初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章13讲二次函数及其图象

初中数学中考复习课件章节考点专题突破：第三章 函数与图象 聚焦中考第三章13讲二次函数及其图象

人教 数 学 第三章　函数及其图象 第 13 讲　二次函数及其图象 要点梳理 1 ． 定义： 形如函数 叫做二次函数． 2 ． 利用配方 ， 可以把二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 表示成 ． y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( 其中 a ， b ， c 是常数 ， 且 a ≠ 0 ) 要点梳理 3 ． 图象与性质 二次函数的图象是抛物线 ， 当 __ a ＞ 0 __ 时抛物线的开口 __ 向上 __ ， 这时当 __ x ≤ － b 2a __ 时 ， y 的值随 x 的增大而 __ 减小 __ ；当 __ x ≥ － b 2a __ 时 ， y 的值随 x 的增大而 __ 增 大 __ ；当 x ＝ __ － b 2a _ _ 时 ， y 有 __ 最小值 4ac － b 2 4a __ ．当 __ a ＜ 0 __ 时抛物线的开口 __ 向下 __ ， 这时当 __ x ≤ － b 2a __ 时 ， y 的值随 x 的增大而 __ 增大 __ ；当 __ x ≥ － b 2a __ 时 ， y 的值随 x 的增大 而 __ 减小 __ ；当 x ＝ __ － b 2a __ 时 ， y 有 __ 最大值 4ac － b 2 4a __ ．抛物 线的对称轴是直线 x ＝ __ － b 2a __ ， 抛物线的顶点是 __ ( － b 2a ， 4ac － b 2 4a ) __ ． 要点梳理 4 ． 图象的平移 二次函数的三种解析式 (1) 一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ， b ， c 是常数 ， a ≠ 0) ； (2) 交点式 y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ， x 1 ， x 2 是常数 ， a ≠ 0) ； (3) 顶点式 y ＝ a ( x ＋ h ) 2 ＋ k ( a ， h ， k 是常数 ， a ≠ 0) ． 抛物线的顶点常见的三种变动方式 (1) 两抛物线关于 x 轴对称 ， 此时顶点关于 x 轴对称 ， a 的符号相反； (2) 两抛物线关于 y 轴对称 ， 此时顶点关于 y 轴对称 ， a 的符号不变； (3) 开口反向 ( 或旋转 180°) ， 此时顶点坐标不变 ， 只是 a 的符号相反． 二次函数与二次方程间的关系 已知二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 的函数值为 k ， 求自变量 x 的值 ， 就是解一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ k ；反过来 ， 解一元二次方程 ax 2 ＋ bx ＋ c ＝ k ， 就是把二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c － k 的函数值看作 0 ， 求自变量 x 的值． 二次函数与二次不等式间的关系 “ 一元二次不等式 ” 实际上是指二次函数的函数值 “ y ＞ 0 ， y ＜ 0 或 y ≥ 0 ， y ≤ 0 ” ， 从图象上看是指抛物线在 x 轴上方或 x 轴下方的情况． 1 ． ( 2014· 兰州 ) 抛物线 y ＝ ( x － 1 ) 2 － 3 的对称轴是 ( ) A ． y 轴 B ． 直线 x ＝－ 1 C ． 直线 x ＝ 1 D ． 直线 x ＝－ 3 2 ． ( 2014· 新疆 ) 对于二次函数 y ＝ ( x － 1 ) 2 ＋ 2 的图象 ， 下 列说法正确的是 ( ) A ． 开口向下 B ． 对称轴是 x ＝－ 1 C ． 顶点坐标是 ( 1 ， 2 ) D ． 与 x 轴有两个交点 C C 3 ． ( 2014 · 哈尔滨 ) 将抛物线 y ＝－ 2x 2 ＋ 1 向右平移 1 个单位 ， 再向上平移 2 个单位后所得到的抛物线 ( ) A ． y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 － 1 B ． y ＝－ 2( x ＋ 1) 2 ＋ 3 C ． y ＝－ 2( x － 1) 2 ＋ 1 D ． y ＝－ 2( x － 1) 2 ＋ 3 D 4 ． ( 2014 · 黔东南州 ) 已知抛物线 y ＝ x 2 － x － 1 与 x 轴的一个交点为 (m ， 0) ， 则代数式 m 2 － m ＋ 2014 的值为 ( ) A ． 2012 B ． 2013 C ． 2014 D ． 2015 D 5 ． ( 2014· 聊城 ) 如图是二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ) 图象 的一部分 ， x ＝－ 1 是对称轴 ， 有下列判断： ① b － 2a ＝ 0 ； ② 4a － 2b ＋ c ＜ 0 ； ③ a － b ＋ c ＝－ 9a ； ④ 若 ( － 3 ， y 1 ) ， ( 3 2 ， y 2 ) 是抛物线上两点 ， 则 y 1 ＞ y 2 ， 其中正确的是 ( ) A ． ①②③ B ． ①③④ C ． ①②④ D ． ②③④ B 待定系数法确定二次函数的解析式 【 例 1】 　 ( 2013 · 安徽 ) 已知二次函数图象的顶点坐标为 (1 ， － 1) ， 且经过原点 (0 ， 0) ， 求该函数的解析式． 解：设二次函数解析式为 y ＝ a ( x － 1 ) 2 － 1 ( a ≠ 0 ) ． ∵ 函数图象经过原点 ( 0 ， 0 ) ， ∴ a ·( 0 － 1 ) 2 － 1 ＝ 0 ， a ＝ 1. ∴ 该函数的解析式为 y ＝ ( x － 1 ) 2 － 1 或 y ＝ x 2 － 2x 【 点评 】 　根据不同条件 ， 选择不同设法． (1) 若已知图象上的三个点 ， 则设所求的二次函数为一般式 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) ， 将已知条件代入 ， 列方程组 ， 求出 a ， b ， c 的值； (2) 若已知图象的顶点坐标或对称轴 ， 函数最值 ， 则设所求二次函数为顶点式 y ＝ a ( x ＋ m ) 2 ＋ k ( a ≠ 0) ， 将已知条件代入 ， 求出待定系数； (3) 若已知抛物线与 x 轴的交点 ， 则设抛物线的解析式为交点式 y ＝ a ( x － x 1 )( x － x 2 )( a ≠ 0) ， 再将另一条件代入 ， 可求出 a 值． 1 ． (1) ( 2014 · 杭州 ) 设抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c(a ≠ 0) 过 A(0 ， 2) ， B(4 ， 3) ， C 三点 ， 其中点 C 在直线 x ＝ 2 上 ， 且点 C 到抛物线的对称轴的距离等于 1 ， 则抛物线的函数解析式为 ． (2) ( 2013 · 宁波 ) 已知抛物线 y 与 x 轴交于点 A(1 ， 0) ， B(3 ， 0) 且过点 C(0 ， － 3) ． ① 求抛物线的解析式和顶点坐标； ② 请你写出一种平移的方法 ， 使平移后抛物线的顶点落在直线 y ＝－ x 上 ， 并写出平移后抛物线的解析式． 解： ①∵ 抛物线 y 与 x 轴交于点 A ( 1 ， 0 ) ， B ( 3 ， 0 ) ， 可设抛物线解析式为 y ＝ a ( x － 1 )( x － 3 ) ， 把 C ( 0 ， － 3 ) 代入得 3a ＝－ 3 ， 解得 a ＝－ 1 ， 故抛物线解析式为 y ＝－ ( x － 1 )( x － 3 ) ， 即 y ＝－ x 2 ＋ 4x － 3 ， ∵ y ＝－ x 2 ＋ 4x － 3 ＝－ ( x － 2 ) 2 ＋ 1 ， ∴ 顶点坐标 ( 2 ， 1 ) 　 ② 先向左平移 2 个单位 ， 再向下平移 1 个单位 ， 得到的抛物线的解析式为 y ＝－ x 2 ， 平移后抛物线的顶点为 ( 0 ， 0 ) 落在直线 y ＝－ x 上 　 利用二次函数的图象与性质解题 【 例 2 】 ( 2013· 广州 ) 已知抛物线 y 1 ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ， a ≠ c ) 过点 A ( 1 ， 0 ) ， 顶点为 B ， 且抛物线不经过 第三象限 ． ( 1 ) 使用 a ， c 表示 b ； ( 2 ) 判断点 B 所在象限 ， 并说明理由； ( 3 ) 若直线 y 2 ＝ 2x ＋ m 经过点 B ， 且与该抛物线交于另一 点 C ( c a ， b ＋ 8 ) ， 求当 x ≥ 1 时 ， y 1 的取值范围 ． 解： ( 1 ) ∵ 抛物线 y 1 ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ， a ≠ c ) ， 经过 A ( 1 ， 0 ) ， 把点代入函数即可得到 b ＝－ a － c ( 2 ) B 在第四象限 ， 理由 如下： ∵ 抛物线 y 1 ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠ 0 ， a ≠ c ) 过点 A ( 1 ， 0 ) ， ∴ x 1 ＝ 1 ， x 2 ＝ c a ， a ≠ c ， 所以抛物线与 x 轴有两个交点 ， 又因为抛物线不经过第三象限 ， 所以 a ＞ 0 ， 且顶点在第四象限 ( 3 ) ∵ C ( c a ， b ＋ 8 ) ， 且在抛物线上 ， ∴ b ＋ 8 ＝ 0 ， ∴ b ＝－ 8 ， ∵ a ＋ c ＝－ b ， ∴ a ＋ c ＝ 8 ， 把 B ， C 两点代入直线解析式易得 c － a ＝ 4 ， 即 î ï í ï ì a ＋ c ＝ 8 ， c － a ＝ 4 ， 解得 î ï í ï ì c ＝ 6 ， a ＝ 2 ， 如图所示 ， C 在 A 的右侧 ， ∴ 当 x ≥ 1 时 ， y 1 ≥ 4ac － b 2 4a ＝－ 2 【 点评 】 　本题主要考查了二次函数的综合应用以及根与系数的关系和一次函数与二次函数交点的问题 ， 根据数形结合得出是解题的关键． 2 ． ( 2014· 贺州 ) 二次函数图象的顶点在原点 O ， 经过点 A ( 1 ， 1 4 ) ， 点 F ( 0 ， 1 ) 在 y 轴上 ． 直线 y ＝－ 1 与 y 轴交于 点 H. (1) 求二次函数的解析式； (2) 点 P 是 (1) 中图象上的点 ， 过点 P 作 x 轴的垂线与直线 y ＝－ 1 交于点 M ， 求证： FM 平分 ∠ OFP ； (3) 当 △ FPM 是等边三角形时 ， 求 P 点的坐标． ( 2 ) 证明： ∵ 点 P 在抛物线 y ＝ 1 4 x 2 上 ， ∴ 可设点 P 的坐标为 ( x ， 1 4 x 2 ) ， 过点 P 作 PB ⊥ y 轴于点 B ， 则 BF ＝ 1 4 x 2 － 1 ， PB ＝ x ， ∴ Rt △ BPF 中 ， PF ＝ （ 1 4 x 2 － 1 ） 2 ＋ x 2 ＝ 1 4 x 2 ＋ 1 ， ∵ PM ⊥ 直线 y ＝－ 1 ， ∴ PM ＝ 1 4 x 2 ＋ 1 ， ∴ PF ＝ PM ， ∴∠ PFM ＝ ∠ PMF ， 又 ∵ PM ∥ y 轴 ， ∴∠ MFH ＝ ∠ PMF ， ∴∠ PFM ＝ ∠ MFH ， ∴ FM 平分 ∠ OFP ( 3 ) 解：当 △ FPM 是等边三角形时 ， ∠ PMF ＝ 60 ° ， ∴∠ FMH ＝ 30 ° ， 在 Rt △ MFH 中 ， MF ＝ 2FH ＝ 2 × 2 ＝ 4 ， ∵ PF ＝ PM ＝ FM ， ∴ 1 4 x 2 ＋ 1 ＝ 4 ， 解得 x ＝ ± 2 3 ， ∴ 1 4 x 2 ＝ 1 4 × 12 ＝ 3 ， ∴ 满足条件的点 P 的坐标为 ( 2 3 ， 3 ) 或 ( － 2 3 ， 3 ) 利用二次函数解决实际应用题 【 例 3】 　 ( 2013 · 哈尔滨 ) 某水渠的横截面呈抛物线形 ，水面的宽为 AB( 单位：米 ) ，现以 AB 所在直线为 x 轴，以抛物线的对称轴为 y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设坐标原点为 O. 已知 AB ＝ 8 米，设抛物线解析式为 y ＝ ax 2 － 4. (1) 求 a 的值； (2) 点 C( － 1 ， m) 是抛物线上一点 ， 点 C 关于原点 O 的对称点为点 D ， 连接 CD ， BC ， BD ， 求 △ BCD 的面积． 【 点评 】 　解二次函数的实际应用题关键是根据已知条件建立二次函数模型． 3 ． ( 2014 · 毕节 ) 某工厂生产的某种产品按质量分为 10 个档次， 第 1 档次 ( 最低档次 ) 的产品一天能生产 95 件 ， 每件利润 6 元．每提高一个档次 ， 每件利润增加 2 元 ， 但一天产量减少 5 件． (1) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 y 元 ( 其中 x 为正整数 ， 且 1 ≤ x ≤ 10) ， 求出 y 关于 x 的函数关系式； (2) 若生产第 x 档次的产品一天的总利润为 1120 元 ， 求该产品的质量档次． 解： ( 1 ) ∵ 第一档次的产品一天能生产 95 件 ， 每件利润 6 元 ， 每提高一个档次 ， 每件利润加 2 元 ， 但一天生产量减少 5 件． ∴ 第 x 档次 ， 提高的档次是 ( x － 1 ) 档． ∴ y ＝ [ 6 ＋ 2 ( x － 1 )][ 95 － 5 ( x － 1 )] ， 即 y ＝－ 10x 2 ＋ 180x ＋ 400 ( 其中 x 是正整数 ， 且 1 ≤ x ≤ 10 ) 　 ( 2 ) 由题意可得－ 10x 2 ＋ 180x ＋ 400 ＝ 1120 ， 整理得 x 2 － 18x ＋ 72 ＝ 0 ， 解得 x 1 ＝ 6 ， x 2 ＝ 12 ( 舍去 ) ．答：该产品的质量档次为第 6 档 结合几何图形的函数综合题 【 例 4】 　 ( 2013 · 玉林 ) 如图 ， 抛物线 y ＝－ (x － 1) 2 ＋ c 与 x 轴交于 A ， B(A ， B 分别在 y 轴的左右两侧 ) 两点 ， 与 y 轴的正半轴交于点 C ， 顶点为点 D ， 已知 A( － 1 ， 0) ． (1) 求点 B ， C 的坐标； 解： ( 1 ) ∵ 点 A ( － 1 ， 0 ) 在抛物线 y ＝－ ( x － 1 ) 2 ＋ c 上 ， ∴ 0 ＝－ ( － 1 － 1 ) 2 ＋ c ， 得 c ＝ 4 ， ∴抛物线解析式为 y ＝－ ( x － 1 ) 2 ＋ 4 ， 令 x ＝ 0 ， 得 y ＝ 3 ， ∴ C ( 0 ， 3 ) ； 令 y ＝ 0 ， 得 x ＝－ 1 或 x ＝ 3 ， ∴ B ( 3 ， 0 ) 　 (2) 判断 △ CDB 的形状并说明理由； (3) 将 △ COB 沿 x 轴向右平移 t 个单位长度 (0 ＜ t ＜ 3) 得到 △ QPE ， △ QPE 与 △ CDB 重叠部分 ( 如图中阴影部分 ) 面积为 S ， 求 S 与 t 的函数关系式 ， 并写出自变量 t 的取值范围． ： ( Ⅰ ) 当 0 ＜ t ≤ 3 2 时 ， 如答图 ② 所示：设 PQ 与 BC 交于点 K ， 可得 QK ＝ CQ ＝ t ， PB ＝ P K ＝ 3 － t ， 设 QE 与 BD 的交点为 F ， 则 î ï í ï ì y ＝－ 2x ＋ 6 ， y ＝－ x ＋ 3 ＋ t ， 解得 î ï í ï ì x ＝ 3 － t ， y ＝ 2t ， ∴ F ( 3 － t ， 2t ) ， S ＝ S △ QPE － S △ PBK － S △ FBE ＝ 1 2 PE·PQ － 1 2 PB·PK － 1 2 BE·y F ＝ 1 2 × 3 × 3 － 1 2 ( 3 － t ) 2 － 1 2 t·2t ＝－ 3 2 t 2 ＋ 3t ( Ⅱ ) 当 3 2 ＜ t ＜ 3 时 ， 如答图 ③ 所示：设 PQ 分别与 BC ， BD 交于点 K ， 点 J. ∵ CQ ＝ t ， ∴ KQ ＝ t ， PK ＝ PB ＝ 3 － t. 直线 BD 解析式为 y ＝－ 2x ＋ 6 ， 令 x ＝ t ， 得 y ＝ 6 － 2t ， ∴ J ( t ， 6 － 2t ) ． S ＝ S △ PBJ － S △ PBK ＝ 1 2 PB·PJ － 1 2 PB·PK ＝ 1 2 ( 3 － t )( 6 － 2t ) － 1 2 ( 3 － t ) 2 ＝ 1 2 t 2 － 3t ＋ 9 2 ， 综上所述 ， S 与 t 的函数关 系式为 S ＝ î ï í ï ì － 3 2 t 2 ＋ 3t （ 0 ＜ t ≤ 3 2 ） 1 2 t 2 － 3t ＋ 9 2 （ 3 2 ＜ t ＜ 3 ） 【 点评 】 　 本题是运动型二次函数综合题 ， 考查了二次函数的图象与性质、待定系数法、一次函数的图象与性质、勾股定理及其逆定理、图形面积计算等知识点．第 (3) 问，弄清图形运动过程是解题的先决条件，在计算图形面积时，要充分利用各种图形面积的和差关系． 4 ． ( 2014 · 无锡 ) 如图 ， 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx(a ＜ 0) 的图象过坐标原点 O ， 与 x 轴的负半轴交于点 A ， 过 A 点的直线与 y 轴交于点 B ， 与二次函数的图象交于另一点 C ， 且 C 点的横坐标为－ 1 ， AC ∶ BC ＝ 3 ∶ 1. (1) 求点 A 的坐标； (2) 设二次函数图象的顶点为 F ， 其对称轴与直线 AB 及 x 轴分别交于点 D 和点 E ， 若 △ FCD 与 △ AED 相似 ， 求此二次函数的关系式． 解： ( 1 ) 如图 ， 过点 C 作 CM ∥ OA 交 y 轴于点 M. ∵ AC ∶ BC ＝ 3 ∶ 1 ， ∴ BC AB ＝ 1 4 . ∵ CM ∥ OA ， ∴△ BCM ∽△ BAO ， ∴ CM OA ＝ BC AB ＝ 1 4 ＝ BM OB ， ∴ OA ＝ 4CM ＝ 4 ， ∴ 点 A 的坐标为 ( － 4 ， 0 ) ( 2 ) ∵ 二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ( a ＜ 0 ) 的图象过 A 点 ( － 4 ， 0 ) ， ∴ 16a － 4b ＝ 0 ， ∴ b ＝ 4a ， ∴ y ＝ ax 2 ＋ 4ax ， 对称轴为直线 x ＝－ 2 ， ∴ F 点坐标为 ( － 2 ， － 4a ) ．设直线 AB 的解析式为 y ＝ kx ＋ n ， 将 A ( － 4 ， 0 ) 代入 ， 得－ 4k ＋ n ＝ 0 ， ∴ n ＝ 4k ， ∴ 直线 AB 的解析式为 y ＝ kx ＋ 4k ， ∴ B 点坐标为 ( 0 ， 4k ) ， D 点坐标为 ( － 2 ， 2k ) ， C 点坐标为 ( － 1 ， 3k ) ． ∵ C ( － 1 ， 3k ) 在抛物线 y ＝ ax 2 ＋ 4ax 上 ， ∴ 3k ＝ a － 4a ， ∴ k ＝－ a. ∵△ AED 中 ， ∠ AED ＝ 90 ° ， ∴ 若 △ FCD 与 △ AED 相似 ， 则 △ FCD 是直角三角形 ， ∵∠ FDC ＝ ∠ ADE ＜ 90 ° ， ∠ CFD ＜ 90 ° ， ∴∠ FCD ＝ 90 ° ， ∴△ FCD ∽△ AED. ∵ F ( － 2 ， － 4a ) ， C ( － 1 ， 3k ) ， D ( － 2 ， 2k ) ， k ＝－ a ， ∴ FC 2 ＝ ( － 1 ＋ 2 ) 2 ＋ ( 3k ＋ 4a ) 2 ＝ 1 ＋ a 2 ， CD 2 ＝ ( － 2 ＋ 1 ) 2 ＋ ( 2k － 3k ) 2 ＝ 1 ＋ a 2 ， ∴ FC ＝ CD ， ∴△ FCD 是等腰直角三角形 ， ∴△ AED 是等腰直角三角形 ， ∴∠ DAE ＝ 45 ° ， ∴∠ OBA ＝ 45 ° ， ∴ OB ＝ OA ＝ 4 ， ∴ 4k ＝ 4 ， ∴ k ＝ 1 ， ∴ a ＝－ 1 ， ∴ 此二次函数的关系式为 y ＝－ x 2 － 4x 试题　求证抛物线 y ＝ (3 － k ) x 2 ＋ ( k － 2) x ＋ 2 k － 1( k ≠ 3) 过定点 ， 并求出定点的坐标． 审题视角 　 有些函数的图象具有过定点的性质 ， 这是由函数式中的一些系数的取值特点所决定的 ， 例如，直线 y ＝ kx ＋ b ( k ≠0) ，当 b 确定时，无论 k 取不等于 0 的任何值，它总过定点 (0 ， b ) ；抛物线 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c ( a ≠0) ，当 c 确定时，无论 a ， b 取何值，它总过定点 (0 ， c ) ．本题中可以把函数解析式整理变形，使含字母 k 的项组合于一组，赋值为零，可以求出自变量的值，而后代入函数解析式，再求得相对应的函数值，即得定点的坐标． 规范答题 解：整理抛物线的解析式 ， 得 y ＝ (3 － k ) x 2 ＋ ( k － 2) x ＋ 2 k － 1 ＝ 3 x 2 － 2 x － 1 － kx 2 ＋ kx ＋ 2 k ＝ 3 x 2 － 2 x － 1 － k ( x 2 － x － 2)( k ≠ 3) ， 上式中令 x 2 － x － 2 ＝ 0 ， 得 x 1 ＝－ 1 ， x 2 ＝ 2. 将它们分别代入 y ＝ 3 x 2 － 2 x － 1 － k ( x 2 － x － 2) ， 解得 y 1 ＝ 4 ， y 2 ＝ 7 ， 把点 ( － 1 ， 4) ， (2 ， 7) 分别代入 y ＝ 3 x 2 － 2 x － 1 － k ( x 2 － x － 2) ， 无论 k 取何值 ， 等式总成立 ， 即点 ( － 1 ， 4) ， (2 ， 7) 总在 抛物线 y ＝ (3 － k ) x 2 ＋ ( k － 2) x ＋ 2 k － 1( k ≠ 3) 上 ， 也就是说抛物线 y ＝ (3 － k ) x 2 ＋ ( k － 2) x ＋ 2 k － 1( k ≠ 3) 过定点 ( － 1 ， 4) ， (2 ， 7) ． 答题思路 第一步：对含有变系数的项集中； 第二步：然后将这部分项分解因式 ， 使其成为一个只含变系数的因式与一个只含 x 和常数的因式之积的形式； 第三步：令后一因式等于 0 ，得到一个关于自变量 x 的方程 ( 这时系数如何变化，都 “ 失效 ” 了 ) ； 第四步：解此方程，得到 x 的值 x 0 ( 定点的横坐标 ) ，将它代入原函数式 ( 也可以是其变式 ) ，即得到一个 y 的值 y 0 ( 定点的纵坐标 ) ，于是，函数图象一定过定点 ( x 0 ， y 0 ) ； 第五步：反思回顾，查看关键点、易错点，完善解题步骤． 试题 ( 1 ) 用配方法求二次函数 y ＝ 5 12 x 2 － 5 3 x ＋ 5 4 图象的顶点坐标 及对称轴 ． ( 2 ) 已知函数 y ＝ 3 x 2 － 4 x ＋ 1 ， 当 0 ≤ x ≤ 4 时 ， 求 y 的变化 范围 ． 错解 ( 1 ) 解： y ＝ 5 12 x 2 － 5 3 x ＋ 5 4 ＝ 5 12 ( x 2 － 4 x ＋ 3 ) ＝ 5 12 ( x － 2 ) 2 － 1 ， ∴ 该函数图象的顶点坐标是 ( 2 ， － 1 ) ， 对称轴是直线 x ＝ 2. ( 2 ) 解：当 x ＝ 0 时 ， y ＝ 3 x 2 － 4 x ＋ 1 ＝ 3 × 0 2 － 4 × 0 ＋ 1 ＝ 1 ； 当 x ＝ 4 时 ， y ＝ 3 × 4 2 － 4 × 4 ＋ 1 ＝ 33. ∴ 当 0 ≤ x ≤ 4 时 ， y 的变化范围是 1 ≤ y ≤ 33. 剖析 (1) 配方法是重要的数学方法 ， 必须熟练掌握二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 可配方写成 y ＝ a ( x ＋ m ) 2 ＋ k ， 后者图象的顶点坐标是 ( － m ， k ) ， 对称轴是直线 x ＝－ m ， 须牢记． (2) 求二次函数值的范围 ， 理解二次函数 y ＝ ax 2 ＋ bx ＋ c 有最大值或 最小值的条件 ， 当 a ＞ 0 时 ， 函数图象开口向上 ， 当 x ＝－ b 2 a 时 ， 函数有最小值 y ＝ 4 ac － b 2 4 a ；当 a ＜ 0 时 ， 函数图象开口向下 ， 当 x ＝－ b 2 a 时 ， 函数有最大值 y ＝ 4 ac － b 2 4 a . 当涉及到实际问题时 ， 一定 要符合实际问题的意义和条件要求． 正解 (1) 解： y ＝ 5 12 x 2 － 5 3 x ＋ 5 4 ＝ 5 12 ( x 2 － 4 x ＋ 3) ＝ 5 12 [( x － 2) 2 － 1] ＝ 5 12 ( x － 2) 2 － 5 12 ， ∴ 该函数图象的顶点坐标是 (2 ， － 5 12 ) ， 对称轴是直线 x ＝ 2. (2) 解： ∵ y ＝ 3 x 2 － 4 x ＋ 1 ， ∴ 抛物线的对称轴是直线 x ＝－ b 2 a ＝ 2 3 ， ∴ 当 x ＝ 2 3 ， y 最小值 ＝－ 1 3 . 当 x ＝ 0 时 ， y ＝ 1 ；当 x ＝ 4 时 ， y ＝ 33. 于是 当 0 ≤ x ≤ 2 3 时 ， － 1 3 ≤ y ≤ 1 ， 当 2 3 ≤ x ≤ 4 时 ， － 1 3 ≤ y ≤ 33 ， 综上 ， 当 0 ≤ x ≤ 4 时 ， － 1 3 ≤ y ≤ 33.