人教版九年级上册数学同步课件-第21章-21公式法

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第二十一章 一元二次方程 21.2　解一元二次方程 21.2.2 公式法 探究交流 1.用配方法解一元二次方程的步骤有哪几步？ 2.如何用配方法解方程2x2+4x+1=0? 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式 ax2+bx+c=0 (Ⅲ) 能否也用配方法得出(Ⅲ)的解呢？ 1 求根公式的推导 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 方程两边都除以a ，得 解: 移项，得 配方，得 2 2 2 . 2 2 b b c bx x a a a a                即 2 2 2 4 . 2 4 b b acx a a       2ax bx c   ， 2 b cx x a a    ， 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). 2 4 . 2 b b a cx a      2 4 . 2 2 b b acx a a     即 一元二次方程 的求根公式 特别提醒 ∵a ≠0,4a2>0， 当b2-4ac ≥0时， 用配方法解一般形式的一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a≠0). ∵a ≠0,∴4a2>0. 故当b2-4ac ＜0时， ＜ 2 2 2 4 0. 2 4 b b acx a a       所以x取任何实数都不能使上式成立. 因此，方程无实数根. 由上可知，一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)的根由方程的 系数a，b，c确定．因此，解一元二次方程时，可以先将方程 化为一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0) ，当b2-4ac ≥0 时，将a，b，c 代入式子 就得到方程的根，这个式子叫做一元二次方程的求根公 式，利用它解一元二次方程的方法叫做公式法，由求根公式 可知，一元二次方程最多有两个实数根. 2 .4 2 b b acx a     提示：用公式法解一元二次方程的前提是: 1.必需是一般形式的一元二次方程: ax2+bx+c=0(a≠0); 2.b2-4ac≥0. 解：a=1,b=-4,c=-7. 2 4 2 b b acx a      ( 4 ) 4 4 2 1 1 2 1        ， 1 22 + 1 1 , 2 - 1 1 .x x 即 2= ( 4) 4 1 ( 7) 44 0.2b - 4ac         例1 2 公式法解方程 用公式法解下列方程: （1）x2-4x-7=0； 2(2 )2 -2 2 +1= 0;x x  2 2= 4 2 2 4 2 1 0（ ） ，b ac        1 2 2 . 2 即 x x  0 . 2 2 4 2 （-2 2） 2 2 2x        2, 2 2, 1.a b c   解： 2(3)5 3 1;x x x   化简为一般式： 25 4 1 0.x x   5 -4 1.， ，a b c   解： 2 24 4 4 5 ( 1) 36 0（ ） .b ac           1 2 11, . 5 即 x x  这里的a、b、c的 值是什么？ 36 4 6 . 2 5 10 （-4）x        （4）x2+17=8x. 2 2 1, 8, 17. = 4 ( 8) 4 1 17 4 0. a b c b ac              ∴ ∴ 因为在实数范围内负数不能开平方，所以方程无实数根. 解： 2 8 17=0.x - x+方程化为一般式： ★公式法解方程的步骤 1.变形: 化已知方程为一般形式; 2.确定系数:用a,b,c写出各项系数; 3.计算: b2-4ac的值; 4.判断：若b2-4ac ≥0，则利用求根公式求出; 若b2-4ac<0，则方程没有实数根. 问题1：在例1~例4的解题中，你们发现了什么决定了方程根 的情况？又是如何决定的呢？ 判别式的情况 一般地，式子b2-4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的 判别式，通常用希腊字母“ ”表示它，即 = b2-4ac.  > 0 = 0 < 0 ≥ 0 3 根的判别式 按要求完成下列表格： 练一练 的值 2 1 0x  2 43 4 0 3 x x   21 1 0 3 x x    0 1 3  4 根的情况 有两个相等 的实数根 没有实数根 有两个不相 等的实数根  3、判别根的情况，得出结论. 1、化为一般式，确定a、b、c的值. ★根的判别式使用方法 2、计算 的值，确定 的符号. 【解析】由题意知方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相等的实 数根，所以有 1 0, 0, k      2 1 0, 4 4 1 0. k k       ∴ k＜5且k≠1， 故选B. B 若关于x的一元二次方程(k-1)x2+4x+1=0有两个不相 等的实数根，则k的取值范围是 （ ） A. k＜5 B.k＜5且k≠1 C. k≤5且k≠1 D. k＞5 例2 （3）方程4x2－4x+1=0中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= . 1.先把下列一元二次方程化成一般形式，再写出一般形式 的a、b、c： （1）方程2x2+x-6=0中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= . （2）方程5x2－4x=12中，a= ，b= ， c= ； b2－4ac= . 2 1 -6 49 5 -4 -12 256 4 -4 0 1 答案: 2.解下列方程: (1) x2-2x－8＝0； (2) 9x2＋6x＝8； (3) (2x-1)(x-2) =-1;   1 21 2; 4.x x    1 2 2 42 ; . 3 3 x x     1 2 33 1; . 2 x x    1 2 34 . 3 y y  24 1 2 3 .y y （）３ 3.不解方程，判别方程5y2+1=8y的根的情况. 解：化为一般形式为：5y2-8y+1=0. 所以Δ=b2－4ac=（5）2-4×（-8）×1=57>0. 所以方程5y2+1=8y的有两个不相等的实数根. 这里a=5,b=-8,c=1， 在等腰△ABC 中，三边分别为a,b,c，其中a=5，若关于x 的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根，求△ABC 的周长. 解：关于x的方程x2+(b+2)x+6-b=0有两个相等的实数根， 所以Δ=b2－4ac=（b-2）2-4（6-b）=b2+8b-20=0. 所以b=-10或b=2. 将b=-10代入原方程得x2-8x+16=0，x1=x2=4； 将b=2代入原方程得x2+4x+4=0，x1=x2=-2（不符题设，舍去）； 所以△ABC 的三边长为4，4，5，其周长为4+4+5=13. 公式法 求 根 公 式 步 骤 一化（一般形式）； 二定（系数值）； 三求（ Δ值）； 四判（方程根的情况）； 五代（求根公式计算） 2 4 2 b b acx a     根的判别式b2-4ac 务必将方程化 为一般形式