九年级数学上册第二章一元二次方程5一元二次方程的根与系数的关系教学课件新版北师大版

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*2.5 一元二次方程的根与系数的关系 第二章 一元二次方程 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 掌握一元二次方程的根与系数的关系 . （重点） 2. 会利用根与系数的关系解决有关的问题 . （难点） 学习目标 导入新课 复习引入 1. 一元二次方程的求根公式是什么？ 想一想： 方程的两根 x 1 和 x 2 与系数 a,b,c 还有其它关系吗？ 2. 如何用判别式 b 2 - 4 ac 来判断一元二次方程根的情况？ 对一元二次方程： ax 2 + bx + c = 0( a ≠0) b 2 - 4 ac > 0 时 , 方程有两个不相等的实数根 . b 2 - 4 ac = 0 时 , 方程有两个相等的实数根 . b 2 - 4 ac < 0 时 , 方程无实数根 . 探究一元二次方程的根与系数的关系 一 算一算 解下列方程并完成填空： 方程 x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 - 2 x + 1 = 0 2 x 2 - 3 x + 1 = 0 1 1 2 -1 -1 1 讲授新课 猜一猜 （ 1 ） 若一元二次方程的两根为 x 1 , x 2 , 则有 x - x 1 =0 , 且 x - x 2 =0 , 那么方程 （ x - x 1 )( x - x 2 )=0( x 1 , x 2 为已知数）的两根是什么？将方程化为 x 2 + px + q =0 的形式，你能看出 x 1 , x 2 与 p , q 之间的关系吗？ 重要发现 如果方程 x 2 + px + q =0 的两根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -p , x 1 · x 2 = q . ( x - x 1 )( x - x 2 )=0. x 2 -( x 1 + x 2 ) x + x 1 · x 2 =0 ， x 2 + px + q =0 ， x 1 + x 2 = - p , x 1 · x 2 = q . 猜一猜 （ 2 ） 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么，你可以发现什么结论？ 证一证： 一元二次方程的根与系数的关系 （韦达定理） 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么 注意 满足上述关系的前提条件 b 2 -4 ac ≥0. 归纳总结 一元二次方程的根与系数的关系的应用 二 例 1 ： 利用根与系数的关系，求下列方程的两根之和、两根之积 . （ 1 ） x 2 + 7 x + 6 = 0 ; 解： 这里 a = 1 , b = 7 , c = 6 . Δ = b 2 - 4 ac = 7 2 – 4 × 1 × 6 = 25 > 0 . ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = -7 , x 1 x 2 = 6 . （ 2 ） 2 x 2 - 3 x - 2 = 0 . 解： 这里 a = 2 , b = - 3 , c = - 2 . Δ = b 2 - 4 ac = （ - 3 ） 2 – 4 × 2 × ( - 2) = 25 > 0 , ∴ 方程有两个实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 x 2 = - 1 . 例 2 已知方程 5 x 2 + kx -6=0 的一个根是 2 ，求它的另一个根及 k 的值 . 解：设方 程 5 x 2 + kx -6=0 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =2 . 所以： x 1 · x 2 =2 x 2 = 即： x 2 = 由于 x 1 + x 2 = 2+ = 得： k =-7. 答：方程的另一个根是 ， k =-7. 已知方程 3 x 2 -18 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解：设方程 3 x 2 -18 x + m =0 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，其中 x 1 =1 . 所以： x 1 + x 2 =1+ x 2 =6 ， 即： x 2 =5 . 由于 x 1 · x 2 =1×5= 得： m =15. 答：方程的另一个根是 5 ， m =15. 例 3 不解方程，求方程 2 x 2 +3 x -1=0 的两根的平方和、倒数和 . 解：根据根与系数的关系可知： 设 x 1 , x 2 为方程 x 2 -4 x +1=0 的两个根，则 : （ 1 ） x 1 + x 2 = , (2) x 1 · x 2 = , (3) , (4) . 4 1 14 12 例 4 ： 设 x 1 ， x 2 是方程 x 2 -2( k - 1) x + k 2 =0 的两个实数根，且 x 1 2 + x 2 2 =4 ，求 k 的值 . 解： 由方程有两个实数根，得 Δ = 4 （ k - 1 ） 2 - 4 k 2 ≥ 0 即 - 8 k + 4 ≥ 0 . 由根与系数的关系得 x 1 + x 2 = 2( k - 1) , x 1 x 2 = k 2 . ∴ x 1 2 + x 2 2 = ( x 1 + x 2 ) 2 - 2 x 1 x 2 = 4( k - 1) 2 - 2 k 2 = 2 k 2 - 8 k + 4 . 由 x 1 2 + x 2 2 = 4 ， 得 2 k 2 - 8 k + 4 = 4 , 解得 k 1 = 0 , k 2 = 4 . 经检验， k 2 = 4 不合题意，舍去 . 总结 常见的求值 : 求与方程的根有关的代数式的值时 , 一般先将所求的代数式化成含两根之和 , 两根之积的形式 , 再整体代入 . 归纳 1. 不解方程，求方程两根的和与两根的积： （ 1 ） x 2 + 3 x - 1= 0 ; （ 2 ） 2 x 2 - 4 x + 1 = 0 . 解： (1) 这里 a = 1 , b = 3 , c = - 1 . Δ = b 2 - 4 ac = 3 2 - 4 × 1 × ( - 1) = 13 > 0 ∴ 有实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = - 3 , x 1 x 2 = - 1 . (2) 这里 a = 2 , b = - 4 , c = 1 . Δ = b 2 - 4 ac = ( - 4 ) 2 - 4 × 1 × 2 = 8 > 0 ∴ 有实数根 . 设方程的两个实数根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = 2 , x 1 x 2 = . 当堂练习 2. 已知方程 3 x 2 -19 x + m =0 的一个根是 1 ，求它的另一个根及 m 的值 . 解： 将 x = 1 代入方程中： 3 -19 + m = 0 . 解得 m = 16 , 设另一个根为 x 1 , 则： 1 × x 1 = ∴ x 1 = 3. 设 x 1 , x 2 是方程 3 x 2 + 4 x – 3 = 0 的两个根 . 利用根系数之间的关系 , 求下列各式的值 . (1) ( x 1 + 1)( x 2 + 1) ; (2) 解 : 根据根与系数的关系得： （ 1 ） ( x 1 + 1)( x 2 + 1) = x 1 x 2 + x 1 + x 2 + 1= （ 2 ） 4. 当 k 为何值时，方程 2x 2 -kx+1=0 的两根差为 1 。 解：设方程两根分别为 x 1 ,x 2 (x 1 >x 2 ) ，则 x 1 -x 2 =1 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 拓展提升 由根与系数的关系，得 5. 已知关于 x 的一元二次方程 m x 2 -2mx+ m -2=0 （ 1 ）若方程 有实数根 , 求实数 m 的取值范围 . （ 2 ）若方程两根 x 1 , x 2 满足 ∣x 1 -x 2 ∣= 1 求 m 的值 . 解： (1) 方程有实数根 ∴m的取值范围为m＞0 (2)∵ 方程有实数根 x 1 , x 2 ∵ (x 1 -x 2 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 =1 解得m=8 . 经检验m=8是原方程的解． 课堂小结 根与系数的关系 （韦达定理） 内 容 如果方程 x 2 + px + q =0 的两根是 x 1 , x 2 , 那么 x 1 + x 2 = - p , x 1 · x 2 = q . 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0( a ≠0) 的两个根分别是 x 1 、 x 2 ，那么 应 用 常见变形