九年级数学上册第四章图形的相似7相似三角形的性质第1课时相似三角形中的对应线段之比教学课件新版北师大版

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4.7 相似三角形的性质 第四章 图形的相似 第 1 课时 相似三角形中的对应线段之比 导入新课 讲授新课 当堂练习 课堂小结 1. 明确相似三角形中对应线段与相似比的关系 . （重点） 2. 能熟练运用相似三角形的性质解决实际问题．（难点） 学习目标 A C B A 1 C 1 B 1 问题 1 ： Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 相似吗？ 导入新课 A C B A 1 C 1 B 1 相似三角形对应角相等、对应边成比例 . Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1 思考： 三角形中，除了角度和边长外，还有哪些几 何量？ 高、角平分线、中线的长度，周长、面积等 高 角平分线 中线 A C B D ∟ A 1 C 1 B 1 D 1 ∟ 1. CD 和 C 1 D 1 分别是它们的高，你知道 比值是多少吗？ 2. 如果 CD 和 C 1 D 1 分别是他们的对应角平分线呢？ 3. 如果 CD 和 C 1 D 1 分别是他们的对应中线呢？ A C B D A 1 C 1 B 1 D 1 想一想 量一量，猜一猜 D 1 A 1 C 1 B 1 ∟ A C B D ∟ Δ ABC ∽ Δ A 1 B 1 C 1 , ,CD 和 C 1 D 1 分别是它们的高 , 你知道 等于多少吗？ 讲授新课 相似三角形对应高的比等于相似比 一 证明 : ∵△ A′B′C ′ ∽△ ABC ， ∴ ∠ B ′ = ∠ B ． 又∵ ∠ AD′B =∠ ADB = 90 ° , ∴△ A′B′D ′ ∽△ ABD (两角对应相等的两个三角形相似) . 从而 (相似三角形的对应边成比例) . 问题 ： 如图， △ A′B′C ′ ∽△ ABC ，相似比为 k ，分别作 BC ， B′C ′ 上的高 AD， A′D ′ ． 求证： 由此得到： 相似三角形对应高的比等于相似比． 　　类似的，我们可以得到其余两组对应边上的高的比也等于相似比． 归纳总结 如图 , 电灯 P 在横杆 AB 的正上方， AB 在灯光下的影子为 CD ， AB∥CD ， AB=2m ， CD=4m ，点 P 到 CD 的距离是 3m ，则 P 到 AB 的距离是 m. P A D B C 2 4 1.5 练一练 例 1 ： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . （ 1 ） AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ （ 2 ） Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ （ 3 ）求正方形 PQRS 的边长 . S R Q P E D C B A 典例精析 （ 1 ） AE 是 Δ ASR 的高吗？为什么？ 解： AE 是 Δ ASR 的高 . 理由如下： ∵AD 是 Δ ABC 的高， ∴ ∠ ADC=90 °. ， ∵ 四边形 PQRS 是正方形 ∴ SR ∥BC ∴∠ AER= ∠ ADC=90 ° ， ∴ AE 是 Δ ASR 的高 . S R Q P E D C B A BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . （ 2 ） Δ ASR 与 Δ ABC 相似吗？为什么？ 解： Δ ASR 与 Δ ABC 相似 . 理由如下 : ∵ SR∥BC ， ∴ Δ ASR∽ Δ ABC. S R Q P E D C B A BC=60cm ， AD=40cm ，四边形 PQRS 是正方形 . （ 3 ）求正方形 PQRS 的边长 . 是方程思想哦！ 解：∵ Δ ASR ∽ Δ ABC AE 、 AD 分别是 Δ ASR 和 Δ ABC 对应边上的高 ∴ 设正方形 PQRS 的边长为 xcm, 则 SR=DE= x cm AE= （ 40-x ） cm ∴ 解得 x =24. ∴正方形 PQRS 的边长为 24cm. S R Q P E D C B A 变式一： 如图， AD 是 Δ ABC 的高，点 P ， Q 在 BC 边上，点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， BC=5cm ， AD=10cm ，若矩形 PQRS 的长是宽的 2 倍，你能求出这个矩形的面积吗？ S R Q P E D C B A 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm. 设 SP=xcm ，则 SR=2xcm 得到： 所以 x=2 2x=4 S 矩形 PQRS = 2×4=8cm 2 S R Q P E D C B A 分析： 情况一： SR=2SP 设 SR=xcm ， 则 SP=2xcm 得到： 所以 x=2.5 2x=5 S 矩形 PQRS =2.5×5=12.5cm 2 原来是分类思想呀！ S R Q P E D C B A 分析： 情况二： SP=2SR 如图， AD 是 Δ ABC 的高， BC=5cm ， AD=10cm 相似三角形对应角平分线的比、对应中线的比都 等于相似比 二 问题： 把上图中的高改为中线、角平分线，那么它们对应中线的比，对应角平分线的比等于多少？ 图中 △ ABC 和 △ A′B′C ′ 相似， AD 、 A′D ′ 分别为对应边上的中线， BE 、 B′E ′ 分别为对应角的角平分线，那么它们之间有什么关系呢？ A B C D E A' B' D' C' E' 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ，即 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′ ， ∴ ∠ A ′ B ′ C ′ = ∠ A B C , ∠ B ′ A′C ′ = ∠ B AC ． 又 BE , B'E ' 分别为对应角的平分线， ∴ △ ABE ∽△ A′B′E ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 1 由此得到： 相似三角形对应的中线的比也等于相似比． 同学们可以试着自己用同样的方法求证三角形对应边上的角平分中线的比等于相似比． 归纳总结 已知： △ ABC ∽△ A′B′C ′ ，相似比为 k ，即 求证： 证明：∵ △ ABC ∽△ A′B′C ′. ∴ ∠ A ′ B ′ C ′ = ∠ A B C , ． 又 AD , AD ′ 分别为对应边的中线 . ∴ △ ABD ∽△ A′B′D ′. A' B' D' C' E' A B C D E 验证猜想 2 相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比． 归纳总结 典例精析 例 2 ： 两个相似三角形的两条对应边的长分别是 6cm 和 8cm ，如果它们对应的两条角平分线的和为 42cm ，那么这两条角平分线的长分别是多少？ 解： 设较短的角平分线长为 x cm ， 则由相似性质有 解得 x ＝ 18. 较长的角平分线长为 24cm. 故这两条角平分线的长分别为 18cm ， 24cm. Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1 ， BD 和 B 1 D 1 是它们的中线， 已知 ,B 1 D 1 =4cm ，则 BD= cm. 6 2. Δ ABC∽ Δ A 1 B 1 C 1, AD 和 A 1 D 1 是对应角平分 线，已知 AD=8cm ， A 1 D 1 =3cm , 则 Δ ABC 与 Δ A 1 B 1 C 1 的对应高之比为 . 8:3 练一练 3 ．两个相似三角形对应中线的比为 ， 则对应高的比为 ______ . 当堂练习 2. 相似三角形对应边的比为 2∶3 , 那么对应角的角平分线的比为 ______. 2∶ 3 1 ．两个相似三角形的相似比为 , 则对应高的比为 _________, 则对应中线的比为 _________. 解：∵ △ ABC ∽△ DEF ， 　 解得 , EH ＝ 3.2(cm) . 答： EH 的长为 3.2cm . A G B C D E F H （相似三角形对应角平 线的比等于相似比）， 4. 已知 △ ABC ∽△ DEF ， BG 、 EH 分△ ABC 和△ DEF 的角平分线， BC =6cm, EF =4cm, BG =4.8cm . 求 EH 的长 . 5. 如图， AD 是 △ ABC 的高， A D=h, 点 R 在 AC 边上，点 S 在 AB 边上， S R ⊥ A D ， 垂足为 E. 当 时，求 DE 的长 . 如果 呢？ 　 ∴△ A SR ∽△ ABC ( 两角分别相等的两个三角形相似 ). 解： ∵ SR ⊥ AD ， BC ⊥ AD ， B A E R C D S ∴ SR∥BC . ∴∠ A SR=∠B, ∠ A RS=∠C. ( 相似三角形对应高的比等于相似比 ) ， 当 时，得 解得 B A E R C D S 当 时，得 解得 选做题： 6. 一块直角三角形木板的一条直角边 AB 长为 1.5m ，面积为 1.5m 2 , 要把它加工成一个面积尽可能大的正方形桌面，甲乙两位同学的加工方法如图（ 1 ）、（ 2) 所示，请你用学过的知识说明哪位同学的加工方法更好。（加工损耗忽略不计，计算结果中的分数可保留） F A B C D E （ 1 ） F G B A C E D （ 2 ） 相信自己是最棒的！ S R Q P E D C B A 7. AD 是 Δ ABC 的高， BC=60cm ， AD=40cm ， 求图中小正方 形的边长 . 拓展延伸 A C B D (1) A C B D (5) D C B A (4) A C B D (3) D C B A (1) A C B D (2) 相似三角形的性质 相似三角形对应高的比等于相似比 课堂小结 相似三角形对应角平分线的比等于相似比 相似三角形对应中线的比等于相似比