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文档介绍
2013上海11区中考一模数学试卷
2013 年上海市奉贤区中考数学一模试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013.01 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） [每小题只有一个正确选项，在答题纸的相应题号的选项上用 2 B 铅笔填涂] 1．把抛物线 2xy 向右平移 2 个单位后得到的抛物线是（▲） A． 2)2( xy ； B． 2)2( xy ； C． 22 xy ； D． 22 xy ； 2．在 Rt ABC 中， 90C ，a,b,c 分别是 ,,A B C 的对边，下列等式中正确的是（▲） A．sin bA c ； B． cos cB a ； C． tan aA b ； D． cot bB a ； 3．等腰直角三角形的腰长为 2 ，该三角形的重心到斜边的距离为（▲） A． 3 22 ； B． 3 2 ； C． 3 2 ； D． 3 1 ； 4．若两个相似三角形的面积之比为 1:4，则它们的最大边的比是（▲） A. 1:2； B. 1:4； C. 1:5； D. 1:16； 5．如图，已知直线 a∥b∥c，直线 m、n 与 a、b、c 分别交于点 A、C、E、B、 D、F，AC＝4，CE＝6，BD＝3，则 BF＝（▲） A． 7； B． 7.5； C． 8； D．8.5； 6．在两个圆中有两条相等的弦，则下列说法正确的是（▲） A．这两条弦所对的弦心距相等； B．这两条弦所对的圆心角相等； C．这两条弦所对的弧相等； D．这两条弦都被垂直于弦的半径平分； 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7. 二次函数 32 xy 图像的顶点坐标是 ▲ ； 8．抛物线 2y ax )0( a 的图像一定经过 ▲ 象限； 9．抛物线 )5)(1( xxy 的对称轴是：直线 ▲ ； 10．已知抛物线 322 xxy ，它的图像在对称轴 ▲ （填“左侧”或“右侧”）的部分是下降的； 11．已知 D 、E 分别是 ABC 的边 AB 、AC 的延长线上的点， 若 3 7AB AD ，则 AE AC 的值是 ▲ 时，DE ∥ BC ； a b c A B C D E F m n 第 5 题 A l1 第 20 题 F G B C l2 12．已知线段 3a cm ， 6c cm ，若线段c 是线段 a 、b 的比例中项，则b ＝ ▲ cm； 13．已知三角形三边长为 3、4、5，则最小角的正弦是 ▲ ； 14．在高为 100 米的楼顶测得地面上某十字路口的俯角为 ，那么楼底到这十字路口 的水平距离是▲ 米；(用含角 的三角比的代数式表示) 15．在 RtΔ ABC 中，∠C=90º，tanA= 2 1 ，那么 cotB 的值为 ▲ ； 16．若⊙O 的一条弦长为 24，弦心距为 5，则⊙O 的直径长为 ▲ ； 17．如图，AB 是 O⊙ 的直径，点 C、D 在 上， 110BOC°， AD OC∥ ， 则 AOD ▲ 度； 18．在 Rt△ABC 中，∠C=90°，AB=5，BC=3，点 D、E 分别在 BC、AC 上， 且 BD=CE，设点 C 关于 DE 的对称点为 F，若 DF∥AB，则 BD 的长为 ▲ ； 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 45tan60sin2 60cot330cos2 2 ； 20．（本题满分 10 分） 如图，已知 21 // ll ，点 A、G、B、C 分别在 1l 和 2l 上， ABAF 5 2 ． （1）求 BC AG 的值； （2）若 AB a ， AC b ，用向量 a 与b 表示 AG ． A C B D E 第 18 题 第 17 题 21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分） 如图，已知在四边形 ABCD 中， ABAC ， CDBD ， AC 与 BD 相交于点 E ， 9AEDS ， 25BECS ． (1) 求证：∠DAC=∠CBD； (2) 求 AEBcos 的值． 22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 通过学习锐角三角比，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值是一一对应的， 因此，两条边长的比值与角的大小之间可以相互转化。类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联 系。我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做底角的邻对（can，如图（1）在△ABC 中，AB=AC，底 角 B 的邻对记作 canB，这时 canB BC AB底边 腰 ，容易知道一个角的大小与这个角的邻对值也是一一对应 的。根据上述角的邻对的定义，解下列问题： （1）can30°= ； （2）如图（2），已知在△ABC 中，AB=AC ，canB 5 8 ， 24ABCS ，求△ABC 的周长． 第 21 题 E D CB A B A A 第 22 题（2） B C C 第 22 题（1） B 第 23 题 D E F C B A 23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） 如图，已知在 ABCRt 中， 90ACB ， ABCD 于 D ， E 是 AC 的中点， DE 的延长线与 BC 的延长线交于点 F ． （1）求证：△FDC∽△FBD； （2）求证： BC AC BF DF ． 24．（本题满分 12 分，每小题 4 分） 如图，已知直线 xy 与二次函数 2y x bx c 的图像交于点 A、O，(O 是坐标原点)，点 P 为二次函数图 像的顶点，OA=32，AP 的中点为 B． （1）求二次函数的解析式； （2）求线段 OB 的长； （3）若射线 OB 上存在点 Q，使得△AOQ 与△AOP 相似， 求点 Q 的坐标． 第 24 题 O A x y P B 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 如图(1)，已知∠MON=90°,点 P 为射线 ON 上一点，且 OP=4，B、C 为射线 OM 和 ON 上的两个动点 （ OPOC ），过点 P 作 PA⊥BC，垂足为点 A，且 PA=2，联结 BP ． （1）若 1 2 PAC ABOP S S 四边形 时，求 tan∠BPO 的值； （2）设 ,, yBC ABxPC 求 y 与 x 之间的函数解析式，并写出定义域； （3）如图(2)，过点 A 作 BP 的垂线，垂足为点 H，交射线 ON 于点 Q，点 B、C 在射线 OM 和 ON 上运动 时，探索线段 OQ 的长是否发生变化？若不发生变化，求出它的值。若发生变化，试用含 x 的代数式表 示 OQ 的长． P C 第 25 题 (1) A B M O P C 第 25 题 (2) A B M O Q H N N 2013 年上海市奉贤区中考数学一模试卷 参考答案 201301 一 、选择题：（本大题共 8 题，满分 24 分） 1．A ； 2．C； 3．D； 4．A； 5．B ； 6．D； 二、填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7．（ 0,3）； 8．一、二； 9． 2x ； 10．左侧； 11． 7 3 ； 12．12； 13． 5 3 ； 14． cot100 ； 15．1； 16．26； 17．40； 18．1； 三．（本大题共 7 题，满分 78 分） 19． （本题满分 10 分） 解：原式= 212 32 2 332 32 -------------------------------------------------（每个值得 2 分，共 8 分） = 33 13 32 ---------------------------------------------------------------------（2 分） 20.（本题满分 10 分，4+6） （1）∵ 21 // ll ∴ BC AG BF AF ------------------------------------------------------------------（2 分） ∵ ABAF 5 2 ∴ 3 2BF AF ∴ 3 2BC AG ---------------------------------------------（2 分） (2) ∵ AB a ， AC b ∴ abBC --------------------------------------------------（3 分） ∵ ∴ AG = baabBC 3 2 3 2)(3 2 3 2 ---------------------（3 分） 21．（本题满分 10 分，每小题满分各 5 分） （1）∵ ABAC ， CDBD ∴∠CAB=∠BDC=90°-------------------------------(1 分) ∵∠AEB=∠DEC ∴△AEB∽△DEC------------------------------------------------(1 分) ∴ CE BE DE AE -----------------------------------------------------------------------------------(1 分) ∵∠AED=∠BEC ∴△AED∽△BEC---------------------------------------------------(1 分) ∴∠DAC=∠CBD-------------------------------------------------------------------------------(1 分) (2) ∵△AED∽△BEC ∴ 2)( BE AE S S BEC AED ---------------------------------------------(2 分) ∵ 9AEDS ， 25BECS ∴ 5 3BE AE ----------------------------------------(1 分) ∴RtΔ ABE 中， AEBcos = -----------------------------------------------------------(2 分) 22．（本题满分 10 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） （1）can30°= 3 -------------------------------------------------------------------------------------（4 分) （2）∵在△ABC 中， canB 5 8 ，∴ 5 8AB BC -----------------------------------------------（1 分) 设 kABkBC 5,8 过点 A 作 AH BC 垂足为点 H， ∵AB=AC ∴ kBH 4 ∵ 24ABCS ∴ 24482 1 kk 2k ---------------------------------------（2 分) ∴ 28,25 BCACAB ---------------------------------------------------------------------（2 分) ∴△ABC 的周长= 218 ．----------------------------------------------------------------------------（1 分) 23．（本题满分 12 分，每小题满分各 6 分） （1）∵ 90ACB ， ABCD ∴∠ACD+∠DCB=∠B=∠DCB=90° ∴∠ACD=∠B--------------------------------------------------------------------------------------------(2 分) ∵ E 是 AC 的中点 ∴DE=EC ∴∠ACD=∠FDC ∴∠FCD=∠B-------------------------------------------------------------------------------------------(2 分) ∴△FDC∽△FBD--------------------------------------------------------------------------------------(2 分) (2) ∵△FDC∽△FBD ∴ BD DC BF DF ----------------------------------------------------------------(2 分) ∵在 ABCRt 和 DBCRt 中， BD DC BC ACB tan ------------------------------------------(2 分) ∴ BC AC BF DF -----------------------------------------------------------------------------------------------(2 分) 24．（本题满分 12 分，每小题各 4 分） H M O N A B P CQ E ∵点 A 在直线 xy 上，且 32OA ∴A(3,3) ------------------------------------------------(1 分) ∵ 点 O(0,0) A(3,3)在 2y x bx c 的图像上， ∴ 339 0 cb c 解得： 0 2 c b ------------------------------------------------------（2 分） ∴二次函数的解析式为 2 2y x x---------------------------------------------------------------------(1 分) （2）由题意得顶点 P(1,-1) ---------------------------------------------------------------------------(1 分) ∴ 52,2,23 APPOAO ∴ 222 APPOAO ∴∠AOP=90°---------------------------------------------------------(2 分) ∵∠AOP=90°，B 为 AP 的中点 ∴ 5OB ------------------------------------------------(1 分) (3) ∵∠AOP=90°，B 为 AP 的中点 ∴OB=AB ∴∠AOB=∠OAB 若△AOQ 与△AOP 则①△AOP∽△OQA ∴ OA AP OQ AO ∴ 55 9 1 OQ ---------------------------------------(1 分) ②△AOP∽△OAQ ∴ OQ AP AO AO 522 OQ ----------------------------------------------(1 分) ∵B(2,1) ∴ )2,4(),5 9,5 18( 21 QQ -------------------------------------------------------------------(2 分) 即点 Q 的坐标 时，△AOQ 与△AOP 相似。 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） （1）∵∠ACP=∠OCB ∠CAP=∠O=90° ∴△CAP∽△COB-------------------------------------(1 分) ∴ 2()PAC COB AP OB S S -------------------------------(1 分) ∵ 1 2 PAC ABOP S S 四边形 ∴ 1 3 PAC COB S S ∴ 2 1()3 AP OB ∵AP=2 ∴ 23OB -------------------------(1 分) 在 Rt△OBP 中， 3tan 2 OBOPB OP -----------------(1 分) （2）作 AE⊥PC，垂足为 E，---------------------------------------------------------------------(1 分) 易证△PAE∽△PCA ∴ PA PE PC PA ∴ 22 PE x ∴ 4PE x -------------------------------------------------------------------(1 分) ∵∠MON=∠AEC=90° ∴ AE∥OM ∴ AB OE BC OC ----------------------------------------------------------------------------------(1 分) ∴ 44 4 xy x 整理得 2 44 4 xy xx (x>2) ------------------------------(2 分) （3）线段 OQ 的长度不会发生变化-----------------------------------------------------------(1 分) 由△PAH∽△PBA 得 PA PH PB PA 即 2PA PH PB------------------------(1 分) 由△PHQ∽△POB 得 PO PH PB PQ 即 PQ PO PH PB ---------------------(1 分) ∴ 2PA PQ PO ∵PA=2 PO=4 ∴PQ=1 ----------------------------------------------------------------(1 分) ∴OQ=3--------------------------------------------------------------------------------------------------(1 分) 即 OQ 的长度等于 3。 浦东新区 2012 学年度第一学期期末质量测试 初三数学试卷 2013.1.17 （测试时间：100 分钟，满分：150 分） 考生注意： 1.本试卷含三个大题，共 25 题，答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置作答，在草稿纸、本试 卷上 答题一律无效； 2. 除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤； 3.本次测试可使用科学计算器. 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.如果延长线段 AB 到C ，使得 1 2BC AB ，那么 :AC AB 等于（ ） A ．2:1； B ．2:3； C ．3:1； D．3:2． 2.已知 Rt ABC 中， 90C ， A ， 2AB ，那么 BC 长（ ） ． 2sin ； ． 2cos ； ． 2 sin ； ． 2 cos ． 3.如果将抛物线 2yx 向左平移 2 个单位，那么所得到的抛物线表达式为（ ） ． 2 2yx； ． 2 2yx； ． 2( 2)yx ； ． 2( 2)yx ． 4.如果抛物线 2y ax bx c 经过点( 1, 0) 和(3, 0) ，那么对称轴是直线（ ） ． =0x ； ． =1x ； ． =2x ； ． =3x ． 5.如果乙船在甲船的北偏东 40 方向上，丙船在甲船的南偏西 40 方向上，那么丙船在乙船的方向是（ ） ．北偏东 40 ； ．北偏西 40 ； ．南偏东 40 ； ．南偏西 40 ． 6.如图，已知在 ABC 中，边 6BC ，高 3AD ，正方形 EFGH 的顶点 FG、 在边 BC 上，顶点 EH、 分别在边 AB 和 AC 上，那么这个正方形的边长等于（ ） ．3； ．2.5； ．2； ．2.5. 二、填空题：（本大题共 12 题，，每题 4 分，满分 48 分） 7. 已知线段b 是线段 a 、c 的比例中项，且 a=1、 =2b 那么 =c . 8.计算： 11( ) (2 )22a b a b . 9.如果抛物线 2(2 )y a x 的开口方向向下，那么 a 的取值范围是 . 10.二次函数 2 3yx的图像的最低点坐标是 . 11.在边长为6 的正方形中间挖去一个边长为 (0 6)xx 的小正方形，如果设剩余部分的面积为 y ，那么 关于 x 的函数解析式为 . 12.已知 是锐角， 2 30tan cos ，那么 度. 13.已知从地面进入地下车库的斜坡的坡度为1: 2.4，地下车库的地坪与地面的垂直距离等于5 米，那么此 斜坡的长度等于 米. 14.小明用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树 AB 的高度．测量时，使直角边 DF 保持水平状态，其延长 线交 AB 于点G ；使斜边 DE 与点 A 在同一条直线上．测得边 DF 离地面的高度为1.4m，点 D 到 AB 的距 离等于6m （如图所示）。已知 30DF cm ， 20EF cm ，那么树 AB 的高度等于 m . 15.如图,将△ ABC 沿射线 BC 方向平移得到△ DEF ，边 DE 与 AC 相交于点G ，如果 3BC cm ， △ 的面积为 29cm ，△ 的面积等于 24cm ，那么 BE cm . 16.相邻两边长的比值是黄金分割数的矩形，叫做黄金矩形，从外形看，它最具美感. 现在想要制作一张“黄 金矩形”的贺年卡，如果较长的一条边长等于 20 厘米，那么相邻一条边的边长等于 厘米. 17.九年级数学课本上，用“描点法”画二次函数 2y ax bx c 的图像时，列出了如下的表格： x … 0 1 2 3 4 … … 3 0 1 0 3 … 那么该二次函数在 5x 时， y . 18.已知在 Rt △ ABC 中， 90A ， 5sin 5B ， BC a ，点 D 在边 BC 上，将这个三角形沿直线 AD 折叠，点C 恰好落在边 AB 上，那么 BD .（用 a 的代数式表示） 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.（本题满分 10 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 已知：抛物线 2y x bx c 经过 (3 0)B ， 、 (0, 3)C 两点，顶点为 A . 求：（1）抛物线的表达式； （2）顶点 A 的坐标. 20.（本题满分 10 分，其中第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 如图，已知在平行四边形 ABCD中， MN、 分别是边 AD DC、 的中点，设 AB a ， AD b . （1）求向量 MD MN、 （用向量 ab、 表示）； （2）求作向量 MN 在 AB AD、 方向上的分向量. （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21.（本题满分 10 分） 某条道路上通行车辆限速为60 /千米 时，在离道路50 米的点处建一个监测点 P ，道路 AB 段为检测 区（如图）. 在△ ABP 中，已知 32PAB， 45PBA，那么车辆通过 AB 段的时间在多少秒以内 时，可认定为超速（精确到 0.1秒）？ （参考数据： 32 0.53sin ， 32 0.85cos ， 32 0.62tan ， 32 1.60cot ） 22.（本题满分 10 分） 如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 在边 BC 上，连接 AE 并延长，交对角线 BD 于点 F 、 DC 的延 长线于点G ，如果 3 2 BE EC .求 EF EG 的值. 23.（本题满分 12 分，每小题各 6 分） 已知：如图，在梯形 ABCD中， AD ∥ BC ， AB BC ，点 M 在边 BC 上，且 MDB ADB ， 2BD AD BC. （1）求证： BM CM ； （2）作 BE DM ，垂足为点 E ，并交CD 于点 F . 求证： 2AD DM DF DC . 24.（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 5 分） 如图，在直角坐标系 xOy 中，二次函数 22 53y x bx 的图像与 x 轴、 y 轴的公共点分别为 (5 0)A 、 、 B ，点C 在这个二次函数的图像上，且横坐标为3 . （1）求这个二次函数的解析式； （2）求 BAC 的正切值； （3）如果点 D 在这个二次函数的图像上，且 45DAC，求点 D 的坐标. 25.（本题满分 14 分，其中第（1）小题 4 分，第（2）、（3）小题各 5 分） 如图，已知在△ ABC 中， =90A ， = =3 2AB AC ，经过这个三角形重心的直线 DE ∥ BC ，分别 交边 AB 、 AC 于点 D 和点 E ， P 是线段 DE 上的一个动点，过点 P 分别做 PM BC ， PF AB ， PG AC ，垂足分别为点 M 、 F 、G . 设 BM x ，四边形 AFPG 的面积为 y . （1）求 PM 的长； （2）求 y 关于 x 的函数解析式，并写出它的定义域； （3）连接 MF 、 MG ，当△ PMF 与△ PMG 相似时，求 BM 的长. 浦东新区 2012 学年第一学期期末教学质量调研 初中九年级 数学试卷 参考答案及评分标准 2013.1.17 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．D； 2．A； 3．C； 4．B； 5．D； 6．C． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．4； 8． b ； 9． 2a ； 10．（0，-3）； 11． 2 36yx ； 12．60； 13．13； 14．5.4； 15．1； 16．10 5 10 （或 12.36）； 17．8； 18． 2 3 a ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．解：（1）∵ 抛物线 2y x b x c 经过 B（3，0）、C（0，3）两点， ∴ 9 3 0 , 3. bc c ………………………………………………… （2 分) 解得 2, 3. b c …………………………………………………………（2 分） ∴ 抛物线的解析式是 2 23y x x ．……………………………（2 分） （2）由 222 3 ( 1) 4y x x x ，…………………………………（2 分） 得顶点 A 的坐标为（1，4）． …………………………………………（2 分） 20．解：（1）∵ M 是边 AD 的中点，∴ 11 22MD AD b．……………………（2 分） ∵ 四边形 ABCD 是平行四边形，∴ DC // AB，DC = AB． ∴ DC AB a．……………………………………………………（1 分） 又∵ N 是边 DC 的中点，∴ aDN 2 1 ． …………………………（1 分） ∴ 11 22MN MD DN b a ．……………………………………（2 分） （2）作图正确，3 分；结论正确，1 分． 21．解：过点 P 作 PC⊥AB，垂足为点 C．…………………………………………（1 分） 根据题意，可知 PC = 50 米． 在 Rt△PBC 中，∠PCB = 90º，∠B = 45º， ∴ cot 50 cot 45 50BC PC B ．……………………………………（3 分） 在 Rt△PAC 中，∠PCA = 90º，∠PAB = 32º， ∴ cot 50 cot32 80AC PC PAB ．………………………………（2 分） ∴ AB = AC +BC ≈ 80 +50 = 130（米）．…………………………………（1 分） ∵ 130 3600 7.860 1000 （秒），…………………………………………（2 分） ∴ 车辆通过 AB 段的时间在 7.8 秒以内时，可认定为超速．…………（1 分） 22．解：∵ 四边形 ABCD 是平行四边形， ∴ BC // AD，AB // CD，BC = AD．………………………………………（2 分） ∴ EF BE AF AD ， AE BE GE CE ．………………………………………………（2 分） 又∵ 3 2 BE EC ，∴ 3 5 BE BC ．……………………………………………（2 分） 即得 3 5 BE EF AD AF， 3 2 AE GE ．∴ 3 8 EF AE ．…………………………（2 分） ∴ 3 3 9 8 2 16 EF AE AE EG ． 即得 9 16 FE EG ．……………………………………………………………（2 分） 23．证明：（1）∵ AB⊥BC，∴ ∠ABC = 90º． ∵ AD // BC，∴ ∠CBD =∠ADB，∠BAD +∠ABC = 180º． 即得 ∠BAD = 90º． ∵ 2BD AD BC，∴ AD BD BD BC ．……………………………（1 分） 又∵ ∠CBD =∠ADB， ∴ △BCD∽△DBA．………………………………………………（1 分） ∴ ∠BDC =∠BAD = 90º．…………………………………………（1 分） ∴ ∠DBC +∠C = 90º． ∵ ∠MDB=∠ADB，∠MBD =∠ADB， ∴ ∠MBD =∠MDB．∴ BM = MD．……………………………（1 分） 又∵ ∠BDM +∠CDM =∠BDC = 90º， ∴ ∠C =∠CDM．…………………………………………………（1 分） ∴ CM = MD．∴ BM = CM．……………………………………（1 分） （2）∵ BE⊥DM， ∴ ∠DEF =∠BDC = 90º． ∴ ∠FDE +∠DFE = 90º，∠DBF +∠DFE = 90º． ∴ ∠FDE =∠DBF．………………………………………………（1 分） 又∵ ∠FDE =∠C， ∴ ∠DBF =∠C． …………………………………………………（1 分） 于是，由 ∠FDB =∠BDC = 90º，∠DBF =∠C， 得 △FDB∽△BDC．………………………………………………（1 分） ∴ DF BD BD CD ．即 2BD DF CD．……………………………（1 分） ∵ BM = CM，∠BDC = 90º，∴ BC = 2DM．…………………（1 分） 又∵ ， ∴ 2AD DM DF DC ．…………………………………………（1 分） 24．解：（1）∵ 二次函数 22 53y x b x 的图像经过点 A（5，0）， ∴ 22 5 5 5 03 b ． ……………………………………………（1 分） 解得 7 3b ．…………………………………………………………（1 分） ∴ 二次函数的解析式是 227533y x x ．………………………（1 分） （2）当 x = 0 时，得 y = 5．∴ B（0，5）．……………………………（1 分） 当 x = 3 时，得 2273 3 5 633y ，∴ C（3，6）． ……（1 分） 联结 BC． ∵ 22(5 0) (0 5) 5 2AB ， 22(0 3) (5 6) 10BC ， 22(5 3) (0 6) 2 10AC ， ∴ 2 2 2AB BC AC． ∴ 90ACB ．……………………………………………………（1 分） ∴ 10 1tan 22 10 BCBAC AC ．……………………………………（1 分） （3）设 D（m，n）． 过点 D 作 DE⊥x 轴，垂足为点 E．则 5AE m ，DE = n． ∵ A（5，0）， B（0，5）， ∴ OA = OB． 又∵ 90AOB ，∴ 45BAO ，……………………………（1 分） 即得 ∠DAE +∠BAD = 45º ． 又∵ ∠DAC = 45º，即 ∠BAD +∠BAC = 45º， ∴ ∠DAE =∠BAC． 又∵ ∠DEA =∠ACB = 90º， ∴ △DAE∽△BAC．…………………………………………………（1 分） ∴ 1 2 DE BC AE AC．……………………………………………………（1 分） ∴ 1 52 n m ．即得 1(5 )2nm． ∵ 点 D 在二次函数 227533y x x 的图像上， ∴ 22 7 15 (5 )3 3 2m m m ． 解得 1 3 4m ，m2 = 5（不合题意，舍去）．………………………（1 分） ∴ 1 3 23(5 )2 4 8n ． ∴ 3 23( , )48D ．……………………………………………………（1 分） 25．解：（1）过点 A 作 AH⊥BC，垂足为点 H，交 DE 于点 Q． ∵ ∠BAC = 90°， 32AB AC ，∴ BC = 6．…………………（1 分） 又∵ AH⊥BC，∴ 1 32BH CH BC ，Q 是△ABC 的重心． ∴ 1 13QH AH．…………………………………………………（2 分） ∵ DE // BC，PM⊥BC，AH⊥BC， ∴ PM = QH = 1．……………………………………………………（1 分） （2）延长 FP，交 BC 于点 N． ∵ ∠BAC = 90°，AB = AC，∴ ∠B = 45°． 于是，由 FN⊥AB，得 ∠PNM = 45°． 又由 PM⊥BC，得 MN = PM = 1， 2PN ． ∴ BN = BM +MN = x +1， 2 ( 1)2FB FN x ．…………………（1 分） ∴ 223 2 ( 1) (5 )22AF AB FB x x ， 22( 1) 2 ( 1)22FP FN PN x x ．…………………（1 分） ∵ PF⊥AB，PG⊥AC，∠BAC = 90°，∴ ∠BAC =∠PFA =∠PGA = 90°． ∴ 四边形 AFPG 是矩形． ∴ 22( 1) (5 )22y FP AF x x ，……………………………（1 分） 即 所求函数解析式为 215322y x x ．…………………………（1 分） 定义域为15x．……………………………………………………（1 分） （3）∵ 四边形 AFPG 是矩形，∴ )5(2 2 xAFPG ．…………（1 分） 由 ∠FPM =∠GPM = 135°，可知，当△PMF 与△PMG 相似时，有两种 情况：∠PFM =∠PGM 或∠PFM =∠PMG． （ⅰ）如果 ∠PFM =∠PGM，那么 PF PM PG PM ．即得 PF = PG． ∴ 22( 1) (5 )22xx ．………………………………………（1 分） 解得 x = 3．即得 BM = 3．………………………………………（1 分） （ⅱ）如果 ∠PFM =∠PMG，那么 PF PM PM PG ．即得 2PM PF PG． ∴ 22( 1) (5 ) 122xx ．………………………………………（1 分） 解得 1 32x ， 2 32x ． 即得 32BM 或 32BM ．………………………………（1 分） ∴ 当△PMF 与△PMG 相似时，BM 的长等于32 或 3 或32 ． 2013 年上海市普陀区中考数学一模试卷 （测试时间：100 分钟，满分：150 分） 2013.1 月 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效． 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．如果 : 2:3xy ，那么下列各式不成立的是………………………………………（ ）． （A） 5 3 xy y ； （B） 1 3 xy y ； （C） 1 23 x y ； （D） 13 14 x y ． 2．某一时刻，身髙 1.6 m 的小明在阳光下的影长是 0.4 m，同一时刻同一地点测得某旗杆的影长是 5m，那 么该旗杆的高度是……………………………………………………（ ）． （A）1.25m； （B）10m； （C）20 m； （D）8m． 3．如果二次函数 2y x bx c 配方后为 2( 2) 1yx- ，那么b， c 的值分别为…（ ）． （A） 4 ，5； （B）4，3； （C） 4 ， 3； （D）4，5． 4．如图，已知抛物线 cbxxy 2 的对称轴为 2x ，点 A， B 均在抛物线上，且 AB 与 x 轴平行，其 中点 A 的坐标为（0，3），则点 B 的坐标为……………………（ ）． （A）（2，3）； （B）（4，3）； （C）（3，3）； （D）（3，2）． 5．如图所示，△ABC 的顶点是正方形网格的格点，则 sinA 的值为……………………（ ）． （A） 1 2 ； （B） 5 5 ； （C） 25 5 ； （D） 10 10 ． 6. 已知线段 a、b、c，求作第四比例线段 x，下列作图正确的是……………………（ ）． O x y A x = 2 B （第 4 题） （第 5 题） a x b c a c b x x c b a x c a c x b （A） （B） （C） （D） 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．如果在比例尺为 1︰1 000 000 的地图上，A、B 两地的图上距离是 1.6 厘米，那么 A、B 两地的实际距离 是 千米． 8．把长度为 4cm 的线段进行黄金分割，则较长线段的长是__________cm． 9．如果两个相似三角形的对应角平分线比是 1︰4，那么它们的周长比是 ． 10．如果抛物线 21) 2 1y m x mx （ 的图像开口向下，那么 m 的取值范围是__________． 11．将二次函数 22yx 的图像向右平移 1 个单位，再向下平移 2 个单位，所得图像的解析式 为 ________________． 12．二次函数 2y ax bx c 中，函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表，则 m 的值为__________ ． 2 1 0 1 2 3 4 7 2 2 m 2 13．在 Rt△ABC 中，∠C=90°， B ，AB=2，那么 BC= _____________．（结果用 的锐角三角比表示） 14．如图，点 D、E、F 分别是△ABC 三边的中点，那么与 DF 相等的向量是__________ ． 15．如图，点 G 是△ABC 的重心，AG⊥GC，AC=4，那么 BG 的长为 ___________． 16．如图，△ABC 中，∠C=90°，BC=6cm，cot 2 3A ，那么△ABC 的面积是____________ cm2． 17．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台阶高为 18cm，深为 30cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为 斜坡，设台阶的起点为 A，斜坡的起始点为 C，现设计斜坡 BC 的坡度 1:5i ，那么 AC 的长度是 cm． 18. 如图，在△ABC 中，∠C＝90°，将△ABC 沿直线 MN 翻折后，顶点 C 恰好落在 AB 边上的点 D 处，已 知 MN∥AB，MC＝6，NC＝ 23，那么四边形 MABN 的面积是______________． （第 14 题） （第 15 题） （第 16 题） （ （第 17 题） （第 18 题） 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 2 cot 30cos30 (sin 60 ) 2 cos45 ． 20．（本题满分 10 分） 如图，已知两个不平行的向量 a 、b ． 先化简，再求作： 13( 3 ) ( )22a b a b ． （不要求写作法，但要指出所作图中表示结论的向量） 21．（本题满分 10 分） 已知：在直角梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠C=90°，AB=AD=25，BC=32．连接 BD，AE⊥BD，垂足为点 E． （1）求证：△ABE∽△DBC； （2）求线段 AE 的长． b a （第 20 题图） （ （第 21 题） （ （第 22 题） 22．（本题满分 10 分） 21.3 , 0 63.5 9 2 9 sin21.3 , tan 21.3 ,sin 63.5 , tan 63.5 2)25 5 10 AC BC C 一艘轮船自西向东航行，在 处测得东偏北 方向有一座小岛 继续向东航行8 海里到达 处，测得小岛 此时在轮船的东偏北 方向上。之后，轮船继续向东航 行多少海里，距离小岛 最近？ （参考数据： C A B 23．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 4 分, 第（3）小题 5 分） 如图，点 E 是矩形 ABCD 的边 BC 上一点，EF⊥AE， EF 分别交 AC、CD 于点 M、F，BG⊥AC，垂足为点 G， BG 交 AE 于点 H． （1）求证：△ABE∽△ECF； （2）找出与△ABH 相似的三角形，并证明； （3）若 E 是 BC 中点，BC=2AB，AB=2，求 EM 的长． （第 23 题） 24．（本题满分 12 分，其中第（1）小题 2 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 5 分） 如图，点 A 在 x 轴上，OA=4，将线段 OA 绕 点 O 顺时针旋转 120°至 OB 的位置． （1）求点 B 的坐标； （2）求经过点 A、O、B 的抛物线的解析式； （3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点 P， 使得以点 P、O、B 为顶点的三角形是等腰三角形？ 若存在，求点 P 的坐标；若不存在，说明理由． 25．（本题满分 14 分，其中第（1）小题 3 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 6 分） 将△ABC 绕点 A 按逆时针方向旋转 θ 度，并使各边长变为原来的 n 倍，得△AB′C′，即如图①，我们 将这种变换记为[θ，n]． （1）如图①，对△ABC 作变换[60°， 3 ]得△AB′C′，那么 AB C ABC S S = ； 直线 BC 与直线 B′C′所夹的锐角为 度． （2）如图②，△ABC 中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB'C'， 使点 B、C、C′在同一直线上，且四边形 ABB'C'为矩形，求 θ 和 n 的值． （3）如图③，△ABC 中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=l，对△ABC 作变换[θ，n]得△AB′C′，使点 B、C、B′ 在同一直线上，且四边形 ABB'C'为平行四边形，求 θ 和 n 的值． （ （第 24 题） 2013 年上海市普陀区中考数学一模试卷 参考答案及评分说明 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．(D)； 2． (C)； 3．(A)； 4．(B)； 5．(B)； 6．(D)． 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．16； 8．( 2 5 2 )； 9．1︰4； 10． 1m ； 11． 22( 1) 2yx ； 12． 1 ； 13． 2cos ； 14． EA 和 CE ； 15．4； 16．12； 17．210 ； 18．18 3 ． 三、解答题：（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.解：原式 23 3 3()22 22 2 ……………………………………………………（4 分） 33 324 ………………………………………………………………（4 分） 53 8 ． …………………………………………………… ……………（2 分） 20. 解： 13( 3 ) ( )22a b a b 13322a b a b ………………………………………………………（1 分） 2ab …………………………………………………………………（4 分） 画图正确 4 分（方法不限），结论 1 分． 21.（1）证明：∵AB=AD=25，∴∠1 =∠2.……………… (1 分) ∵AD∥BC，∴∠1=∠3.……………………(1 分) ∴∠2=∠3. …………………………………(1 分) ∵AE⊥BD， ∴∠AEB=∠C=90°. ………………………(1 分) ∴△ABE∽△DBC. ………………………(1 分) （2）解：∵AB=AD，又 AE⊥BD，∴BE=DE. 1 2 3 ∴BD=2BE.…………………………………………………………………(1 分) 由△ABE∽△DBC，得 AB BE BD BC . ……………………………………(1 分) ∵AB=AD=25，BC=32，∴ 25 2 32 BE BE . ∴BE=20． ………………………………………………………………(2 分) ∴ 22AE AB BE 2225 20 (25 20) (25 20) =15． ……………………………………………………………………(1 分) 22．解：过点 C 作 CD⊥AE，垂足为点 D， 此时轮船离小岛最近，BD 即为所求．………(1 分) 由题意可知： ∠A=21.3°，AB=80 海里，∠CBE=63.5°．…(1 分) 在 Rt△ACD 中，tan∠A= CD AD 2 5 ，……………………………………………(1 分) 2(80 )5CD BD；………………………………………………………(1 分) 同理： 2CD BD ；………………………………………………………………(2 分) ∴ 22 (80 )5BD BD，…………………………………………………………(2 分) 解得： 20BD ．…………………………………………………………(1 分) C 答：轮船继续向东航行20海里，距离小岛 最近. ……………………………………(1 分) 23． （1）证明：∵四边形 ABCD 是矩形， ∴∠ABE=∠ECF=90°．………………(1 分) ∵AE⊥EF，∴∠1+∠2=90°． 又∵∠1+∠3=90°， ∴∠3=∠2， …………………………(1 分) ∴△ABE∽△ECF． …………………(1 分) （2）答：△ABH∽△ECM．………………………(1 分) 证明：∵BG⊥AC，∠ABE=90°， ∴∠4+∠BAG=∠5+∠BAG= 90°． ∴∠4=∠5．………………………………………………………………………(1 分) 由（1）知，∠3=∠2，…………………………………………………………(1 分) ∴△ABH∽△ECM．………………………………………………………………(1 分) （3）解：过点 M 作 MR⊥BC，垂足为 R．…………………………………………………(1 分) ∵AB=BE=EC=2， ∴AB∶BC=MR∶RC=1∶2，…………………………………………………… (1 分) ∠1=45°，CR=2MR， 1 2 3 4 5 C A B D E ∴∠2=45°，………………………………………………………………………(1 分) ∴ER=MR， ………………………………………………………………………(1 分) ∴MR= 2 3 ，∴ 2 2 2233EM ．……………………………………………(1 分) 24. 解： （1）如图，过点 B 作 BC⊥ x 轴，垂足为的点 C． ……………………………………………(1 分) ∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°．又∵OA=OB=4， ∴ =2OC ， =2 3BC ． ∴点 B 的坐标为（﹣2，﹣ 23）．…………………………………………………(2 分) （2）∵抛物线过原点 O 和点 A、B， ∴可设抛物线的解析式为 2 ( 0)y ax bx a ，……………………………………(1 分) 将 A（4，0）， B（﹣2，﹣ 23）代入，得 16 4 0, 4 2 2 3. ab ab ……………………………………………………………………(2 分) 解得 3 ,6 23.3 a b ∴此抛物线的解析式为 3 2 3 63yx ．………………………………………………(2 分) （3）存在．……………………………………………………………………………………(1 分) 解：如图，抛物线的对称轴是 =2，直线 =2 与 轴的交点为 D， 设点 P 的坐标为（2，y）． ①若 OB=OP，则 22+|y|2=42，解得 y=±23， 当 y= 时，在 Rt△POD 中，∠PDO=90°， sin∠POD= PD OP 3 2 ，∴∠POD=60°． ∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°， 即 P、O、B 三点在同一直线上．∴y= 23不符合题意，舍去． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．………………………………………………………(1 分) ②若 BO=BP，则 42+|y+ |2=42，解得 y=﹣ ． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分) ③若 PO=PB，则 22+|y|2=42+|y+ |2，解得 y=﹣ ． ∴点 P 的坐标为（2，﹣ ）．……………………………………………………………(1 分) 综上所述，符合条件的点 P 只有一个，其坐标为（2，﹣ ）．…………………(1 分) 25. 解：（1） 3；60． …………………………………………………………………………(2 分) （2）∵四边形 ABB′C′是矩形，∴∠BAC′=90°．………………………………………(1 分) ∴θ=∠CAC′=∠BAC′﹣∠BAC=90°﹣30°=60°．……………………………………(1 分) 在 Rt△AB B' 中，∠ABB'=90°，∠BAB′=60°，∴∠AB′B=30°．…………………（1 分） ∴AB′=2 AB，即 2ABn AB ．……………………………………………………（1 分） （3）∵四边形 ABB′C′是平行四边形，∴AC′∥BB′． 又∵∠BAC=36°，∴θ=∠CAC′=∠ACB=72°． …………………………………（1 分） ∴∠C′AB′=∠BAC=36°． …………………………………………………………（1 分） 而∠B=∠B，∴△ABC∽△B′BA． ………………………………………………（1 分） ∴AB∶BB′=CB∶AB． ……………………………………………………………（1 分） ∴AB2=CB•BB′=CB（BC+CB′）． …………………………………………………（1 分） 而 CB′=AC=AB=B′C′，BC=1，∴AB2=1（1+AB）， ………………………………（1 分） 解得，AB 15 2 ．…………………………………………………………………（1 分） ∵AB＞0，∴ 51 2 BCn BC ．…………………………………………………（1 分） （以上各题，若有其他解法，请参照评分标准酌情给分） 2012 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷 2013、1 （时间 100 分钟 满分 150 分） 考生注意∶ 1．本试卷含三个大题，共 25 题；答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、 本试卷上答题一律无效； 2．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一．选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的】 1．在 ABCRt 中， 90C ， 5AC ， 13AB ，那么 Atan 等于…………（ ） Ａ． 13 5 ； Ｂ． 12 5 ．； Ｃ． 5 12 ； Ｄ． 5 13 ． 2．将抛物线 2xy 沿 y 轴向上平移 1 个单位后所得抛物线的解析式是 …………（ ） Ａ． 12 xy ； Ｂ． 12 xy ； Ｃ． 2)1( xy ； Ｄ． 2)1( xy ． 3．坡比等于 1∶ 3 的斜坡的坡角等于 ………………………………………………（ ） Ａ． 30 ； Ｂ． 45 ； Ｃ． 50 ； Ｄ． 60 ． 4．关于二次函数 2)2( xy 的图像，下列说法正确的是…………………………（ ）． Ａ．开口向下； Ｂ．最低点是 )0,2( ； Ｃ．对称轴是直线 2x ； Ｄ．对称轴的右侧部分是上升的． 5．如图 1， BDAC、 相交于点O ，下列条件中能判定CD ∥ AB 的是 …………（ ） Ａ． CO BO DO AO ； Ｂ． CD AB CO AO ； Ｃ． AO CO DO BO ； Ｄ． BD BO AC AO ． 6．如图 2，在 中， 90ACB ， ABCD 垂足为 D ，那么下列结论中错误的 是………………………………………………………………………………………（ ） Ａ． ADBCBDAC 22 ； Ｂ． ABCDBDBC 22 ； Ｃ． CDACBCAD ； Ｄ． BDACBCCD ． 二．填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．计算： 45tan60sin2 ． 8．计算： )2(2 1 baba ． 9．抛物线 342 2 xxy 与 y 轴的交点坐标是 ． A C D B （图 2） A B C D E F （图 3） B C D A O （图 1） 10．如果两个相似三角形对应角平分线的比是 3:2 ，那么它们对应高的比是 ． 11．如图 3，已知 AB ∥CD ∥ EF ， 3:2: CEAC ， 15BF ，那么 BD ． 12．点C 是线段 AB 上一点， ACBC 2 ，点 NM、 分别是线段 BCAC、 的中点，那么 BCMN : 等于 ． 13．抛物线 cbxaxy 2 过 )0,1( 和 )0,5( 两点 ，那么该抛物线的对称轴是 ． 14．在以 O 为坐标原点的直角坐标平面内有一点 A（2，4）， 如果 AO 与 x 轴正半轴的夹角 为 ，那么 αcos = ． 15．小明同学身高 1.5 米，经太阳光照射，在地面的影长为 2 米，他此时测得旗杆在同一地 面的影长为 12 米，那么旗杆高为 __ 米． 16．抛物 线 32 bxaxy 与 x 轴交于 点 BA、 （点 A 在点 B 的 左侧 ），与 y 轴交 于点 C ，且 3:1: OBOA ， OCOB ，那么 a 的值是 ． 17．两个等腰直角三角形 ACB 和 DCE 的位置如图 4 所示， 点 ECA 、、 和点 DCB 、、 分别在一直线上， 90ACB ， 24AE ， DEAB 3 ，点 HG、 分别是 ACB 、 DCE 的重心，联结GH ，那么 GH ． 18．在 ABCRt 中， 90C ， 5AB ， 4AC ，点 D 是斜边 AB 的中点，把 ABC 绕点C 旋转， 使得点 B 落在射线CD 上，点 A 落在点 A ．那么 AA 的长是_____________． 三．（本大题共 7 题，第 19—22 题每题 10 分；第 23、24 题每题 12 分；第 25 题 14 分； 满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 抛物线 cxaxy 22 经过点 )0,3(B 、 )3,0(C 两点． （1）求抛物线顶点 D 的坐标； （5 分） （2）抛物线与 x 轴的另一交点为 A ，求 ABC 的面积． （5 分） 20.（本题满分 10 分） 如图 5，在 ABC 中，点 D 是边 AB 的中点， ACAB 2 ， 4BC . （1）求CD 的长； （5 分） （2）设 AB a ， AC =b ，求向量CD （用向量 a 、 b 表示）. （5 分） G C A B D E H （图 4） A B C D （图 5） 21.（本题满分 10 分） 如图 6，在 ABC 中， BE 平分 ABC 交 AC 于点 E ，过点 E 作 ED ∥ BC 交 AB 于 点 D . （1）求证： ACBDBCAE ； （5 分） （2）如果 3ADES ， 2BDES ， 6DE ，求 BC 的长. （5 分） 22.（本题满分 10 分） 如图 7，小岛 B 正好在深水港口 A 的东南方向，一艘集装箱货船从港口 出发，沿正东方向以每小时 30 千米的速度行驶，40 分钟后在C 处测得小岛 在它的南偏东 15 方向，求小岛 离开深水港口 的 距离.（精确到 1.0 千米） 参考数据： 41.12 ， 45.26 ， 26.015sin ， 97.015cos ， 27.015tan . A B C D E （图 6） A B C 北 北 （图 7） 23.（本题满分 12 分） “数学迷”小楠通过从“特殊到一般”的过程，对倍角三角形（一个内角是另一个内角的 2 倍的三角形） 进行研究.得出结论：如图 8，在 ABC 中， CBA 、、 的对边分别是 cba 、、 ，如果 BA 2 ， 那么 bcba 22 . 下面给出小楠对其中一种特殊情形的一种证明方法. 已知：如图 9，在 中， 90A , 45B . 求证： . 证明：如图 9，延长CA 到 D ，使得 ABAD . ∴ ABDD ， ∵ DABDDCAB 2 ， 90CAB ∴ 45D ，∵ 45ABC ， ∴ ABCD ，又 CC ∴ ABC ∽ BCD ∴ BC AC CD BC ，即 a b cb a ∴ bcba 22 根据上述材料提供的信息，请你完成下列情形的证明（用不同于材料中的方法也可以）： 已知：如图 8，在 中， . 求证： . b C A B a c （图 8） A C B a b c （图 9） D 24.（本题满分 12 分） 抛物线 nmxmxy 52 与 y 轴正半轴交于点C ,与 x 轴分别交于点 A 和点 )0,1(B ， 且 OBOAOC 2 . （1）求抛物线的解析式； （6 分） （2）点 P 是 轴上一点，当 PBC 和 ABC 相似时，求点 的坐标. （6 分） 25.（本题满分 14 分） 梯形 ABCD 中， AB ∥CD ， 10CD ， 50AB ， 5 4cos A ， 90BA ， 点 M 是边 的中点，点 N 是边 AD 上的动点. （1）如图 10，求梯形 的周长； （4 分） （2）如图 11，联结 MN ，设 xAN ， yNMAMN cos （ 0 ＜ NMA ＜ 90 ），求 关于 的关系 式及定义域； （4 分） （3）如果直线 与直线 BC 交于点 P ，当 AP 时，求 AN 的长. （6 分） B C D A （图 10） N M B C D A （图 11） B C D A （备用图） M 2012 学年第一学期徐汇区初三年级数学学科 期终学习能力诊断卷参考答案和评分标准 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1．C； 2．B； 3．A； 4．D； 5．D； 6．B． 二．填空题：（本大题共 12 题，满分 48 分） 7． 3 ； 8． b 2 3 ； 9． )3,0( ； 10． 3:2 ； 11．6 ； 12． 4:3 （或 4 3 ）； 13．直线 2x ； 14． 5 5 ； 15．9 ； 16．1或 1 ； 17． 3 22 （或 3 8 ）； 18． 5 58 ． 三、（本大题共 7 题，第 19、20、21、22 题每题 10 分，第 23、24 题每题 12 分，第 25 题 14 分，满分 78 分） 19. 解：（1）由题意，得 ;3 ,069 c ca ………………………………………（1 分） 解得 ;3 ,1 c a ………………………………………………………（1 分） ∴ 322 xxy ………………………………………………（1 分） ∴ )4,1(D ……………………………………………………………（2 分） （2）由题意，得 0322 xx ，解得 3,1 21 xx ； ∴ )0,1(A …………………………………………………………（2 分） 又 )0,3(B 、 )3,0(C ∴ 6342 1 ABCS …………………………………………（3 分） 20．解：（1）∵点 D 是边 AB 的中点， ACAB 2 ，∴ ACABAD 2 2 2 1 （1 分） ∴ 2 2AC AD ， 2 2 2 1 AB AC ………………………………（1 分） ∴ AB AC AC AD ，又 AA ．∴ ADC ∽ ACB ……………（1 分） ∴ AB AC BC CD ，即 2 2 4 CD ，∴ 22CD …………………（2 分） （2）∵点 D 是边 AB 的中点，∴ AD aAB 2 1 2 1 …………………（2 分） ∴ CD AD baAC 2 1 ．…………………………………（3 分） 21．（1）证明：∵ BE 平分 ABC ，∴ CBEABE ．……………………（1 分） ∵DE∥BC ，∴ CBEDEB ……………………………（1 分） ∴ DEBABE ．∴ DEBD ……………………………（1 分） ∵DE∥BC ，∴ BC DE AC AE ……………………………………（1 分） ∴ BC BD AC AE ，∴ ACBDBCAE ………………………（1 分） （2）解：设 ABE 中边 AB 上的高为 h ． ∴ 2 3 2 1 2 1 BD AD hBD hAD S S BDE ADE ，…………………………………（2 分） ∵DE∥BC，∴ AB AD BC DE ． ………………………………………（1 分） ∴ 5 36 BC ，∴ 10BC ． …………………………………………（2 分） 22．解： 由题意，得 203 230 AC ． ……………………………………（2 分） 【方法一】过点C 作 ABCD ，垂足为 D ．……………………………………（1 分） 在 ADCRt 中， 90ADC ， 45CAD ∴ 21045cos ACAD ， 21045sin ACCD ……（2 分） 在 BDCRt 中， 90BDC ， 30154590B …（1 分） ∴ 61030cot CDBD …………………………………………（2 分） ∴ )62(10 BDADAB ≈ 6.38)45.241.1(10 ．…（2 分） 【方法二】过点 B 作 ACBD ，交 AC 延长线于 ． ………………………（1 分） 在 BDCRt 中， 90BDC ， 15CBD 设 xBD ，∴ xBDCD 27.015tan ． ………………………（2 分） ∵ DABDABABD 45459090 ……………（1 分） ∴ BDAD ，∴ xx 27.020 ，得 73.0 20x ……………………（2 分） ∴ 6.3873.0 2041.173.0 2022 BDAB …………………（2 分） 答：小岛 B 离开深水港口 A 的距离是 6.38 千米． 23．证明： 延长CA 到 D ，使得 ABAD .……………………………………（2 分） ∴ ABDD ，……………………………………………………（2 分） ∵ DABDDCAB 2 ，………………………………（2 分） ∵ ABCCAB 2 ，∴ ABCD ，又 CC ∴ ABC ∽ BCD …………………………………………………（2 分） ∴ BC AC CD BC ，即 a b cb a ………………………………………（2 分） ∴ bcba 22 ………………………………………………………（2 分） 24．解：（1）由题意，得抛物线对称轴是直线 2 5x ，……………………………（1 分） ∵点 A 和点 B 关于直线 对称，点 )0,1(B ，∴ )0,4(A ………（1 分） ∵ 4142 OBOAOC ，∴ 2OC …………………………（1 分） ∵点C 在 y 轴正半轴上，∴ )2,0(C ………………………………（1 分） ∴ 22 5 2 1 2 xxy ………………………………………………（2 分） （2）由题意，可得 3AB ， 5BC ， 52AC …………………（1 分） ∵ OBOAOC 2 ，∴ OA OC OC OB ，又 COABOC ∴ BOC ∽ COA ，∴ OACOCB ………………………（1 分） ∴ PBC 和 ABC 相似时，分下列两种情况： 1 当 AC AB BC CP 时，得 52 3 5 CP ，∴ 2 3CP ， ∴ 2 1 2 32 CPOCOP ，∴ )2 1,0(P ．………………………（2 分） 2 当 AB AC BC CP 时，得 3 52 5 CP ，∴ 3 10CP ， ∴ 3 423 10 OCCPOP ，∴ )3 4,0( P ．………………（2 分） 综合 21 、 ，当 和 相似时 或 ． 25．解：（1）过点C 作CF ∥ AD ，交 AB 于点 F ．………………………………（1 分） ∴ ACFB ，∵ 90BA ， ∴ 90BCFB ，∴ 90FCB ∵ AB ∥CD ，∴四边形CDAF 是平行四边形； ∴ ADCF ， 10 CDAF ，∴ 40 AFABBF 在 BCFRt 中， 90FCB ，∴ BF CFCFB cos ， ∴ ADCFBBFCF 325 440cos ………………………（1 分） ∴ 243240 2222 CFBFBC …………………………（1 分） ∴ 11624503210 ABCDC ．…………………………………（1 分） （2）过点 N 作 ABNQ ，垂足为Q ．∴ 90NQMNQA ，…（1 分） ∴ AN AQA cos ，∴ xAANAQ 5 4cos ， ∴ MN MQNMA cos ，∴ yNMAMNMQ cos ， ∵点 M 是边 AB 的中点，∴ 252 1 ABAM ， ∴ xy 5 425 ；…………………………………………………………（2 分） 定义域是0 ＜ x ＜ 4 125 ．…………………………………………………（1 分） （3）分别延长 BCAD、 交于点 E ，联结 EM ． ∵ 90BA ，∴ 90AEB ， 25 BMEMAM ； ∴ 405 450cos AABAE ． 直线 MN 与直线 BC 交于点 P ，当 AP 时，分两种情况： 1 当点 P 在CB 的延长线上时， ∵ EMBM ，∴ EBMBEM ；∵ 90ABEA ， ∴ 90MEBP ，∴ 90EMNEMP ； ∵ EMAM ，∴ AAEM ；∴ EN EMAEM cos ， ∴ 4 125 5 4 25 cos A EMEN ；∴ 4 35 4 12540 ENAEAN .…（3 分） 2 当点 在 BC 的延长线上时， ∵ 90PNEP ， PNEANM ，∴ 90ANMA ， ∴ 90AMN ，∴ AN AMA cos ，∴ 4 125 5 4 25 cos A AMAN .…（3 分） 综合 、 2 ，当 时， 4 35AN 或 4 125 ． 2013 年上海市闸北区中考数学一模试卷 （2013 年 1 月） （考试时间：100 分钟，满分：150 分） 考生注意： 1、本试卷含三个大题，共 25 题； 2、答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3、除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要 步骤． 一、 选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位 置上．】 1．抛物线 y＝－x2 向左平移 2 个单位后所得的抛物线解析式是………………（ ） （A）y＝－x2－2； （B）y＝－（x－2）2； （C）y＝－（x＋2）2； （D）y＝－x2＋2． 2．已知 D、E 分别在△ ABC 的 BA、CA 的延长线上，下列给出的条件中能判定 ED∥BC 的 是………………………………………………………………………………………（ ） （A） AD AE ＝ AC AB ； （B） BD AB ＝ CE AC ； （C） BC DE ＝ AB AD ； （D） BC DE ＝ CE BD ． 3．在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝α，AC＝b，那么 AB 等于……………（ ） （A） cos b ； （B） sin b ； （C） tan b ； （D） cot b ． 4．如果四条线段 a、b、c、d 构成 b a ＝ d c ，m＞0，则下列式子中，成立的是……（ ） （A） a b ＝ d c ； （B） b a ＝ md mc ； （C） b ba ＝ d cd ； （D） db ca ＝ ． 5．在△ABC 中，中线 AD、BE 相交于点 O，且 S△ BOD＝5，则△ ABC 的面积是（ ） （A）30； （B）20； （C）15； （D）5． 6．根据二次函数 y＝－x2＋2x＋3 的图像，判断下列说法中，错误．．的是………（ ） （A）二次函数图像的对称轴是直线 x＝1； （B）当 x＞0 时，y＜4； （C）当 x≤1 时，函数值 y 是随着 x 的增大而增大； （D）当 y≥0 时，x 的取值范围是－1≤x≤3 时． 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7．钓鱼岛列岛是我国最早发现、命名，并行使主权的．在一幅比例尺是 1︰100000 的地图上，测得钓 鱼岛的东西走向长为 3.5 厘米，那么它的东西走向实际长大约为 ▲ 米． 8．已知点 D 是线段 AB 的黄金分割点，且线段 AD 的长为 2 厘米，则最短线段 BD 的长是 ▲ 厘 米． 9．如果 a ＋b ＝2（ －3 ），那么用 表示 ，得 ＝ ▲ ． 10．抛物线 y＝ 4x2＋2x－1 有最 ▲ 点（填“高”、“低”）． 11．某印刷厂一月份印书 50 万册，如果从二月份起，每月印书量的增长率都为 x，那么三月份的印书 量 y（万册）与 x 的函数解析式是 ▲ ． 12．在坡度为 i＝1︰2.4 的斜坡上每走 26 米就上升了 ▲ 米． 13．如图一，已知点 D、E 分别在△ ABC 的边 AB 和 AC 上，且 DE∥BC，S△AED︰S 梯形 EDBC＝1︰2，则 AE︰AC 的比值是 ▲ ． 14．若二次函数 y＝mx2－（2m－1）x＋m 的图像 顶点在 y 轴上，则 m＝ ▲ ． 15．如图二，在 Rt△ ABC 中，∠C＝90°，点 D 在边 BC 上，且∠ADC＋∠B＝90°，DC＝3，BD＝6， 则 cosB＝ ▲ ． 16．如图三，在边长相同的小正方形组成的网格 中，点 A、B、C 都在这些小正方形的顶点上，则 ∠ABC 的正切值是 ▲ ． 17．如图四，在△ABC 中，AB＝AC，∠A＝36°， BD 平分∠ABC 交 AC 于点 D，DE 平分∠BDC 交 BC 于点 E，则 AD EC ＝ ▲ ． 18．如图五，在 Rt△ ABC 中，AB＝6cm，BC＝ 4cm，点 D 是斜边 AB 上的中点，把△ ADC 沿着 AB 方向平移 1cm 得△ EFP，EP 与 FP 分别交边 BC 于 点 H 和点 G，则 GH＝ ▲ ． 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 145sin2 1 －2 2)30cot1( ＋sin260°＋cos260°． （ 图 一 ） D A B C E （ 图 三 ） A B C （ 图 二 ） D A B C （ 图 四 ） E D A B C （ 图 五 ） H F G E D A B C P （ 图 六 ） H F E D A B C （ 图 七 ） N O M D A B C 20．（本题满分 10 分 第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 已知：二次函数 2 (y ax bx c a ≠0) 的图像经过点（3，5）、（2，8）、（0，8）． （1）求这个二次函数的解析式； （ 2 ） 已 知 抛 物 线 2 1 1 1 1 1(y a x b x c a ≠ 0 ， 2 2 2 2 2 2(y a x b x c a ≠ 0 ， 且 满 足 111 222 (a b c kka b c ≠0，1 ，则我们称抛物线 12yy与 互为“友好抛物线”，请写出当 1 2k 时第（1）小 题中的抛物线的友好抛物线，并求出这友好抛物线的顶点坐标． 21．（本题满分 10 分） 已知：如图六，九年级某班同学要测量校园内旗杆 CH 的高度，在地面的点 E 处用测角器测得旗杆顶点 C 的仰角∠CAD＝45°，再沿直线 EF 向着旗杆方向行走 10 米到点 F 处，在点 F 又用测角器测得旗杆顶点 C 的 仰角∠CBA＝60°；已知测角器的高度为 1.6 米，求旗 杆 CH 的高度（结果保留根号）． 22．（本题满分 10 分） 已知：如图七，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 M、N 分别在边 AO 和边 OD 上，且 AM＝ 3 2 AO，ON＝ 3 1 OD，设 AB ＝ a ， BC ＝b ，试用 、 的线性组合表示向量OM 和向量 MN ． 23．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 已知：如图八，在△ ABC 中，BD⊥AC 于点 D， CE⊥AB 于点 E，EC 和 BD 相交于点 O，联接 DE． （1）求证：△ EOD∽△BOC； （2）若 S△ EOD＝16，S△ BOC＝36，求 AE AC 的值． 24．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 已知：如图九，二次函数 2 3y x2 4 3 x 16 3 的图 像与 x 轴交于点 A、B（点 A 在点 B 的左侧），抛物线的 顶点为 Q，直线 QB 与 y 轴交于点 E． （1）求点 E 的坐标； （2）在 x 轴上方找一点 C，使以点 C、O、B 为顶点 的三角形与△ BOE 相似，请直接写出点 C 的坐标． （ 图 八 ） E O D A B C （ 图 九 ） E O Q x B A y 25．（本题满分 14 分 第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（3）小题 6 分） 已知：如图十，在△ ABC 中，AB＝AC＝15， cos∠A＝ 5 4 ．点 M 在 AB 边上，AM＝2MB，点 P 是 边 AC 上的一个动点，设 PA＝x． （1）求底边 BC 的长； （2）若点 O 是 BC 的中点，联接 MP、MO、OP， 设四边形 AMOP 的面积是 y，求 y 关于 x 的函数关系 式，并出写出 x 的取值范围； （3）把△ MPA 沿着直线 MP 翻折后得到△ MPN， 是否可能使△ MPN 的一条边（折痕边 PM 除外）与 AC 垂直？若存在，请求出 x 的值；若不存在，请说明 理由． （ 图 十 ） C O P B A M （ 备 用 图 ） · C B A M （ 备 用 图 ） · C B A M 2013 年上海市闸北区中考数学一模试卷 答案及评分参考 （考试时间：100 分钟，满分：150 分） 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 题号 1 2 3 4 5 6 答案 C B B D A B 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7、3500． 8、 5 －1． 9、 1 7 a ． 10、低． 11、 250( 1)yx或 250 100 50y x x 12、10． 13、 3 3 ． 14、 1 2 ． 15、 3 2 ． 16、2． 17、 35 2 ． 18、 2 3 ． 三、解答题（本大题共 12 题，满分 78 分） 19、（本题满分 10 分） 解： 2 2 21 2 (1 cot 30 ) sin 60 cos 602sin 45 1 = 2 221 3 12 (1 3) ( )222212 ……………………………………（4 分） = 1 3 12( 3 1) 4421 ………………………………………………………（4 分） = 2 1 2 3 2 1 ………………………………………………………………（1 分） = 2 2 3 4………………………………………………………………………（1 分） 20、（本题满分 10 分第（1）小题 4 分，第（2）小题 6 分） （1）根据题意，得 8 4 2 8 9 3 5 c a b c a b c 可以解得 1 2 8 a b c …………………………（3 分） ∴这个抛物线的解析式是 2 28y x x ．……………………………………（1 分） （2）根据题意，得 2 2 2 1 2 8 1 2a b c 或 1 1 1 1 1 2 8 2 a b c 解得 2 2 22, 4, 16a b c 或 1 1 1 1 , 1, 42a b c ……………………（2 分） 友好抛物线的解析式是： 22 4 16y x x 或 21 42y x x ……………（2 分） ∴它的顶点坐标是（1, 18 ）或（ 91, 2 ）……………………………………（2 分） （ 图 六 ） H F E D A B C （ 图 七 ） N O M D A B C 21、（本题满分 10 分） 根据题意，设 DB= x 米在 Rt△CBD 中，∠CBD=60° ∴CD=DB·tan60°= 3x 米……………（2 分） 在 Rt△ACD 中，∠CAD=45° ∴CD=AD= 米………………………（2 分） ∴ + =10…………………………………………………………………………（2 分） 解得 (5 3 5)x 米…………………………………………………………………（1 分） CD= 3 (5 3 5) (15 5 3) 米…………………………………………………（1 分） ∴CH=15 5 3 1.6 (16.6 5 3) 米……………………………………………（1 分） 答：旗杆 CH 的高度是(16.6 5 3) 米．……………………………………………（1 分） 22、（本题满分 10 分） ∵ AC AB BC= ab ……………………………（1 分） ∵平行四边形 ABCD ∴ 1 2AO AC …………………………………………（1 分） ∴ 11()22AO AC a b ……………………………（1 分） ∵ 2 3AM OA 即 1 3OM AO ∴ 1 3OM AO ………………………………………………………………………（1 分） ∴ 1 1 1()6 6 6OM a b a b …………………………………………………（1 分） ∵AM＝ 2 3 AO，ON＝ 1 3 OD ∴ 1 3 OM ON OA OD……………………………………………………………………（1 分） ∴MN∥AD ………………………………………………………………………（1 分） ∴ 1 3 MN OM AD AO……………………………………………………………………（1 分） ∴ 1 3MN AD ………………………………………………………………………（1 分） 又∵平行四边形 ABCD ∴ AD BC b ∴ 1 3MN b …………………………………………………………………………（1 分） 23．（本题满分 12 分 第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） （1）证明：在△BOE 与△DOC 中 ∵∠BEO＝∠CDO，∠BOE＝∠COD ∴△BOE∽△COD………………………………………（2 分） ∴ OE OB OD OC ……………………………………………（1 分） 即 OE OD OB OC ……………………………………………（1 分） 又∵∠EOD＝∠BOC……………………………………（1 分） ∴△EOD∽△BOC………………………………………（1 分） (2) ∵△EOD∽△BOC ∴ 2()EOD BOC S OD S OC ………………………………………………………………（1 分） ∵S△EOD＝16，S△BOC＝36 ∴ 2 3 OD OC ………………………………………………………………………（1 分） 在△ODC 与△EAC 中 ∵∠AEC＝∠ODC，∠OCD＝∠ACE ∴△ODC∽△AEC………………………………………………………………（1 分） ∴ OD OC AE AC ……………………………………………………………………（1 分） 即 OD AE OC AC ……………………………………………………………………（1 分） ∴ 2 3 AE AC ………………………………………………………………………（1 分） 24．（本题满分 12 分第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） （1）令 y=0，得 22 4 16 03 3 3xx …………………（1 分） 解方程得 122, 4xx (4,0)B …………………（1 分） 又 22 ( 1) 63yx ∴ (1, 6)Q …………………（1 分） 设直线 BQ： ( 0)y kx b k 40 6 kb kb 解得 28yx………………………………………………………………（1+1 分） (0, 8)E……………………………………………………………………（1 分） （2） 1 2 3 4 5 6 16 8 4 8(0,2) , (0,8) , (4,2) , (4,8) , ( , ) , ( , )5 5 5 5C C C C C C （6 分） （ 图 八 ） E O D A B C 25．（本题满分 14 分第（1）小题 4 分，第（2）小题 4 分，第（2）小题 6 分） 解：（1）作 BH⊥AC 于点 H（如图一）， ∵在 Rt△ABH 中，cos∠A＝ 5 4 ，AB＝15， ∴AH＝12………………………………………………（1 分） ∴BH＝9．………………………………………………（1 分） ∵AC＝15 ∴CH＝3．………………………………………………（1 分） ∵BC2＝BH2＋CH2，∴BC2＝92＋32＝90，∴BC＝3 10 ．…（1 分） （2）作 OE⊥AB 于点 E，OF⊥AC 于点 F（如图一）， ∵点 O 是 BC 的中点，∴OE＝OF＝ 2 1 BH＝ 2 9 ． ∵AM＝2MB，AB＝AC＝15，∴AM＝10，BM＝5． ∵PA＝x，∴PC＝15－x， ∴y ＝ S△ABC－S△BOM－S△COP＝ BH·AC― OE·BM― OF·PC ＝ ×9×15－ × ×5－ × ×（15－x）…………………（1+1 分） ＝ 4 9 x＋ 45 2 ．…………………………………（1 分） 定义域：（0＜x≤15）． …………………………… （1 分） （3）①当 PN⊥AC 时（如图二），作 MG⊥AC 于点 G， ∵在 Rt△AMG 中，cos∠A＝ ，AM＝10 ∴AG＝8，∴MG＝6． ①若点 P1 在 AG 上，由折叠知：∠AP1M＝135°，∴∠MP1G＝45°． ∵MG⊥AC，∴P1G＝MG＝6，………（1 分）∴AP1＝AG－P1G＝2．…………（1 分） ②若点 P2 在 CG 上，由折叠知：∠AP2M＝45°． ∵MG⊥AC，∴P2G＝MG＝6，∴AP2＝AG＋P2G＝14．…………（2 分） ③当 MN⊥AC 时（如图三）， 由折叠知：∠AMP3＝∠NMP3，P3N3＝AP3＝x，MN3＝MA＝10， ∴P3G＝8－x，GN3＝4． ∵P3N3 2＝P3G2＋GN3 2，∴x2＝（8－x）2＋42，∴x＝5．……（2 分） 综上所述，x＝2 或 5 或 14 时满足△MPN 的一条边与 AC 垂直． E H F （ 图 一 ） C O P B A M （ 图 二 ） G N1 C P1 B A M P2 N2 （ 图 三 ） N3 C P3 B A M G 2012 学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学试卷 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. 对于线段 a 、b ，如果 3:2: ba ，那么下列四个选项一定正确的是（ ） （A） ba 32 ； （B） 1 ab ； （C） 3 2 3 2 b a ； （D） 2 5 b ba . 2. 如图 1，在直角坐标平面内有一点 )4,3(P ,那么射线OP 与 x 轴正半轴的 夹角 的余弦值是（ ） （A） 3 4 ； （B） 3 5 ； （C） 5 3 ； （D） 5 4 . 3. 已知抛物线 cbxxy 2 如图 2 所示，那么b 、c 的取值范围是（ ） （A） 0b ， 0c ； （B） ， 0c ； （C） 0b ， ； （D） ， 0c . 4.下列四个命题中，真命题的个数为（ ） ①面积相等的两个直角三角形相似； ②周长相等的两个直角三角形相似； ③有一个锐角相等的两个直角三角形相似； ④斜边和直角边对应成比例的两个直角三角形相似． （A） 4 ； （B）3 ； （C） 2 ； （D）1. 5．正多边形的一个内角的度数不可能是（ ） （A） 80 ； （B） 135 ； （C） 144 ； （D） 150 . 6. 已知⊙ 1O 的半径长为 2 ，若⊙ 2O （ 与 不重合）上的点 P 满足 21 PO ，则下列位置关系中，⊙ 1O 与⊙ 2O 不可能存在的位置关系是（ ） (A)相交； （B）内切； （C）外切； （D）外离. 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 如图 3，在△ABC 中， DE ∥ BC ， DE 与边 AB 相交于点 D ，与边 AC 相交于点 E ，如果 6AD ， 8BD ， 4AE ，那么CE 的长为 . 8. 已知 2a ， 4b ，且b 与 a 反向，如果用向量b 表示向量 a ，那么 = ． 9. 如图 4，飞机 P 在目标 A 的正上方1000米处.如果飞行员测得目标 B 的俯角 为 30 ，那么地面目标 、 之间的距离为 米（结果保留根号）. 图 1 y x O P x y O 图 2 A B C 图 3 D E A B P 图 4 图 5 10.如果二次函数 13 2 mxxy 的图像经过原点，那么 m 的值为 ． 11.二次函数 cxy 22 的图像在 y 轴左侧的部分是 的.（从“上升”或“下降”中选择）． 12.二次函数 xxy 42 图像的对称轴是直线 ． 13.把抛物线 2( 1) 4yx 先向右平移 3 个单位，再向下平移 2 个单位，所得抛物线的顶点坐标是 ． 14.已知⊙O 的半径长为 2 ，点 P 满足 2PO ，那么过点 的直线l 与⊙ 不可能存在的位置关系是 （从“相交”、“相切”、“相离”中选择）. 15.正六边形的边心距与半径长的比值为 ． 16.对于平面图形 A ，如果存在一个圆，使图形 A 上的任意一点到圆心的距离都不大于这个圆的半径，则称 图形 被这个圆“覆盖”．例如图 5 中的三角形被一个圆“覆盖”.如果边长为1的正六边形被一个半径 长为 R 的圆“覆盖”，那么 R 的取值范围为 ． 17.如图 6，已知⊙ 1O 与⊙ 2O 相交于点 A 、 B ， 8AB ， 121 OO ，⊙ 1O 的半径长为5 ，那么⊙ 2O 的 半径长为 ． 18.如图 7，弧 EF 所在的⊙O 的半径长为5 ，正三角形 ABC 的顶点 A 、B 分别在半径OE 、OF 上，点C 在弧 上， 60EOF .如果 OFAB ，那么这个正三角形的边长为 ． 三、简答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.（本题满分 10 分） 计算： tan45cos452 60cos45sin30cos60cot . A B C O F 图 7 E 图 6 A B 1O 2O 20.（本题满分 10 分） 如图 8，已知△ABC 中， 10 ACAB ， 16BC ，矩形 DEFG 的边 EF 在△ABC 的边 BC 上，顶点 D 、G 分别在 边 AB 、 AC 上，设 DE 的长为 x ，矩形 的面积为 y . 求 y 关于 的函数关系式，并写出这个函数的定义域. 21.（本题满分 10 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分） 如图 9，已知点 D 、 E 分别在△ABC 的边 AB 和 AC 上， DE ∥ BC ， DBAD 2 1 ，四边形 DBCE 的面积等于16. （1）求△ABC 的面积； （2）如果向量 aAD ，向量 bAE ，请用 a 、b 表示向量 BC . 22.（本题满分 10 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 4 分） 如图 10，一条细绳系着一个小球在平面内摆动.已知细绳从悬挂点O 到球心的长度OG 为50 厘米，小 球在左、右两个最高位置时（不考虑阻力等其他因素），细绳相应所成的角为 90 . （1）求小球在最高位置和最低位置时的高度差； （2）联结 EG ，求 OGE 的余切值. A B C D E F G 图 8 A B C D E 图 9 O E F G 图 10 23.（本题满分 12 分，第（1）小题 6 分，第（2）小题 6 分） 已知：点 D 是 Rt ABC△ 的 BC 边的一个动点（如图 11），过点 作 ABDE ，垂足为 E ，点 F 在 AB 边上（点 与点 B 不重合），且满足 BEFE ，联结CF 、 DF . （1）当 DF 平分 CFB 时，求证： FB BD CB CF ； （2）若 10AB ， 4 3tan B .当 CFDF 时，求 BD 的长. 24．（ 本题满分 12 分，每小题满分 4 分） 在平面直角坐标系 xOy 中（图 12），已知抛物线 caxaxy 42 （ 0a ）经过 )4,0(A 、 (-3,1)B 两 点，顶点为C . （1）求该抛物线的表达式及点 的坐标； （2）将（1）中求得的抛物线沿 y 轴向上平移 m（ 0m ）个单位，所得新抛物线与 y 轴的交点记为点 D . 当△ ACD 是 等腰三角形时，求点 的坐标； （3）若点 P 在（1）中求得的抛物线的对称轴上，联结 PO ，将线段 绕点 P 逆时针旋转 90 得到线段 OP ，若点O恰好落在（1）中求得的抛物线上，求点 的坐标. A B C D E F 图 11 A B C 备用图 O y 1 x 2 4 3 5 6 -6 -5 -3 -4 3 -2 5 -1 4 5 6 7 8 9 -1 -2 5 图 12 3 2 1 10 25.（本题满分 14 分，第（1）小题 4 分，第（2）、（ 3）小题各 5 分） 已知点 A 、B 、C 是半径长为 2 的半圆O 上的三个点，其中点 A 是弧 BC 的中点（如图 13），联结 AB 、 AC ，点 D 、 E 分别在弦 AB 、 AC 上，且满足 CEAD ，联结OD、OE . （1）求证： OEOD ； （2）联结 BC ，当 22BC 时，求 DOE 的度数； （3）若 120BAC ，当点 在弦 AB 上运动时，四边形 ADOE 的面积是否变化？若变化，请简述理由； 若不变化，请求出四边形 的面积. B O A D E 图 13 C O 备用图 O 备用图 2012 学年嘉定区九年级第一次质量调研 数学试卷答案要点与评分标准 说 明： 1.解答只列出试题的一种或几种解法.如果学生的解法与所列解法不同，可参照解答中评分标准相应评分； 2.第一、二大题若无特殊说明，每题评分只有满分或零分；答案若为分数，需要化成最简分数. 3.第三大题中各题右端所注分数，表示学生正确解答到这一步应得分数； 4.评阅试卷，要坚持每题评阅到底，不能因学生解答中出现错误而中断对本题的评阅.如果学生的解答在某 一步出现错误，影响后继部分而未改变本题解答的实质，视影响的程度决定后继部分的给分，但原则上 不超过后继部分应得分数的一半； 5.评分时，给分或扣分均以 1 分为基本单位. 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1.C； 2.C； 3.B； 4.C； 5.A； 6.D. 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7. 3 16 （或者 3 15 ）； 8. ba 2 1 ； 9. 31000 ； 10. 1m ； 11.下降； 12. 2x ； 13.（4,2）； 14.相离； 15. 2 3 ； 16. 1R ； 17. 52 ； 18. 217 5 . 三、简答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19.解： tan45cos452 60cos45sin30cos60cot = 12 22 2 1 2 2 2 3 3 3 …………（6 分） 22)223(2 1 2 1 )12(2 12 2 1 .……………………………（2+1+1）分 20.解：过点 A 作 BCAH ，交 BC 于 H ，交 DG 于 P （如图 8）.…………（1 分） ∵四边形 DEFG ， EF 在 BC 边上， ∴ DG ∥ .…………………………………………………………………（1 分） 得 △ADG∽△ABC.………………………………………………………（1 分） ∵ ∥ ， BCAH ，∴ DGAP . ∴ BC DG AH AP .……………………………………………………………（1 分） 在△ABC 中，∵ ACAB ， BCAH ， 16BC ，∴ 82 1 BCBH . 6810 2222 BHABAH .…………………………………（1 分） ∵ BCPH ， BCDE ，∴ PH ∥ DE . 又 DG ∥ BC ， ∴ DEPH .∴ xPHAHAP 6 .…（1 分） 由 xAP 6 ， 6AH ， 得 166 6 DGx .…………（1 分） 解得 )6(3 8 xDG .……（1 分） ∴ 2 3 816)6(3 8 xxxxy .……（1 分） 定义域为 60 x .…………………………………………………………（1 分） 21.解：（1）∵ DE ∥ BC ，∴△ADE∽△ABC.∴ 2)( AB AD S S ABC ADE .………（1+1 分） ∵ DBAD 2 1 ，∴ ABAD 3 1 . ∴ 9 1 ABC ADE S S .…………………………（1 分） 又∵ 16DBCES四边形 ，∴ 9 1 16 ADE ADE S S .解得 2ADES .………………（1 分） ∴ 18216 ABCS .………………………………………………………（1 分） （2）∵向量 aAD ，向量 bAE ，∴向量 abDE .…………………（1 分） ∵ ∥ ，∴ AB AD BC DE .………………………………………………（1 分） ∵ ，∴ DEBC 3 .………………………… … ……………（1 分） ∴ 向量 ababBC 33)(3 .………………… ……… ……………（2 分） 22.解：（1）过点 E 作 OGEH ，垂足为点 H . ……………（1 分） 小球在最高位置和最低位置时的高度差就是GH 的长. 根据题意，可知 452 1 EOFEOH .………（1 分） 在 EOH△Rt 中，∵ OE OHEOH cos ， ∴ 22545cos50cos EOHOEOH . …… （2 分） A B C D E F G 图 8 P H O E F G H ∴ 22550 OHOGGH .……………（2 分） （2）联结 EG .……………………………………（1 分） 在 EOH△Rt 中， 22545sin OEEH …（1 分） ∴ 12 225 22550cot EH GHOGE .…（2 分） 23.解：（1）∵ ABDE ， BEFE ， ∴ DBDF ， BDFE .………………………………（1 分） ∵ DF 平分 CFB ，∴ BFDCFD . ∵ ，∴ BCFD . …… …………（1 分） 又∵ FCBDCF ，∴△DCF∽△FCB. ………………（1 分） ∴ FB DF CB CF .……………………（2 分） ∵ ，∴ FB DB CB CF . …（1 分） （2）在 Rt ABC△ 中，由 10AB ， 4 3tan B ， 易得 5 3sin B ， 5 4cos B ， 6AC ， 8BC .………………………（1 分） 过点C 作 ABCH ，垂足为 H （如图 11-2）. 在 Rt△BCH 中， 5 24 5 38sin BBCCH .………………………（1 分） 5 32 5 48cos BBCBH . 设 xBD 5 （备注：也可以设 xBD ）， 在 Rt△BDE 中， xxBBDDE 35 35sin ， xxBBDBE 45 45cos . 由 xBEEF 4 ，可得 xBFBHHF 85 32 . …………………（1 分） 由 CFDF ，易得 90CFHDFE ， 又 90CFHFCH ，∴ DFEFCH . 方法 1：∴ DFEFCH tantan .………………………………………（1 分） ∵ 3 54tan x CH FHFCH ， 4 3tantan BDFE ， ∴ 4 3 3 54 x . …………………………（1 分） 解得 4 75 x .即 4 7BD .………………（1 分） 方法 2：∴△HCF∽△EFD. ………（1 分） ∴ EF CH ED HF . A B C D E F 图 11 A B C 图 11-2 F H D E 将 xHF 85 32 ， xDE 3 ， xEF 4 ， 5 24CH 代入上式，得 xx x 4 5 24 3 85 32 . ……………………………………………………………………（1 分） 解得 4 75 x .即 4 7BD .………………………………………………………（1 分） 24.解：（1）由抛物线 caxaxy 42 经过 )4,0(A ， (-3,1)B ， 得 .1129 ,4 caa c ……………………………（1 分） 解这个方程组，得 .1 ,4 a c ……………………………………………………（1 分） 因此，所求的抛物线的表达式为 442 xxy .…………………………………（1 分） 由 22 )2(44 xxxy ，易得顶点C 的坐标为（ 2 ，0 ）.…………（1 分） （2）因为点 D 是将抛物线 442 xxy 沿 y 轴向上 平移 m （ 0m ）个单位所得新抛物线与 轴的交点. 所以，点 D 必定在点 A 的上方（如图 12-1）， 得 90AOCDAC .…………………（1 分） ∵△ACD 是 等腰三角形，∴ ACAD …（1 分） 在 Rt△AOC 中， 2OC ， 4OA ，由勾股定理可得 5242 2222 OAOCAC . ∴ 52 ACAD ， 524 ADOAOD .…（1 分） ∴点 D 的坐标为（0 ， 524 ）.……………………（1 分） （3）因为点 P 在抛物线 2)2( xy 的对称轴上，故 可设点 P 的坐标为（ 2 ， n ）. 由题意知： OPPO ， 90OOP . 过点O作 CPEO ，垂足为 E . ∵ 90OPCPEO ， 90OPCPOC . ∴ POCPEO . ∵ 90PCOEPO ， ， ，∴△ PEO ≌△ POC . ∴ PCEO ， OCPE . 当点 在第二象限时（如图 12-2）， O y 1 x 2 4 3 5 6 -6 -5 -3 -4 3 -2 5 -1 4 5 6 7 8 9 -1 -2 5 图 12-1 3 2 1 10 A C D nPCEO ， 2 OCPE ， nEC 2 . 故而可得点O的坐标为（ 2n ， 2n ）.……（1 分） 备注：若点O在第一象限，其坐标也是（ ， ），下同. ∵点 （ ， ）恰好在 2)2( xy 上，∴ 2)22( 2 nn . 整理，得 022 nn .解得 21 n ， 12 n （舍去）. 故可得点 P （ 2 ， 2 ）.……………………………（1 分） 当点 P 在第三象限时（如图 12-3）， nPCEO ， ， . 由此可得点 的坐标为（ 2n ， ）……（1 分） ∵ （ 2n ， ）在抛物线 上， ∴ . 整理，得 ，解得 （舍去）， . 故而可知 （ ， 1 ）. ………（1 分） 25.解：（1）方法 1：联结OA、OB 、OC （如图 13-1），易得 OCOAOB . 在⊙O 中，∵ ，∴ ACAB .…………………… ……（1 分） ∵ OCOB ， OAOA ， ，∴△AOB≌△AOC. ∴ CAOBAO . ………………………………………………（1 分） 又 ∵ OCOA ，∴ OCACAO . ∴ OCABAO . ∵ CEAD ， OCABAO ， ， ∴△AOD≌△COE.…………………………………………（1 分） ∴ OEOD . ……………………………………………………（1 分） 方法 2：在⊙ 中，∵ ，∴ . …………………（1 分） 过点O 分别作 ABOM ， ACON ，垂足分别为 M 、 N （如图 13-2）， 图 12-2 x y 图 12-3 x y ∵ ABOM ， ACON ，∴ ABAM 2 1 ， ACCN 2 1 . 由 ACAB 易得 ONOM ， CNAM .……………………（1 分） ∵ CEAD ， ，∴ CNCEAMAD ，即 ENDM . ∵ ， 90ONEOMD ， ， ∴△ODM≌△OEN. ……………………………………………………（1 分） ∴ OEOD . ……………………………………………………………（1 分） （2）如图 13-3，在△BOC 中，由 2 OCOB ， 22BC ，得 822 2222 OCOB ， 8)22( 22 BC . ∴ 222 BCOCOB . ∴ 90BOC . ………（1+1 分） ∵ ，O 是圆心， ∴ 45902 1 2 1 BOCAOBAOC . ………………………………（1 分） ∵△AOD≌△COE，∴ COEAOD .………………………………………（1 分） ∴ 45AOCAOECOEAOEAODDOE .……………（1 分） 若使用锐角三角比或其他方法，请参照评分. （3）当点 D 在弦 AB 上运动时，四边形 ADOE的面积不变.理由如下：…………（1 分） ∵ CAOBAO ， 120BAC ∴ 601202 1 2 1 BACCAO ，……………（1 分） 又∵ OCOA ，∴△AOC 是等边三角形. ∴ 2 OCAC .…………………………………………（1 分） 由（1）中的△AOD≌△COE，可知 COEAOD SS . ∴ AOCAOECOEAOEAODADOE SSSSSS 四边形 .……（1 分） 过点O 作 ACON ，垂足为 N ，易得 360sin OAON ， ∴ 3322 1 2 1 ONACS ACD . …………………（1 分） B O A D E 图 13-1 C B O A D E 图 13-2 C N M B O A D E 图 13-3 C B O A D E 图 13-4 C 第 4 题图 A B C D E F 虹口区 2012 学年度第一学期初三年级数学学科 期终教学质量监控测试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013.1 考生注意： 1．本试卷含三个大题，共 25 题； 2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤． 一、选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） [下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上．] 1．抛物线 221yx 的顶点坐标是 A．(2，1) ； B．(-2，1) ； C．(2，-1)； D．(-2，-1)． 2．关于二次函数 2y ax bx的图像如图所示，下列说法中，正确的是 A．a>0，b>0； B．a>0，b<0； C．a<0，b>0； D．a<0，b<0． 3．小丽在楼上点 A 处看到楼下点 B 处的小明的俯角是 35°，那么点 B 处的小明看点 A 处的小丽的仰角的 度数是 A．35°； B．45°； C．55°； D．65°． 4．如图，已知 AB∥CD∥EF，BD:DF=2:3，那么下列结论中，正确的是 A． : 2 : 5CD EF ； B． : 2 : 5AB CD ；C． : 2 : 5AC AE ； D． : 2 : 5CE EA ． 5． 在△ABC 中，AB=AC=2，∠B = 30°, 那么 BC 等于 A．1； B．2； C． 3 ； D．23． 6． 如图，在△ABC 中，BD=2CD， aBA ， bBC ，那么 DA 等于 A． 2 3 ab ； B． 2 3ba ； C． 2 3 ba ； D． 2 3ab ． 二、填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） [请将结果直接填入答题纸的相应位置] 7．已知线段 b 是线段 a、c 的比例中项，且 a＝9，b＝6，那么 c＝ ▲ . 8. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC=3，BC=4，则sin B = ▲ ． 9．在 Rt△ABC 中，∠C = 90°， 12cos 13A ，则 tan A = ▲ ． 10.如图，已知梯形 ABCD 中，AD∥BC，∠B=30°，∠C=60°， AD=4，AB=33，则下底 BC 的长= ▲ ． 第 6 题图 B A C D 60°30° D CB A 第 10 题图 O x 第 2 题图 y 第 17 题图 A B C D E 第 18 题图 11. 若抛物线 2(2 1)y k x x 的开口向下，则 k 的取值范围是 ▲ ． 12．请写出一个开口向上，且对称轴为直线 1x 的抛物线的表达式是 ▲ ． 13．用配方法把二次函数解析式 2 67y x x 化为 2()y a x m k 的形式是 ▲ . 14．如果抛物线 2( 2) 1yx 经过点 11,Ay 和 21,By，那么 1y 与 2y 的大小关系是 ▲ .（填写“>”或“<”或“=”） 15．如图，□ABCD 中，E 是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，CD=2DE.若△DEF 的面积为 a， 则□ABCD 的面积为 ▲ .(用含 a 的代数式表示) 16．在△ABC 中，∠C = 90°，BC=12，点 G 为重心，且 GD⊥BC，那么 CD = ▲ ． 17．如图，小明用直角三角形工具测量树的高度 AB．测量时，他使斜边 DF 保持水平，并使 DE 与点 B 在 同一直线上．已知两条直角边 DE = 0.3m，EF = 0.15m，测得边 DF 离地面的高度AC = 1.5m，CD = 17m， 则树高 AB = ▲ m． 18．如图，将△ABE 翻折，使点 B 与 AE 边上的点 D 重合， 折痕为 AC.若 AB=AC=5，AE=9，则 CE= ▲ ． 三、解答题（本大题共 7 题，满分 78 分） 19．（本题满分 10 分） 计算： 12sin 60 cot 30 2tan 45 tan 60 . 20．（本题满分 10 分） 已知一个二次函数的图像经过 A（1，3）、 B（-1，7）、 C（0，4）三点．求这个二次函数的解析式，并 写出该函数图像的对称轴和顶点的坐标． A D B C 第 16 题图 G A D B C 第 15 题图 E F i i 20° 9米 6米 B1层 底层 小心碰头A B F CD E 21．（本题满分 10 分） 如图，点 D、E 分别在线段 AB 和 AC 上，BE 与 CD 相交于点 O， AD AB AE AC ，DF∥AC. 求证：△DOF∽△DOB. 22．（本题满分 10 分，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 5 分） 某大型购物中心为方便顾客地铁换乘，准备在底层至 B1 层之间安装电梯 . 截面图如图所示，底层与 B1 层平行，层高 AD 为 9 米，A、B 间的距离为 6 米，∠ACD=20°. （1）请问身高 1.9 米的人在竖直站立的情况下搭乘电梯，在 B 处会不会碰到头部？请说明理由． （2）若采取中段平台设计（如图虚线所示）.已知平台 EF//DC，且 AE 段和 FC 段的坡度 i=1:2，求平台 EF 的长度． （参考数据：sin20°取 0.34，cos20°取 0.94，tan20°取 0.36） 第 22 题图 A B C D O E F 第 21 题图 D C A E F B 第 23 题图 23．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分） 如图，在△ABC 中，BD 平分∠ABC，EF 垂直平分 BD 交 CA 延长线于点 E． （1）求证： 2ED EA EC； （2）若 ED=6，BD= CD=3，求 BC 的长． 24．（本题满分 12 分，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 6 分） 在△ABC 中，CA=CB， BD 为 AC 边上的高. （1）如图 1，过点 C 作 CE⊥AB 交 BD 于点 F，交 AB 于点 E，若 BC=5，BD=3，求 BE CF 的值； （2）如图 2，若点 P 是 BC 边上一动点，过点 P 作 PM⊥AB 交 BD 于点 N，交 AB 于点 M．设 tanxC ， BMy PN ，求 y 与 x 的函数解析式． B C F D A E 第 24 题图 1 B C D A N M 第 24 题图 2 P 25．（本题满分 14 分，第（1）小题 5 分，第（2）小题 5 分，第（3）小题 4 分） 如图，已知点 A 和点 B（2,1）在抛物线 1 :c 23 2y x bx 上，过点 A 作 AC∥y 轴交 OB 于点 C， 且 1tan 2 OAC． （1）求b 的值及点 C 的坐标； （2）将抛物线 1c 沿 y 轴作上下平移，平移后的抛物线 2c 交直线 AB 于点 E 72( , )33 ，交 y 轴于点 F．点 D（2，m）为平移后的抛物线 2c 上一点，点 P 为直线 EF 上一点，如果△ACO∽△PDF，求 点 P 的坐标； （3）将抛物线 1c 与△ACO 同时平移，点 A、C、O 平移后分别记为点 A、C 、O ， 若点 恰好落在线段 AB 上，△ A C O 与△AOB 重叠部分的面积是 3 16 ，求平移后的抛物线 3c 的表达式． O C A B y 第 25 题图 x O C A B y 备用图 x 虹口一模参考答案 一、选择题 ABACDD 二、填空题 7、4 8、 3 5 9、 5 12 10、10 11、k＜ 1 2 12、答案不唯一，如 2( 1)yx 13、 2( 3) 2yx 14、＜ 15、12a 16、4 17、10 18、6 三、解答题 19、 23 20、 2 24y x x ，对称轴为直线 1x ，顶点坐标为(1,3) 21、先证明△ADC∽△AEB，即可 22、（ 1）不会碰到头部；（2）EF 的长度为 7 米 23、（ 2） 3 102BC 24、（ 1） 3 8 BE CF ；（ 2） 1 2yx 25、（ 1） 7 2b ，点 C 坐标为 1(1, )2 ；（ 2）点 P 坐标为 32( , )23 或 10 2( , )33 ； （3） 23 21528y x x 长宁区 2012 学年第一学期初三数学期终质量 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） 2013.1.16 考生注意： 18．本试卷含三个大题，共 25 题； 19．考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答题一律无效； 20．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步 骤。 一. 选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是符合题目要求的，请把符合题目要求的选项的代号填涂 在答题纸的相应位置上．】 1. 已知△ ABC 中， 90C ，则 cosA 等于（ ） A. AB BC B. AC BC C. AC AB D. AB AC 2. 如图，在平行四边形 ABCD 中，如果 AB a ， AD b ，那么 ab 等于（ ） A． BD B． AC C． DB D．CA 3. 如图，圆 O 的弦 AB 垂直平分半径 OC，则四边形 OACB 一定是（ ） A． 正方形 B．长方形 C． 菱形 D．梯形 4. 已知抛物线 21 ( 5) 33yx ，下列说法正确的是（ ） A．开口向下，顶点坐标 (5 3)， B．开口向上，顶点坐标 C．开口向下，顶点坐标( 5 3) ， D．开口向上，顶点坐标 5. 如图，△ ABC 是等边三角形，被一平行于 BC 的矩形所截(即：FG//BC)，若 AB 被截成三等分，则图中阴 影部分的面积是△ ABC 的面积的 （ ） Ａ． 9 1 Ｂ． 9 2 Ｃ． 3 1 Ｄ． 9 4 D C B A 第 2 题图 E H F G C B A 第 5 题图 第3题图 A． B． C． D． 第 14 题图 第 17 题图 第 12 题图 第 16 题图 6.在同一直角坐标系中，函数 y mx m和函数 2 22y mx x （ m 是常数，且 0m ） 的图像可能．． 是 （ ） 二．填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 【请将结果直接填入答题纸的相应位置】 7.已知实数 x、y 满足 2 3y x ，则 y yx 2 2 ． 8. 已知，两个相似的△ ABC 与△ DEF 的最短边的长度之比是 3:1，若△ ABC 的周长是 27，则△ DEF 的周长 为 ． 9. 已知△ ABC 中，G 是△ ABC 的重心，则 ABC ABG S S ． 10. 在直角坐标平面内，抛物线 y =-x2＋2x+2 沿 y 轴方向向下平移 3 个单位后，得到新的抛物线解析式 为 ． 11.在直角坐标平面内，抛物线 y =-x2＋c 在 y 轴 侧图像上升（填“左”或“右”）． 12. 正八边形绕其中心至少要旋转 度，就能与原来的图形重合. 13. 已知圆⊙O 的直径为 10，弦 AB 的长度为 8，M 是弦 AB 上一动点，设线段 OM=d，则 d 的取值范围 是 ． 14. 如图，某人顺着山坡沿一条直线型的坡道滑雪，当他滑过 130 米长的路程时，他所在位置的竖直高度下 降了 50 米，则该坡道的坡比是 ． 15.已知两圆相切，圆心距为 2 cm，其中一个圆的半径是 6 cm，则另一个圆的半径是____ cm. 16.已知△ ABC 中，AB=6，AC=9，D、E 分别是直线 AC 和 AB 上的点，若 AB AE AC AD 且 AD=3，则 BE= ． 17. 如图，已知 Rt△ ABC， 90ACB ， 30B ，D 是 AB 边上一点，△ ACD 沿 CD 翻折， A 点恰好落在 BC 边上的 E 点处，则 EDBcot = ． 18. 已知，二次函数 f(x) = ax2 + bx + c 的部分对应值如下表，则 f(- 3) = ． E P D CB A 三、解答题：(本大题共 7 题,第 19--22 题,每题 10 分；第 23、24 题,每题 12 分;25 题 14 分;满分 78 分） 19.计算： 30345 2 45 tan-sintan . 20.如图，在正方形网格中，每一个小正方形的边长都是 1,已知向量 a 和b 的起点、终点都是小正方形的顶 点.请完成下列问题： （1）设： babam 4 1 2 1 3 1 43 ， baban 3 2 5 2 635 . 判断向量 nm、是否平行，说明理由； （2）在正方形网格中画出向量： ab 2 34 ，并写出 的模.（不需写出做法，只要写出哪个向量是所求向量）. 21.如图，等腰梯形 ABCD 中，AD//BC,AB=CD,AD=3,BC=7,∠B=45º, P 在 BC 边上，E 在 CD 边上，∠B=∠APE. （1）求等腰梯形的高； （2）求证：△ ABP∽△ PCE. x －2 －1 0 1 2 3 4 5 y 5 0 －3 －4 －3 0 5 12 D E O A C B D C M A B O y x 22.由于连日暴雨导致某路段积水，有一辆卡车驶入该积水路段。如图所示，已知这辆卡车的车轮外直径（包 含轮胎厚度）为 120 cm ，车轮入水部分的弧长约为其周长的 3 1 ，试计算该路段积水深度（假设路面水平）. 23. 如图，已知 Rt△ ABC 中， 90CBA ，⊙O 是 Rt△ ABC 的内切圆，其半径为 1，E、D 是切点， 105BOC . 求 AE 的长. 24. 在直角坐标平面中，已知点 A(10,0)和点 D(8,0)。点 C、B 在以 OA 为直径的⊙M 上，且四边形 OCBD 为 平行四边形. （1）求 C 点坐标； （2）求过 O、C、B 三点的抛物线解析式，并用配方法求出该抛物线的顶点坐标和对称轴； （3）判断：（2）中抛物线的顶点与⊙M 的位置关系，说明理由. Q C PB A 25.如图，已知 Rt△ ABC， 90B ，AB=8 cm，BC=6 cm，点 P 从 A 点出发，以 1cm/秒的速度沿 AB 向 B 点匀速运动，点 Q 从 A 点出发，以 x cm/秒的速度沿 AC 向 C 点匀速运动，且 P、Q 两点同时从 A 点出发， 设运动时间为 t 秒( 80 t ),联结 PQ。解答下列问题： （1）当 P 点运动到 AB 的中点时，若恰好 PQ//BC，求此时 x 的值; （2）求当 x 为何值时，△ ABC∽△ APQ ； （3）当△ ABC∽△ APQ 时，将△ APQ 沿 PQ 翻折，A 点落在 A’, 设△ A’PQ 与△ ABC 重叠部分的面积为 S， 写出 S 关于 t 的函数解析式及定义域. 2012 学年第一学期初三数学期终质量调研试卷参考答案 一 .选择题：（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1. 填空题：（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7、 2 ； 8、9 ； 9、 3 1 ； 10、 122 xxy ； 11、左 ； 12、45 ；13、3 ≤ d ≤ 5； 14、5:12 ；15、4 或 8 ； 16、 4 或 8 ； 17、 3 ；18、12 . 三．解答题： 19（10 分）解：原式= 32 2 2 1 - （6 分） = 12 2 2 2 - （2 分） = 12 - （2 分） 20（10 分）解：(1)（6 分） am （2 分） an 13 （2 分） m-n 13 mn// （2 分）. (2) （4 分） 图正确 （2 分） 54 2 3 a-b （2 分）. 21（10 分）(1)（5 分） 解：作 AF BC 于 F，作 DG BC 于 G. （1 分） 90DGCAFB 且 AF//DG 在△ABF 和△DCG 中 DCAB CB DGCAFB △ABF △DCG BF=CG AD//BC 且 AF//DG AFGD 是平行四边形 AD=FG AD=3,BC=7 BF=2 （2 分） 在 Rt△ABF 中，∠B=45º ∠BAF = 45º AF=BF =2 1 2 3 4 5 6 D B C A C D 等腰梯形的高为 2. （2 分） （2）（5 分） ABCD 是等腰梯形， CB （1 分） BAPBEPCAPEAPC 又 APEB EPCBAP （2 分） 在△ABP 和△PCE 中， EPCBAP CB △ABP∽△PCE . （2 分） 22. （10 分） 23. 解：设车轮与地面相切于点 E，联结 OE 与 CD 交于点 F,联结 OC. 设 nCOD （2 分） 弧 CD 等于⊙ O 周长的 3 1 即 dd 3 1 360 n n= 120 （2 分） 据题意得 OE CD 且 OE=OC=OD= 2 1 AB=60 cm OF 是 COD 的平分线 602 1 2 1 nCODFOD （2 分） 90ODFFOD 30ODF 在 Rt△OFD 中， 30ODOF 2 1 cm （2 分） FE= OE-OF =30 cm 积水深度 30 cm （2 分） 24. （12 分） 解: 联结 OD、OE. （1 分） OD=OE=1 O 是△ABC 的内切圆圆心 OB、OC 分别是 ABC、 ACB 的角平分线 即 ABCOBEOBD 2 1 且 ACBOCD 2 1 又 90CBA 45ACBOCD 2 1 （3 分） OD、OE 是过切点的半径 OD BC 且 OE AB 90CODOCD 45OCDCOD OD=CD=1 105COB 60COD-COBDOB 在 Rt△OBD 中 31 DB OD DBBODtan 3DB （4 分） 90BODOBD 30OBD 30ABCOBEDOB 2 1 60ABC BC=BD+CD=1+ 3 在 Rt△ABC 中 AB=2+2 3 在 Rt△OBE 中 OE=1 30OBE BE = 3 （3 分） AE= 2+ （1 分） 24.（12 分） 解: （1）（5 分） 联结 CM，作 ME CB 于 E。（1 分） M 是圆心 CB 是⊙M 的弦 CBEBCE 2 1 OA 是⊙M 的直径 且 A(10,0） OA=10 CM=OM= 2 1 OA=5 且 M(5,0） D(8,0） OD=8 OCBD 为平行四边形 CB=OD=8 4CBCE 2 1 在 Rt△CME 中 34-5CE-MCME 2222 （3 分） C（1,3） （1 分） （2）（5 分） OCBD 为平行四边形 CB//OA 又 CB=8 B(9,3) 据题意，设抛物线解析式为： ）（ 0 abxaxy 2 C、B 代入得 381 9ba 3ba 解得 3 10 3 1 b a xx-y 2 3 10 3 1 （2 分） 3 252 3 12 3 12 3 1 3 10 3 1 )5()252510()10 xxxxx- xx-y 2 （ （1 分） 顶点坐标（5， 3 25 ） 对称轴直线 x=5 （2 分） （3）（2 分）设抛物线顶点为 N NM= > 5 （1 分） 顶点 N 在⊙M 外。（1 分） 25（14 分） 三、 （3 分）设 AP= t AQ= xt ( 80 t ) AB=8 AP= 2 1 AB=4 即 t=4 （1 分） Rt△ABC， 90B ，AB=8 cm，BC=6 cm AC=10 cm （1 分） PQ//BC AC AQ AB AP 即 10 4 8 4 x 4 5x （1 分） 四、 （4 分） AA 当 AC AQ AB AP 时 108 xtt 4 5x （2 分） 当 AB AQ AC AP 时 810 xtt 5 4x （2 分） 当 或 时△ABC∽△APQ 五、 （7 分） （有分类讨论思想，得 1 分） 当 时 )8t4()4t( )4t0 2 2 3 2 8 3 （tS （3 分） （说明：2 个解析式各 1 分，定义域共 1 分） 当 时 )8t(tt )t0 4 25 7 600 7 1922 175 342 4 252 25 6 （tS （3 分） （说明：同上） 2013 年上海市宝山区中考数学一模试卷 （满分 150 分，考试时间 100 分钟） （2013.1） 一、选择题（本大题共 6 题，每题 4 分，满分 24 分） 1、 下列各式中，正确的是 （ ） A．sin20°+sin30°=sin50°； B．Sin60°=2sin30°； C．tan30°·tan60°=1； D．cos30°＜cos60°； 2、下列分式方程去分母后所得结果正确的是（ ） A． 11 2 1 1 x x x 去分母得， 1)2)(1(1 xxx ； B． 125 5 52 xx x 去分母得， 525 xx ； C． 24 2 2 2 2 x x x x x x 去分母得， )2(2)2( 2 xxxx ； D． 1 1 3 2 xx 去分母得， 3)1(2 xx ； 3、已知关于 x 的方程 022 kxx 没有实数根，则 k 的取值范围是（ ） A． 1k B． 1k C． 1k D． 1k 4、下列命题正确是（ ） A．长度相等的两个非零向量相等 B．平行向量一定在同一直线上 C．与零向量相等的向量必定是零向量 D．任意两个相等的非零向量的始点与终点是一平行四边形的四顶点 5、如图所示，在△ABC 中，DE∥AB∥FG，且 FG 到 DE，AB 的距离之比为 1:2，若△ABC 的面积为 32，△CDE 的面积为 2，则△CFG 的面积等于 （ ） A．6 B．8 C．10 D．12 6、一次函数 baxy 与二次函数 cbxaxy 2 在同一坐标系中的图像可能是（ ） A B C D 二、填空题（本大题共 12 题，每题 4 分，满分 48 分） 7、使 3x 有意义的 x 的取值范围是_____________. 8、不等式组 01 032 x x 的解集是_________________. 9、分解因式 baaba 332 =________________. 10、关于 x 的一元二次方程 04)2( 22 kxxk 的一个根为 0，则 k 的值是__________. 11、在平面直角坐标系中。把抛物线 12 2 xy 的图像向左平移 2 个单位，所得抛物线的解析式为 _____________. 12、已知代拿 A(x1,y1)，B(x2,y2)在函数 1)1( 2 xy 的图像上，若 x1>x2>1，则 y1_____y2. 13、在平面直角坐标系中，点 A 是抛物线 kxay 2)3( 与 y 轴的交点，点 B 是这条抛物线上得另一点， 且 AB∥x 轴，则以 AB 为边的等边三角形的周长为____________ 14、如图，正方形 ABCD 中，M 是边 BC 上一点，且 BM= 4 1 BC，若 aAB ， bAD ，则 DM _______（用 a 和b 表示） 15、某坡面的坡度为 1： 3 3 ，则坡角是_________度 16、如图，菱形 ABCD 中，点 E、F 在对角线 BD 上，BE=DF= 6 1 BD， 若四边形 AECF 为正方形，则 tan∠ABE=______________ 17、在实验中我们常常采用利用计算机在平面直角坐标系中画出抛物线 2xy 和直线 y=-x+3，利用两图像交点的横坐标来求一元二次方程 032 xx 的解，也可以在平面直角坐标系中画出抛物线 32 xy 和直线 y=-x，用它们交点的横坐标 来求该方程的解。所以求方程 036 2 xx 的近似解也可以利用熟悉的函数_________和__________的图 像交点的横坐标来求得。 18、如图在平面直角坐标系 xOy 中，多边形 OABCDE 的顶点坐标为 O（0,0）， A（2,0）， B（2,2）， C（4,2）， D（4,4）， E（0,4），若如图国电 M（1,2）的直线 MP（与 y 轴交于点 P）将多边形 OABCDE 分割成面积相 等的两部分，则直线 MP 的函数表达式是__________ 三、（本大题共 8 题，第 19-22 题每题 8 分，第 23、24 题每题 10 分，第 25 题 12 分，第 26 题 14 分，满分 78 分） 19、计算： 45cos-60sin 45tan)8 1(45sin218)3( 10 20、二次函数 mxxy 22 的图像与 x 轴的一个交点为 A（3,0），另一个交点为 B，且与 y 轴交于点 C （1）求 m 的值和点 B 的坐标 （2）求△ABC 的面积 21、将两块三角板如图放置，其中∠C=∠EDB=90°，∠A=45°，∠E=30°，AB=DE=12，求（1）重叠的 边 DF 的长度 （2）重叠部分四边形 DBCF 的面积 22、在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为 D，E、F 分别是 AC，BC 边上一点，且 CE= 4 1 AC， BF= 4 1 BC， （1）求证： BD CD BC AC （2）求∠EDF 的度数 23、如图，△ABC 中，∠ACB=90°，CD⊥AB 于点 D，E 是 AC 的中点，DE 的延长线交 BC 的延长线于 点 F，EF=5，∠B 的正切值为 2 1 （1）求证：△BDF∽△DCF；（ 2）求 BC 的长 24、在对口扶贫活动中，企业甲将经营状况良好的某消费品专卖店，以 188 万元的优惠价转让给了尚有 120 万无息贷款还没有偿还的小型福利企业乙，并约定从该店经营的利润中，首先保证企业乙的全体职工每月 最低生活费的开支 5.6 万元后，逐步偿还转让费（不计利息），维持乙企业的正常运转每月除职工最低生活 费外，还需其他开支 2.4 万元，从企业甲提供的相关资料中可知这种热门消费品的进价是每件 12 元：月销 售量 Q（万件）与销售单价 P（元）的关系如下表所示： 销售单价 P （元） …… 13 14 15 16 17 18 …… 月销量 Q（万 件） …… 7 6 5 4 3 2 …… （1） 试确定月销售量 Q（万件）与与销售单价 P（元）之间的函数关系式 （2） 当商品的销售单价为多少元时，扣除各类费用后的月利润余额最大？ （3） 企业乙依靠该店，能否在 3 年内脱贫（偿还所有债务）？ 25、在平面直角坐标系中，抛物线过原点 O，且与 x 轴交于另一点 A（A 在 O 右侧），顶点为 B。艾思轲同 学用一把宽 3cm 的矩形直尺对抛物线进行如下测量：（1）量得 OA=3cm，（ 2）当把直尺的左边与抛物线的 对称抽重合，使得直尺左下端点与抛物线的顶点重合时（如图 1），测得抛物线与直尺右边的交点 C 的刻度 读数为 4.5cm 艾思轲同学将 A 的坐标记作（3,0），然后利用上述结论尝试完成下列各题： （1）写出抛物线的对称轴 （2）求出该抛物线的解析式 （3）探究抛物线的对称轴上是否存在使△ACD 周长最小的点 D （4）然后又将图中的直尺（足够长）沿水平方向向右平移到点 A 的右边（如图 2），直尺的两边交 x 轴于 点 H，G，交抛物线于 E，F，探究梯形 EFGH 的面积 S 与线段 EF 的长度是否存在函数关系。 同学：如上述（3）（ 4）结论存在，请你帮艾思轲同学一起完成，如上述（3）（ 4）结论不存在，请你告诉 艾思轲同学结论不存在的理由 26、已知∠AOB=90°，OM 是∠AOB 的平分线，将一个直角三角板的直角顶点 P 放在射线 OM 上，OP=m （m 为常数且 m 0），移动直角三角板，两边分别交射线 OA，OB 与点 C，D （1）如图，当点 C、D 都不与点 O 重合时，求证 PC=PD （2）联结 CD，交 OM 于 E，设 CD=x，PE=y，求 y 与 x 之间的函数关系式 （3）若三角板的一条直角边与射线 OB 交于点 D，另一直角边与直线 OA，直线 OB 分别交于点 C，F，且 △PDF 与△OCD 相似，求 OD 的长 2013 年上海市宝山区中考数学一模试卷参考答案 一、选择题：C D A C B C 二、填空题： 7. x>3 8. -1查看更多