2020年湖北省鄂州市中考数学试题

2020年湖北省鄂州市中考数学试题

湖北省鄂州市 2020 年中考数学真题 一、选择题 1.-2020 的相反数是（ ） A. 2020 B. -2020 C. 1 2020 D. － 1 2020 【答案】A 【解析】 【分析】 根据相反数直接得出即可. 【详解】-2020 的相反数是 2020， 故选 A. 【点睛】本题是对相反数的考查，熟练掌握相反数知识是解决本题的关键. 2.下列运算正确的是（ ） A. 22 3 5x x x  B. 3 3( 2 ) 6x x   C. 3 2 52 3 6x x x  D. 2(3 2)(2 3 ) 9 4x x x    【答案】C 【解析】 【分析】 利用合并同类项、积的乘方、单项式乘单项式、多项式乘多项式直接计算判断即可． 【详解】解：A. 2 3 5x x x  ，选项错误； B. 3 3( 2 ) 8x x  ，选项错误； C. 3 2 52 3 6x x x  ，选项正确； D. 2(3 2)(2 3 ) 9 4x x x     ，选项错误； 故选：C． 【点睛】本题考查了整式的运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3.如图是由 5 个小正方体组合成的几何体，则其俯视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正方形，第三列 有两个正方形，据此找到答案即可． 【详解】解：从该组合体的俯视图看从左至右共有三列，从左到右第一列有一个正方形，第二列有一个正 方形，第三列有两个正方形，可得只有选项 A 符合题意． 故选：A． 【点睛】此题主要考查了三视图的识别，注意：俯视图是从上往下看到的图形． 4.面对 2020 年突如其来的新冠疫情，党和国家及时采取“严防严控”措施，并对新冠患者全部免费治疗．据 统计共投入约 21 亿元资金．21 亿用科学记数法可表示为（ ） A. 80.21 10 B. 82.1 10 C. 92.1 10 D. 100.21 10 【答案】C 【解析】 【分析】 根据科学记数法的表示方法表示即可． 【详解】21 亿=2100000000=2．1×109． 故选 C． 【点睛】本题考查科学记数法的表示,关键在于牢记表示方法． 5.如图， / /a b ，一块含 45 的直角三角板的一个顶点落在其中一条直线上，若 1 65  ，则 2 的度数为 （ ） A. 25 B. 35 C. 55 D. 65 【答案】A 【解析】 【分析】 作平行 a 和 b 的平行线,再根据平行的性质可知 3 1   ,再算出 4 即可得出 2 ． 【详解】如图所示,过直角顶点作 c∥a， ∵ //a b ， ∴a∥b∥c， ∴ 3 1 65     , ∴ 4 90 65 25       , ∴ 2 4 25     ． 故选 A． 【点睛】本题考查平行的性质,关键在于利用割补法将直角分成两个角度进行转换． 6.一组数据 4，5， x ，7，9 的平均数为 6，则这组数据的众数为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 9 【答案】B 【解析】 【分析】 先根据平均数的公式计算出 x 的值，再求这组数据的众数即可． 【详解】解：∵4，5， x ，7，9 的平均数为 6， ∴ 4 5 7 9 65 x     ， 解得：x=5， ∴这组数据为：4，5，5，7，9， ∴这组数据的众数为 5． 故选：B． 【点睛】本题考查平均数及众数，熟练掌握平均数、众数的意义是解题的关键． 7.目前以5G 等为代表的战略性新兴产业蓬勃发展．某市 2019 年底有5G 用户 2 万户，计划到 2021 年底全 市5G 用户数累计达到 8.72 万户．设全市5G 用户数年平均增长率为 x ，则 x 值为（ ） A. 20% B. 30% C. 40% D. 50% 【答案】C 【解析】 【分析】 先用含 x 的代数式表示出 2020 年底、2021 年底5G 用户的数量，然后根据 2019 年底到 2021 年底这三年的5G 用户数量之和=8.72 万户即得关于 x 的方程，解方程即得答案． 【详解】解：设全市5G 用户数年平均增长率为 x ，根据题意，得：    22 2 1 2 1 8.72x x     ， 解这个方程，得： 1 0.4 40%x   ， 2 3.4x   （不合题意，舍去）． ∴x 的值为 40%． 故选：C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用之增长率问题，属于常考题型，正确理解题意、找准相等关系是 解题的关键． 8.如图，在 AOB 和 COD△ 中，OA OB ，OC OD ，OA OC ， 36AOB COD     ．连接 AC 、 BD 交于点 M ，连接OM ．下列结论： ① 36AMB   ；② AC BD ；③ OM 平分 AOD ；④ MO 平分 AMD∠ 其中正确的结论个数有（ ）个． A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】 由 SAS 证明△AOC≌△BOD，得到∠OAC＝∠OBD，由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB ＋∠OAC，得出∠AMB＝∠AOB＝36°，①正确； 根据全等三角形的性质得出∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； 作 OG⊥AC 于 G，OH⊥BD 于 H，如图所示：则∠OGC＝∠OHD＝90°，由 AAS 证明△OCG≌△ODH（AAS）， 得出 OG＝OH，由角平分线的判定方法得出 MO 平分 AMD∠ ，④正确； 由∠AOB＝∠COD，得出当∠DOM＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC，假设∠DOM＝∠AOM，由 △AOC≌△BOD 得出∠COM＝∠BOM，由 MO 平分∠BMC 得出∠CMO＝∠BMO，推出△COM≌△BOM， 得 OB＝OC，而 OA＝OB，所以 OA＝OC，而OA OC ，故③错误；即可得出结论． 【详解】∵∠AOB＝∠COD＝36°， ∴∠AOB＋∠BOC＝∠COD＋∠BOC， 即∠AOC＝∠BOD， 在△AOC 和△BOD 中， OA OB AOC BOD OC OD       ， ∴△AOC≌△BOD（SAS）， ∴∠OCA＝∠ODB，AC＝BD，②正确； ∴∠OAC＝∠OBD， 由三角形的外角性质得：∠AMB＋∠OBD＝∠AOB＋∠OAC， ∴∠AMB＝∠AOB＝36°，②正确； 作 OG⊥AC 于 G，OH⊥BD 于 H，如图所示： 则∠OGC＝∠OHD＝90°， 在△OCG 和△ODH 中， OCA ODB OGC OHD OC OD         ， ∴△OCG≌△ODH（AAS）， ∴OG＝OH， ∴ MO 平分 AMD∠ ，④正确； ∵∠AOB＝∠COD， ∴当∠DOM＝∠AOM 时，OM 才平分∠BOC， 假设∠DOM＝∠AOM ∵△AOC≌△BOD， ∴∠COM＝∠BOM， ∵MO 平分∠BMC， ∴∠CMO＝∠BMO， 在△COM 和△BOM 中， COM BOM OM OM CMO BMO         ， ∴△COM≌△BOM（ASA）， ∴OB＝OC， ∵OA＝OB ∴OA＝OC 与OA OC 矛盾， ∴③错误； 正确的有①②④； 故选 B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形的外角性质、角平分线的判定等知识；证明三角形 全等是解题的关键． 9.如图，抛物线 2 ( 0)y ax bx c a    与 x 轴交于点 ( 1,0)A  和 B ，与 y 轴交于点C ．下列结论：① 0abc  ； ② 2 0a b  ；③ 4 2 0a b c   ；④3 0a c  ，其中正确的结论个数为（ ） A. 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D. 4 个 【答案】B 【解析】 【分析】 由抛物线的开口方向判断 a 与 0 的关系，由抛物线与 y 轴的交点判断 c 与 0 的关系，进而判断①；根据对称 轴<1 求出 2a 与 b 的关系，进而判断②；根据 x=﹣2 时，y＞0 可判断③；由 x=-1 和 2a 与 b 的关系可判断 ④． 【详解】∵抛物线开口向上， ∴a>0， ∵对称轴在 y 轴右边， ∴ 02 b a   ，即 b<0 ， ∵抛物线与 y 轴的交点在 x 轴的下方， ∴ 0c  ， ∴ 0abc  ，故①错误； 对称轴在 1 左侧，∴ 12 b a   ∴-b<2a，即 2a+b>0，故②错误； 当 x=-2 时，y=4a-2b+c>0，故③正确； 当 x=-1 时，抛物线过 x 轴，即 a-b+c=0， ∴b=a+c， 又 2a+b>0， ∴2a+a+c>0，即 3a+c>0，故④正确； 故答案选：B． 【点睛】此题考查二次函数图像位置与系数的关系，数形结合是关键． 10.如图，点 1 2 3, ,A A A  在反比例函数 1 ( 0)y xx   的图象上，点 1 2 3, , nB B B B 在 y 轴上，且 1 1 2 1 2 3 2 3B OA B B A B B A      ，直线 y x 与双曲线 1y x  交于点 1 1 1 1 2 2 1 2 3 3 2 2, ,A B A OA B A B A B A B A   ， ，则 nB （n 为正整数）的坐标是（ ） A. (2 ,0)n B. 1(0, 2 )n C. (0, 2 ( 1))n n  D. (0,2 )n 【答案】D 【解析】 【分析】 先求出 1A 的坐标，由题意容易得到 1 1OA B 为等腰直角三角形，即可得到 1OB ，然后过 2A 作 2 2A H OB⊥ 交 y 轴于 H， 2 1A H B H x  ，通过反比例函数解析式可求出 x，从而能够得到 2OB ，再同样求出 3OB ，即 可发现规律． 【详解】解：联立 1 y x y x   ，解得 1x  ， ∴ 1(1,1)A ， 1 2OA  ， 由题意可知 1 1 =45AOB ∠ ， ∵ 1 1 1B A OA ， ∴ 1 1OA B 为等腰直角三角形， ∴ 1 12 2OB OA  ， 过 2A 作 2 2A H OB⊥ 交 y 轴于 H，则容易得到 2 1A H B H ， 设 2 1A H B H x  ，则 2 ( , 2)A x x  ， ∴  2 1x x   ， 解得 1 2 1x   ， 2 2 1x    （舍）， ∴ 2 1 2 1A H B H   ， 1 2 12 2 2 2B B B H   ， ∴ 2 2 2 2 2 2 2OB     ， 用同样方法可得到 3 2 3OB  ， 因此可得到 2nOB n ，即 (0,2 )nB n 故选：D． 【点睛】本题考查了反比例函数的性质，属于规律问题，求出 2nOB n 是解题的关键． 二、填空题 11.因式分解： 22 12 18x x  =___________________． 【答案】 22( 3)x 【解析】 【分析】 先提取公因式 2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果. 【详解】原式 22( 6 9)x x   22( 3)x  ． 考点：本题考查的是因式分解 点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式： 2 2 2)2 (a ab b a b    12.关于 x 的不等式组 2 4 5 0 x x     的解集是___________． 【答案】 2 5x  【解析】 【分析】 直接解不等式组即可． 【详解】解：由 2 4x  ，得 2x  ， 由 5 0x   ，得 5x  ， ∴不等式组 2 4 5 0 x x     的解集是 2 5x  ， 故答案为： 2 5x  ． 【点睛】本题考查了解不等式组，熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 13.用一个圆心角为 120°，半径为 4 的扇形作一个圆锥的侧面，这个圆锥的底面圆的半径为____． 【答案】 4 3 【解析】 试题分析： 120 4 =2180 r  ，解得 r= 4 3 ． 考点：弧长的计算． 14.如图，点 A 是双曲线 1 ( 0)y xx   上一动点，连接OA，作OB OA ，且使 3OB OA ，当点 A 在双 曲线 1y x  上运动时，点 B 在双曲线 ky x  上移动，则 k 的值为___________． 【答案】﹣9 【解析】 【分析】 首先根据反比例函数的比例系数 k 的几何意义求得△AOC 的面积，然后证明△OAC∽△BOD，根据相似三 角形的面积的性质求得△BOD 的面积，依据反比例函数的比例系数 k 的几何意义即可求解． 【详解】解：如图作 AC⊥x 轴于点 C，作 BD⊥x 轴于点 D． ∵ 3OB OA ∴ OA OB = 1 3 ∵点 A 是双曲线 1 ( 0)y xx   上 ∴S△OAC= 1 2 ∵∠AOB=90°， ∴∠AOC+∠BOD=90°， 又∵直角△AOC 中，∠AOC+∠CAO=90°， ∴∠BOD=∠OAC， 又∵∠ACO=∠BDO=90°， ∴△OAC∽△BOD， ∴ 2 2s 1= = 3 AOC OBD OA S OB            △ △ = 1 9 ∴ 1 9×9=2 2BODS △ ∴ k =9 ∵函数图像位于第四象限 ∴ｋ＝﹣9 故答案为：﹣9 【点睛】本题考查了反比例函数 k 的几何意义，相似三角形的判定与性质，正确作出辅助线，证明 △OAC∽△BOD 是解题关键． 15.如图，半径为 2cm 的 O 与边长为 2cm 的正方形 ABCD 的边 AB 相切于 E，点 F 为正方形的中心，直 线OE 过 F 点．当正方形 ABCD 沿直线OF 以每秒 (2 3)cm 的速度向左运动__________秒时， O 与 正方形重叠部分的面积为 22 3 cm3     ． 【答案】1 或11 6 3+ ． 【解析】 【分析】 将正方形向左平移，使得正方形与圆的重叠部分为弓形，根据题目数据求得此时弓形面积符合题意，由此 得到 OF 的长度，然后结合运动速度求解即可，特别要注意的是正方形沿直线运动，所以需要分类讨论． 【详解】解：①当正方形运动到如图 1 位置，连接 OA，OB，AB 交 OF 于点 E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为 S 扇形 OAB-S△OAB 由题意可知：OA=OB=AB=2，OF⊥AB ∴△OAB 为等边三角形 ∴∠AOB=60°，OE⊥AB 在 Rt△AOE 中，∠AOE=30°，∴AE= 1 12 OA  ，OE= 3 ∴S 扇形 OAB-S△OAB 260π 2 1 2= 2 3 π 3360 2 3 ´ - 创 = - ∴OF= 3 1 ∴点 F 向左运动3 ( 3 1) 2 3- + = - 个单位 所以此时运动时间为 2 3 =1 2 3 - - 秒 ②同理，当正方形运动到如图 2 位置，连接 OC，OD，CD 交 OF 于点 E 此时正方形与圆的重叠部分的面积为 S 扇形 OCD-S△OCD 由题意可知：OC=OD=CD=2，OF⊥CD ∴△OCD 为等边三角形 ∴∠COD=60°，OE⊥CD 在 Rt△COE 中，∠COE=30°，∴CE= 1 OC 12 = ，OE= 3 ∴S 扇形 OCD-S△OCD 260π 2 1 2= 2 3 π 3360 2 3 ´ - 创 = - ∴OF= 3 1 ∴点 F 向左运动3 ( 3 1) 4 3+ + = + 个单位 所以此时运动时间为 4 3 =11 6 3 2 3 + + - 秒 综上，当运动时间为 1 或11 6 3+ 秒时，⊙O 与正方形重叠部分的面积为 22 π 3(cm )3 - 故答案为：1 或11 6 3+ ． 【点睛】本题考查正方形的性质，扇形面积的计算及等边三角形的判定和性质，题目难度不大，注意分情 况讨论是本题的解题关键． 16.如图，已知直线 3 4y x   与 x、y 轴交于 A、B 两点， O 的半径为 1，P 为 AB 上一动点，PQ 切 O 于 Q 点．当线段 PQ 长取最小值时，直线 PQ 交 y 轴于 M 点，a 为过点 M 的一条直线，则点 P 到直线 a 的 距离的最大值为______________． 【答案】 2 3 【解析】 【分析】 先找到 PQ 长取最小值时 P 的位置即为 OP⊥AB 时，然后画出图形，由于 PM 即为 P 到直线 a 的距离的最 大值，求出 PM 长即可． 【详解】解：如图， 在直线 3 4y x   上，x=0 时，y=4，y=0 时，x= 4 33 ， ∴OB=4，OA= 4 33 ， ∴ 3tan 3 OAOBA OB  ∠ ， ∴∠OBA=30°， 由 PQ 切 O 于 Q 点，可知 OQ⊥PQ， ∴ 2 2=PQ OP OQ ， 由于 OQ=1，因此当 OP 最小时 PQ 长取最小值，此时 OP⊥AB， ∴ 1 22OP OB  ，此时 2 2= 2 1 = 3PQ  ， 2 2= 4 2 =2 3BP  ， ∴ 1 2OQ OP ，即∠OPQ=30°， 若使 P 到直线 a 的距离最大，则最大值为 PM，且 M 位于 x 轴下方， 过 P 作 PE⊥y 轴于 E， 1 32EP BP  ，    2 2 2 3 3 3BE    ， ∴ 4 3 1OE    ， ∵ 1 2OE OP ，∴∠OPE=30°， ∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°， ∴ 2 2 3PM EP  ， 故答案为： 2 3 ． 【点睛】本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键． 三、解答题 17.先化简 2 2 2 4 4 2 1 1 1 1 x x x x x x x       ，再从 2 ， 1 ，0，1，2 中选一个合适的数作为 x 的值代入求值． 【答案】 2 x ，-1． 【解析】 【分析】 先化简分式，然后在确保分式有意义的前提下，确定 x 的值并代入计算即可． 【详解】解： 2 2 2 4 4 2 1 1 1 1 x x x x x x x       =        22 1 1 1 1 2 1 x x x x x x x       =   2 1 1 1 x x x x    =     2 1 1 x x x x x x   =   2 2 1 x x x   =     2 1 1 x x x   = 2 x 在 2 、 1 、0、1、2 中只有当 x=-2 时，原分式有意义，即 x 只能取-2 当 x=-2 时， 2 2 12x    ． 【点睛】本题考查了分式的化简求值和分式有意义的条件，正确将分式化简和选取合适的 x 的值是解答本 题的关键． 18.如图，在平行四边形 ABCD 中，对角线 AC 与 BD 交于点 O，点 M，N 分别为OA、OC 的中点，延长 BM 至点 E，使 EM BM ，连接 DE ． （1）求证： AMB CND△ ≌△ ； （2）若 2BD AB ，且 5AB  ， 4DN  ，求四边形 DEMN 的面积． 【答案】(1)见解析；(2)24 【解析】 【分析】 (1)由四边形 ABCD 是平行四边形得出 AB=CD，AB // CD，进而得到∠BAC=∠DCA，再结合 AO=CO，M,N 分别是 OA 和 OC 中点即可求解； (2)证明△ABO 是等腰三角形，结合 M 是 AO 的中点，得到∠BMO=∠EMO=90°，同时△DOC 也是等腰三 角形，N 是 OC 中点，得到∠DNO=90°，得到 EM // DN，再由(1)得到 EM=DN，得出四边形 EMND 为矩形， 进而求出面积． 【详解】解：(1)证明：∵四边形 ABCD 是平行四边形， ∴AB=CD，AB // CD，OA=OC， ∴∠BAC=∠DCA， 又点 M，N 分别为OA、OC 的中点， ∴ 1 1 2 2   AM AO CO CN ， 在 AMB 和 CND 中，       AB CD BAC DCA AM CN ， ∴ ( )△ ≌△AMB CND SAS ． (2)BD=2BO，又已知 BD=2AB， ∴BO=AB，∴△ABO 为等腰三角形； 又 M 为 AO 的中点， ∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：BM⊥AO， ∴∠BMO=∠EMO=90°， 同理可证△DOC 也为等腰三角形， 又 N 是 OC 的中点， ∴由等腰三角形的“三线合一”性质可知：DN⊥CO， ∠DNO=90°， ∵∠EMO+∠DNO=90°+90°=180°， ∴EM // DN， 又已知 EM=BM，由(1)中知 BM=DN， ∴EM=DN， ∴四边形 EMND 为平行四边形， 又∠EMO=90°，∴四边形 EMND 为矩形， 在 Rt△ABM 中，由勾股定理有： 2 2 2 25 4 3AM AB BM     ， ∴AM=CN=3， ∴MN=MO+ON=AM+CN=3+3=6， ∴ 6 4 24EMNDS MN ME    矩形 ． 故答案为： 24 ． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质、矩形的判定和性质、矩形的面积公式等，熟练掌握其性质和判定 方法是解决此类题的关键． 19.某校为了了解全校学生线上学习情况，随机选取该校部分学生，调查学生居家学习时每天学习时间（包 括线上听课及完成作业时间）．以下是根据调查结果绘制的统计图表．请你根据图表中的信息完成下列问题： 频数分布表 学习时间分组 频数 频率 A 组（ 0 1x  ） 9 m B 组（1 2x  ） 18 0.3 C 组（ 2 3x  ） 18 0.3 D 组（ 3 4x  ） n 0.2 E 组（ 4 5x  ） 3 0.05 （1）频数分布表中 m  _______， n ________，并将频数分布直方图补充完整； （2）若该校有学生 1000 名，现要对每天学习时间低于 2 小时的学生进行提醒，根据调查结果，估计全校 需要提醒的学生有多少名？ （3）已知调查的 E 组学生中有 2 名男生 1 名女生，老师随机从中选取 2 名学生进一步了解学生居家学习情 况．请用树状图或列表求所选 2 名学生恰为一男生一女生的概率． 【答案】（1）0.15,12，补充频数分布直方图见解析；（2）450 名；（3） 2 3 ． 【解析】 【分析】 （1）先求出选取的学生数，再根据频率计算频数，根据频数计算频率； （2）先求出选取该校部分学生每天学习时间低于 2 小时的学生的频率，然后再估计该校有学生 1000 名中， 每天学习时间低于 2 小时的学生数即可； （3）先通过列表法确定所有情况数和所需情况数，然后用概率的计算公式计算即可． 【详解】解：（1）随机选取学生数为：18÷0.3=60 人 则 m=9÷60=0.15，n=60×0.2=12； 故答案为 0.15,12； （2）根据频数分布表可知： 选取该校部分学生每天学习时间低于 2 小时为 0.3+0.15=0.45 则若该校有学生 1000 名，每天学习时间低于 2 小时的学生数有 1000×0.45=450 所以，估计全校需要提醒的学生有 450 名； （3）根据题意列表如下： 则共有 6 种情况，其中所选 2 名学生恰为一男生一女生的情况数 4 种 所以所选 2 名学生恰为一男生一女生的概率为 4 2 6 3  ． 【点睛】本题主要考查了树状图法或列表法求概率以及频数分布直方图的运用，掌握频数和频率的关系以 及树状图或列表法的正确应用是解答本题的关键． 20.已知关于 x 的方程 2 4 1 0x x k    有两实数根． （1）求 k 的取值范围； （2）设方程两实数根分别为 1x 、 2x ，且 1 2 1 2 3 3 4x xx x    ，求实数 k 的值． 【答案】（1）k≤3；（2） 3k   ． 【解析】 【分析】 （1）根据方程有两个实数根得出△＝   24 4 1 1k     ≥0，解之可得． （2）利用根与系数的关系可用 k 表示出 x1＋x2 和 x1x2 的值，根据条件可得到关于 k 的方程，可求得 k 的值， 注意利用根的判别式进行取舍． 【详解】解：（1）∵关于 x 的一元二次方程 2 4 1 0x x k    有两个实数根， ∴△≥0，即   24 4 1 1k     ≥0， 解得：k≤3， 故 k 的取值范围为：k≤3． （2）由根与系数的关系可得 1 2 4x x  ， 1 2 1x x k  由 1 2 1 2 3 3 4x xx x    可得  1 2 1 2 1 2 3 4x x x xx x    ， 代入 x1＋x2 和 x1x2 的值，可得： 12 1 41 kk    解得： 1 3k   ， 2 5k  （舍去）， 经检验， 3k   是原方程的根， 故 3k   ． 【点睛】本题考查了一元二次方程 ax2＋bx＋c＝0（a≠0，a，b，c 为常数）根的判别式．当△＞0，方程有 两个不相等的实数根；当△＝0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根以及根与系数的关 系，也考查了解一元二次方程和分式方程，注意分式方程要验根． 21.鄂州市某校数学兴趣小组借助无人机测量一条河流的宽度 CD ．如图所示，一架水平飞行的无人机在 A 处测得正前方河流的左岸 C 处的俯角为 ，无人机沿水平线 AF 方向继续飞行 50 米至 B 处，测得正前方 河流右岸 D 处的俯角为 30°．线段 AM 的长为无人机距地面的铅直高度，点 M、C、D 在同一条直线上．其 中 tan 2, 50 3MC   米． （1）求无人机的飞行高度 AM ；（结果保留根号） （2）求河流的宽度 CD ．（结果精确到 1 米，参考数据： 2 1.41, 3 1.73  ） 【答案】（1）100 3 米；（2）263 米 【解析】 【分析】 （1）根据正切的定义即可求出 AM 的长； （2）过点 B 作 BH⊥MD，根据三角函数求出 DH 的长，利用 CD=DH-CH 即可求解． 【详解】（1）由题意可得 AF∥MD ∴∠ACM=∠FAC= 在 Rt△ACM 中，AM=CMtan∠ACM=CM tan 50 3 2 100 3    (米); （2）如图，过点 B 作 BH⊥MD， 在 Rt△BDH 中，∠BDH=∠FBD=30°，BH=100 3 ∴DH=BH÷tan30°=100 3 ÷ 3 3 =300 米， ∵AM⊥DM，AM⊥AF ∴四边形 ABHM 是矩形 ∴MH=AB=50 米 ∴CH=CM-MH= 50 3 -50(米) ∴CD=DH-CH=300-（50 3 -50）=350-50 3 ≈263（米） 故河流的宽度 CD 为 263 米． 【点睛】此题主要考查三角函数的应用，解题的关键是熟知解直角三角形的方法． 22.如图所示： O 与 ABC 的边 BC 相切于点 C，与 AC 、AB 分别交于点 D、E， //DE OB ．DC 是 O 的直径．连接OE ，过 C 作 //CG OE 交 O 于 G，连接 DG 、 EC ， DG 与 EC 交于点 F． （1）求证：直线 AB 与 O 相切； （2）求证： AE ED AC EF   ； （3）若 13,tan 2EF ACE   时，过 A 作 //AN CE 交 O 于 M、N 两点（M 在线段 AN 上），求 AN 的 长． 【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3) 10+ 2 5 ． 【解析】 【分析】 (1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用 SAS 证明△BOE≌△BOC,进而推出 AB 是圆的切线; (2)将 DG 与 OE 的交点作为 H,根据直角的性质得出 AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出 AE DF AC DC  ,再根据圆 周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出 DF EF DC ED  ,进而推出 AE EF AC ED  , 即 AE ED AC EF   ; (3)先根据题意算出 EC,再根据勾股定理得出直径 CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将 AC 算出来,延 长 BO 到 I,连接 ON,根据垂径定理可得 OI 垂直 AN,即可利用勾股定理分别求出 AI 和 IN,即可得出 AN． 【详解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC， ∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE， 又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE， 由题意得：EO=CO，BO=BO， ∴△BOE≌△BOC(SAS), ∴∠BEO=∠BCO=90°, ∴AB 是⊙O 的切线． (2) 如图所示 DG 与 OE 交点作为 H 点, ∵EO//GC, ∴∠EHD=∠DGC=90°, 又由(1)所知∠AEO=90°, ∴AE//DF, ∴△AEC∽△DFC, ∴ AE DF AC DC  , 由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD, ∵DO//GC, ∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD, ∴∠ECD=∠GCE=∠EDF, 又∵∠FED=∠DEC, ∴△FED∽△DEC, ∴ DF EF DC ED  , ∴ AE EF AC ED  ,即 AE ED AC EF   ． (3) ∵ 13,tan 2EF ACE   ,与∠ACE 相等角的 tan 值都相同． ∴ED=6,则 EC=12, 根据勾股定理可得 2 2 36 144 6 5CD ED EC     ． ∴EO=DO=CO=3 5 ． 由(2)可得 1 2 AE EF AC ED   , 在 Rt△AEO 中,可得 2 2 2AO AE EO  ,即 2 2 2AC OC AE EO   , ∴   2 222 3 5 3 5AE AE   , 解得 AE= 4 5 ,则 AC=8 5 ,AO=5 5 ． 连接 ON,延长 BO 交 MN 于点 I,根据垂径定理可知 OI⊥MN, ∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE． 在 Rt△AIO 中,可得 2 2 2AO AI IO  ,即   2 2 25 5 2OI OI  , 解得 OI=5,则 AI=10, 在 Rt△OIN 中, 2 2 2ON IN IO  ,即 2 2 23 5 5IN  , 解得 IN= 2 5 ． ∴AN=AI+IN=10+ 2 5 ． 【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目 给出的条件． 23.一大型商场经营某种品牌商品，该商品的进价为每件 3 元，根据市场调查发现，该商品每周的销售量 y （件）与售价 x（元件）（x 为正整数）之间满足一次函数关系，下表记录的是某三周的有关数据： x（元/件） 4 5 6 y（件） 10000 9500 9000 （1）求 y 与 x 的函数关系式（不求自变量的取值范围）； （2）在销售过程中要求销售单价不低于成本价，且不高于 15 元/件．若某一周该商品的销售量不少于 6000 件，求这一周该商场销售这种商品获得的最大利润和售价分别为多少元？ （3）抗疫期间，该商场这种商品售价不大于 15 元/件时，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元 （1 6m  ），捐赠后发现，该商场每周销售这种商品的利润仍随售价的增大而增大．请直接写出 m 的取 值范围． 【答案】（1） 500 12000y x   ；（2）这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元；（3）3 6m  ． 【解析】 【分析】 （1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b，代入表中的数据求解即可； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w，根据总利润=单件利润×销售量列出函数关系式求最大 值，注意 x 的取值范围； （3）写出 w 关于 x 的函数关系式，根据当 x≤15 时，利润仍随售价的增大而增大，可得     500 27 152 500 m    ， 求解即可． 【详解】解：（1）设 y 与 x 的函数关系式为 y=kx+b， 代入（4，10000），（5，9500）可得： 10000 4 9500 5 k b k b      ， 解得： 500 12000 k b     ， 即 y 与 x 的函数关系式为 500 12000y x   ； （2）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w， 根据题意可得： 3 15 500 12000 6000 x x      ， 解得：3 12x  ，      2 3 500 12000 3 27500 551252 w y x x x x              ∵3 12x  ， ∴当 x=12 时，w 有最大值，w=54000， 答：这一周该商场销售这种商品获得的最大利润为 54000 元，售价为 12 元． （3）设这一周该商场销售这种商品获得的利润为 w， 当每销售一件商品便向某慈善机构捐赠 m 元时，         2 3 500 12000 3 500 500 27 500 24 3 w y x m x x m x m x m                由题意，当 x≤15 时，利润仍随售价的增大而增大， 可得：     500 27 152 500 m    ，解得：m≥3， ∵1 6m  ∴3 6m  故 m 的取值范围为：3 6m  ． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用——最大利润问题，解题的关键是根据题意列出函数关系式，通过 配方法找到最大值． 24.如图，抛物线 21 2y x bx c   与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左边），与 y 轴交于点 C．直线 1 22y x  经过 B、C 两点． （1）求抛物线的解析式； （2）点 P 是抛物线上的一动点，过点 P 且垂直于 x 轴的直线与直线 BC 及 x 轴分别交于点 D、M．PN BC ， 垂足为 N．设  ,0M m ． ①点 P 在抛物线上运动，若 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点所连线段的中点（三点重合除外）．请直 接写出符合条件的 m 的值； ②当点 P 在直线 BC 下方的抛物线上运动时，是否存在一点 P，使 PNC△ 与 AOC△ 相似．若存在，求出 点 P 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） 21 3 22 2y x x   ；（2）-2， 1 2  ，1；（3）存在，（3，-2） 【解析】 【分析】 （1）根据直线 1 22y x  经过 B、C 两点求出 B、C 两点的坐标，将 B、C 坐标代入抛物线 21 2y x bx c   可得答案； （2）①由题意得 P（m， 21 3 22 2m m  ），D（m， 1 22 m  ）；根据 P、D、M 三点中恰有一点是其它两点 所连线段的中点列式计算即可求得 m 的值； ②先证明 CBOAOC△ ∽△ ，得出 ACO= ABC  ，再根据 PNC△ 与 AOC△ 相似得出 ACO= PCN  ， 则 ABC= PCN  ，可得出 AB//PC ，求出点 P 的纵坐标，代入抛物线 21 3 22 2y x x   ，即可求得点 P 的横坐标． 【详解】解：（1）由直线 1 22y x  经过 B、C 两点得 B（4，0），C（0，-2） 将 B、C 坐标代入抛物线得 2 8 4 0 c b c       ，解得 3 2 2 b c       ， ∴抛物线的解析式为： 21 3 22 2y x x   ； （2）①∵ PN BC ，垂足为 N．  ,0M m ∴P（m， 21 3 22 2m m  ），D（m， 1 22 m  ）， 分以下几种情况： M 是 PD 的中点时，MD=PM，即 0-（ 1 22 m  ）= 21 3 22 2m m  解得 1 2m   ， 2 4m  （舍去）； P 是 MD 的中点时，MD=2MP，即 1 22 m  =2（ 21 3 22 2m m  ） 解得 1 1 2m   ， 2 4m  （舍去）； D 是 MP 的中点时，2MD=MP，即 21 3 22 2m m  =2（ 1 22 m  ） 解得 1 1m  ， 2 4m  （舍去）； ∴符合条件的 m 的值有-2， 1 2  ，1； ②∵抛物线的解析式为： 21 3 22 2y x x   ， ∴A（-1，0），B（4，0），C（0，-2） ∴AO=1，CO=2，BO=4， ∴ AO CO=CO BO ，又 AOC= COB  =90°， ∴ AOC COB△ ∽△ ， ∴ ACO= ABC  ， ∵ PNC△ 与 AOC△ 相似 ∴ ACO= PCN  ， ∴ ABC= PCN  ， ∴ AB//PC ， ∴点 P 的纵坐标是-2，代入抛物线 21 3 22 2y x x   ，得 2 3 22 1 22 x x    解得： 1 0x  （舍去）， 2 3x  ， ∴点 P 的坐标为：（3，-2） 【点睛】本题考查二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和相似三 角形的判定和性质；会利用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质，记住两点间的距离公式；会 利用分类讨论的思想解决数学问题．