得点 C（0，2），点 A（－4，0）． ……………………（2 分） 设点 P 的坐标为（a， 2 1 a＋2），其中 a＞0． 由题意，得 S△ABP＝ （a＋4）（ a＋2）＝9． ……………………（1 分） 解得 a＝2 或 a＝－10（舍去） ……………………（1 分） 而当 a＝2 时， a＋2＝3，∴ 点 P 的坐标为（2，3）． ……………………（1 分） （2）设反比例函数的解析式为 y＝ x k ． ∵ 点 P 在反比例函数的图象上，∴ 3＝ 2 k ，k＝6 ∴ 反比例函数的解析式为 y＝ x 6 ， ……………………（1 分） 设点 R 的坐标为（b， b 6 ），点 T 的坐标为（b，0）其中 b＞2， 那么 BT＝b－2，RT＝ ． ①当△RTB～△AOC 时， CO BT AO RT  ，即 2 CO AO BT RT ， ………………（1 分） ∴ 22 6 b b ，解得 b＝3 或 b＝－1（舍去）． ∴ 点 R 的坐标为（3，2）． ……………………（1 分） ①当△RTB∽△COA 时， AO BT CO RT  ，即 2 1 AO CO BT RT ， ………………（1 分） ∴ 2 1 2 6 b b ，解得 b＝1＋ 13 或 b＝1－ （舍去）． ∴ 点 R 的坐标为（1＋ ， 2 113  ）． ……………………（1 分） 综上所述，点 R 的坐标为（3，2）或（1＋ ， ）． 五、（本大题只有 1 题，满分 12 分，（1）、（ 2）、（ 3）题均为 4 分） 27． 图 1 图 2 图 3 （1）解：PQ＝PB ……………………（1 分） 证明如下：过点 P 作 MN∥BC，分别交 AB 于点 M，交 CD 于点 N，那么四边形 AMND 和四边形 BCNM 都是矩形，△AMP 和△CNP 都是等腰直角三角形（如图 1）． ∴ NP＝NC＝MB． ……………………（1 分） ∵ ∠BPQ＝90°，∴ ∠QPN＋∠BPM＝90°． 而∠BPM＋∠PBM＝90°，∴ ∠QPN＝∠PBM． ……………………（1 分） 又∵ ∠QNP＝∠PMB＝90°，∴ △QNP≌△PMB． ……………………（1 分） ∴ PQ＝PB． （2）解法一 由（1）△QNP≌△PMB．得 NQ＝MP． ∵ AP＝x，∴ AM＝MP＝NQ＝DN＝ x2 2 ，BM＝PN＝CN＝1－ ， ∴ CQ＝CD－DQ＝1－2· ＝1－ x2 ． 得 S△PBC＝ 2 1 BC·BM＝ ×1×（1－ ）＝ － 4 2 x． ………………（1 分） S△PCQ＝ CQ·PN＝ ×（1－ ）（ 1－ ）＝ － x4 23 ＋ x2 （1 分） S 四边形 PBCQ＝S△PBC＋S△PCQ＝ x2－ ＋1． 即 y＝ x2－ ＋1（0≤x＜ 2 2 ）． ……………………（1 分，1 分） 解法二 作 PT⊥BC，T 为垂足（如图 2），那么四边形 PTCN 为正方形． ∴ PT＝CB＝PN． 又∠PNQ＝∠PTB＝90°，PB＝PQ，∴△PBT≌△PQN． S 四边形 PBCQ＝S△四边形 PBT＋S 四边形 PTCQ＝S 四边形 PTCQ＋S△PQN＝S 正方形 PTCN （2 分） ＝CN2＝（1－ ）2＝ x2－ ＋1 ∴ y＝ x2－ ＋1（0≤x＜ ）． ……………………（1 分） （3）△PCQ 可能成为等腰三角形 ①当点 P 与点 A 重合，点 Q 与点 D 重合，这时 PQ＝QC，△PCQ 是等腰三角形， 此时 x＝0 ……………………（1 分） ②当点 Q 在边 DC 的延长线上，且 CP＝CQ 时，△PCQ 是等腰三角形（如图 3） ……………………（1 分） 解法一 此时，QN＝PM＝ x2 2 ，CP＝ 2 －x，CN＝ 2 2 CP＝1－ ． ∴ CQ＝QN－CN＝ －（1－ ）＝ x2 －1． 当 －x＝ －1 时，得 x＝1． ……………………（1 分） 解法二 此时∠CPQ＝ 2 1 ∠PCN＝22.5°，∠APB＝90°－22.5°＝67.5°， ∠ABP＝180°－（45°＋67.5°）＝67.5°，得∠APB＝∠ABP， ∴ AP＝AB＝1，∴ x＝1． ……………………（1 分）