中考数学专题复习练习：函数的性质

中考数学专题复习练习：函数的性质

例1、下面的表分别给出了变量x与y之间的对应关系，判断y是x的函数吗？如果不是，说明出理由.‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎6‎ ‎9‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎11‎ ‎8‎ ‎12‎ ‎15‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎-5‎ ‎-2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ ‎9‎ 解：（1）y是x的函数；‎ ‎ （2）y是x的函数；‎ ‎ （3）y不是x的函数，因为对于变量x=1，变量y有1与-1两个值与它对应；‎ ‎ （4）y是x的函数 说明：对于x的每一个值，y都有唯一的值与它对应.第四个是常数函数它符合函数的定义.‎ 例 2、判断下列关系是不是函数关系？‎ ‎（1）长方形的宽一定时，其长与面积；‎ ‎（2）等腰三角形的底边长与面积；‎ ‎（3）某人的年龄与身高；‎ ‎（4）关系式| y |=x中的y与x.‎ 分析：判断一个关系是不是函数关系，第一要看是不是一个变化过程；第二要看在这个变化过程中，是不是有两个变量；第三要看自变量每取一个确定值，函数是不是都有唯一确定的值与它对应.‎ 解：（1）长方形的宽一定时，其长所取的每一个确定的值，面积都有唯一确定的值与它对应，所以长与面积是函数关系.‎ ‎（2）因为三角形的面积受底和高两个因素的影响，当等腰三角形的底取一个定值时，它的面积又受高的影响，不能有唯一确定的值和底相对应，所以底边长与面积不是函数关系.‎ ‎（3）人的任意一个确定的年龄，都有唯一确定的身高与之相对应，所以某人的年龄与身高是函数关系.‎ ‎ （4）x每取一个正值，y都有两个值与它对应，所以| y | = x不是函数关系.‎ 说明：年龄与身高的变化不按某种规律，但某人每一个确定的年龄，必有唯一确定的身高和 它相对应，因此函数关系是一定的，所以不要以为存在一定比例关系或一定规律，能用解析式表示的才是函数关系.‎ 例 3、汽车由北京驶往相距850千米的沈阳，它的平均速度为80千米/小时，求汽车距沈阳的路程S（千米）与行驶时间t（小时）的函数关系式，写出自变量的取值范围.‎ 分析：北京距沈阳850千米，汽车距沈阳的路程等于全程减去已行驶的路程，已行驶的路程等于速度乘以时间.‎ 解：‎ ‎ ‎ ‎ 得 ‎ ‎ ‎ 于是汽车距沈阳的路程S与时间t的函数关系式为，自变量t的取值范围是 例 4、求下列函数中自变量x的取值范围：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ 分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义.（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负.‎ 解：（1）函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎（2）函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎（3）‎ ‎ 当时，分母，‎ 函数的自变量的取值范围是；‎ ‎（4）由解得 ‎ 当或时，分母，‎ ‎ 函数的自变量x 的取值范围是且 ‎（5）由解得，‎ 函数的自变量x的取值范围是 ；‎ ‎（6）由得，由得，当时，分母，‎ 函数的自变量x的取值范围是且；‎ ‎（7）‎ 即对于任意实数x，都是非负的，‎ ‎ 函数的自变量x的取值范围是全体实数；‎ ‎（8）由得 因此，函数的自变量x的取值范围是.‎ 典型例题五 例 已知函数的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点，请你写出满足上述条件的两个不同的函数解析式，并简要说明解答过程.（2002年山东省青岛市中考题）‎ 分析 ：由于题中所经过A(1,4)、B(2,2)两点的函数解析式的类型未告知，因此所确定函数解析式的形式可能是直线型，也可能是双曲线、抛物线型，还可能是其他形状的，故可采用下列几种途径来确定满足题设条件的解析式：‎ ‎（1）若经过A、B两点的函数的图象是直线，设其解析式为，则有 解之，得 此时，函数解析式为 ‎（2）由于A、B两点的横、纵坐标的积相等，都等于4，所以，经过A、B两点的函数的图象还可以是双曲线，其解析式为：.‎ ‎（3）如果经过A、B两点的函数的图象是抛物线，设其解析式为 ‎（），则有 解之，得 因此，只要、、同时满足关系式和，即可保证二次函数（）的图象经过A(1,4)、B(2,2)两点；显然，这样的二次函数有无数个.如取=1，则有=-5，=8，相应图象所对应的二次函数的解析式为：.‎ ‎（4）其他略.‎ 典型例题六 例 （北京市海淀区，1999）如图，在矩形中，是边上与点不重合的动点，过点直线交的延长线于，交于（与不重合），且。设，梯形的面积为，求与之间的函数关系，并求自变量的取值范围。‎ 解 在矩形中，，。‎ ‎∵ ，∴ ∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ ‎∵ ∥，∴ 。‎ ‎∴ ‎ ‎∴ ‎ ‎∵ ∴ ‎ 当与重合时，‎ ‎∵与不重合，与不重合，‎ ‎∴ 自变量的取值范围是 典型例题七 例 下列函数中与y=3x 表示同一函数的是（ ）‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4） （5）‎ 分析：只有对应关系相同，自变量的取值范围相同，函数值的取值范围也相同的函数才是同一函数.‎ 解：（1）与y=3x的对应关系不同，所以它们不是同一函数.‎ ‎（2）中x不能取0，而y=3x中x可取任意实数，因此，自变量的取值范围不同，它们不是同一函数.‎ ‎（3）中x的取值范围是非负数，所以它与y=3x表示不同的函数.‎ ‎（4）中函数值范围是非负数.所以与y=3x不是同一函数.‎ ‎（5）因为与y=3x的对应关系相同，函数值的取值范围也相同，所以它们是同一函数.‎ 典型例题八 例 求下列函数中自变量x的取值范围：‎ ‎（1） （2）‎ ‎（3） （4）‎ ‎（5） （6）‎ ‎（7） （8）‎ 分析：求自变量的取值范围，应考虑自变量的取值使函数解析式有意义。（1）、（2）小题函数解析式是整式，故自变量可取任意实数；（3）、（4）小题解析式是分式，自变量可取使分母不为0的任意实数；（5）、（7）、（8）小题的解析式是二次根式，自变量取值应使被开方数非负；（6）小题既有分母又有二次根式，自变量取值应使分母不为0，又要使二次根式的被开方数非负。‎ 解：（1）函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎（2）函数的自变量x的取值范围是躯体实数 ‎（3）‎ ‎ 当时，分母，‎ 函数的自变量的取值范围是；‎ ‎（4）由解得 ‎ 当或时，分母，‎ ‎ 函数的自变量x 的取值范围是且 ‎（5）由解得，‎ 函数的自变量x的取值范围是 ；‎ ‎（6）由得，由得，当时，分母，‎ 函数的自变量x的取值范围是且；‎ ‎（7）‎ 即对于任意实数x，都是非负的，‎ ‎ 函数的自变量x的取值范围是全体实数；‎ ‎（8）由得 因此，函数的自变量x的取值范围是 典型例题九 例 下列函数中与表示同一函数的是一个函数？‎ ‎ （1）与；‎ ‎（2）与；‎ ‎（3）与；‎ ‎（4）与.‎ 解：（1）它们不是同一函数。‎ ‎（的取值范围不同）‎ ‎（2）它们不是同一函数。‎ ‎（函灵敏的对应关系不同）‎ ‎（3）它们不是同一函数 ‎（函数值的取值范围不同）‎ ‎（4）它们是同一函数 ‎（对应关系相同，自变量，函数值的取值范围均相同）‎ 典型例题十 例 求下列函数自变量的取值范围：‎ ‎（1）；（2）；‎ ‎（3）；（4）；‎ ‎（5）；（6）.‎ 解：（1）自变量的取值范围是一切实数 ‎（函数表达式为整式，取一切实数）‎ ‎（2），‎ ‎（函数表达式为分式，取分母不为0的一切实数）‎ ‎（3） ‎ ‎（函数表达式为二次根式取被开方数不小于0的实数）‎ ‎（4）取一切实数 ‎（函数表达式为三次根式，为任意实数）‎ ‎（5）（这里不能用“或”应用“且”）‎ 解得 自变量的取值范围是，且的一切实数 ‎（6）‎ ‎（配方是关键）‎ 为任意实数时，均有意义即自变量的取值范围为一切实数.‎ 典型例题十一 例 已知函数，当时，，（1）确定此函数（2）求当时，的值 解：（1）当，（要理解函数值的定义）时，有 即 ‎（实际是解方程）‎ 解出：‎ 把，代入得 ‎（求出的值代回函数中）‎ 自变量的取值范围是的全体实数 ‎（这一步要注明）‎ ‎（2）当时，‎ ‎（实际是求代数式的值）‎ 当时，函数值是.‎ 典型例题十二 例 一盛满10吨水的水箱，每小时流出吨水。水箱中水量（吨）与时间（时）之间有什么函数关系？的取值范围是什么？‎ 解 ∵ 每小时流出吨水，∴ 小时流出吨。∴ ‎ 显然，有 ∴ ∴ .‎ 说明：本题考查函数式的列法，解题关键是要弄清各数量之间的关系，易错点是忽视在实际问题中自变量的取值范围.‎ 选择题 ‎1. 在中，它的底边长是a，底边上的高是h，则三角形面积，当a为定长时，在此式子中（　　　）‎ ‎（A）S、h是变量，a是常量 （B）S、h、a是变量，是常量 ‎（C）a、h是变量，、S是常量 （D）S是变量，、a、h是常量 ‎2. 在函数中，自变量x的取值范围是（　　）‎ ‎（A）　 （B） 　　‎ ‎（C）且　　　 （D）或 ‎3. 已知函数，当时函数值为1，则m值为（　　）‎ ‎（A）1　 （B）3　　 （C）-3　　　 （D）-1‎ ‎4. 若函数，与函数值对应的x的值是（　　）‎ ‎（A）或　 （B）或　　‎ ‎（C）且　　　 （D）或 ‎5. 自变量的取值范围是的函数是（ ）‎ ‎（A）　 （B）　　 ‎ ‎（C）　　　 （D）‎ ‎6．函数中，自变量x的取值范围是（ ）‎ A． B． C．且 D．‎ ‎7．函数的自变量x的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．下列函数中，自变量取值范围选取错误的是（ ）‎ A．中，x取全体实数 B．中，‎ C．中， D．中，‎ ‎9．如果每盒圆珠笔有12支，售价18元，那么圆珠笔的售价y（元）与圆珠笔的支数x之间的函数关系式是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．已知函数的自变量x的取值范围是全体实数，则实数m的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知函数 ‎，其中相同的两个函数是（ ）‎ A．与 B．与 C．与 D．与 ‎12．有一内角为120°的平行四边形，它的周长为l，如果它的一边为x，与它相邻的另一边长y与x之间的函数关系式及x的取值范围是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ 答案 ‎1.A 2. C 3. B 4. A 5. D 6．A 7．C 8．B 9．A 10．A 11．D 12．B .‎ 填空题 ‎1．函数中自变量x的取值范围是_______.‎ ‎2．函数的自变量x的取值范围是_________.‎ ‎3．函数中自变量x的取值范围是______；函数中自变量x的取值范围是_______.‎ ‎4．14. 中自变量x的取值范围是______.‎ ‎5．圆锥的体积为，则圆锥的高h（cm）与底面积之间的函数关系是________.‎ ‎6．将改用x的代数式表示y的形式是_____；其中x的取值范围是________.‎ ‎7．函数中自变量x的取值范围是________.‎ ‎8．物体从离A处20m的B处以6m/s的速度沿射线AB方向作匀速直线运动，t秒钟后物体离A处的距离为sm，则s与t之间的函数关系式是________，自变量t的取值范围是_______.‎ ‎9．等腰三角形的周长是50cm，底边长是xcm，一腰长为ycm，则y与x之间的函数关系式是______；自变量x的取值范围是______.‎ ‎10. 平行四边形相邻的边长为x、y，它的周长是30，则y关于x的函数关系式是_______，‎ ‎ 自变量x的取值范围是 .‎ ‎11. 某水果批发市场规定，批发水果不少于100千克时，批发价为每千克2.5元.小于携带现金3000元到市场采购苹果,并以批发价买进,如果购买的苹果为x千克,小王付款后的剩余现金为y元,则y与x之间的函数关系式是＿＿＿,自变量x的取值范围是 .‎ ‎12. 用50牛的力推动一个物体,所做的功W(焦)与物体移动距离S(米)之间的函数关系式是 ‎ ‎ ,自变量S的取值范围是 .‎ 答案 ‎1． 2．且 3． 4． 5． 6． 7．且和2 8． 9． ‎ ‎10. 11. 12. .‎ 解答题 ‎1、分别指出下列各关系式中的变量与常量：‎ (1) 球的表面积S(cm2)与球半径R(cm)的关系式是S=4πR2;‎ (2) 设圆柱的底面半径R(cm)不变，圆柱的体积V(m3)与圆柱的高h(m)的关系式是v=πR2h;‎ (3) 以固定的速度VO(米／秒)向上抛一个小球，小球的高度h(米)与小球运动的时间t(秒)之 间的关系式是h=VOt-4.9t2.‎ ‎2、分别写出下列函数关系式，并指出式中的自变量与函数：‎ (1) 设一长方体盒子高为10cm，底面是正方形，求这个长方体的体积V(cm3)与底面边长a(cm)的关系；‎ (2) 秀水村的耕地面积是106(m2)，求这个村人均占有耕地面积x(m2)与人数n的关系 (3) 设地面气温是20℃，如果每升高1km，气温下降6℃，求气温t(℃)与高度h(km)的关系.‎ ‎3．已知。 ‎ ‎（1）用含的代数式表示，并指出的取值范围；‎ ‎（2）求当时，的值；当时，的值。‎ ‎4．写出等腰三角形的顶角的度数与底角的函数关系式，并求出自变量的取值范围。‎ ‎5.求下列函数中，自变量x的取值范围；‎ ‎　　‎ ‎6．求下列函数自变量的取值范围 ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）.‎ ‎7．已知函数 ‎（1）求自变量的取值范围；‎ ‎（2）若点在此函数的图象上，求的值；‎ ‎（3）在此函数的图象上，是否有纵坐标为2的点？求出该点的坐标；若没有，请说明理由。‎ ‎8．在中，已知，任取AB上一点M，作，设AM的长为x，平行四边形MPCQ的周长为y，求出y关于x的函数关系式和自变量的取值范围.‎ ‎9．中，已知的平分线交于点D，设和的度数分别为x和y，写出y与x之间的函数关系式，并求x的取值范围.‎ ‎10.设某种电报收费标准是每个字0.1元，写出电报费y(元)与字数x(个)之间的函数关系式，并求自变量x的取值范围.‎ 答案：‎ ‎1.略 2.(1)V=10a2，自变量是a，函数是V；(2)，自变量是n，函数是x;(3)t=20-6h,自变量是h，函数是t.　‎ ‎3．（1），取值范围是的一切实数（2）时，，，‎ ‎4．‎ ‎5.（1）全体实数（2）（3）（4）‎ ‎6．（1）全体实数；（2）且；（3）且；（4）且 ‎7．（1）且的全体实数（2）（3）不存在 ‎8． 9．‎ ‎10.y=0.1x,x取正整数.‎