2020九年级数学上册 第二十一一元二次方程的根与系数的关系

2020九年级数学上册 第二十一一元二次方程的根与系数的关系

‎21.2.4‎一元二次方程的根与系数的关系 ‎1.已知α，β是关于x的一元二次方程x2+(‎2m+3)x+m2＝0的两个不相等的实数根，且满足：，则m的值是（ ）‎ A．3 B．‎1 C．3或－1 D．－3或1‎ ‎2.已知关于x的一元二次方程x2+2x+k+1＝0的两个实数根分别为x1，x2，且x1，x2满足x1+x2－x1·x2<－1，则k的取值范围在数轴上表示为（ ）‎ ‎3.设方程x2+x－2＝0的两个根分别为α，β，那么(α－1)(β－1)的值等于（ ）‎ A．－4 B．－‎2 C．0 D．2‎ ‎4.已知α，β是方程x2－5x－2＝0的两个实数根，则α2+αβ+β2的值是（ ）‎ A．－1 B．‎9 C．23 D．27‎ ‎5.有两个一元二次方程：M：ax2+bx+c＝0，N：cx2+bx+a＝0，其中a+c＝0，以下四个结论中，错误的是（ ）‎ A．如果方程M有两个不相等的实数根，那么方程N也有两个不相等的实数根 B．如果方程M有两根符号相同，那么方程N的两根符号也相同 C．如果5是方程M的一个根，那么是方程N的一个根 6‎ D．如果方程M和方程N有一个相同的根，那么这个根必是x＝1‎ ‎6.若关于x的一元二次方程x2－(a+5)x+‎8a＝0的两个实数根分别为2和b，则ab＝_____________.‎ ‎7.已知一元二次方程x2－6x－5＝0的两根分别为a，b，则a－1+b－1＝_____________.‎ ‎8.已知m，n是关于x的一元二次方程x2－3x+a＝0的两个解，若(m－1)(n－1)＝－6，则a的值为_____________.‎ ‎9.设x1，x2是一元二次方程x2+5x－4＝0的两个根，若，则m＝_____________.‎ ‎10.（一题多法）已知方程2x2+mx－4＝0的一根为－2，求它的另一根和m的值.‎ ‎11.已知关于x的方程x2－2(k－1)x+k2＝0有两个实数根x1，x2.‎ ‎（1）求k的取值范围；‎ ‎（2）若，求k的值.‎ ‎12.已知一元二次方程x2+3x－1＝0的两根分别是x1，x2，请利用根与系数的关系求：‎ ‎（1）；（2）.‎ 6‎ ‎13.已知x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的两个实数根.‎ ‎（1）是否存在实数a，使－x1+x1x2＝4+x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，请你说明理由.‎ ‎（2）求使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值.‎ ‎14.已知两个数的和为10，积为8，求这两个数.‎ ‎15.已知x1，x2是关于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的两个非零实数根，问：x1和x2能否同号？若能同号，请求出相应的m的取值范围；若不能同号，请说明理由.‎ 6‎ 参考答案 ‎1.A ‎ ‎2.C ‎ ‎3.C ‎ ‎4.D ‎ ‎5.D ‎ ‎6.4 ‎ ‎7. ‎ ‎8.－4 ‎ ‎9.10 ‎ ‎10.解法1：将方程的根x＝－2代入方程，得 ‎2×(－2)2+m×(－2)－4＝0，∴m＝2.‎ 将m＝2代入原方程得2x2+2x－4＝0，‎ 即x2+x－2＝0，解得x1＝－2，x2＝1.‎ 即方程的另一根为1.‎ 解法2：设方程的另一根为x1，‎ 则根据一元二次方程根与系数的关系，得 ‎，，‎ 解得x1＝1，m＝2.‎ ‎11.解：（1）由方程有两个实数根，可得∆＝b2－‎4ac＝4(k－1)2－4k2≥0，解得.‎ ‎（2）依题意可得，x1+x2＝2(k－1)，由（1）可知，∴2(k－1)<0.由，得－2(k－1)＝k2－1，解得k1＝1（舍去），k2＝－3，∴k的值是－3.‎ ‎12.解：由一元二次方程根与系数的关系知x1+x2＝－3，x1x2＝－1.‎ ‎（1）.‎ ‎（2）.‎ 点拨：若方程x2+px+q＝0的两根分别是x1，x2，则x1+x2＝－p，x1x2＝q.分别对 6‎ 和进行恒等变形，将它们分别化为含有x1+x2和x1x2的代数式，然后求解.‎ ‎13解：（1）存在.∵x1，x2是一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0的两个实数根，‎ ‎∴由根与系数的关系可知，，. ‎ ‎∵一元二次方程(a－6)x2+2ax+a＝0有两个实数根，‎ ‎∴∆＝4a2－4(a－6)·a≥0，且a－6≠0，‎ 解得a≥0且a≠6.‎ ‎∵－x1+x1x2＝4+x2，∴x1x2＝4+(x1+x2)，‎ 即，解得a＝24，‎ ‎∴存在实数a，使－x+x1x2＝4+x2成立，a的值是24.‎ ‎（2）∵，∴当(x1+1)(x2+1)为负整数且a为整数时，有a－6＝6，a－6＝3，a－6＝2，a－6＝1，∴a＝12，9，8，7，‎ ‎∴使(x1+1)(x2+1)为负整数的实数a的整数值有12，9，8，7. ‎ ‎14.解：设这两个数分别为x1和x2，则有x1+x2＝10，x1·x2＝8，‎ 所以以这两个数为根的一元二次方程为x2－10x+8＝0，‎ 解这个方程得， .‎ 答：这两个数分别为和.‎ 点拨：本题也可以先设一个未知数，然后列一元二次方程求解.‎ ‎15.解：因为关于x的一元二次方程4x2+4(m－1)x+m2＝0有两个非零实数根，则有：‎ ‎∆＝[4(m－1)]2－4×4m2＝－32m+16≥0，且m2≠0，‎ ‎∴，且m≠0.‎ 又x1，x2是方程4x2+4(m－1)x+m2＝0的两个实数根，‎ ‎∴由一元二次方程根与系数的关系，‎ 得x1+x2＝－(m－1)，.‎ 假设x1，x2同号，则有两种可能：x1<0，x2<0；x1>0，x2>0.‎ ‎（1）若x1<0，x2<0，则有即.‎ 解这个不等式组，得m>1.‎ 6‎ ‎∵且m≠0时方程才有实数根，‎ ‎∴此种情况不成立.‎ ‎（2）若x1>0，x2>0，则有即 解这个不等式组，得m<1.‎ 又∵且m≠0，∴当且m≠0时，两根能同号.‎ 6‎