九年级数学上册第二十一章一元二次方程21-2解一元二次方程21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系

九年级数学上册第二十一章一元二次方程21-2解一元二次方程21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系

第 21 章：一元二次方程 21.2 解一元二次方程 21.2.5 一元二次方程的根与系数的关系 1. 一元二次方程的解法 2. 求根公式 一、知识回顾 学习目标： 1. 理解并掌握根与系数关系： x 1 + x 2 = - , x 1 · x 2 = 2. 会用根的判别式及根与系数关系解题 . 二、 目标展示 方程 x 1 x 2 x 1 + x 2 x 1 · x 2 x 2 -3 x +2=0 x 2 -2 x -3=0 x 2 -5 x +4=0 问题：你发现这些一元二次方程的两根 x 1 + x 2 ，与 x 1 • x 2 系数有什么规律？ 猜想：当二次项系数为 1 时，方程 x 2 + px + q =0 的两根为 x 1, , x 2 2 1 3 2 -1 3 2 -3 1 4 5 4 三、 导入新课 方 程 -2 x 1 + x 2 ， x 1 ∙ x 2 与系数有什么规律 ? 如果一元二次方程 ax 2 + bx + c =0 （ a 、 b 、 c 是常数且 a ≠ 0 ） 的两根为 x 1 、 x 2 ， 则： x 1 + x 2 和 x 1 .x 2 与 系数 a ， b ， c 的关系 . 探究新知： 任何一个一元二次方程的根与系数的关系： 如果方程 ax 2 +bx+c=0(a≠0) 的两个根是 X 1 , X 2 , 那么 x 1 + x 2 = , x 1 · x 2 = - （韦达定理） 注：能用根与系数的关系的前提条件为 b 2 -4ac≥0 例1、不解方程，求下列方程两根的和与积. 例题讲解： 在使用根与系数的关系时，应注意： ⑴不是一般式的要先化成一般式； ⑵在使用 x 1 + x 2 = － 时， 注意“ － ”不要漏写. 例2、设 是方程 的两个根，利用根与系数的关系，求下列各式的值. 关于两根几种常见的求值 例3、求一个一元二次方程，使它的两个根是2和3，且二 次项系数为 1. 变式：且二次项系数为5 例 4 、已知关于x的方程x 2 -5x-2=0（1）,且关于y的方程的两根分别是关于方程（1）的两根 的平方. 求关于y的方程. 的倒数. 的相反数. 比 都大2. 例 5 、小明和小敏解同一个一元二次方程时，小明看错了一次项系数所求出的根为-9和-1；小敏看错了常数项所求出的根是8和2。你知道原来的方程是什么吗？ 1. 甲、乙二人解同一个一元二次方程时，甲看错了常数项所求出的根为 1 ， 4 ；乙看错了一次项系数所求出的根是 -2 ， -3 。则这个一元二次方程为 _____________________ x 2 -5 x +6=0 课堂练习： 2 、如果－1是方程的一个根， 2 x 2 - x + m =0 则另一个根是____ ｍ=____。 （ 还有其他解法吗？ ) -3 3 、 已知3是方程 x 2 - mx -3=0 的一根，求m及另一根 . 3 2 例 7 、方程 x 2 + px + q =0 的两根同为正数，求p、q的取值范围. 四、求方程中的待定系数 4 、 方程 有一个正根，一个负根，求m的取值范围. 解 : 由已知 , △= 即 m>0 m-1<0 ∴00 ∴ 方程总有两个不相等的实数根 (2) 由题意得 : 解得 : 当 时方程的一根大于 1, 另一根小于 1 练习 : *1.当a取什么值时,关于未知数x的方程ax 2 +4x-1=0,只有正实数根? *2.已知:x 1 ,x 2 是关于x的一元二次方程4x 2 +4(m-1)x+m 2 =0的两个非零实根,问x 1, x 2 能否同号?若能同号,请求出相应m的取值范围;若不能同号,请说明理由. *** 题9 在△ABC中a,b,c分别为∠A, ∠B,∠C 的对边,且c= ,若关于x的方程 有两个相等的实数根,又方程 的两实数根的平方和为6,求△ABC的面积. 拓广探索 1 、当 k 为何值时，方程 2x 2 -(k+1)x+k+3=0 的两根差为 1 。 解：设方程两根分别为 x 1 ,x 2 (x 1 >x 2 ) ，则 x 1 -x 2 =1 ∵ (x 2 -x 1 ) 2 =(x 1 +x 2 ) 2 -4x 1 x 2 由根与系数的关系得 x 1 +x 2 = , x 1 x 2 = ∴ 解得 k 1 =9,k 2 = -3 当 k=9 或 -3 时，由于△≥ 0 ，∴ k 的值为 9 或 -3 。