闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试

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闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试 数 学 试 卷 ‎（考试时间100分钟，满分150分）[来源:Zxxk.Com]‎ 考生注意：‎ ‎1．本试卷含三个大题，共25题．‎ ‎2．答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本试卷上答 ‎ 题一律无效．‎ ‎3．除第一、二大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证 ‎ 明或计算的主要步骤．[来源:Z§xx§k.Com]‎ 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎【下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，请选择正确选项的代号并填涂在答题纸的相应位置上】‎ ‎1．下列计算正确的是 ‎（A）； （B）；‎ ‎（C）； （D）．‎ ‎2．已知：a、b、c为任意实数，且a > b，那么下列结论一定正确的是 ‎（A）； （B）；‎ ‎（C）； （D）．‎ ‎3．点P（-1，3）关于原点中心对称的点的坐标是 ‎（A）（-1，-3）； （B）（1，-3）； （C）（1，3）； （D）（3，-1）．‎ ‎4．如果一组数据，，…，的方差，那么下列结论一定正确的是 ‎（A）这组数据的平均数； （B）；‎ ‎（C）； （D）．‎ ‎5．在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，那么依次连结四边形ABCD各边中点所得的 四边形一定是 ‎ （A）菱形； （B）矩形； （C）正方形； （D）平行四边形．‎ ‎6．一个正多边形绕它的中心旋转36°后，就与原正多边形第一次重合，那么这个正多边形 ‎（A）是轴对称图形，但不是中心对称图形；‎ ‎（B）是中心对称图形，但不是轴对称图形；‎ ‎（C）既是轴对称图形，又是中心对称图形；‎ ‎（D）既不是轴对称图形，也不是中心对称图形．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）‎ ‎【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】‎ ‎7．计算： ▲ .[来源:学_科_网Z_X_X_K]‎ ‎8．在实数范围内分解因式： ▲ .‎ ‎9．不等式的解集是 ▲ .‎ ‎10．已知x = 1是一元二次方程的一个实数根，那么a +b = ▲ . ‎ ‎11．已知函数，那么 ▲ .‎ ‎12．已知一次函数的图像经过点A（1，-5），且与直线平行，那么该一次函数的解析式为 ▲ .‎ ‎13．二次函数的图像在对称轴的左侧是 ▲ .（填“上升”或“下降”）‎ A B C ‎(第15题图)‎ ‎14．从1、2、3、4、5、6、7、8这八个数中，任意抽取一个数，‎ 那么抽得的数是素数的概率是 ▲ ．‎ ‎15．如图，在△ABC中， ▲ .‎ ‎16．已知：在△ABC中，点D、E分别在边AB、BC上，DE // AC， ‎ ‎，DE = 4，那么边AC的长为 ▲ ．‎ ‎17．已知⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，如果⊙O1、⊙O2的半径分别为10厘米和17厘米，公共弦AB的长为16厘米，那么这两圆的圆心距O1O2的长为 ▲ 厘米．‎ ‎（第18题图）‎ ‎18．如图，把一个面积为1的正方形等分成两个面积为的矩形，接着把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，再把其中一个面积为的矩形等分成两个面积为的矩形，如此进行下去，试利用图形所揭示的规律计算：‎ ‎ ▲ ．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．（本题满分10分）‎ 先化简，再求值：，其中．‎ ‎20．（本题满分10分）‎ 解方程组：‎ A B C E ‎（第21题图）‎ D ‎21．（本题共2小题，每小题5分，满分10分）‎ 已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，AD平分∠BAC，DE⊥AB，垂足为点E，AE = 16，．‎ 求：（1）BC的长；‎ ‎（2）求∠ADE的正切值．‎ ‎22．（本题共3小题，第（1）、（2）每小题3分，第（3）小题4分，满分10分）‎ ‎60.5‎ ‎90.5‎ ‎120.5‎ ‎150.5‎ ‎180.5‎ ‎210.5‎ 时间（分钟）‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎2‎ ‎7‎ 人数 ‎（第22题图）‎ 某研究性学习小组，为了了解本校九年级学生一天中做家庭作业所用的大致时间（时间以整数记．单位：分钟），对该年级学生做了抽样调查，并把调查得到的所有数据（时间）进行整理，分成五个时间段，绘制成统计图（如图所示），请结合统计图中提供的信息，回答下列问题：‎ ‎（1）这个研究性学习小组所抽取样本的容量是多少？‎ ‎（2）在被调查的学生中，一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟（不包括150分钟）的人数占被调查学生总人数的百分之几？‎ ‎（3）如果该校九年级学生共有200名，那么估计该校九年级学生一天做家庭作业所用时间不超过120分钟的学生约有多少人？‎ ‎23．（本题共2小题，每小题6分，满分12分）‎ A B D C E F ‎（第23题图）‎ 已知：如图，在梯形ABCD中，AD // BC，点E、F在边BC上，DE // AB，AF // CD，且四边形AEFD是平行四边形．[来源:学+科+网Z+X+X+K]‎ ‎（1）试判断线段AD与BC的长度之间有怎样的数量关系？并证明你的结论；‎ ‎（2）现有三个论断：①AD = AB；②∠B +∠C ‎= 90°；③∠B = 2∠C．请从上述三个论断中选择一个论断作为条件，证明四边形AEFD是菱形．‎ ‎24．（本题共3小题，每小题4分，满分12分）‎ 已知：如图，抛物线与x轴的负半轴相交于点A，与y轴相交于点B（0，3），且∠OAB的余切值为．‎ x y O A B ‎（第24题图）‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出顶点D的坐标；‎ ‎（2）设该抛物线的对称轴为直线l，点B关于直线l的对称点为C，BC与直线l相交于点E．点P在直线l上，如果点D是△PBC的重心，求点P的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，将（1）所求得的抛物线沿y轴向上或向下平移后顶点为点P ‎，写出平移后抛物线的表达式．点M在平移后的抛物线上，且△MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，求点M的坐标．‎ ‎25．（本题共3小题，第（1）小题4分，第（2）、（3）小题每小题5分，满分14分）‎ 已知：如图，AB⊥BC，AD // BC， AB = 3，AD = 2．点P在线段AB上，联结PD，过点D作PD的垂线，与BC相交于点C．设线段AP的长为x．‎ ‎（1）当AP = AD时，求线段PC的长；‎ ‎（2）设△PDC的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；‎ ‎（3）当△APD∽△DPC时，求线段BC的长．‎ A B C D P ‎（第25题图）‎ A B C D ‎（备用图）‎ 闵行区2011学年第二学期九年级质量调研考试数学试卷 参考答案及评分标准 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）‎ ‎1．D； 2．A； 3．B； 4．B； 5．A； 6．C．‎ 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分）[来源:学.科.网]‎ ‎7．4； 8．； 9．； 10．-3； 11．； 12．；‎ ‎13．上升； 14．； 15．； 16．6； 17．9或21； 18．．‎ 三、解答题：（本大题共7题，满分78分）‎ ‎19．解：原式………………………………………………（3分）‎ ‎．…………………………………………………………………（2分）‎ 当时，‎ 原式…………………………………………………………………（3分）‎ ‎．……………………………………………………………（2分）‎ ‎20．解：由① 得 ． ③ ………………………………(2分)‎ 把③ 代入②，得 ．‎ 整理后，得 ．………………………………………………（2分）‎ 解得 ，．………………………………………………………（2分）‎ 由 ，得 ． …………………………………………（1分）‎ 由 ，得 ．………………………………………（1分）‎ 所以，原方程组的解是 ………………………………（2分）‎ ‎21．解：（1）由∠ACB = 90°，可知 AC⊥CD．‎ 于是，由 AD平分∠BAC，DE⊥AB，‎ 得 AC = AE = 16．……………………………………………………（2分）‎ 在Rt△ABC中，由 ，‎ 得 AB = 20．……………………………………………………………（1分）‎ 利用勾股定理，得 ．‎ ‎∴ BC = 12．……………………………………………………………（2分）‎ ‎（2）∵ AB = 20，AE = 16，∴ BE = 4．‎ 由 DE⊥AB，得 ∠DEB = 90°．‎ 即得 ∠DEB =∠ACB = 90°．‎ 又∵ ∠DBE =∠ABC，∴ △DBE∽△ABC．……………………（2分）‎ ‎∴ ．‎ 即得 ．解得 ．…………………………………（1分）‎ Rt△ADE中，．‎ ‎∴ ．……………………………………………………（2分）‎ ‎ ‎ ‎22．解：（1）根据题意，得 ．………………………………（2分）‎ 答：这个研究性学习小组所抽取样本的容量为30．…………………（1分）‎ ‎（2）根据题意，得 （人）．……………………………………（1分）‎ 所以 ．………………………………………………（1分）‎ 答：一天做家庭作业所用的大致时间超过150分钟的人数占被调查学生总人数的40%．……………………………………………………………（1分）‎ ‎（3）设一天做家庭作业所用的时间少于120分钟的学生约有x人．‎ 根据题意，得 ．…………………………………………（2分）‎ 解得 ．…………………………………………………………（1分）‎ 答：估计一天做家庭作业所用时间少于120分钟的学生约有60人．（1分）‎ ‎23．（1）解：线段AD与BC的长度之间的数量为：．…………………（1分）‎ 证明：∵ AD // BC，DE // AB，∴ 四边形ABED是平行四边形．‎ ‎ ∴ AD = BE．………………………………………………………（2分）‎ 同理可证，四边形AFCD是平行四边形．即得 AD = FC．……（1分）‎ 又∵ 四边形AEFD是平行四边形，∴ AD = EF．……………（1分）‎ ‎∴ AD = BE = EF = FC．‎ ‎∴ ．……………………………………………………（1分）‎ ‎（2）解：选择论断②作为条件．…………………………………………………（1分）‎ 证明：∵ DE // AB，∴ ∠B =∠DEC．…………………………………（1分）‎ ‎∵ ∠B +∠C = 90°，∴ ∠DEC +∠C = 90°．‎ 即得 ∠EDC = 90°．………………………………………………（2分）‎ 又∵ EF = FC，∴ DF = EF．……………………………………（1分）‎ ‎∵ 四边形AEFD是平行四边形，‎ ‎∴ 四边形AEFD是菱形．…………………………………………（1分）‎ ‎24．解：（1）由点B（0，3），可知 OB = 3．‎ 在Rt△OAB中，．‎ 即得点A（-1，0）．……………………………………………………（1分）‎ 由抛物线经过点A、B，‎ 得 解得 ‎ 所以，所求抛物线的表达式为．……………………（2分）‎ 顶点D的坐标为（1，4）．……………………………………………（1分）‎ ‎（2）该抛物线的对称轴直线l为x = 1．……………………………………（1分）‎ 由题意，可知点C的坐标为（2，3），且点E（1，3）为BC的中点．‎ ‎∴ DE = 1．……………………………………………………………（1分）‎ ‎∵ 点D是△PBC的重心，∴ ．‎ 即得 PE = 3．…………………………………………………………（1分）‎ 于是，由点P在直线l上，得点P的坐标为（1，6）．……………（1分）‎ ‎（3）由 PD = 2，可知将抛物线向上平移2个单位，得平移后 的抛物线的表达式为．………………………………（1分）‎ 设点M的坐标为（m，n）．‎ ‎△MPD和△BPD边PD上高分别为、1，‎ 于是，由 △MPD的面积等于△BPD的面积的2倍，‎ 得 ．‎ 解得 ，．‎ ‎∵ 点M在抛物线上，‎ ‎∴ ，．……………………………………………………（2分）‎ ‎∴ 点M的坐标分别为M1（-1，2）、M2（3，2）．………………（1分）‎ ‎25．解：（1）过点C作CE⊥AD，交AD的延长线于点E．‎ ‎∵ AB⊥BC，CE⊥AD，PD⊥CD，AD // BC，‎ ‎∴ ∠ABC =∠AEC =∠PDC = 90°，‎ CE = AB = 3．‎ ‎∵ AD // BC，∴ ∠A +∠ABC = 180°．即得 ∠A = 90°．‎ 又∵ ∠ADC =∠DCE +∠DEC，‎ ‎ ∠ADC =∠ADP +∠PDC，‎ ‎∴ ∠ADP =∠DCE．‎ 又由 ∠A =∠DEC = 90°，得 △APD∽△DCE． ‎ ‎∴ ．‎ 于是，由AP = AD = 2，得 DE = CE = 3．…………………………（2分）‎ 在Rt△APD和Rt△DCE中，‎ 得 ，．…………………………………………（1分）‎ 于是，在Rt△PDC中，得 ． （1分）‎ ‎（2）在Rt△APD中，由 AD = 2，AP = x，‎ 得 ．……………………………………………………（1分）‎ ‎∵ △APD∽△DCE，∴ ．‎ ‎∴ ．…………………………………………（1分）‎ 在Rt△PCD中，．‎ ‎∴ 所求函数解析式为．…………………………………（2分）‎ 函数的定义域为 0 < x ≤ 3．…………………………………………（1分）‎ ‎（3）当△APD∽△DPC时，即得 △APD∽△DPC∽△DCE．…………（1分）‎ 根据题意，当△APD∽△DPC时，有下列两种情况：‎ ‎（ⅰ）当点P与点B不重合时，可知 ∠APD =∠DPC．‎ ‎ 由 △APD∽△DCE，得 ．即得 ．‎ ‎ 由 △APD∽△DPC，得 ．‎ ‎∴ ．即得 DE = AD = 2．‎ ‎∴ AE = 4．‎ 易证得四边形ABCE是矩形，∴ BC = AE = 4．…………………（2分）‎ ‎（ⅱ）当点P与点B重合时，可知 ∠ABD =∠DBC．‎ 在Rt△ABD中，由 AD = 2，AB = 3，得 ．‎ 由 △ABD∽△DBC，得 ．‎ 即得 ．‎ 解得 ．………………………………………………………（2分）‎ ‎∴ △APD∽△DPC时，线段BC的长分别为4或．‎