中考数学专题复习练习:函数的性质

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中考数学专题复习练习:函数的性质

例1、下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系,判断y是x的函数吗?如果不是,说明出理由.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎-5‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ 解:(1)y是x的函数;‎ ‎ (2)y是x的函数;‎ ‎ (3)y不是x的函数,因为对于变量x=1,变量y有1与-1两个值与它对应;‎ ‎ (4)y是x的函数 说明:对于x的每一个值,y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.‎ 例 2、判断下列关系是不是函数关系?‎ ‎(1)长方形的宽一定时,其长与面积;‎ ‎(2)等腰三角形的底边长与面积;‎ ‎(3)某人的年龄与身高;‎ ‎(4)关系式| y |=x中的y与x.‎ 分析:判断一个关系是不是函数关系,第一要看是不是一个变化过程;第二要看在这个变化过程中,是不是有两个变量;第三要看自变量每取一个确定值,函数是不是都有唯一确定的值与它对应.‎ 解:(1)长方形的宽一定时,其长所取的每一个确定的值,面积都有唯一确定的值与它对应,所以长与面积是函数关系.‎ ‎(2)因为三角形的面积受底和高两个因素的影响,当等腰三角形的底取一个定值时,它的面积又受高的影响,不能有唯一确定的值和底相对应,所以底边长与面积不是函数关系.‎ ‎(3)人的任意一个确定的年龄,都有唯一确定的身高与之相对应,所以某人的年龄与身高是函数关系.‎ ‎ (4)x每取一个正值,y都有两个值与它对应,所以| y | = x不是函数关系.‎ 说明:年龄与身高的变化不按某种规律,但某人每一个确定的年龄,必有唯一确定的身高和 它相对应,因此函数关系是一定的,所以不要以为存在一定比例关系或一定规律,能用解析式表示的才是函数关系.‎ 例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳,它的平均速度为80千米/小时,求汽车距沈阳的路程S(千米)与行驶时间t(小时)的函数关系式,写出自变量的取值范围.‎ 分析:北京距沈阳850千米,汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程,已行驶的路程等于速度乘以时间.‎ 解:‎ ‎ ‎ ‎ 得 ‎ ‎ ‎ 于是汽车距沈阳的路程S与时间t的函数关系式为,自变量t的取值范围是 例 4、求下列函数中自变量x的取值范围:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ 分析:求自变量的取值范围,应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.(1)、(2)小题函数解析式是整式,故自变量可取任意实数;(3)、(4)小题解析式是分式,自变量可取使分母不为0的任意实数;(5)、(7)、(8)小题的解析式是二次根式,自变量取值应使被开方数非负;(6)小题既有分母又有二次根式,自变量取值应使分母不为0,又要使二次根式的被开方数非负.‎ 解:(1)函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎(2)函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎(3)‎ ‎ 当时,分母,‎ 函数的自变量的取值范围是;‎ ‎(4)由解得 ‎ 当或时,分母,‎ ‎ 函数的自变量x 的取值范围是且 ‎(5)由解得,‎ 函数的自变量x的取值范围是 ;‎ ‎(6)由得,由得,当时,分母,‎ 函数的自变量x的取值范围是且;‎ ‎(7)‎ 即对于任意实数x,都是非负的,‎ ‎ 函数的自变量x的取值范围是全体实数;‎ ‎(8)由得 因此,函数的自变量x的取值范围是.‎ 典型例题五 例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点,请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式,并简要说明解答过程.(2002年山东省青岛市中考题)‎ 分析 :由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知,因此所确定函数解析式的形式可能是直线型,也可能是双曲线、抛物线型,还可能是其他形状的,故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式:‎ ‎(1)若经过A、B两点的函数的图象是直线,设其解析式为,则有 解之,得 此时,函数解析式为 ‎(2)由于A、B两点的横、纵坐标的积相等,都等于4,所以,经过A、B两点的函数的图象还可以是双曲线,其解析式为:.‎ ‎(3)如果经过A、B两点的函数的图象是抛物线,设其解析式为 ‎(),则有 解之,得 因此,只要、、同时满足关系式和,即可保证二次函数()的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点;显然,这样的二次函数有无数个.如取=1,则有=-5,=8,相应图象所对应的二次函数的解析式为:.‎ ‎(4)其他略.‎ 典型例题六 例 (北京市海淀区,1999)如图,在矩形中,是边上与点不重合的动点,过点直线交的延长线于,交于(与不重合),且。设,梯形的面积为,求与之间的函数关系,并求自变量的取值范围。‎ 解 在矩形中,,。‎ ‎∵ ,∴ ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∵ ∥,∴ 。‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ 当与重合时,‎ ‎∵与不重合,与不重合,‎ ‎∴ 自变量的取值范围是 典型例题七 例 下列函数中与y=3x 表示同一函数的是( )‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4) (5)‎ 分析:只有对应关系相同,自变量的取值范围相同,函数值的取值范围也相同的函数才是同一函数.‎ 解:(1)与y=3x的对应关系不同,所以它们不是同一函数.‎ ‎(2)中x不能取0,而y=3x中x可取任意实数,因此,自变量的取值范围不同,它们不是同一函数.‎ ‎(3)中x的取值范围是非负数,所以它与y=3x表示不同的函数.‎ ‎(4)中函数值范围是非负数.所以与y=3x不是同一函数.‎ ‎(5)因为与y=3x的对应关系相同,函数值的取值范围也相同,所以它们是同一函数.‎ 典型例题八 例 求下列函数中自变量x的取值范围:‎ ‎(1) (2)‎ ‎(3) (4)‎ ‎(5) (6)‎ ‎(7) (8)‎ 分析:求自变量的取值范围,应考虑自变量的取值使函数解析式有意义。(1)、(2)小题函数解析式是整式,故自变量可取任意实数;(3)、(4)小题解析式是分式,自变量可取使分母不为0的任意实数;(5)、(7)、(8)小题的解析式是二次根式,自变量取值应使被开方数非负;(6)小题既有分母又有二次根式,自变量取值应使分母不为0,又要使二次根式的被开方数非负。‎ 解:(1)函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎(2)函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎(3)‎ ‎ 当时,分母,‎ 函数的自变量的取值范围是;‎ ‎(4)由解得 ‎ 当或时,分母,‎ ‎ 函数的自变量x 的取值范围是且 ‎(5)由解得,‎ 函数的自变量x的取值范围是 ;‎ ‎(6)由得,由得,当时,分母,‎ 函数的自变量x的取值范围是且;‎ ‎(7)‎ 即对于任意实数x,都是非负的,‎ ‎ 函数的自变量x的取值范围是全体实数;‎ ‎(8)由得 因此,函数的自变量x的取值范围是 典型例题九 例 下列函数中与表示同一函数的是一个函数?‎ ‎ (1)与;‎ ‎(2)与;‎ ‎(3)与;‎ ‎(4)与.‎ 解:(1)它们不是同一函数。‎ ‎(的取值范围不同)‎ ‎(2)它们不是同一函数。‎ ‎(函灵敏的对应关系不同)‎ ‎(3)它们不是同一函数 ‎(函数值的取值范围不同)‎ ‎(4)它们是同一函数 ‎(对应关系相同,自变量,函数值的取值范围均相同)‎ 典型例题十 例 求下列函数自变量的取值范围:‎ ‎(1);(2);‎ ‎(3);(4);‎ ‎(5);(6).‎ 解:(1)自变量的取值范围是一切实数 ‎(函数表达式为整式,取一切实数)‎ ‎(2),‎ ‎(函数表达式为分式,取分母不为0的一切实数)‎ ‎(3) ‎ ‎(函数表达式为二次根式取被开方数不小于0的实数)‎ ‎(4)取一切实数 ‎(函数表达式为三次根式,为任意实数)‎ ‎(5)(这里不能用“或”应用“且”)‎ 解得 自变量的取值范围是,且的一切实数 ‎(6)‎ ‎(配方是关键)‎ 为任意实数时,均有意义即自变量的取值范围为一切实数.‎ 典型例题十一 例 已知函数,当时,,(1)确定此函数(2)求当时,的值 解:(1)当,(要理解函数值的定义)时,有 即 ‎(实际是解方程)‎ 解出:‎ 把,代入得 ‎(求出的值代回函数中)‎ 自变量的取值范围是的全体实数 ‎(这一步要注明)‎ ‎(2)当时,‎ ‎(实际是求代数式的值)‎ 当时,函数值是.‎ 典型例题十二 例 一盛满10吨水的水箱,每小时流出吨水。水箱中水量(吨)与时间(时)之间有什么函数关系?的取值范围是什么?‎ 解 ∵ 每小时流出吨水,∴ 小时流出吨。∴ ‎ 显然,有 ∴ ∴ .‎ 说明:本题考查函数式的列法,解题关键是要弄清各数量之间的关系,易错点是忽视在实际问题中自变量的取值范围.‎ 选择题 ‎1. 在中,它的底边长是a,底边上的高是h,则三角形面积,当a为定长时,在此式子中(   )‎ ‎(A)S、h是变量,a是常量 (B)S、h、a是变量,是常量 ‎(C)a、h是变量,、S是常量 (D)S是变量,、a、h是常量 ‎2. 在函数中,自变量x的取值范围是(  )‎ ‎(A)  (B)   ‎ ‎(C)且    (D)或 ‎3. 已知函数,当时函数值为1,则m值为(  )‎ ‎(A)1  (B)3   (C)-3    (D)-1‎ ‎4. 若函数,与函数值对应的x的值是(  )‎ ‎(A)或  (B)或  ‎ ‎(C)且    (D)或 ‎5. 自变量的取值范围是的函数是( )‎ ‎(A)  (B)   ‎ ‎(C)    (D)‎ ‎6.函数中,自变量x的取值范围是( )‎ A. B. C.且 D.‎ ‎7.函数的自变量x的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.下列函数中,自变量取值范围选取错误的是( )‎ A.中,x取全体实数 B.中,‎ C.中, D.中,‎ ‎9.如果每盒圆珠笔有12支,售价18元,那么圆珠笔的售价y(元)与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.已知函数的自变量x的取值范围是全体实数,则实数m的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎11.已知函数 ‎,其中相同的两个函数是( )‎ A.与 B.与 C.与 D.与 ‎12.有一内角为120°的平行四边形,它的周长为l,如果它的一边为x,与它相邻的另一边长y与x之间的函数关系式及x的取值范围是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ 答案 ‎1.A 2. C 3. B 4. A 5. D 6.A 7.C 8.B 9.A 10.A 11.D 12.B .‎ 填空题 ‎1.函数中自变量x的取值范围是_______.‎ ‎2.函数的自变量x的取值范围是_________.‎ ‎3.函数中自变量x的取值范围是______;函数中自变量x的取值范围是_______.‎ ‎4.14. 中自变量x的取值范围是______.‎ ‎5.圆锥的体积为,则圆锥的高h(cm)与底面积之间的函数关系是________.‎ ‎6.将改用x的代数式表示y的形式是_____;其中x的取值范围是________.‎ ‎7.函数中自变量x的取值范围是________.‎ ‎8.物体从离A处20m的B处以6m/s的速度沿射线AB方向作匀速直线运动,t秒钟后物体离A处的距离为sm,则s与t之间的函数关系式是________,自变量t的取值范围是_______.‎ ‎9.等腰三角形的周长是50cm,底边长是xcm,一腰长为ycm,则y与x之间的函数关系式是______;自变量x的取值范围是______.‎ ‎10. 平行四边形相邻的边长为x、y,它的周长是30,则y关于x的函数关系式是_______,‎ ‎ 自变量x的取值范围是 .‎ ‎11. 某水果批发市场规定,批发水果不少于100千克时,批发价为每千克2.5元.小于携带现金3000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,则y与x之间的函数关系式是___,自变量x的取值范围是 .‎ ‎12. 用50牛的力推动一个物体,所做的功W(焦)与物体移动距离S(米)之间的函数关系式是 ‎ ‎ ,自变量S的取值范围是 .‎ 答案 ‎1. 2.且 3. 4. 5. 6. 7.且和2 8. 9. ‎ ‎10. 11. 12. .‎ 解答题 ‎1、分别指出下列各关系式中的变量与常量:‎ (1) 球的表面积S(cm2)与球半径R(cm)的关系式是S=4πR2;‎ (2) 设圆柱的底面半径R(cm)不变,圆柱的体积V(m3)与圆柱的高h(m)的关系式是v=πR2h;‎ (3) 以固定的速度VO(米/秒)向上抛一个小球,小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之 间的关系式是h=VOt-4.9t2.‎ ‎2、分别写出下列函数关系式,并指出式中的自变量与函数:‎ (1) 设一长方体盒子高为10cm,底面是正方形,求这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系;‎ (2) 秀水村的耕地面积是106(m2),求这个村人均占有耕地面积x(m2)与人数n的关系 (3) 设地面气温是20℃,如果每升高1km,气温下降6℃,求气温t(℃)与高度h(km)的关系.‎ ‎3.已知。 ‎ ‎(1)用含的代数式表示,并指出的取值范围;‎ ‎(2)求当时,的值;当时,的值。‎ ‎4.写出等腰三角形的顶角的度数与底角的函数关系式,并求出自变量的取值范围。‎ ‎5.求下列函数中,自变量x的取值范围;‎ ‎  ‎ ‎6.求下列函数自变量的取值范围 ‎(1); (2);‎ ‎(3); (4).‎ ‎7.已知函数 ‎(1)求自变量的取值范围;‎ ‎(2)若点在此函数的图象上,求的值;‎ ‎(3)在此函数的图象上,是否有纵坐标为2的点?求出该点的坐标;若没有,请说明理由。‎ ‎8.在中,已知,任取AB上一点M,作,设AM的长为x,平行四边形MPCQ的周长为y,求出y关于x的函数关系式和自变量的取值范围.‎ ‎9.中,已知的平分线交于点D,设和的度数分别为x和y,写出y与x之间的函数关系式,并求x的取值范围.‎ ‎10.设某种电报收费标准是每个字0.1元,写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系式,并求自变量x的取值范围.‎ 答案:‎ ‎1.略 2.(1)V=10a2,自变量是a,函数是V;(2),自变量是n,函数是x;(3)t=20-6h,自变量是h,函数是t. ‎ ‎3.(1),取值范围是的一切实数(2)时,,,‎ ‎4.‎ ‎5.(1)全体实数(2)(3)(4)‎ ‎6.(1)全体实数;(2)且;(3)且;(4)且 ‎7.(1)且的全体实数(2)(3)不存在 ‎8. 9.‎ ‎10.y=0.1x,x取正整数.‎
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