2020年中考专题练习---梯形的存在性问题

2020年中考专题练习---梯形的存在性问题

梯形的存在性问题 内容分析 梯形是相对限制较少的一类四边形，要使得一个四边形是梯形，只需要有其中一组对边平行，另一组对边不平行即可。所以，在此类问题中，要么对点有较高的限制（在某一直线上），要么对梯形形状有较高要求（等腰或直角）。综合利用各个条件，才能求出最后的结果．‎ 知识结构 模块一：一般梯形的存在性问题 知识精讲 1、 知识内容：‎ 梯形的限制较少，所以可能出现的情况就会有很多，在处理时需要想清所有可能情况，再进行讨论处理。A B C M1‎ M2‎ 有一种比较常见的情况是：若已知三点ABC，另一点M在某固定直线上，形成的四边形ABCM为梯形，则会有两种情况：①AM//BC；②CM//AB，如图所示。‎ 1、 解题思路：‎ （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；‎ （2） 分情况进行讨论；‎ （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；‎ （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；‎ （5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．‎ 注：若两条直线平行，则这两条直线的斜率相等．‎ 例题解析 【例1】 在平面直角坐标系中，已知抛物线与x轴交于点A（，0）和点B，与y轴交于点C（0，）．‎ ‎（1）求该抛物线的表达式，并写出其对称轴；‎ ‎（2）点E为该抛物线的对称轴与x轴的交点，点F在对称轴上，四边形ACEF为梯形，‎ 求点F的坐标；‎ ‎（3）点D为该抛物线的顶点，设点P（t，0），且t > 3，如果和的面积相 等，求t的值．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）将A、C代入抛物线解析式，‎ ‎ 解得抛物线解析式为：．‎ 对称轴为：直线．‎ ‎ （2）E点为（1，0），分情况讨论：‎ ‎ ①AC // EF ‎ 直线AC的解析式为．‎ ‎ ∴直线EF的解析式为．‎ ‎ ∴与对称轴的交点为（1，0），与E点重合（舍）．‎ ‎ ②AF // CE ‎ 直线CE的解析式为，‎ ‎ ∴直线AF的解析式为．‎ ‎ ∴与对称轴的交点为（1，4）．‎ ‎∴F点为（1，4）．‎ ‎ 综上，F点为（1，4）．‎ ‎ （3）抛物线顶点D为，与x轴另一交点B为（3，0），‎ ‎ 当和的面积相等（t > 3）时，有BC // DP．‎ ‎ 直线BC的解析式为，‎ ‎ ∴直线DP的解析式为．‎ ‎ 解得：P点为（5，0），即t的值为5．‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结．‎ 【例1】 在平面直角坐标系中，抛物线过A（－1，0）、B（3，0）、C（2，3）三点，与y轴交于点D．‎ ‎（1）求该抛物线的解析式，并写出该抛物线的对称轴；‎ ‎（2）分别联结AD、DC、CB，直线y = 4x＋m与线段DC交于点E，当此直线将四边 形ABCD的面积平分时，求m的值；‎ ‎（3）设点F为该抛物线对称轴上一点，当以A、B、C、F为顶点的四边形是梯形时，‎ 请直接写出所有满足条件的点F的坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（1）∵函数过点A（-1，0），B（3，0），‎ ‎ ∴ 可将函数设为．‎ ‎ 将C(2，3)代入，可得函数解析式为：，‎ ‎ 对称轴为x=1；‎ ‎ （2）函数与y轴交点D为（0，3）．‎ ‎ ∵四边形ABCD为梯形，下底AB = 4，上底CD = 2，‎ ‎ 直线y = 4x + m要平分ABCD的面积，必与AB、CD均有交点，分别设为M、N．‎ ‎ ∴M的纵坐标为0，N的纵坐标为3．‎ ‎ ∴M为，N为．‎ ‎ 可得，‎ 解得：；‎ ‎ （3）分三种情况讨论 ‎ ①当CF//AB时，AB的解析式为y=0，所以F点纵坐标为3，F点为（1，3）；‎ ‎ ②当AF//BC时，BC的解析式为，所以AF为，F点为（1，-6）；‎ ‎ ③当BF//AC时，AC的解析式为，∴BF为，∴F点为（1，-2）；‎ 综上，F点可能为（1，-6）或（1，3）或（1，-2）．‎ ‎【总结】本题一方面考查有关面积的计算，另一方面考查二次函数函数背景下的梯形存在性问题，注意对方法的归纳总结．‎ 模块二：特殊梯形的存在性问题 知识精讲 1、 知识内容：‎ ‎ 特殊梯形主要分成等腰梯形和直角梯形两种．对于这两种情况，只需在之前平行的基础上，增加考虑直角或腰相等的条件．‎ 2、 解题思路：‎ 直角梯形：‎ （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；‎ （2） 寻找已有的直角，进而判断可能的平行直线；‎ （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；‎ （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；‎ （5） 根据题目实际情况，验证所有可能点是否满足要求并作答．‎ 等腰梯形：‎ （1） 根据题目条件，求出已知3个点的坐标；‎ （2） 分情况讨论；‎ （3） 对可能的各种情况，求出已知边所在直线的方程；‎ （4） 根据直线方程，求得与其平行的直线的方程，再解出待求点的坐标；‎ （5） 验证所有形成的梯形是否等腰，并作答．‎ 例题解析 【例1】 如图，二次函数的图像与x轴交于点A和点B（点A在点B 的左侧），与y轴交于点C，且．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）若以点O为圆心的圆与直线AC相切于点D，求点D的坐标；‎ ‎（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在点P，使得以P、A、D、O为顶点的四边 形是直角梯形，若存在，请求出点P坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ G O y A x B C D N P M A B C O x y ‎【解析】解：（1）∵，‎ ‎ ∴AO = CO．‎ ‎ 根据与图像，可得C点坐标为（0，4），‎ ‎ ∴A点坐标为（-4，0），代入解析式，‎ ‎ ∴二次函数解析式为；‎ ‎ （2）连接OD，可得OD⊥AC，过D作DH⊥AO于H．‎ ‎ 可得：．‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∴D点坐标为（-2，2）；‎ ‎ （3）要四点成直角梯形，不可能DP//AO，分两种情况讨论：‎ ‎ ①当OP//AD时，∵AD解析式为，∴OP解析式为．‎ ‎ ∴，解得：（不为直角梯形，舍）或．‎ ‎ ②当AP//OD时，∵OD解析式为，∴AP解析式为．‎ ‎ ∴，解得或（与A重合，舍）．‎ ‎ 综上，P点坐标为或（8，-12）．‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合，注意运用直线与圆相切的性质及等腰直角三角形的性质去解题，熟练掌握二次函数的性质是解本题的关键．‎ 【例1】 如图，矩形OMPN的顶点O在原点，M、N分别在轴和轴的正半轴上，‎ OM = 6，ON = 3，反比例函数的图像与PN交于C，与PM交于D，过点C作CA⊥x轴于点A，过点D作DB⊥y轴于点B，AC与BD交于点G．‎ ‎（1）求证：AB // CD ；‎ ‎（2）在直角坐标平面内是否若存在点E，使以B、C、D、E为顶点，BC为腰的梯形是等腰梯形？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）∵矩形OMPN，OM = 6，ON = 3，‎ ‎ ∴点P（6，3）．‎ ‎∵点C、D都在反比例函数图像上，‎ 且点C在PN上，点D在PM上，‎ ‎∴点C（2，3），点D（6，1），‎ ‎ 又DB⊥y轴，CA⊥x轴，‎ ‎∴A（2，0），B（0，1）．‎ O y A x B C D N P M G E1‎ E2‎ H O y A x B C D N P G E1‎ E2‎ ‎∵BG = 2，GD = 4，CG = 2，AG = 1‎ ‎∴，，∴，∴AB // CD；‎ ‎ （2）①∵PN // DB，∴当DE1 = BC时，‎ ‎ 四边形BCE1D是等腰梯形，‎ ‎ 此时≌，∴PE1 = CN = 2，‎ ‎ ∴点E1（4，3）；‎ ‎ ②∵CD// AB，当E2在直线AB上，‎ ‎ DE2 = BC =，‎ ‎ 四边形BCDE2为等腰梯形，‎ ‎ 直线AB的解析式为 ‎ ∴设点E2（x，），DE2 = BC =，‎ ‎∴，解得：，（舍去），‎ ‎∴E2（，）．‎ ‎ 综上所述，点E的坐标为（4，3）或（，）．‎ ‎【总结】本题主要考查函数背景下的梯形存在性问题，第（1）小问中也可利用解析式来判定平行，第（2）小问注意看清题意，已经已知腰，所以分两种情况讨论．‎ 【例1】 在平面直角坐标系xOy中，二次函数的图像与y轴交于点A，与双曲线有一个公共点B，它的横坐标为4．过点B作直线l // x轴，与该二次函数图像交于另一点C，直线AC的截距是．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）求直线AC的表达式；‎ ‎（3）平面内是否存在点D，使A、B、C、D为顶点的四边形是等腰梯形，如果存在，求出点D的坐标，如果不存在，说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】（1）把代入，得．∴点B的坐标为（4，2）． ‎ ‎∵直线AC的截距是，∴点A的坐标为（，0）． ‎ ‎∵二次函数的的图像经过点A、B，‎ ‎∴可得：，解得：．‎ ‎∴二次函数的解析式是．‎ ‎（2）∵BC // x轴，∴点C的纵坐标为2．‎ 把代入，‎ 解得：，． ‎ ‎∵（4，2）是点B的坐标，∴点C的坐标为（，2）． ‎ 设直线AC的表达式是，‎ ‎∵点C在直线AC上，∴．‎ ‎∴直线AC的表达式是． ‎ ‎（3）①当BC // AD1时，设点的坐标是（m，），‎ 由，可得：，‎ 解得：，（舍）．‎ ‎∴点的坐标是（，）．‎ ‎②当AC // BD2时，可得：直线BD2的表达式是．‎ 设点D2的坐标是（n，），由，‎ 可得：，解得：，（舍）．‎ ‎∴点D2的坐标是（，）．‎ ‎③∵AC = BC，∴// AB不存在．‎ 综上所述，点D的坐标是（，）或（，）．‎ ‎【总结】本题主要考查的是二次函数的综合应用，解题时注意利用函数性质及两直线的位置关系确定相应的解析式，从而求出点坐标．‎ 随堂检测 【习题1】 如图，已知A、B是双曲线上的两个点，A、B的横坐标分别为2和－1，BC⊥x 轴，垂足为C．在双曲线上是否存在点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形？如果存在，求点D的坐标；如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：由题意，可得A点坐标为（2，1），B点坐标为（-1，-2），C点坐标为（-1，0）．‎ ‎ 若以A、B、C、D为顶点的四边形是梯形，可分情况讨论：‎ x y A B C O ‎①当AD//BC时，已知此情况下，D点不存在；‎ ‎ ②当CD//AB时，‎ ‎ ∵AB解析式为，‎ ‎ ∴CD解析式为．‎ ‎ ∵D在双曲线上，‎ ‎ ∴, 解得：或．‎ ‎ ③当BD//AC时，‎ ‎ ∵AC解析式为，‎ ‎ ∴BD解析式为．‎ ‎ ∵D在双曲线上，‎ ‎ ∴， 解得：（与B重合，舍）或．‎ 综上，D点坐标可以为（1，2）或（-2，-1）或．‎ ‎【总结】本题主要考查函数背景下的梯形的存在性，注意利用平行求出函数解析式，从而联立解析式求出点的坐标．‎ 【习题1】 如图，在平面直角坐标系中，开口向上的抛物线与x轴交于点A(－1，0)和点B(3，0)，D为抛物线的顶点，直线AC与抛物线交于点C(5，6)．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）点E在x轴上，且和相似，求点E的坐标；‎ ‎（3）若直角坐标系平面中的点F和点A、C、D构成直角梯形，且面积为16，试求点F的坐标．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】A B C D O x y （1）∵抛物线过点A（-1，0）与点B（3，0），‎ ‎ ∴设抛物线为，将点C（5，6）代入，‎ ‎ 得抛物线解析式为：．‎ ‎ ∴顶点D坐标为（1，-2）；‎ ‎ （2）分别过C、D作CM、DN⊥x轴于M、N，‎ ‎ 计算可得，AN = DN = 2，AM = CM = 6．‎ ‎ ∴．‎ ‎ 又因为AE公共边，‎ ‎ ∴此两角为相似三角形对应角．‎ ‎ ∵， ∴．‎ ‎ ∴． ∴．‎ ‎ ∴E点坐标为或；‎ ‎ （3）可得，，，，‎ ‎ 分情况讨论：‎ ① 当DP//AC时，∵梯形CADF面积为16， ‎ ‎∴此时DF直线为，且．∴F点坐标为（3，0）．‎ ‎ ②当CF//AD时，‎ ‎ ∴CF为，且， ∴F点标为．‎ ‎ ③当AF//CD时，此时不可能．‎ ‎ 综上，F点可能的坐标为（3，0）或．‎ ‎【总结】本题综合性较强，考查的知识点较多，包含了二次函数的性质，相似的性质以及梯形的有关性质，解题时注意分析．‎ 课后作业 【作业1】 已知二次函数的图象经过A（2，0）、C(0，12) 两点，且对称轴为直线x = 4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．‎ ‎（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；‎ x y O P A B ‎（2）如图1，在直线 y = 2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，‎ 求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． ‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（1）∵对称轴为x = 4，且抛物线过A（2，0），‎ ‎ ∴B点坐标为（6，0），设抛物线为．‎ ‎ 将C（0，12）代入，‎ 解得抛物线解析式为：，‎ ‎ 顶点P坐标为（4，-4）；‎ ‎ （2）若存在满足题意的D点，直线BP解析式为．‎ ‎ ∴BP//OD．∴OP=BD．‎ ‎ 设D点为（d，2d），‎ ‎ ∴，．‎ ‎ ∴，‎ 解得：（此时为平行四边形，舍）或，‎ ‎ ∴D点为．‎ ‎ 即当D点坐标为时，四边形OPBD为等腰梯形．‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合运用，求出二次函数解析式，研究二次函数顶点坐标及相关图形的特点，是解题的关键 【作业1】 如图，已知二次函数的图像经过点B（1，2），与x轴的另一个交点为A，点B关于抛物线对称轴的对称点为C，过点B作直线BM⊥x轴垂足为点M．‎ ‎（1）求二次函数的解析式；‎ ‎（2）在直线BM上有点，联结CP和CA，判断直线CP与直线CA的位置关 系，并说明理由； ‎ ‎（3）在（2）的条件下，在坐标轴上是否存在点E，使得以A、C、P、E为顶点的四边 形为直角梯形，若存在，求出所有满足条件的点E的坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】解：（1）将B(1，2)代入解析式，解得函数解析式为：．‎ A B O P M x y ‎ （2）抛物线的对称轴为．‎ ‎∴A点为（3，0），C点为（2，2），M点为（1，0）．‎ ‎ 连接BC，过C作CH⊥OA于H，‎ 可得，，，．‎ ‎ ∴，又∵，‎ ‎∴，∴．‎ ‎∴，CP⊥CA．‎ ‎ （3）∵，∴分情况讨论 ‎ ①E在x轴上时，当PE//AC时，‎ ‎ ∵AC解析式为，∴PE解析式为．‎ ‎ ∴E点为．‎ ① E在y轴上时，当AE//PC时，‎ ‎ ∵PC解析式为，∴AE解析式为．‎ ‎ ∴E点为，‎ ‎ 综上，E点坐标为或．‎ ‎【总结】本题主要考查二次函数的综合应用，注意利用相似判定直线间的位置关系，第（3）小问注意对点的存在性进行分类讨论．‎