2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含答案)

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文档介绍

2014年黑龙江省大庆市中考数学试卷(含答案)

黑龙江省大庆市2014年中考数学试卷 ‎ ‎ 一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题所给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将正确选项的序号填涂在答题卡上)‎ ‎1.(3分)(2014•大庆)下列式子中成立的是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎﹣|﹣5|>4‎ B.‎ ‎﹣3<|﹣3|‎ C.‎ ‎﹣|﹣4|=4‎ D.‎ ‎|﹣5.5|<5‎ 考点:‎ 有理数大小比较.‎ 分析:‎ 先对每一个选项化简,再进行比较即可.‎ 解答:‎ 解:A.﹣|﹣5|=﹣5<4,故A选项错误;‎ B.|﹣3|=3>﹣3,故B选项正确;‎ C.﹣|﹣4|=﹣4≠4,故C选项错误;‎ D.|﹣5.5|=5.5>5,故D选项错误;‎ 故选B.‎ 点评:‎ 本题考查了有理数的大小比较,化简是本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎2.(3分)(2014•大庆)大庆油田某一年的石油总产量为4 500万吨,若用科学记数法表示应为(  )吨.‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4.5×10﹣6‎ B.‎ ‎4.5×106‎ C.‎ ‎4.5×107‎ D.‎ ‎4.5×108‎ 考点:‎ 科学记数法—表示较大的数.‎ 分析:‎ 科学记数法的表示形式为a×10n的形式,其中1≤|a|<10,n为整数.确定n的值是易错点,由于4 500万有8位,所以可以确定n=8﹣1=7.‎ 解答:‎ 解:4 500万=45 000 000=4.5×107.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 此题考查科学记数法表示较大的数的方法,准确确定a与n值是关键.‎ ‎ ‎ ‎3.(3分)(2014•大庆)已知a>b且a+b=0,则(  )‎ ‎ ‎ A.‎ a<0‎ B.‎ b>0‎ C.‎ b≤0‎ D.‎ a>0‎ 考点:‎ 有理数的加法.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 根据互为相反数两数之和为0,得到a与b互为相反数,即可做出判断.‎ 解答:‎ 解:∵a>b且a+b=0,‎ ‎∴a>0,b<0,‎ 故选D.‎ 点评:‎ 此题考查了有理数的加法,熟练掌握互为相反数两数的性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎4.(3分)(2014•大庆)如图中几何体的俯视图是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 简单组合体的三视图.‎ 分析:‎ 找到从上面看所得到的图形即可,注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中.‎ 解答:‎ 解:从上面看易得第一层最右边有1个正方形,第二层有3个正方形.‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题考查了三视图的知识,俯视图是从物体的上面看得到的视图.‎ ‎ ‎ ‎5.(3分)(2014•大庆)下列四个命题:‎ ‎(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形;‎ ‎(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形;‎ ‎(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形;‎ ‎(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.‎ 其中正确的命题个数有(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎4个 B.‎ ‎3个 C.‎ ‎2个 D.‎ ‎1个 考点:‎ 命题与定理;平行四边形的判定.‎ 分析:‎ 分别利用平行四边形的判定方法判断得出即可.‎ 解答:‎ 解:(1)两组对边分别相等的四边形是平行四边形,此选项正确;‎ ‎(2)两组对角分别相等的四边形是平行四边形,此选项正确;‎ ‎(3)对角线互相平分的四边形是平行四边形,此选项正确;‎ ‎(4)一组对边平行且相等的四边形是平行四边形,此选项正确.‎ 故选:A.‎ 点评:‎ 此题主要考查了平行四边形的判定,熟练掌握平行四边形的判定是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎6.(3分)(2014•大庆)如图,边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,边B1C1与CD交于点O,则四边形AB1OD的面积是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 旋转的性质;正方形的性质.‎ 分析:‎ 连接AC1,AO,根据四边形AB1C1D1是正方形,得出∠C1AB1=∠AC1B1=45°,求出∠DAB1=45°,推出A、D、C1三点共线,在Rt△C1D1A中,由勾股定理求出AC1,进而求出DC1=OD,根据三角形的面积计算即可.‎ 解答:‎ 解:连接AC1,‎ ‎∵四边形AB1C1D1是正方形,‎ ‎∴∠C1AB1=×90°=45°=∠AC1B1,‎ ‎∵边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转45°后得到正方形AB1C1D1,‎ ‎∴∠B1AB=45°,‎ ‎∴∠DAB1=90°﹣45°=45°,‎ ‎∴AC1过D点,即A、D、C1三点共线,‎ ‎∵正方形ABCD的边长是1,‎ ‎∴四边形AB1C1D1的边长是1,‎ 在Rt△C1D1A中,由勾股定理得:AC1==,‎ 则DC1=﹣1,‎ ‎∵∠AC1B1=45°,∠C1DO=90°,‎ ‎∴∠C1OD=45°=∠DC1O,‎ ‎∴DC1=OD=﹣1,‎ ‎∴S△ADO=×OD•AD=,‎ ‎∴四边形AB1OD的面积是=2×=﹣1,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查了正方形性质,勾股定理等知识点,主要考查学生运用性质进行计算的能力,题目比较好,但有一定的难度.‎ ‎ ‎ ‎7.(3分)(2014•大庆)某市出租车起步价是5元(3公里及3公里以内为起步价),以后每公里收费是1.6元,不足1公里按1公里收费,小明乘出租车到达目的地时计价器显示为11.4元,则此出租车行驶的路程可能为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎5.5公里 B.‎ ‎6.9公里 C.‎ ‎7.5公里 D.‎ ‎8.1公里 考点:‎ 一元一次方程的应用.‎ 分析:‎ 设人坐车可行驶的路程最远是xkm,根据起步价5元,到达目的地后共支付车费11元得出等式求出即可.‎ 解答:‎ 解:设人坐车可行驶的路程最远是xkm,根据题意得:‎ ‎5+1.6(x﹣3)=11.4,‎ 解得:x=7.‎ 观察选项,只有B选项符合题意.‎ 故选:B.‎ 点评:‎ 此题主要考查了一元一次方程的应用,根据总费用得出等式是解题关键.‎ ‎ ‎ ‎8.(3分)(2014•大庆)已知反比例函数的图象上有两点A(x1,y1)、B(x2,y2),若y1>y2,则x1﹣x2的值是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ 正数 B.‎ 负数 C.‎ 非正数 D.‎ 不能确定 考点:‎ 反比例函数图象上点的坐标特征.‎ 分析:‎ 由于点A、B所在象限不定,那么自变量的值大小也不定,则x1﹣x2的值不确定.‎ 解答:‎ 解:∵反比例函数的图象的图象在二、四象限,‎ ‎∴当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第二象限时,由y1>y2,则x1﹣x2>0;‎ 当点A(x1,y1)、B(x2,y2)都在第四象限时,由y1>y2,则x1﹣x2>0;‎ 当点A(x1,y1)在第二象限、B(x2,y2)在第四象限时,即y1>0>y2,则x1﹣x2>0;‎ 故选A.‎ 点评:‎ 本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征,注意反比例函数的图象的增减性只指在同一象限内.‎ ‎ ‎ ‎9.(3分)(2014•大庆)如图,一个质地均匀的正四面体的四个面上依次标有数字﹣2,0,1,2,连续抛掷两次,朝下一面的数字分别是a,b,将其作为M点的横、纵坐标,则点M(a,b)落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是(  )‎ ‎ ‎ A.‎ B.‎ C.‎ D.‎ 考点:‎ 列表法与树状图法.‎ 分析:‎ 首先列举出所有可能的结果,再找出落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的可能情况,根据古典概型概率公式得到结果即可.‎ 解答:‎ 解:列举出事件:(﹣2,1),(﹣2,0),(﹣2,2),(0,﹣2),(0,1),(0,2),(1,2),(1,0),(1,﹣2),(2,﹣2),(2,0),(2,1)共有12种结果,‎ 而落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)有:(﹣2,0),(0,1),(0,2),(1,0),(2,0),(﹣1,0)共6中可能情况,‎ 所以落在以A(﹣2,0),B(2,0),C(0,2)为顶点的三角形内(包含边界)的概率是==,‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查古典概型问题,可以列举出试验发生包含的事件和满足条件的事件,列举法,是解决古典概型问题的一种重要的解题方法,属于中档题.‎ ‎ ‎ ‎10.(3分)(2014•大庆)对坐标平面内不同两点A(x1,y1)、B(x2,y2),用|AB|表示A、B两点间的距离(即线段AB的长度),用‖AB‖表示A、B两点间的格距,定义A、B两点间的格距为‖AB‖=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|,则|AB|与‖AB‖的大小关系为(  )‎ ‎ ‎ A.‎ ‎|AB|≥‖AB‖‎ B.‎ ‎|AB|>‖AB‖‎ C.‎ ‎|AB|≤‖AB‖‎ D.‎ ‎|AB|<‖AB‖‎ 考点:‎ 线段的性质:两点之间线段最短;坐标与图形性质.‎ 专题:‎ 新定义.‎ 分析:‎ 根据点的坐标的特征,|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|三者正好构成直角三角形,然后利用两点之间线段最短解答.‎ 解答:‎ 解:∵|AB|、|x1﹣x2|、|y1﹣y2|的长度是以|AB|为斜边的直角三角形,‎ ‎∴|AB|≤‖AB‖.‎ 故选C.‎ 点评:‎ 本题考查两点之间线段最短的性质,坐标与图形性质,理解平面直角坐标系的特征,判断出三角形的三边关系是解题的关键.‎ ‎ ‎ 二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分.不需写出解答过程,请把答案直接填写在答题卡相应位置上)‎ ‎11.(3分)(2014•大庆)若,则xy﹣3的值为 0.5 .‎ 考点:‎ 非负数的性质:算术平方根;非负数的性质:绝对值;负整数指数幂.‎ 分析:‎ 根据非负数的性质列出方程求出x、y的值,代入所求代数式计算即可.‎ 解答:‎ 解:∵,‎ ‎∴,‎ 解得,‎ ‎∴xy﹣3=22﹣3=.‎ 点评:‎ 本题考查了非负数的性质:几个非负数的和为0时,这几个非负数都为0.‎ ‎ ‎ ‎12.(3分)(2014•大庆)某记者抽样调查了某校一些学生假期用于读书的时间(单位:分钟)后,绘制了频数分布直方图,从左到右的前5个长方形相对应的频率之和为0.9,最后一组的频数是15,则此次抽样调查的人数为 150 人.(注:横轴上每组数据包含最小值不包含最大值)‎ 考点:‎ 频数(率)分布直方图.‎ 分析:‎ 根据直方图中各组的频率之和等于1,结合题意可得最后一组的频率,再由频率的计算公式可得总人数,即答案.‎ 解答:‎ 解:由题意可知:最后一组的频率=1﹣0.9=0.1,‎ 则由频率=频数÷总人数可得:总人数=15÷0.1=150人;‎ 故答案为:150.‎ 点评:‎ 本题考查了频数分布直方图的知识,解题的关键是牢记公式:频率=频数÷总人数.‎ ‎ ‎ ‎13.(3分)(2014•大庆)二元一次方程组的解为  .‎ 考点:‎ 解二元一次方程组.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 方程组利用加减消元法求出解即可.‎ 解答:‎ 解:,‎ ‎①×3﹣②×2得:11x=33,即x=3,‎ 将x=3代入②得:y=2,‎ 则方程组的解为.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 此题考查了解二元一次方程组,利用了消元的思想,消元的方法有:代入消元法与加减消元法.‎ ‎ ‎ ‎14.(3分)(2014•大庆)=  .‎ 考点:‎ 整式的混合运算.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 先把(x+)提,再把4x2﹣1分解,然后约分即可.‎ 解答:‎ 解:原式=(2x+1)(2x﹣1)÷[(2x﹣1)(2x+1)]‎ ‎=.‎ 故答案为.‎ 点评:‎ 本题考查了整式的混合运算:有乘方、乘除的混合运算中,要按照先乘方后乘除的顺序运算,其运算顺序和有理数的混合运算顺序相似.‎ ‎ ‎ ‎15.(3分)(2014•大庆)图中直线是由直线l向上平移1个单位,向左平移2个单位得到的,则直线l对应的一次函数关系式为 y=x﹣2 .‎ 考点:‎ 一次函数图象与几何变换.‎ 分析:‎ 先求得图中直线方程,然后利用平移的性质来求直线l的解析式.‎ 解答:‎ 解:如图,设该直线的解析式为y=kx+1(k≠0),则 ‎0=﹣k+1,‎ 解得 k=1.‎ 则该直线的解析式为y=x+1.‎ ‎∵图中直线是由直线l向上平移1个单位,向左平移2个单位得到的,‎ ‎∴由该直线向下平移1个单位,向右移2个单位得到的直线l,‎ ‎∴直线l的解析式为:y=x+1﹣1﹣2=x﹣2,.‎ 故答案是:y=x﹣2.‎ 点评:‎ 本题考查图形的平移变换和函数解析式之间 的关系,在平面直角坐标系中,图形的平移与图形上某点的平移相同.平移中点的变化规律是:横坐标左移加,右移减;纵坐标上移加,下移减.平移后解析式有这样一个规律“左加右减,上加下减”.关键是要搞清楚平移前后的解析式有什么关系.‎ ‎ ‎ ‎16.(3分)(2014•大庆)在半径为2的圆中,弦AC长为1,M为AC中点,过M点最长的弦为BD,则四边形ABCD的面积为 2 .‎ 考点:‎ 垂径定理;勾股定理.‎ 分析:‎ 先由直径是圆中最长的弦得出BD=4,再根据垂径定理的推论得出AC⊥BD,则四边形ABCD的面积=AC•BD.‎ 解答:‎ 解:如图.∵M为AC中点,过M点最长的弦为BD,‎ ‎∴BD是直径,BD=4,且AC⊥BD,‎ ‎∴四边形ABCD的面积=AC•BD=×1×4=2.‎ 故答案为2.‎ 点评:‎ 本题考查了垂径定理,四边形的面积,难度适中.得出BD是直径是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎17.(3分)(2014•大庆)如图,矩形ABCD中,AD=,F是DA延长线上一点,G是CF上一点,且∠ACG=∠AGC,∠GAF=∠F=20°,则AB=  .‎ 考点:‎ 矩形的性质;等腰三角形的判定与性质;含30度角的直角三角形;直角三角形斜边上的中线;勾股定理.‎ 分析:‎ 根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠AGC=∠GAF+∠F=40°,再根据等腰三角形的性质求出∠CAG,然后求出∠CAF=120°,再根据∠BAC=∠CAF﹣∠BAF求出∠BAC=30°,再根据直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半可得AC=2BC=2AD,然后利用勾股定理列式计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:由三角形的外角性质得,∠AGC=∠GAF+∠F=20°+20°=40°,‎ ‎∵∠ACG=∠AGC,‎ ‎∴∠CAG=180°﹣∠ACG﹣∠AGC=180°﹣2×40°=100°,‎ ‎∴∠CAF=∠CAG+∠GAF=100°+20°=120°,‎ ‎∴∠BAC=∠CAF﹣∠BAF=30°,‎ 在Rt△ABC中,AC=2BC=2AD=2,‎ 由勾股定理,AB===.‎ 故答案为:.‎ 点评:‎ 本题考查了矩形的性质,等腰三角形的性质,直角三角形30°角所对的直角边等于斜边的一半的性质,勾股定理,熟记各性质并求出AB是30°角直角三角形的直角边是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎18.(3分)(2014•大庆)有一列数如下:1,0,1,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,0,1,…,则第9个1在这列数中是第 45 个数.‎ 考点:‎ 规律型:数字的变化类.‎ 专题:‎ 规律型.‎ 分析:‎ 根据两个1之间的0的个数分别为1、2、3…个,然后把0的个数相加再加上9,计算即可得解.‎ 解答:‎ 解:∵两个1之间的0的个数分别为1、2、3…,‎ ‎∴到第9个1,0的个数为:1+2+3+4+5+6+7+8=36,‎ ‎∴第9个1在这列数中是第36+9=45个数.‎ 故答案为:45.‎ 点评:‎ 本题是对数字变化规律的考查,观察出两个1之间的0的个数是从1开始的连续的自然数是解题的关键.‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共10小题,共66分,请在答题卡指定区域内作答,解答时应写出文字说明,证明过程或演算步骤)‎ ‎19.(4分)(2014•大庆)计算:.‎ 考点:‎ 实数的运算;零指数幂;特殊角的三角函数值.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 原式第一项利用零指数幂法则计算,第二项利用绝对值的代数意义化简,第三项利用特殊角的三角函数值计算,最后一项利用立方根定义化简计算即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:原式=1+1+﹣2=.‎ 点评:‎ 此题考查了实数的运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎20.(4分)(2014•大庆)求不等式组的整数解.‎ 考点:‎ 一元一次不等式组的整数解.‎ 分析:‎ 此题可先根据一元一次不等式组解出x的取值,根据x是整数解得出x的可能取值.‎ 解答:‎ 解:,‎ 解①得:x<,‎ 解②得:x≥﹣1,‎ 则不等式组的解集是:﹣1≤x<.‎ 则整数解是:﹣1,0,1.‎ 点评:‎ 本题考查不等式组的解法及整数解的确定.求不等式组的解集,应遵循以下原则:同大取较大,同小取较小,小大大小中间找,大大小小解不了.‎ ‎ ‎ ‎21.(4分)(2014•大庆)已知非零实数a满足a2+1=3a,求的值.‎ 考点:‎ 分式的混合运算.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ 已知等式两边除以a变形后求出a+的值,两边平方,利用完全平方公式展开即可求出所求式子的值.‎ 解答:‎ 解:∵a2+1=3a,即a+=3,‎ ‎∴两边平方得:(a+)2=a2++2=9,‎ 则a2+=7.‎ 点评:‎ 此题考查了分式的混合运算,熟练掌握运算法则是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎22.(7分)(2014•大庆)如图,点D为锐角∠ABC内一点,点M在边BA上,点N在边BC上,且DM=DN,∠BMD+∠BND=180°.‎ 求证:BD平分∠ABC.‎ 考点:‎ 全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.‎ 专题:‎ 证明题.‎ 分析:‎ 在AB上截取ME=BN,证得△BND≌△EMD,进而证得∠DBN=∠MED,BD=DE,从而证得BD平分∠ABC.‎ 解答:‎ 解:如图所示:在AB上截取ME=BN,‎ ‎∵∠BMD+∠DME=180°,∠BMD+∠BND=180°,‎ ‎∴∠DME=∠BND,‎ 在△BND与△EMD中,‎ ‎,‎ ‎∴△BND≌△EMD(SAS),‎ ‎∴∠DBN=∠MED,BD=DE,‎ ‎∴∠MBD=∠MED,‎ ‎∴∠MBD=∠DBN,‎ ‎∴BD平分∠ABC.‎ 点评:‎ 本题考查了三角形全等的判定和性质,等腰三角形的判定和性质.‎ ‎ ‎ ‎23.(7分)(2014•大庆)如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点A(﹣2,0),与y轴交于点C,与反比例函数在第一象限内的图象交于点B(m,n),连结OB.若S△AOB=6,S△BOC=2.‎ ‎(1)求一次函数的表达式;‎ ‎(2)求反比例函数的表达式.‎ 考点:‎ 反比例函数与一次函数的交点问题.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)由S△AOB=6,S△BOC=2得S△AOC=4,根据三角形面积公式得•2•OC=4,解得OC=4,则C点坐标为(0,4),然后利用待定系数法求一次函数解析式;‎ ‎(2)由S△BOC=2,根据三角形面积公式得到×4×m=2,解得m=1,则B点坐标为(1,6),然后利用待定系数法确定反比例函数解析式.‎ 解答:‎ 解:(1)∵S△AOB=6,S△BOC=2,‎ ‎∴S△AOC=4,‎ ‎∴•2•OC=4,解得OC=4,‎ ‎∴C点坐标为(0,4),‎ 设一次函数解析式为y=mx+n,‎ 把A(﹣2,0),C(0,4)代入得,解得,‎ ‎∴一次函数解析式为y=2x+4;‎ ‎(2)∵S△BOC=2,‎ ‎∴×4×m=2,解得m=1,‎ ‎∴B点坐标为(1,6),‎ 把B(1,6)代入y=得k=1×6=6,‎ ‎∴反比例函数解析式为y=.‎ 点评:‎ 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题:反比例函数与一次函数图象的交点坐标满足两函数解析式.也考查了待定系数法求函数解析式.‎ ‎ ‎ ‎24.(7分)(2014•大庆)甲、乙两名同学进入初四后,某科6次考试成绩如图:‎ ‎(1)请根据下图填写如表:‎ 平均数 方差 中位数 众数 极差 甲 ‎75‎ ‎ 125 ‎ ‎75‎ ‎ 75 ‎ ‎ 35 ‎ 乙 ‎ 75 ‎ ‎33.3‎ ‎ 72.5 ‎ ‎ 70 ‎ ‎15‎ ‎(2)请你分别从以下两个不同的方面对甲、乙两名同学6次考试成绩进行分析:‎ ‎①从平均数和方差相结合看;②从折线图上两名同学分数的走势上看,你认为反映出什么问题?‎ 考点:‎ 折线统计图;算术平均数;中位数;极差;方差.‎ 分析:‎ ‎(1)分别根据平均数、方差的求解进行计算,中位数的定义,众数的定义以及极差的定义解答;‎ ‎(2)根据方差的意义以及折线统计图的意义解答.‎ 解答:‎ 解:(1)甲:方差= [(60﹣75)2+(65﹣75)2+(75﹣75)2+(75﹣75)2+(80﹣75)2+(95﹣75)2‎ ‎=(225+100+0+0+25+400)‎ ‎=125,‎ 众数:75,‎ 极差:95﹣60=35;‎ 乙:平均数=(85+70+70+75+70+80)=75,‎ 中位数:(70+75)=72.5,‎ 众数:70;‎ 故答案为:125,75,35;75,72.5,70;‎ ‎(2)①从平均数和方差相结合看,乙同学成绩更稳定;‎ ‎②从折线图上两名同学分数的走势上看,甲同学进步较快,乙同学成绩稳定有小幅度下滑.‎ 点评:‎ 本题考查折线统计图的运用,折线统计图表示的是事物的变化情况.‎ ‎ ‎ ‎25.(7分)(2014•大庆)关于x的函数y=(m2﹣1)x2﹣(2m+2)x+2的图象与x轴只有一个公共点,求m的值.‎ 考点:‎ 抛物线与x轴的交点;一次函数图象上点的坐标特征.‎ 分析:‎ 需要分类讨论:该函数是一次函数和二次函数两种情况.‎ 解答:‎ 解:①当m2﹣1=0,且2m+2≠0,即m=1时,该函数是一次函数,则其图象与x轴只有一个公共点;‎ ‎②当m2﹣1≠0,即m≠±1时,该函数是二次函数,则 ‎△=(2m+2)2﹣8(m2﹣1)=0,‎ 解得 m=3,m=﹣1(舍去).‎ 综上所述,m的值是1或3.‎ 点评:‎ 本题考查了抛物线与x轴的交点.注意一定要分类讨论,以防漏解.‎ ‎ ‎ ‎26.(8分)(2014•大庆)如图,AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,点P在⊙O上,PB与CD交于点F,∠PBC=∠C.‎ ‎(1)求证:CB∥PD;‎ ‎(2)若∠PBC=22.5°,⊙O的半径R=2,求劣弧AC的长度.‎ 考点:‎ 垂径定理;圆周角定理;弧长的计算.‎ 分析:‎ ‎(1)先根据同弧所对的圆周角相等得出∠PBC=∠D,再由等量代换得出∠C=∠D,然后根据内错角相等两直线平行即可证明CB∥PD;‎ ‎(2)先由垂径定理及圆周角定理得出∠BOC=2∠PBC=45°,再根据邻补角定义求出∠AOC=135°,然后根据弧长的计算公式即可得出劣弧AC的长度.‎ 解答:‎ 解:(1)∵∠PBC=∠D,∠PBC=∠C,‎ ‎∴∠C=∠D,‎ ‎∴CB∥PD;‎ ‎(2)∵AB是⊙O的直径,弦CD⊥AB于点E,‎ ‎∴=,‎ ‎∵∠PBC=∠C=22.5°,‎ ‎∴∠BOC=∠BOD=2∠C=45°,‎ ‎∴∠AOC=180°﹣∠BOC=135°,‎ ‎∴劣弧AC的长为:=.‎ 点评:‎ 本题考查了圆周角定理,平行线的判定,垂径定理,弧长的计算,难度适中.(2)中求出∠AOC=135°是解题的关键.‎ ‎ ‎ ‎27.(9分)(2014•大庆)如图,等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,BC=1,点D在边AC上且BD平分∠ABC,设CD=x.‎ ‎(1)求证:△ABC∽△BCD;‎ ‎(2)求x的值;‎ ‎(3)求cos36°﹣cos72°的值.‎ 考点:‎ 相似三角形的判定与性质;等腰三角形的性质;黄金分割;解直角三角形.‎ 专题:‎ 计算题.‎ 分析:‎ ‎(1)由等腰三角形ABC中,顶角的度数求出两底角度数,再由BD为角平分线求出∠DBC的度数,得到∠DBC=∠A,再由∠C为公共角,利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似;‎ ‎(2)根据(1)结论得到AD=BD=BC,根据AD+DC表示出AC,由(1)两三角形相似得比例求出x的值即可;‎ ‎(3)过B作BE垂直于AC,交AC于点E,在直角三角形ABE和直角三角形BCE中,利用锐角三角函数定义求出cos36°与cos72°的值,代入原式计算即可得到结果.‎ 解答:‎ 解:(1)∵等腰△ABC中,AB=AC,∠BAC=36°,‎ ‎∴∠ABC=∠C=72°,‎ ‎∵BD平分∠ABC,‎ ‎∴∠ABD=∠CBD=36°,‎ ‎∵∠CBD=∠A=36°,∠C=∠C,‎ ‎∴△ABC∽△BCD;‎ ‎(2)∵∠A=∠ABD=36°,‎ ‎∴AD=BD,‎ ‎∵BD=BC,‎ ‎∴AD=BD=CD=1,‎ 设CD=x,则有AB=AC=x+1,‎ ‎∵△ABC∽△BCD,‎ ‎∴=,即=,‎ 整理得:x2+x﹣1=0,‎ 解得:x1=,x2=(负值,舍去),‎ 则x=;‎ ‎(3)过B作BE⊥AC,交AC于点E,‎ ‎∵BD=CD,‎ ‎∴E为CD中点,即DE=CE=,‎ 在Rt△ABE中,cosA=cos36°===,‎ 在Rt△BCE中,cosC=cos72°===,‎ 则cos36°﹣cos72°=﹣=.‎ 点评:‎ 此题考查了相似三角形的判定与性质,锐角三角函数定义,以及一元二次方程的解法,熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键.‎ ‎ ‎ ‎28.(9分)(2014•大庆)如图①,已知等腰梯形ABCD的周长为48,面积为S,AB∥CD,∠ADC=60°,设AB=3x.‎ ‎(1)用x表示AD和CD;‎ ‎(2)用x表示S,并求S的最大值;‎ ‎(3)如图②,当S取最大值时,等腰梯形ABCD的四个顶点都在⊙O上,点E和点F分别是AB和CD的中点,求⊙O的半径R的值.‎ 考点:‎ 圆的综合题.‎ 专题:‎ 综合题.‎ 分析:‎ ‎(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,易得四边形AHGB为矩形,则HG=AB=3x,再根据等腰梯形的性质得AD=BC,DH=CG,在Rt△ADH中,设DH=t,根据含30度的直角三角形三边的关系得AD=2t,AH=t,然后根据等腰梯形ABCD的周长为48得3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,于是可得AD=18﹣2x,CD=16+x;‎ ‎(2)根据梯形的面积公式计算可得到S=﹣2x2+8x+64,再进行配方得S=﹣2(x﹣2)2+72,然后根据二次函数的最值问题求解;‎ ‎(3)连结OA、OD,如图②,由(2)得到x=2时,则AB=6,CD=18,等腰梯形的高为6,所以AE=3,DF=9,由于点E和点F分别是AB和CD的中点,根据等腰梯形的性质得直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,所以EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,根据垂径定理的推论得等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,设OE=a,则OF=6﹣a,在Rt△AOE中,利用勾股定理得a2+32=R2,在Rt△ODF中,利用勾股定理得(6﹣a)2+92=R2,然后消去R得到a的方程a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,最后利用R2=(5)2+32求解.‎ 解答:‎ 解:(1)作AH⊥CD于H,BG⊥CD于G,如图①,‎ 则四边形AHGB为矩形,‎ ‎∴HG=AB=3x,‎ ‎∵四边形ABCD为等腰梯形,‎ ‎∴AD=BC,DH=CG,‎ 在Rt△ADH中,设DH=t,‎ ‎∵∠ADC=60°,‎ ‎∴∠DAH=30°,‎ ‎∴AD=2t,AH=t,‎ ‎∴BC=2t,CG=t,‎ ‎∵等腰梯形ABCD的周长为48,‎ ‎∴3x+2t+t+3x+t+2t=48,解得t=8﹣x,‎ ‎∴AD=2(8﹣x)=18﹣2x,‎ CD=8﹣x+3x+8﹣x=16+x;‎ ‎(2)S=(AB+CD)•AH ‎=(3x+16+x)•(8﹣x)‎ ‎=﹣2x2+8x+64,‎ ‎∵S=﹣2(x﹣2)2+72,‎ ‎∴当x=2时,S有最大值72;‎ ‎(3)连结OA、OD,如图②,‎ 当x=2时,AB=6,CD=16+2=18,等腰梯形的高为×(8﹣2)=6,‎ 则AE=3,DF=9,‎ ‎∵点E和点F分别是AB和CD的中点,‎ ‎∴直线EF为等腰梯形ABCD的对称轴,‎ ‎∴EF垂直平分AB和CD,EF为等腰梯形ABCD的高,即EF=6,‎ ‎∴等腰梯形ABCD的外接圆的圆心O在EF上,‎ 设OE=a,则OF=6﹣a,‎ 在Rt△AOE中,‎ ‎∵OE2+AE2=OA2,‎ ‎∴a2+32=R2,‎ 在Rt△ODF中,‎ ‎∵OF2+DF2=OD2,‎ ‎∴(6﹣a)2+92=R2,‎ ‎∴a2+32=(6﹣a)2+92,解得a=5,‎ ‎∴R2=(5)2+32=84,‎ ‎∴R=2.‎ 点评:‎ 本题考查了圆的综合题:熟练掌握垂径定理及其推论和等腰梯形的性质;会运用二次函数的性质解决最值问题;熟练运用勾股定理和含30度的直角三角形三边的关系进行计算.‎
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