2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷

‎2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3.00分）﹣的绝对值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．（3.00分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．（m+n）2=m2+n2 B．（mn）3=m3n3 C．（m3）2=m5 D．m•m2=m2‎ ‎3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．（3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）‎ A．3 B．3 C．6 D．9‎ ‎6．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+‎ ‎3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3‎ ‎7．（3.00分）方程=的解为（　　）‎ A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1‎ ‎8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎9．（3.00分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎10．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3.00分）将数920000000科学记数法表示为　 　．‎ ‎12．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是　 　．‎ ‎13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是　 　‎ ‎14．（3.00分）不等式组的解集为　 　．‎ ‎15．（3.00分）计算6﹣10的结果是　 　．‎ ‎16．（3.00分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为　 　．‎ ‎17．（3.00分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　 　．‎ ‎18．（3.00分）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是　 　cm2．‎ ‎19．（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　 　．‎ ‎20．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)‎ ‎21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．‎ ‎22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．‎ ‎23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？‎ ‎24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．‎ ‎（1）如图1，求证：AD=CD；‎ ‎（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．‎ ‎25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．‎ ‎（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；‎ ‎（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？‎ ‎26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．‎ ‎（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；‎ ‎（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．‎ ‎27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．‎ ‎（1）如图1，求点A的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AC，点P为△ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．‎ ‎　‎ ‎2018年黑龙江省哈尔滨市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（每小题3分，共计30分）‎ ‎1．（3.00分）﹣的绝对值是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】计算绝对值要根据绝对值的定义求解，第一步列出绝对值的表达式，第二步根据绝对值定义去掉这个绝对值的符号．‎ ‎【解答】解：||=，‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎2．（3.00分）下列运算一定正确的是（　　）‎ A．（m+n）2=m2+n2 B．（mn）3=m3n3 C．（m3）2=m5 D．m•m2=m2‎ ‎【分析】直接利用完全平方公式以及积的乘方运算法则、同底数幂的乘除运算法则分别计算得出答案．‎ ‎【解答】解：A、（m+n）2=m2+2mn+n2，故此选项错误；‎ B、（mn）3=m3n3，正确；‎ C、（m3）2=m6，故此选项错误；‎ D、m•m2=m3，故此选项错误；‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．（3.00分）下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】观察四个选项中的图形，找出既是轴对称图形又是中心对称图形的那个即可得出结论．‎ ‎【解答】解：A、此图形既不是轴对称图形也不是中心对称图形，此选项不符合题意；‎ B、此图形不是轴对称图形，是中心对称图形，此选项不符合题意；‎ C、此图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，此选项符合题意；‎ D、此图形是轴对称图形，但不是中心对称图形，此选项不符合题意；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．（3.00分）六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，其俯视图是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】俯视图有3列，从左到右正方形个数分别是2，1，2．‎ ‎【解答】解：俯视图从左到右分别是2，1，2个正方形．‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎5．（3.00分）如图，点P为⊙O外一点，PA为⊙O的切线，A为切点，PO交⊙O于点B，∠P=30°，OB=3，则线段BP的长为（　　）‎ A．3 B．3 C．6 D．9‎ ‎【分析】直接利用切线的性质得出∠OAP=90°，进而利用直角三角形的性质得出OP的长．‎ ‎【解答】解：连接OA，‎ ‎∵PA为⊙O的切线，‎ ‎∴∠OAP=90°，‎ ‎∵∠P=30°，OB=3，‎ ‎∴AO=3，则OP=6，‎ 故BP=6﹣3=3．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．（3.00分）将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移2个单位长度，所得到的抛物线为（　　）‎ A．y=﹣5（x+1）2﹣1 B．y=﹣5（x﹣1）2﹣1 C．y=﹣5（x+1）2+3 D．y=﹣5（x﹣1）2+3‎ ‎【分析】直接利用二次函数图象与几何变换的性质分别平移得出答案．‎ ‎【解答】解：将抛物线y=﹣5x2+1向左平移1个单位长度，得到y=﹣5（x+1）2+1，再向下平移2个单位长度，‎ 所得到的抛物线为：y=﹣5（x+1）2﹣1．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．（3.00分）方程=的解为（　　）‎ A．x=﹣1 B．x=0 C．x= D．x=1‎ ‎【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．‎ ‎【解答】解：去分母得：x+3=4x，‎ 解得：x=1，‎ 经检验x=1是分式方程的解，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎8．（3.00分）如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，BD=8，tan∠ABD=，则线段AB的长为（　　）‎ A． B．2 C．5 D．10‎ ‎【分析】根据菱形的性质得出AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，求出OB，解直角三角形求出AO，根据勾股定理求出AB即可．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AC⊥BD，AO=CO，OB=OD，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵BD=8，‎ ‎∴OB=4，‎ ‎∵tan∠ABD==，‎ ‎∴AO=3，‎ 在Rt△AOB中，由勾股定理得：AB===5，‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．（3.00分）已知反比例函数y=的图象经过点（1，1），则k的值为（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎【分析】把点的坐标代入函数解析式得出方程，求出方程的解即可．‎ ‎【解答】解：∵反比例函数y=的图象经过点（1，1），‎ ‎∴代入得：2k﹣3=1×1，‎ 解得：k=2，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎10．（3.00分）如图，在△ABC中，点D在BC边上，连接AD，点G在线段AD上，GE∥BD，且交AB于点E，GF∥AC，且交CD于点F，则下列结论一定正确的是（　　）‎ A．= B．= C．= D．=‎ ‎【分析】由GE∥BD、GF∥AC可得出△AEG∽△ABD、△DFG∽△DCA，根据相似三角形的性质即可找出==，此题得解．‎ ‎【解答】解：∵GE∥BD，GF∥AC，‎ ‎∴△AEG∽△ABD，△DFG∽△DCA，‎ ‎∴=，=，‎ ‎∴==．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每小题3分，共计30分）‎ ‎11．（3.00分）将数920000000科学记数法表示为　9.2×108　．‎ ‎【分析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．‎ ‎【解答】解：920000000用科学记数法表示为9.2×108，‎ 故答案为；9.2×108‎ ‎　‎ ‎12．（3.00分）函数y=中，自变量x的取值范围是　x≠4　．‎ ‎【分析】根据分式分母不为0列出不等式，解不等式即可．‎ ‎【解答】解：由题意得，x﹣4≠0，‎ 解得，x≠4，‎ 故答案为：x≠4．‎ ‎　‎ ‎13．（3.00分）把多项式x3﹣25x分解因式的结果是　x（x+5）（x﹣5）　‎ ‎【分析】首先提取公因式x，再利用平方差公式分解因式即可．‎ ‎【解答】解：x3﹣25x ‎=x（x2﹣25）‎ ‎=x（x+5）（x﹣5）．‎ 故答案为：x（x+5）（x﹣5）．‎ ‎　‎ ‎14．（3.00分）不等式组的解集为　3≤x＜4　．‎ ‎【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集即可．‎ ‎【解答】解：‎ ‎∵解不等式①得：x≥3，‎ 解不等式②得：x＜4，‎ ‎∴不等式组的解集为3≤x＜4，‎ 故答案为；3≤x＜4．‎ ‎　‎ ‎15．（3.00分）计算6﹣10的结果是　4　．‎ ‎【分析】首先化简，然后再合并同类二次根式即可．‎ ‎【解答】解：原式=6﹣10×=6﹣2=4，‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ ‎16．（3.00分）抛物线y=2（x+2）2+4的顶点坐标为　（﹣2，4）　．‎ ‎【分析】根据题目中二次函数的顶点式可以直接写出它的顶点坐标．‎ ‎【解答】解：∵y=2（x+2）2+4，‎ ‎∴该抛物线的顶点坐标是（﹣2，4），‎ 故答案为：（﹣2，4）．‎ ‎　‎ ‎17．（3.00分）一枚质地均匀的正方体骰子，骰子的六个面上分别刻有1到6的点数，张兵同学掷一次骰子，骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是　　．‎ ‎【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．‎ ‎【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的有3，6，‎ 故骰子向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是：=．‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎18．（3.00分）一个扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，则此扇形的面积是　6π　cm2．‎ ‎【分析】先求出扇形对应的圆的半径，再根据扇形的面积公式求出面积即可．‎ ‎【解答】解：设扇形的半径为Rcm，‎ ‎∵扇形的圆心角为135°，弧长为3πcm，‎ ‎∴=3π，‎ 解得：R=4，‎ 所以此扇形的面积为=6π（cm2），‎ 故答案为：6π．‎ ‎　‎ ‎19．（3.00分）在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，点D在BC边上，连接AD，若△ABD为直角三角形，则∠ADC的度数为　130°或90°　．‎ ‎【分析】根据题意可以求得∠B和∠‎ C的度数，然后根据分类讨论的数学思想即可求得∠ADC的度数．‎ ‎【解答】解：∵在△ABC中，AB=AC，∠BAC=100°，‎ ‎∴∠B=∠C=40°，‎ ‎∵点D在BC边上，△ABD为直角三角形，‎ ‎∴当∠BAD=90°时，则∠ADB=50°，‎ ‎∴∠ADC=130°，‎ 当∠ADB=90°时，则 ‎∠ADC=90°，‎ 故答案为：130°或90°．‎ ‎　‎ ‎20．（3.00分）如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，AB=OB，点E、点F分别是OA、OD的中点，连接EF，∠CEF=45°，EM⊥BC于点M，EM交BD于点N，FN=，则线段BC的长为　4　．‎ ‎【分析】设EF=x，根据三角形的中位线定理表示AD=2x，AD∥EF，可得∠CAD=∠CEF=45°，证明△EMC是等腰直角三角形，则∠CEM=45°，证明△ENF≌△MNB，则EN=MN=x，BN=FN=，最后利用勾股定理计算x的值，可得BC的长．‎ ‎【解答】解：设EF=x，‎ ‎∵点E、点F分别是OA、OD的中点，‎ ‎∴EF是△OAD的中位线，‎ ‎∴AD=2x，AD∥EF，‎ ‎∴∠CAD=∠CEF=45°，‎ ‎∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，AD=BC=2x，‎ ‎∴∠ACB=∠CAD=45°，‎ ‎∵EM⊥BC，‎ ‎∴∠EMC=90°，‎ ‎∴△EMC是等腰直角三角形，‎ ‎∴∠CEM=45°，‎ 连接BE，‎ ‎∵AB=OB，AE=OE ‎∴BE⊥AO ‎∴∠BEM=45°，‎ ‎∴BM=EM=MC=x，‎ ‎∴BM=FE，‎ 易得△ENF≌△MNB，‎ ‎∴EN=MN=x，BN=FN=，‎ Rt△BNM中，由勾股定理得：BN2=BM2+MN2，‎ ‎∴，‎ x=2或﹣2（舍），‎ ‎∴BC=2x=4．‎ 故答案为：4．‎ ‎　‎ 三、解答题（其中21-22题各7分，23-24题各8分，25-27题各10分，共计60分)‎ ‎21．（7.00分）先化简，再求代数式（1﹣）÷的值，其中a=4cos30°+3tan45°．‎ ‎【分析】根据分式的运算法则即可求出答案，‎ ‎【解答】解：当a=4cos30°+3tan45°时，‎ 所以a=2+3‎ 原式=•‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎　‎ ‎22．（7.00分）如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．‎ ‎（1）在图中画出以线段AB为一边的矩形ABCD（不是正方形），且点C和点D均在小正方形的顶点上；‎ ‎（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为2的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接CE，请直接写出线段CE的长．‎ ‎【分析】（1）利用数形结合的思想解决问题即可；‎ ‎（2）利用数形结合的思想解决问题即可；‎ ‎【解答】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；‎ ‎（2）如图△ABE即为所求，CE=4．‎ ‎　‎ ‎23．（8.00分）为使中华传统文化教育更具有实效性，军宁中学开展以“我最喜爱的传统文化种类”为主题的调查活动，围绕“在诗词、国画、对联、书法、戏曲五种传统文化中，你最喜爱哪一种？（必选且只选一种）”的问题，在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图，请你根据图中提供的信息回答下列问题：‎ ‎（1）本次调查共抽取了多少名学生？‎ ‎（2）通过计算补全条形统计图；‎ ‎（3）若军宁中学共有960名学生，请你估计该中学最喜爱国画的学生有多少名？‎ ‎【分析】（1）由“诗词”的人数及其所占百分比可得总人数；‎ ‎（2）总人数减去其他种类的人数求得“书法”的人数即可补全条形图；‎ ‎（3）用总人数乘以样本中“国画”人数所占比例．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为24÷20%=120人；‎ ‎（2）“书法”类人数为120﹣（24+40+16+8）=32人，‎ 补全图形如下：‎ ‎（3）估计该中学最喜爱国画的学生有960×=320人．‎ ‎　‎ ‎24．（8.00分）已知：在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点E，且AC⊥‎ BD，作BF⊥CD，垂足为点F，BF与AC交于点C，∠BGE=∠ADE．‎ ‎（1）如图1，求证：AD=CD；‎ ‎（2）如图2，BH是△ABE的中线，若AE=2DE，DE=EG，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四个三角形，使写出的每个三角形的面积都等于△ADE面积的2倍．‎ ‎【分析】（1）由AC⊥BD、BF⊥CD知∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，根据∠BGE=∠ADE=∠CGF得出∠DAE=∠GCF即可得；‎ ‎（2）设DE=a，先得出AE=2DE=2a、EG=DE=a、AH=HE=a、CE=AE=2a，据此知S△ADC=2a2=2S△ADE，证△ADE≌△BGE得BE=AE=2a，再分别求出S△ABE、S△ACE、S△BHG，从而得出答案．‎ ‎【解答】解：（1）∵∠BGE=∠ADE，∠BGE=∠CGF，‎ ‎∴∠ADE=∠CGF，‎ ‎∵AC⊥BD、BF⊥CD，‎ ‎∴∠ADE+∠DAE=∠CGF+∠GCF，‎ ‎∴∠DAE=∠GCF，‎ ‎∴AD=CD；‎ ‎（2）设DE=a，‎ 则AE=2DE=2a，EG=DE=a，‎ ‎∴S△ADE=AE•DE=•2a•a=a2，‎ ‎∵BH是△ABE的中线，‎ ‎∴AH=HE=a，‎ ‎∵AD=CD、AC⊥BD，‎ ‎∴CE=AE=2a，‎ 则S△ADC=AC•DE=•（2a+2a）•a=2a2=2S△ADE；‎ 在△ADE和△BGE中，‎ ‎∵，‎ ‎∴△ADE≌△BGE（ASA），‎ ‎∴BE=AE=2a，‎ ‎∴S△ABE=AE•BE=•（2a）•2a=2a2，‎ S△ACE=CE•BE=•（2a）•2a=2a2，‎ S△BHG=HG•BE=•（a+a）•2a=2a2，‎ 综上，面积等于△ADE面积的2倍的三角形有△ACD、△ABE、△BCE、△BHG．‎ ‎　‎ ‎25．（10.00分）春平中学要为学校科技活动小组提供实验器材，计划购买A型、B型两种型号的放大镜．若购买8个A型放大镜和5个B型放大镜需用220元；若购买4个A型放大镜和6个B型放大镜需用152元．‎ ‎（1）求每个A型放大镜和每个B型放大镜各多少元；‎ ‎（2）春平中学决定购买A型放大镜和B型放大镜共75个，总费用不超过1180元，那么最多可以购买多少个A型放大镜？‎ ‎【分析】（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，列出方程组即可解决问题；‎ ‎（2）由题意列出不等式求出即可解决问题．‎ ‎【解答】解：（1）设每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为x元，y元，可得：，‎ 解得：，‎ 答：每个A型放大镜和每个B型放大镜分别为20元，12元；‎ ‎（2）设购买A型放大镜m个，根据题意可得：20a+12×（75﹣a）≤1180，‎ 解得：x≤35，‎ 答：最多可以购买35个A型放大镜．‎ ‎　‎ ‎26．（10.00分）已知：⊙O是正方形ABCD的外接圆，点E在上，连接BE、DE，点F在上连接BF、DF，BF与DE、DA分别交于点G、点H，且DA平分∠EDF．‎ ‎（1）如图1，求证：∠CBE=∠DHG；‎ ‎（2）如图2，在线段AH上取一点N（点N不与点A、点H重合），连接BN交DE于点L，过点H作HK∥BN交DE于点K，过点E作EP⊥BN，垂足为点P，当BP=HF时，求证：BE=HK；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当3HF=2DF时，延长EP交⊙O于点R，连接BR，若△BER的面积与△DHK的面积的差为，求线段BR的长．‎ ‎【分析】（1）由正方形的四个角都为直角，得到两个角为直角，再利用同弧所对的圆周角相等及角平分线定义，等量代换即可得证；‎ ‎（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，根据题意确定出△BEP≌△HKM，利用全等三角形对应边相等即可得证；‎ ‎（3）根据3HF=2DF，设出HF=2a，DF=3a，由角平分线定义得到一对角相等，进而得到正切值相等，表示出DM=3a，利用正方形的性质得到△BED≌△DFB，得到BE=DF=3a，过H作HS⊥BD，垂足为S，根据△BER的面积与△DHK的面积的差为，求出a的值，即可确定出BR的长．‎ ‎【解答】（1）证明：如图1，‎ ‎∵四边形ABCD是正方形，‎ ‎∴∠A=∠ABC=90°，‎ ‎∵∠F=∠A=90°，‎ ‎∴∠F=∠ABC，‎ ‎∵DA平分∠EDF，‎ ‎∴∠ADE=∠ADF，‎ ‎∵∠ABE=∠ADE，‎ ‎∴∠ABE=∠ADF，‎ ‎∵∠CBE=∠ABC+∠ABE，∠DHG=∠F+∠ADF，‎ ‎∴∠CBE=∠DHG；‎ ‎（2）如图2，过H作HM⊥KD，垂足为点M，‎ ‎∵∠F=90°，‎ ‎∴HF⊥FD，‎ ‎∵DA平分∠EDF，‎ ‎∴HM=FH，‎ ‎∵FH=BP，‎ ‎∴HN=BP，‎ ‎∵KH∥BN，‎ ‎∴∠DKH=∠DLN，‎ ‎∴∠ELP=∠DLN，‎ ‎∴∠DKH=∠ELP，‎ ‎∵∠BED=∠A=90°，‎ ‎∴∠BEP+∠LEP=90°，‎ ‎∵EP⊥BN，‎ ‎∴∠BPE=∠EPL=90°，‎ ‎∴∠LEP+∠ELP=90°，‎ ‎∴∠BEP=∠ELP=∠DKH，‎ ‎∵HM⊥KD，‎ ‎∴∠KMH=∠BPE=90°，‎ ‎∴△BEP≌△HKM，‎ ‎∴BE=HK；‎ ‎（3）解：如图3，连接BD，‎ ‎∵3HF=2DF，BP=FH，‎ ‎∴设HF=2a，DF=3a，‎ ‎∴BP=FH=2a，‎ 由（2）得：HM=BP，∠HMD=90°，‎ ‎∵∠F=∠A=90°，‎ ‎∴tan∠HDM=tan∠FDH，‎ ‎∴==，‎ ‎∴DM=3a，‎ ‎∵四边形ABCD为正方形，‎ ‎∴AB=AD，‎ ‎∴∠ABD=∠ADB=45°，‎ ‎∵∠ABF=∠ADF=∠ADE，∠DBF=45°﹣∠ABF，∠BDE=45°﹣∠ADE，‎ ‎∴∠DBF=∠BDE，‎ ‎∵∠BED=∠F，BD=BD，‎ ‎∴△BED≌△DFB，‎ ‎∴BE=FD=3a，‎ 过H作HS⊥BD，垂足为S，‎ ‎∵tan∠ABH=tan∠ADE==，‎ ‎∴设AB=3m，AH=2m，‎ ‎∴BD=AB=6m，DH=AD﹣AH=m，‎ ‎∵sin∠ADB==，‎ ‎∴HS=m，‎ ‎∴DS==m，‎ ‎∴BS=BD﹣DS=5m，‎ ‎∴tan∠BDE=tan∠DBF==，‎ ‎∵∠BDE=∠BRE，∴tanBRE==，‎ ‎∵BP=FH=2a，‎ ‎∴RP=10a，‎ 在ER上截取ET=DK，连接BT，由（2）得：∠BEP=∠HKD，‎ ‎∴△BET≌△HKD，‎ ‎∴∠BTE=∠KDH，‎ ‎∴tan∠BTE=tan∠KDH，‎ ‎∴=，即PT=3a，‎ ‎∴TR=RP﹣PT=7a，‎ ‎∵S△BER﹣S△DHK=，‎ ‎∴BP•ER﹣HM•DK=，‎ ‎∴BP•（ER﹣DK）=BP•（ER﹣ET）=，‎ ‎∴×2a×7a=，‎ 解得：a=（负值舍去），‎ ‎∴BP=1，PR=5，‎ 则BR==．‎ ‎　‎ ‎27．（10.00分）已知：在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点A在x轴的负半轴上，直线y=﹣x+与x轴、y轴分别交于B、C两点，四边形ABCD为菱形．‎ ‎（1）如图1，求点A的坐标；‎ ‎（2）如图2，连接AC，点P为△‎ ACD内一点，连接AP、BP，BP与AC交于点G，且∠APB=60°，点E在线段AP上，点F在线段BP上，且BF=AE，连接AF、EF，若∠AFE=30°，求AF2+EF2的值；‎ ‎（3）如图3，在（2）的条件下，当PE=AE时，求点P的坐标．‎ ‎【分析】（1）利用勾股定理求出BC的长即可解决问题；‎ ‎（2）如图2中，连接CE、CF．想办法证明△CEF是等边三角形，AF⊥CF即可解决问题；‎ ‎（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．想办法证明△APF是等边三角形，AT⊥PB即可解决问题；‎ ‎【解答】解：（1）如图1中，‎ ‎∵y=﹣x+，‎ ‎∴B（，0），C（0，），‎ ‎∴BO=，OC=，‎ 在Rt△OBC中，BC==7，‎ ‎∵四边形ABCD是菱形，‎ ‎∴AB=BC=7，‎ ‎∴OA=AB﹣OB=7﹣=，‎ ‎∴A（﹣，0）．‎ ‎（2）如图2中，连接CE、CF．‎ ‎∵OA=OB，CO⊥AB，‎ ‎∴AC=BC=7，‎ ‎∴AB=BC=AC，‎ ‎∴△ABC是等边三角形，‎ ‎∴∠ACB=60°，‎ ‎∵∠APB=60°，‎ ‎∴∠APB=∠ACB，‎ ‎∵∠PAG+∠APB=∠AGB=∠CBG+∠ACB，‎ ‎∴∠PAG=∠CBG，∵AE=BF，‎ ‎∴△ACE≌△BCF，‎ ‎∴CE=CF，∠ACE=∠BCF，‎ ‎∴∠ECF=∠ACF+∠ACE=∠ACF+∠BCF=∠ACB=60°，‎ ‎∴△CEF是等边三角形，‎ ‎∴∠CFE=60°，EF=FC，‎ ‎∵∠AFE=30°，‎ ‎∴∠AFC=∠AFE+∠CFE=90°，‎ 在Rt△ACF中，AF2+CF2=AC2=49，‎ ‎∴AF2+EF2=49．‎ ‎（3）如图3中，延长CE交FA的延长线于H，作PQ⊥AB于Q，PK⊥OC于K，在BP设截取BT=PA，连接AT、CT、CF、PC．‎ ‎∵△CEF是等边三角形，‎ ‎∴∠CEF=60°，EC=CF，‎ ‎∵∠AFE=30°，∠CEF=∠H+∠EFH，‎ ‎∴∠H=∠CEF﹣∠EFH=30°，‎ ‎∴∠H=∠EFH，‎ ‎∴EH=EF，‎ ‎∴EC=EH，‎ ‎∵PE=AE，∠PEC=∠AEH，‎ ‎∴△CPE≌△HAE，‎ ‎∴∠PCE=∠H，‎ ‎∴PC∥FH，‎ ‎∵∠CAP=∠CBT，AC=BC，‎ ‎∴△ACP≌△BCT，‎ ‎∴CP=CT，∠ACP=∠BCT，‎ ‎∴∠PCT=∠ACB=60°，‎ ‎∴△CPT是等边三角形，‎ ‎∴CT=PT，∠CPT=∠CTP=60°，‎ ‎∵CP∥FH，‎ ‎∴∠HFP=∠CPT=60°，‎ ‎∵∠APB=60°，‎ ‎∴△APF是等边三角形，‎ ‎∴∠CFP=∠AFC﹣∠∠AFP=30°，‎ ‎∴∠TCF=∠CTP﹣∠TFC=30°，‎ ‎∴∠TCF=∠TFC，‎ ‎∴TF=TC=TP，‎ ‎∴AT⊥PF，设 BF=m，则AE=PE=m，‎ ‎∴PF=AP=2m，TF=TP=m，TB=2m，BP=3m，‎ 在Rt△APT中，AT==m，‎ 在Rt△ABT中，∵AT2+TB2=AB2，‎ ‎∴（m）2+（2m）2=72，‎ 解得m=或﹣（舍弃），‎ ‎∴BF=，AT=，BP=3，sin∠ABT==，‎ ‎∵OK=PQ=BP•sin∠PBQ=3×=3，BQ==6，‎ ‎∴OQ=BQ﹣BO=6﹣=，‎ ‎∴P（﹣，3）‎ ‎　‎