第1章 第5节 小船过河问题初探-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第1章 第5节 小船过河问题初探-2021年初中物理竞赛及自主招生大揭秘专题突破

第五节 小船过河问题初探 一、船速与船相对于水的速度 小船过河问题，涉及三个速度：河水的流速 v水 、船相对于水的速度 v船 、船相对地面 的速度 v ，现对三个速度理解如下： (1)船在静止的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将静止在 水中，相对于水静止，对地也静止。 (2)船在流动的河水中，如果船关闭发动机或者人不划桨，则船没有动力，船将顺水漂 流，相对于水静止，对地速度等于水速。 (3)船在流动的河水中，如果船开动发动机或者人划桨，则船将相对于水运动，船对地 速度 v 与水速 v水 、船相对于水的速度 v船 的关系如图 3.83 所示。其中， 船相对于水的速度 v船 也就是船在静水中的速度，只与船本身有关，v船 的方向总是沿着船头所指的方向。 例 1 如图 3.84 所示，河两岸相互平行，水流速度恒定不变，船行驶时相对水的速度大 小始终不变。一开始船从岸边 A 点出发，船身始终垂直河岸，船 恰好沿 AB 航线到达对岸 B 点耗时为 1t ，AB 与河岸的夹角为 60 调整船速方向，从 B 点出发沿直线 BA 返航回到 A 点耗时 2t ，则 1 2:t t 为( )。 A．1：1 B．1：2 C．1：3 D．1：4 分析与解 由 A 点出发时，船身始终垂直河岸，即船相对水的速度 v船 垂直于河岸，船 相对地面的速度 1v 沿着 AB 方向，画出 v水 ， v船 ， 1v 所围成的三角形如图 3.85 所示，可知 3v v船 水 ， 1 2v v 水 ，则 1 1 2 AB ABs st v v   水 。当船由 B 点返回时，其对地速度 2v 沿着 BA 方 向，v水 ，v船 ， 2v 围成的三角形如图 3.85 所示，因为 v水 与 2v 夹角为120 ，且 3v v船 水 ， 可知这一个等腰三角形，即 2v v 水 ，因此 2 2 AB ABs st v v   水 ，可得 1 2: 1: 2t t  ，本题正确选 项为 B。 实际上，我们也可以将船在静水中的速度 v船 沿平行于河岸和垂直于河岸方向正交分解。 如图3.86所示，设船与河岸夹角为 ， v水 为水流速度，则 cosv v 船 水 为船实际上沿水流 方向的运动速度， sinv 船 为船垂直于河岸方向的运动速度。 二、小船过河的两个典型问题 1．过河时间最短问题 渡 河 时 间 只 取 决 于 在 垂 直 河 岸 方 向 上 的 船 速 ， 即 sin dt v  船 ，当 90   时，渡河时间最短， min dt v  船 ，此时 船头应正对着对岸前进，如图 3.87 所示。船沿河岸方向前进的距 离为 min v ds v t v   水 水 船 。 2．渡河距离最短问题 河宽 d 是所有渡河距离中最短的，但是否在任何情况下渡河距离最短的一定是河宽 d 呢？下面就这个问题进行如下分析： 要使渡河距离最小为河宽 d ，只有使船对地面的速度垂直河岸，如图 3.88 所示，则 cosv v 船 水 ，cos v v   水 船 ，因为 cos 1  ，因此只有 v v船 水 ， 小船才能够垂直河岸渡河，此时渡河的最短距离为河宽 d ，渡河 时间 = sin d dt v v  船对地 船 。 由以上分析可知，当 v v船 水 时，小船将不能垂直河岸渡河，但此时仍存在最小的渡河 距离。要使得渡河距离最小，应该让小船相对地面的速度 v船对地 与河岸的夹角尽量大，可以 用以下方法求解最小渡河距离：以水流速度 v水 的末端为圆心，以小船在静水中的速度 v船 的 大小为半径作圆，过速度的起点作该圆的切线，此时 让船速与过切点的半径平行，如图 3.89 所示，从而小 船实际运动的速度(对地速度 v船对地 对)与河岸方向的 夹角最大，即 v船 与 v船对地 垂直时，小船渡河距离最短。 由相似三角形知识可得 vs d v  水 船 ，解得 v ds v  水 船 ，船与河岸的夹角 满足 cos v v   船 水 。 渡河时间仍可以采用上面的方法求得： sin s dt v v   船对地 船 。 例2 某河流河道笔直，河宽为 100md  ，水流速度为 3m / sv 水 ，船在静水中的速 度是 4m / sv 船 ，求： (1)欲使船渡河时间最短，船应怎样渡河？最短时间是多少？船沿着河岸运动的距离为 多少？船实际通过的距离为多少？ (2)欲使船航行距离最短，船应怎样渡河？渡河时间为多长？ (3)如果水速增为 6m / s ，则如何渡河船通过的距离最短？最短距离为多少？ 分析与解 (1)当船头正对着对岸航行时，船渡河时间最短，此时 v船 与河岸垂直，如图 3.90(a)所示，则最短的渡河时间 min 100= s 25s4 dt v   船 ，船沿着河岸移动的距离 s 与水流 速度 v水 有关， min 3 25m 75ms v t   水 ，船实际通过的距离l 与船对地速度 v合 有关， 2 2 2 2= 4 3 m / s=5m / sv v v  合 船 水 ， 则 船 实 际 通 过 的 距 离 2 2 minl v t v v  合 船 水 min 125mt  。 (2)欲使船渡河航行距离最短，则船对地速度 v合 最好垂直河岸，由于船速 v船 大于水速 v水 ，因此可画出图 3.90(b)所示的速度关系图，其中船速 v船 与河岸夹角为  ，则 3cos = 4 v v   水 船 ， 2 2= = 7m / sv v v合 船 水 ，此时渡河时间 100 100 7= s s77 dt v   合 。 (3)水速增为 1 6m / sv  时，船速 v船 小于水速 v水 ，船不能垂直河岸渡河，此时可以以 水速 v水 的末端为圆心，船速 v船 为半径作圆，则当船对地速度 v合 与半圆相切时，船渡河距 离最小，此时 v合 与 v船 垂直，如图 3.90(c)所示，设船速 v船 与河岸夹角为 ，则 2cos = 3 v v   船 水 ， 2 2= =2 5m / sv v v合 水 船 ，此时的渡河时间 100 ssin 54 3 dt v   船 15 5s ，渡河距离 2 5 15 5m 150ml v t   合 。 例 3 (上海第 30 届大同杯初赛)如图 3.91 所示，河宽为 L ，河水流速为 u ，甲、乙两 船同时出发渡河且相对水的速度均为 v ，出发时两船相距为 d ，行驶过程中两船船身均与岸 边成 45，乙船最终到达正对岸的 A 点；两船始终没有相遇。则下列说法正确的是( ) A． : 2 :1v u  B．两船行驶的路程相等 C．两船同时到达河对岸 D． 2 dL  分析与解 由乙可以垂直到达对岸，可知乙沿着河岸的分速度 cos45v  与水速u 相等，即 cos45v u  ，可得 1 2cos45 v u   ，选项 A 正确。两船垂 直河岸的分速度均为 sin 45v  ，因此到达对岸的时间均为 sin 45 Lt v   ，两船同时到达河岸， 选项 C 正确。相对地面，甲船沿着河岸的速度为 sin 45 2v u v   ，乙船没有沿着河岸的 速度，因此两船沿着河岸运动的距离不等，而垂直河岸的距离相等，因此两船行驶的路程必 不相等，B 选项错误。由于甲、乙两船在垂直于河岸方向的运动情况完全相同，且两船运动 过程中始终没有相遇，则甲船在到达对岸时，其沿着河岸发生的距离必小于 d ，于是有 2vt d ，即 2 sin 45 Lvt dv   ，因此得 2 dL  ，选项 D 正确。本题正确选项为 ACD。 例 4 (上海第 28 届大同杯初赛)如图 3.92 所示，河岸相互平行，相距为 d ，水流速度 为 1v ，船相对水的速度为 2v 。船从岸边 A 点出发，船头始终垂直对岸，最终到达对岸 B 点。 若保持 2v 的大小不变，适当改变 2v 的方向，仍然从 A 点出发，发现航线与刚才恰好一致， 但渡河时间变为原来的两倍，则可以判断( )。 A． 1 2: 2:1v v  B．改变 2v 的方向，可以使最短渡河时间为 2 d v 。 C．改变 2v 的方向，可以使最短渡河距离为 2d D．改变 2v 的方向，可以使船到达对岸时向下游“漂移”的最短距离为 2d 分析与解 当船头垂直对岸时，船对水的速度 2v 、水速 1v 以及此时船对地的速度 v 构 成一直角三角形，如图 3.93 所示。此时渡河最短时间为 2 d v ，选项 B 正确。当仅改变 2v 方向 使得船仍沿着航线 AB 前进时，可知此时船对水的速度 2v 、水速 1v 以及此时船对地的速度 v 又构成一个三角形，且由于渡河时间加倍，则必有 2v v ，结合图 3.93 中的几何关系，可 知航线 AB 与河岸所夹的锐角为30 ，由此可得 1 23v v ，选项 A 错误。由于船对水速度 2v 小于水速 1v ，若要渡河时船向下游“漂移”的距离 s 最短，须使 2v 与此时的对地速度 v垂 直。如图 3.94 所示，由几何关系可知 22v v  ，利用相似三角形知识可得 2 2s v d v   。 因此 D 选项正确。本题正确选项为 BD。 以上例题中河水流速均为定值，若河水流速变化，则船的运动轨迹不再是直线，此时问 题较为复杂。 例 5 (上海第 27 届大同杯初赛)如图 3.95 所示，小船从码头 A 处出发渡河，船头始终 垂直河岸。若河宽为 d ，船在静水中的速度 v船 恒定不变，河水的流速与到河岸的垂直距离 x 成正比，即水速 u kx ( 2 dx„ ， k 为常量)。渡河过程中小船沿岸向下游移动了距离 s 并 最终到达对岸码头 B ，则( )。 A． 2 4 kdv s 船 B． 2 2 kdv s 船 C．渡河时间t 为 2s kd D．渡河时间t 为 4s kd 分析与解 设小船经时间t 离开 A 处的岸边的距离为 x ，且 2 dx„ ，则 x v t 船 ，小船沿 着河岸方向的速度与水速相同， u kx kv t  船 ，可见小船沿着河岸方向的分运动是匀加速 直线运动，小船运动轨迹如图 3.96 曲线所示，其中 AO 段曲线与OB 段曲线关于 O 点成中 心对称。当 1 2 d t v  船 时，小船运动到 O 点，此时 1 1 12 2 d u kv t kv kdv   船 船 船 。 10 ~ t 时间内 小船沿着河岸前进的距离为 2 1 1 1 100 2 2 2 2 2 8 dkdus kdvt t v v       船 船 解得 2 4 kdv s 船 ，选项 A 正确。小船渡河时间 4d st v kd   船 ，选项 D 正确。本题正确选 项为 AD。 练习题 1．小船在 200m 宽的河中横渡，水流速度是 4m / s ，船在静水中的航速是5m / s ，则 下列判断正确的是( )。 A．小船过河所需的最短时间是 40s B．要使小船过河的位移最短，船头应始终正对着对岸 C．要使小船过河的位移最短，过河所需的时间是50s D．如果水流速度增大为 6m / s ，小船过河所需的最短时间将增大 2．(上海第 31 届大同杯初赛)如图 3.97 所示，河两岸平行，河内水速保持u 不变，在河 的南岸 P 处同时开出甲、乙两艘小船，小船相对水的速度均为 v ，船头分别指向对岸下游的 A ， B 两点，两船分别到达对岸 B ，V 两点处，则( )。 A． AB BC B． AB BC C． AB BC D．由于不知道 v 与u 之间的大小关系，无法判断 AB 与 BC 的大小关系 3．(上海第29届大同杯初赛)甲、乙两艘小船从河岸 A 处出发，水速恒定，两小船相对 水的速度相等，两小船分别沿直线到达河对岸 B ，C 处，且 B 相对 C 是上游。关于两船过 河时间 t甲 和t乙 关系的判断，正确的是( )。 A．若 B ，C 均处于 A 的上游，则t甲 可能小于t乙 B．若 B ， C 均处于 A 的上游，则 t甲 一定大于 t乙 C．若 B ， C 均处于 A 的下游，则 t甲 可能等于 t乙 D．若 B ，C 均处于 A 的下游，则t甲 一定小于t乙 4．(上海第 26 届大同杯初赛)在宽度为 d 的河中水速为 1v ，船速为 2v ，船过河的最短路 程为 s ，则下列关系中正确的是( )。 A．若 1 2v v ， 2 1 vs dv  B．若 1 2v v ， 1 2 vs dv  C．若 1 2v v ， s d D．若 1 2v v ， 2 2 1 2 1 ds v vv   5．(上海第 23 届大同杯初赛)一般情况下，河水越靠近河的中 央，水速越大，越靠近河岸，水速越小，如图 3.98 所示。假设水 速与离河岸的距离成正比，一艘船船头始终垂直河岸方向(船相对 水的速度不变)，从河岸 A 点向对岸驶去并到达对岸下游处的 B 点， 则下列四个选项中，能合理描述其行进路径的是( )。 A B C D 6．(上海第24届大同杯初赛)一条河道被一行窄而浅 的沙石隔成两条流速不同的支流。船从岸边 A 点开始渡 河到对岸，船相对水的速度大小始终不变。已知船渡河 的最短路径如图3.99所示，船最终到达了对岸 B 点。船 先后渡过两条支流的时间恰好相等，且 53   ， 37   ，则两条支流的水速之比 1 2:v v ________；两 条支流的宽度之比 1 2:d d ________。 7．王聪同学为了测量某河流的水速，找来一条小船，他首先保持小船对水以恒定的速 度行驶。第一次，保持船头始终垂直河岸划行，经10min 到达正对岸下游120m 处；第二 次，船头始终保持指向与上游河岸成 角划行，经12.5min 到达正对岸。由此，请你帮王 聪同学计算计算，水速 u  ________，船对水的速度 v  ________，河宽 L  ________。 8．(上海第20届大同杯初赛)如图3.100所示，某河流两岸相距 120md  ，河水流速为 1 2m / sv  ，某人要从岸边 A 点到对岸下游某处 B 点， A ， B 之间的距离为 150ms  。 此人在水中的游泳速度为 2 1.2m / sv  ，在岸上奔跑的速度 为 3 5m / sv  。如果此人要用最短的时间过河，则他从 A 点 到 B 点需用时间为________s ；如果此人要用最短的路程到 达 B 点，则他从 A 点到 B 点的路程为________ m 。 参考答案 1．A。当船头朝向正对岸行驶时，过河的时间最短，最短时间 min 200 s 40s5 dt v    船 ， 且最短渡河时间与水流速度无关。以最短时间渡河时，船将向下游“漂移”。要使过河位移 最短，应将 v船 朝向合适的方向，以使得 v船 平行于河岸的分速度等于水流速度。本题中应 将 5m / sv 船 分解为垂直河岸的速度 1 3m / sv  和朝向上游的分速度 2 4m / sv  ，这样船 方能垂直渡河。垂直渡河所需时间 2 200 s3 dt v   。 2．A。甲小船船头指向 A 点，即其相对水的速度 v 沿若 PA 方向，甲船最终到达 B 点， 即甲船相对地面的速度沿着 PB 方向，由此画出船对水的速度 v 、水速u 和船对地面的速度 1v 的三角形关系如图 3.101 所示。同理，可画出乙船对水的速度 v 、水速u 和船对地面的速 度 2v 的三角形关系。比较图 3.101 中几何关系可知，乙船渡河 时其垂直于河岸的分速度较小，因此渡河时间 t t乙 甲 。若水 不流动，则船头正对 A 点行驶时，船会到达 A 点，因此 AB 段 可认为仅由水的流动引起，则 AB ut 甲 ，同理 BC ut 乙 ，可 见 AB BC ，选项 A 正确。 3．BC。当 B ， C 均在 A 点的上游时，必有 v v船 水 ，以 v水 的末端为圆心， v船 的大 小为半径画圆，画出如图 3.102 所示的水速 v水 ，船对水的速度 v船 以及甲、乙两船相对地面 的速度 1v ， 2v 的速度三角形关系，可知甲船由 A 到达 B 时，垂直于河岸的速度较小，因此 甲船渡河时间较长，t甲 一定大于t乙 ，B 选项正确。当 B ，C 均在 A 点的下游时，水速 v水 、 船对水的速度 v船 以及甲、乙两船相对地面的速度 1v ， 2v 可能如图 3.103 所示，可知甲、乙 两船此时垂直河岸的速度大小相等，因此有 t甲 可能等于t乙 。因此本题正确选项为 BC。 4．BC。当水速与船速满足 1 2v v 时，可使船垂直渡河，最小渡河距离等于河宽，即 s d 。 当水速与船速满足 1 2v v 时，船不能垂直河岸渡河，当船速 2v 与船的合速度垂直时，可使 船渡河距离最短，结合数学知识可知此时渡河最短距离 1 2 vs dv  ，本题正确选项为BC。 5．C。船的对地速度 v 为 v船 ， v水 的合成，且 v 始终沿着运动轨迹的切线方向。如图 3.104 所示，设 v 与河岸夹角为 ，则有 v v   船 水 ，由于水速与离河岸的距离成正比，因此船 越靠近河中心， v水 越大， 越小。选项 C 正确。 6．3：4；3：4。设船在两侧支流中对地速度分别为 AOv 和 OBv ，由题知船渡河的最短 路径不等于河宽，则可判断船速 v船 小于两条支流的水速 1v ， 2v ，此种情况下要使渡河距离 最短，一定要满足烟与船对地的速度垂直，因此画出如图 3.105 所示的速度三角形，结合几 何关系，可得， 1 sin vv  船 ， 2 sin vv  船 ，因此 1 2 sin 3 sin 4 v v    。把 v船 沿着河岸和垂直于 河岸分解，设经过一条支流的时间为t ，可得两支流河宽 1 cosd v t 船 ， 2 cosd v t 船 ， 因此 1 2 cos 3 cos 4 d d    。 7．12m / min ， 20m / min ， 200m 。略。 8．122；270。要用最短的时间过河，人游泳的速度 2v 必须垂直正对岸，人相对地面的 速度 v 即为水速 1v 和人游泳速度 2v 的合成，如图 3.106 所示，设人在对岸 D 点登岸，然后 从 D 点以速度 3v 跑向 B 点。结合勾股定理可得 90mCBs  ，又由三角形相似关系可知 1 2 CDs v d v  ， 解 得 200mCDs  。 因 此 人 从 A 点 到 B 点 的 时 间 为 2 3 120 s1.2 BDsdt v v     200 90 s5  122s 。 如果此人要用最短的路程到达 B 点，则此人应先在渡河时取得最小渡河距离，到达对 岸后，再沿着河岸到达 B 点。由于人游泳速度 2v 小于水速 1v ，若要人渡河距离最短，则需 满足 2v 与人对地速度 v 垂直，如图 3.107 所示。设人此时的登岸点为 E ，则根据题给数据 可知 ACE△ 与 1v ， 1v ，v 所组成的速度三角形相似，有 2 1 AE v d v s  ，得 200mAEs  ，由勾 股定理得 160mCEs  ，因此 160m 90m 70mBEs    ，所以到达 B 点的最短距离应为 AE BEs s 270m 。