2019年四川省成都市中考数学试卷含答案

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‎2019年四川省成都市中考数学试卷 一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡 ‎1．（3分）比﹣3大5的数是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．8‎ ‎2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（　　）‎ A．5500×104 B．55×106 C．5.5×107 D．5.5×108‎ ‎4．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）‎ ‎5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．20° D．30°‎ ‎6．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 ‎ C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2‎ ‎7．（3分）分式方程x-5‎x-1‎‎+‎2‎x=‎1的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2‎ ‎8．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 ‎9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）‎ A．30° B．36° C．60° D．72°‎ ‎10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　）‎ A．c＜0 ‎ B．b2﹣4ac＜0 ‎ C．a﹣b+c＜0 ‎ D．图象的对称轴是直线x＝3‎ 二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）‎ ‎11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为　 　．‎ ‎12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　 　．‎ ‎13．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是　 　．‎ ‎14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为　 　．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 ‎15．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°‎-‎16‎+‎|1‎-‎‎3‎|．‎ ‎（2）解不等式组：‎‎3(x-2)≤4x-5，①‎‎5x-2‎‎4‎‎＜1+‎1‎‎2‎x．②‎ ‎16．（6分）先化简，再求值：（1‎-‎‎4‎x+3‎）‎÷‎x‎2‎‎-2x+1‎‎2x+6‎，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；‎ ‎（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．‎ ‎18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y‎=‎kx的图象经过点A．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）设一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．‎ ‎20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．‎ ‎（1）求证：AC‎=‎CD；‎ ‎（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．‎ 一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）‎ ‎21．（4分）估算：‎37.7‎‎≈‎　 　（结果精确到1）‎ ‎22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为　 　．‎ ‎23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为‎5‎‎7‎，则盒子中原有的白球的个数为　 　‎ ‎24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　 　．‎ ‎25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为‎15‎‎2‎，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为　 　．‎ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎26．（8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．‎ ‎（1）求y与x之间的关系式；‎ ‎（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p‎=‎‎1‎‎2‎x‎+‎‎1‎‎2‎ 来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？‎ ‎27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB‎=‎‎3‎‎4‎，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；‎ ‎（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；‎ ‎（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．‎ ‎2019年四川省成都市中考数学试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共10个小題，每小题3分，共30分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡 ‎1．（3分）比﹣3大5的数是（　　）‎ A．﹣15 B．﹣8 C．2 D．8‎ ‎【解答】解：﹣3+5＝2．‎ 故选：C．‎ ‎2．（3分）如图所示的几何体是由6个大小相同的小立方块搭成，它的左视图是（　　）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【解答】解：从左面看易得第一层有2个正方形，第二层左边有1个正方形，如图所示：‎ 故选：B．‎ ‎3．（3分）2019年4月10日，人类首张黑洞照片面世，该黑洞位于室女座一个巨椭圆星系M87的中心，距离地球约5500万光年．将数据5500万用科学记数法表示为（　　）‎ A．5500×104 B．55×106 C．5.5×107 D．5.5×108‎ ‎【解答】解：‎ 科学记数法表示：5500万＝5500 0000＝5.5×107‎ 故选：C．‎ ‎4．（3分）在平面直角坐标系中，将点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（　　）‎ A．（2，3） B．（﹣6，3） C．（﹣2，7） D．（﹣2．﹣1）‎ ‎【解答】解：点（﹣2，3）向右平移4个单位长度后得到的点的坐标为（2，3）．‎ 故选：A．‎ ‎5．（3分）将等腰直角三角形纸片和矩形纸片按如图方式叠放在起，若∠1＝30°，则∠2的度数为（　　）‎ A．10° B．15° C．20° D．30°‎ ‎【解答】解：∵AB∥CD，‎ ‎∴∠1＝∠ADC＝30°，‎ 又∵等腰直角三角形ADE中，∠ADE＝45°，‎ ‎∴∠1＝45°﹣30°＝15°，‎ 故选：B．‎ ‎6．（3分）下列计算正确的是（　　）‎ A．5ab﹣3a＝2b B．（﹣3a2b）2＝6a4b2 ‎ C．（a﹣1）2＝a2﹣1 D．2a2b÷b＝2a2‎ ‎【解答】解：‎ A选项，5ab与3b不属于同类项，不能合并，选项错误，‎ B选项，积的乘方（﹣3a2b）2＝（﹣3）2a4b2＝9a4b2，选项错误，‎ C选项，完全平方公式（a﹣1）2＝a2﹣2a+1，选项错误 D选项，单项式除法，计算正确 故选：D．‎ ‎7．（3分）分式方程x-5‎x-1‎‎+‎2‎x=‎1的解为（　　）‎ A．x＝﹣1 B．x＝1 C．x＝2 D．x＝﹣2‎ ‎【解答】解：方程两边同时乘以x（x﹣1）得，x（x﹣5）+2（x﹣1）＝x（x﹣1），‎ 解得x＝﹣1，‎ 把x＝﹣1代入原方程的分母均不为0，‎ 故x＝﹣1是原方程的解．‎ 故选：A．‎ ‎8．（3分）某校开展了主题为“青春•梦想”的艺术作品征集活动．从九年级五个班收集到的作品数量（单位：件）分别为：42，50，45，46，50，则这组数据的中位数是（　　）‎ A．42件 B．45件 C．46件 D．50件 ‎【解答】解：将数据从小到大排列为：42，45，46，50，50，‎ ‎∴中位数为46，‎ 故选：C．‎ ‎9．（3分）如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为DE上的一点（点P不与点D重合），则∠CPD的度数为（　　）‎ A．30° B．36° C．60° D．72°‎ ‎【解答】解：如图，连接OC，OD．‎ ‎∵ABCDE是正五边形，‎ ‎∴∠COD‎=‎360°‎‎5‎=‎72°，‎ ‎∴∠CPD‎=‎‎1‎‎2‎∠COD＝36°，‎ 故选：B．‎ ‎10．（3分）如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象经过点A（1，0），B（5，0），下列说法正确的是（　　）‎ A．c＜0 ‎ B．b2﹣4ac＜0 ‎ C．a﹣b+c＜0 ‎ D．图象的对称轴是直线x＝3‎ ‎【解答】解：A．由于二次函数y＝ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴，所以c＞0，故A错误；‎ B．二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴由2个交点，所以b2﹣4ac＞0，故B错误；‎ C．当x＝﹣1时，y＜0，即a﹣b+c＜0，故C错误；‎ D．因为A（1，0），B（5，0），所以对称轴为直线x‎=‎1+5‎‎2‎=‎3，故D正确．‎ 故选：D．‎ 二、填空题（术大题共4个小题，每小题4分，共16分，答案写在答题卡上）‎ ‎11．（4分）若m+1与﹣2互为相反数，则m的值为　1　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：‎ m+1﹣2＝0，‎ 解得：m＝1，‎ 故答案为：1．‎ ‎12．（4分）如图，在△ABC中，AB＝AC，点D，E都在边BC上，∠BAD＝∠CAE，若BD＝9，则CE的长为　9　．‎ ‎【解答】解：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠C，‎ 在△BAD和△CAE中，‎ ‎∠BAD=∠CAEAB=AC‎∠B=∠C‎，‎ ‎∴△BAD≌△CAE，‎ ‎∴BD＝CE＝9，‎ 故答案为：9．‎ ‎13．（4分）已知一次函数y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，则k的取值范围是　k＜3　．‎ ‎【解答】解：y＝（k﹣3）x+1的图象经过第一、二、四象限，‎ ‎∴k﹣3＜0，‎ ‎∴k＜3；‎ 故答案为k＜3；‎ ‎14．（4分）如图，▱ABCD的对角线AC与BD相交于点O，按以下步骤作图：①以点A为圆心，以任意长为半径作弧，分别交AO，AB于点M，N；②以点O为圆心，以AM长为半径作弧，交OC于点M'；③以点M'为圆心，以MN长为半径作弧，在∠COB内部交前面的弧于点N'；④过点N'作射线ON'交BC于点E．若AB＝8，则线段OE的长为　4　．‎ ‎【解答】解：由作法得∠COE＝∠OAB，‎ ‎∴OE∥AB，‎ ‎∵四边形ABCD为平行四边形，‎ ‎∴OC＝OA，‎ ‎∴CE＝BE，‎ ‎∴OE为△ABC的中位线，‎ ‎∴OE‎=‎‎1‎‎2‎AB‎=‎1‎‎2‎×‎8＝4．‎ 故答案为4．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共54分解答过程写在答题卡上 ‎15．（12分）（1）计算：（π﹣2）0﹣2cos30°‎-‎16‎+‎|1‎-‎‎3‎|．‎ ‎（2）解不等式组：‎‎3(x-2)≤4x-5，①‎‎5x-2‎‎4‎‎＜1+‎1‎‎2‎x．②‎ ‎【解答】解：（1）原式＝1﹣2‎×‎3‎‎2‎-‎4‎+‎3‎-‎1，‎ ‎＝1‎-‎3‎-‎4‎+‎3‎-‎1，‎ ‎＝﹣4．‎ ‎（2）‎‎3(x-2)≤4x-5，①‎‎5x-2‎‎4‎‎＜1+‎1‎‎2‎x．②‎ 由①得，x≥﹣1，‎ 由②得，x＜2，‎ 所以，不等式组的解集是﹣1≤x＜2．‎ ‎16．（6分）先化简，再求值：（1‎-‎‎4‎x+3‎）‎÷‎x‎2‎‎-2x+1‎‎2x+6‎，其中x‎=‎2‎+‎1．‎ ‎【解答】解：‎ 原式‎=(x+3‎x+3‎-‎4‎x+3‎)×‎‎2(x+3)‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎ ‎=x-1‎x+3‎×‎‎2(x+3)‎‎(x-1‎‎)‎‎2‎‎ ‎ ‎=‎‎2‎x-1‎‎ ‎ 将x‎=‎2‎+‎1代入原式‎=‎2‎‎2‎‎+1-1‎=‎‎2‎ ‎17．（8分）随着科技的进步和网络资源的丰富，在线学习已经成为更多人的自主学习选择．某校计划为学生提供以下四类在线学习方式：在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论．为了解学生需求，该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查，并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图．‎ 根据图中信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求本次调查的学生总人数，并补全条形统计图；‎ ‎（2）求扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数；‎ ‎（3）该校共有学生2100人，请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生人数．‎ ‎【解答】解：（1）本次调查的学生总人数为：18÷20%＝90，‎ 在线听课的人数为：90﹣24﹣18﹣12＝36，‎ 补全的条形统计图如右图所示；‎ ‎（2）扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是：360°‎×‎12‎‎90‎=‎48°，‎ 即扇形统计图中“在线讨论”对应的扇形圆心角的度数是48°；‎ ‎（3）2100‎×‎24‎‎90‎=‎560（人），‎ 答：该校对在线阅读最感兴趣的学生有560人．‎ ‎18．（8分）2019年，成都马拉松成为世界马拉松大满贯联盟的候选赛事，这大幅提升了成都市的国际影响力，如图，在一场马拉松比赛中，某人在大楼A处，测得起点拱门CD的顶部C的俯角为35°，底部D的俯角为45°，如果A处离地面的高度AB＝20米，求起点拱门CD的高度．（结果精确到1米；参考数据：sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70）‎ ‎【解答】解：作CE⊥AB于E，‎ 则四边形CDBE为矩形，‎ ‎∴CE＝AB＝20，CD＝BE，‎ 在Rt△ADB中，∠ADB＝45°，‎ ‎∴AB＝DB＝20，‎ 在Rt△ACE中，tan∠ACE‎=‎AECE，‎ ‎∴AE＝CE•tan∠ACE≈20×0.70＝14，‎ ‎∴CD＝BE＝AB﹣AE＝6，‎ 答：起点拱门CD的高度约为6米．‎ ‎19．（10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5和y＝﹣2x的图象相交于点A，反比例函数y‎=‎kx的图象经过点A．‎ ‎（1）求反比例函数的表达式；‎ ‎（2）设一次函数y‎=‎‎1‎‎2‎x+5的图象与反比例函数y‎=‎kx的图象的另一个交点为B，连接OB，求△ABO的面积．‎ ‎【解答】解：（1）由y=‎1‎‎2‎x+5‎y=-2x得x=-2‎y=4‎，‎ ‎∴A（﹣2，4），‎ ‎∵反比例函数y‎=‎kx的图象经过点A，‎ ‎∴k＝﹣2×4＝﹣8，‎ ‎∴反比例函数的表达式是y‎=-‎‎8‎x；‎ ‎（2）解y=-‎‎8‎xy=‎1‎‎2‎x+5‎得x=-2‎y=4‎或x=-8‎y=1‎，‎ ‎∴B（﹣8，1），‎ 由直线AB的解析式为y‎=‎‎1‎‎2‎x+5得到直线与x轴的交点为（﹣10，0），‎ ‎∴S△AOB‎=‎1‎‎2‎×‎10×4‎-‎1‎‎2‎×‎10×1＝15．‎ ‎20．（10分）如图，AB为⊙O的直径，C，D为圆上的两点，OC∥BD，弦AD，BC相交于点E．‎ ‎（1）求证：AC‎=‎CD；‎ ‎（2）若CE＝1，EB＝3，求⊙O的半径；‎ ‎（3）在（2）的条件下，过点C作⊙O的切线，交BA的延长线于点P，过点P作PQ∥CB交⊙O于F，Q两点（点F在线段PQ上），求PQ的长．‎ ‎【解答】证明：（1）∵OC＝OB ‎∴∠OBC＝∠OCB ‎∵OC∥BD ‎∴∠OCB＝∠CBD ‎∴∠OBC＝∠CBD ‎∴‎AC‎=‎CD ‎（2）连接AC，‎ ‎∵CE＝1，EB＝3，‎ ‎∴BC＝4‎ ‎∵‎AC‎=‎CD ‎∴∠CAD＝∠ABC，且∠ACB＝∠ACB ‎∴△ACE∽△BCA ‎∴‎ACCE‎=‎CBAC ‎∴AC2＝CB•CE＝4×1‎ ‎∴AC＝2，‎ ‎∵AB是直径 ‎∴∠ACB＝90°‎ ‎∴AB‎=AC‎2‎+BC‎2‎=‎2‎‎5‎ ‎∴⊙O的半径为‎5‎ ‎（3）如图，过点O作OH⊥FQ于点H，连接OQ，‎ ‎∵PC是⊙O切线，‎ ‎∴∠PCO＝90°，且∠ACB＝90°‎ ‎∴∠PCA＝∠BCO＝∠CBO，且∠CPB＝∠CPA ‎∴△APC∽△CPB ‎∴‎PAPC‎=PCPB=ACBC=‎2‎‎4‎=‎‎1‎‎2‎ ‎∴PC＝2PA，PC2＝PA•PB ‎∴4PA2＝PA×（PA+2‎5‎）‎ ‎∴PA‎=‎‎2‎‎5‎‎3‎ ‎∴PO‎=‎‎5‎‎5‎‎3‎ ‎∵PQ∥BC ‎∴∠CBA＝∠BPQ，且∠PHO＝∠ACB＝90°‎ ‎∴△PHO∽△BCA ‎∴‎ACOH‎=BCPH=‎ABPO 即‎2‎OH‎=‎4‎PH=‎2‎‎5‎‎5‎‎5‎‎3‎=‎‎6‎‎5‎ ‎∴PH‎=‎‎10‎‎3‎，OH‎=‎‎5‎‎3‎ ‎∴HQ‎=OQ‎2‎-OH‎2‎=‎‎2‎‎5‎‎3‎ ‎∴PQ＝PH+HQ‎=‎‎10+2‎‎5‎‎3‎ 一、B卷填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上）‎ ‎21．（4分）估算：‎37.7‎‎≈‎　6　（结果精确到1）‎ ‎【解答】解：∵‎36‎‎＜‎37.7‎＜‎‎49‎，‎ ‎∴‎6＜‎37.7‎＜7‎，‎ ‎∴‎37.7‎‎≈‎6．‎ 故答案为：6‎ ‎22．（4分）已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k﹣1＝0的两个实数根，且x12+x22﹣x1x2＝13，则k的值为　﹣2　．‎ ‎【解答】解：根据题意得：x1+x2＝﹣2，x1x2＝k﹣1，‎ x‎1‎‎2‎‎+x‎2‎‎2‎-‎x1x2‎ ‎=‎(x‎1‎‎+x‎2‎‎)‎‎2‎-‎‎3x1x2‎ ‎＝4﹣3（k﹣1）‎ ‎＝13，‎ k＝﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎23．（4分）一个盒子中装有10个红球和若干个白球，这些球除颜色外都相同．再往该盒子中放入5个相同的白球，摇匀后从中随机摸出一个球，若摸到白球的概率为‎5‎‎7‎，则盒子中原有的白球的个数为　20　‎ ‎【解答】解：设盒子中原有的白球的个数为x个，‎ 根据题意得：x+5‎‎10+x+5‎‎=‎‎5‎‎7‎，‎ 解得：x＝20，‎ 经检验：x＝20是原分式方程的解；‎ ‎∴盒子中原有的白球的个数为20个．‎ 故答案为：20；‎ ‎24．（4分）如图，在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，分别连接A'C，A'D，B'C，则A'C+B'C的最小值为　‎3‎　．‎ ‎【解答】解：∵在边长为1的菱形ABCD中，∠ABC＝60°，‎ ‎∴AB＝1，∠ABD＝30°，‎ ‎∵将△ABD沿射线BD的方向平移得到△A'B'D'，‎ ‎∴A′B′＝AB＝1，∠A′B′D＝30°，‎ 当B′C⊥A′B′时，A'C+B'C的值最小，‎ ‎∵AB∥A′B′，AB＝A′B′，AB＝CD，AB∥CD，‎ ‎∴A′B′＝CD，A′B′∥CD，‎ ‎∴四边形A′B′CD是矩形，‎ ‎∠B′A′C＝30°，‎ ‎∴B′C‎=‎‎3‎‎3‎，A′C‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴A'C+B'C的最小值为‎3‎，‎ 故答案为：‎3‎．‎ ‎25．（4分）如图，在平面直角坐标系xOy中，我们把横、纵坐标都是整数的点为“整点”，已知点A的坐标为（5，0），点B在x轴的上方，△OAB的面积为‎15‎‎2‎，则△OAB内部（不含边界）的整点的个数为　4或5或6　．‎ ‎【解答】解：设B（m，n），‎ ‎∵点A的坐标为（5，0），‎ ‎∴OA＝5，‎ ‎∵△OAB的面积‎=‎1‎‎2‎×‎5•n‎=‎‎15‎‎2‎，‎ ‎∴n＝3，‎ 结合图象可以找到其中的一种情况：（以一种为例）‎ 当2＜m＜3时，有6个整数点；‎ 当3＜m‎＜‎‎9‎‎2‎时，有5个整数点；‎ 当m＝3时，有4个整数点；‎ 可知有6个或5个或4个整数点；‎ 故答案为4或5或6；‎ 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上）‎ ‎26．（8分）随着5G技术的发展，人们对各类5G产品的使用充满期待，某公司计划在某地区销售一款5G产品，根据市场分析，该产品的销售价格将随销售周期的变化而变化．设该产品在第x（x为正整数）个销售周期每台的销售价格为y元，y与x之间满足如图所示的一次函数关系．‎ ‎（1）求y与x之间的关系式；‎ ‎（2）设该产品在第x个销售周期的销售数量为p（万台），p与x的关系可以用p‎=‎‎1‎‎2‎x‎+‎‎1‎‎2‎ 来描述．根据以上信息，试问：哪个销售周期的销售收入最大？此时该产品每台的销售价格是多少元？‎ ‎【解答】解：（1）设函数的解析式为：y＝kx+b（k≠0），由图象可得，‎ k+b=7000‎‎5k+b=5000‎‎，‎ 解得，k=-500‎b=7500‎，‎ ‎∴y与x之间的关系式：y＝﹣500x+7500；‎ ‎（2）设销售收入为w万元，根据题意得，‎ w＝yp＝（﹣500x+7500）（‎1‎‎2‎x‎+‎‎1‎‎2‎），‎ 即w＝﹣250（x﹣7）2+16000，‎ ‎∴当x＝7时，w有最大值为16000，‎ 此时y＝﹣500×7+7500＝4000（元）‎ 答：第7个销售周期的销售收入最大，此时该产品每台的销售价格是4000元．‎ ‎27．（10分）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝20，tanB‎=‎‎3‎‎4‎，点D为BC边上的动点（点D不与点B，C重合）．以D为顶点作∠ADE＝∠B，射线DE交AC边于点E，过点A作AF⊥AD交射线DE于点F，连接CF．‎ ‎（1）求证：△ABD∽△DCE；‎ ‎（2）当DE∥AB时（如图2），求AE的长；‎ ‎（3）点D在BC边上运动的过程中，是否存在某个位置，使得DF＝CF？若存在，求出此时BD的长；若不存在，请说明理由．‎ ‎【解答】（1）证明：∵AB＝AC，‎ ‎∴∠B＝∠ACB，‎ ‎∵∠ADE+∠CDE＝∠B+∠BAD，∠ADE＝∠B，‎ ‎∴∠BAD＝∠CDE，‎ ‎∴△BAD∽△DCE．‎ ‎（2）解：如图2中，作AM⊥BC于M．‎ 在Rt△ABM中，设BM＝4k，则AM＝BM•tanB＝4k‎×‎3‎‎4‎=‎3k，‎ 由勾股定理，得到AB2＝AM2+BM2，‎ ‎∴202＝（3k）2+（4k）2，‎ ‎∴k＝4或﹣4（舍弃），‎ ‎∵AB＝AC，AM⊥BC，‎ ‎∴BC＝2BM＝2•4k＝32，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠BAD＝∠ADE，‎ ‎∵∠ADE＝∠B，∠B＝∠ACB，‎ ‎∴∠BAD＝∠ACB，‎ ‎∵∠ABD＝∠CBA，‎ ‎∴△ABD∽△CBA，‎ ‎∴ABCB‎=‎DBAB，‎ ‎∴DB‎=AB‎2‎CB=‎2‎‎0‎‎2‎‎32‎=‎‎25‎‎2‎，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴AEAC‎=‎BDBC，‎ ‎∴AE‎=AC⋅BDBC=‎20×‎‎25‎‎2‎‎32‎=‎‎125‎‎16‎．‎ ‎（3）点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF．‎ 理由：作FH⊥BC于H，AM⊥BC于M，AN⊥FH于N．则∠NHM＝∠AMH＝∠ANH＝90°，‎ ‎∴四边形AMHN为矩形，‎ ‎∴∠MAN＝90°，MH＝AN，‎ ‎∵AB＝AC，AM⊥BC，‎ ‎∴BM＝CM‎=‎‎1‎‎2‎BC‎=‎1‎‎2‎×‎32＝16，‎ 在Rt△ABM中，由勾股定理，得AM‎=AB‎2‎-BM‎2‎=‎2‎0‎‎2‎-1‎‎6‎‎2‎=‎12，‎ ‎∵AN⊥FH，AM⊥BC，‎ ‎∴∠ANF＝90°＝∠AMD，‎ ‎∵∠DAF＝90°＝∠MAN，‎ ‎∴∠NAF＝∠MAD，‎ ‎∴△AFN∽△ADM，‎ ‎∴ANAM‎=AFAD=‎tan∠ADF＝tanB‎=‎‎3‎‎4‎，‎ ‎∴AN‎=‎‎3‎‎4‎AM‎=‎3‎‎4‎×‎12＝9，‎ ‎∴CH＝CM﹣MH＝CM﹣AN＝16﹣9＝7，‎ 当DF＝CF时，由点D不与点C重合，可知△DFC为等腰三角形，‎ ‎∵FH⊥DC，‎ ‎∴CD＝2CH＝14，‎ ‎∴BD＝BC﹣CD＝32﹣14＝18，‎ ‎∴点D在BC边上运动的过程中，存在某个位置，使得DF＝CF，此时BD＝18．‎ ‎28．（12分）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣2，5），与x轴相交于B（﹣1，0），C（3，0）两点．‎ ‎（1）求抛物线的函数表达式；‎ ‎（2）点D在抛物线的对称轴上，且位于x轴的上方，将△BCD沿直线BD翻折得到△‎ BC'D，若点C'恰好落在抛物线的对称轴上，求点C'和点D的坐标；‎ ‎（3）设P是抛物线上位于对称轴右侧的一点，点Q在抛物线的对称轴上，当△CPQ为等边三角形时，求直线BP的函数表达式．‎ ‎【解答】解：（1）由题意得：‎‎4a-2b+c=5，‎a-b+c=0‎‎9a+3b+c=0，‎ 解得a=1‎b=-2‎c=-3‎，‎ ‎∴抛物线的函数表达式为y＝x2﹣2x﹣3．‎ ‎（2）∵抛物线与x轴交于B（﹣1，0），C（3，0），‎ ‎∴BC＝4，抛物线的对称轴为直线x＝1，‎ 如图，设抛物线的对称轴与x轴交于点H，则H点的坐标为（1，0），BH＝2，‎ 由翻折得C′B＝CB＝4，‎ 在Rt△BHC′中，由勾股定理，得C′H‎=C'B‎2‎-BH‎2‎=‎4‎‎2‎‎-‎‎2‎‎2‎=‎2‎3‎，‎ ‎∴点C′的坐标为（1，2‎3‎），tan‎∠C'BH=C'HBH=‎2‎‎3‎‎2‎=‎‎3‎，‎ ‎∴∠C′BH＝60°，‎ 由翻折得∠DBH‎=‎‎1‎‎2‎∠C′BH＝30°，‎ 在Rt△BHD中，DH＝BH•tan∠DBH＝2•tan30°‎=‎‎2‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴点D的坐标为（1，‎2‎‎3‎‎3‎）．‎ ‎（3）取（2）中的点C′，D，连接CC′，‎ ‎∵BC′＝BC，∠C′BC＝60°，‎ ‎∴△C′CB为等边三角形．分类讨论如下：‎ ‎①当点P在x轴的上方时，点Q在x轴上方，连接BQ，C′P．‎ ‎∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，‎ ‎∴CQ＝CP，BC＝C′C，∠PCQ＝∠C′CB＝60°，‎ ‎∴∠BCQ＝∠C′CP，‎ ‎∴△BCQ≌△C′CP（SAS），‎ ‎∴BQ＝C′P．‎ ‎∵点Q在抛物线的对称轴上，‎ ‎∴BQ＝CQ，‎ ‎∴C′P＝CQ＝CP，‎ 又∵BC′＝BC，‎ ‎∴BP垂直平分CC′，‎ 由翻折可知BD垂直平分CC′，‎ ‎∴点D在直线BP上，‎ 设直线BP的函数表达式为y＝kx+b，‎ 则‎0=-k+b‎2‎‎3‎‎3‎‎=k+b，解得k=‎‎3‎‎3‎b=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴直线BP的函数表达式为y‎=‎3‎‎3‎x+‎‎3‎‎3‎．‎ ‎②当点P在x轴的下方时，点Q在x轴下方．‎ ‎∵△PCQ，△C′CB为等边三角形，‎ ‎∴CP＝CQ，BC＝CC′，∠CC′B＝∠QCP＝∠C′CB＝60°．‎ ‎∴∠BCP＝∠C′CQ，‎ ‎∴△BCP≌△C′CQ（SAS），‎ ‎∴∠CBP＝∠CC′Q，‎ ‎∵BC′＝CC′，C′H⊥BC，‎ ‎∴‎∠CC'Q=‎1‎‎2‎∠CC'B=30°‎．‎ ‎∴∠CBP＝30°，‎ 设BP与y轴相交于点E，‎ 在Rt△BOE中，OE＝OB•tan∠CBP＝OB•tan30°＝1‎×‎3‎‎3‎=‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴点E的坐标为（0，‎-‎‎3‎‎3‎）．‎ 设直线BP的函数表达式为y＝mx+n，‎ 则‎0=-m+n‎-‎3‎‎3‎=n，解得m=-‎‎3‎‎3‎n=-‎‎3‎‎3‎，‎ ‎∴直线BP的函数表达式为y‎=-‎3‎‎3‎x-‎‎3‎‎3‎．‎ 综上所述，直线BP的函数表达式为y=‎3‎‎3‎x+‎‎3‎‎3‎或y=-‎3‎‎3‎x-‎‎3‎‎3‎．‎ 声明：试题解析著作权属菁优网所有，未经书面同意，不得复制发布 日期：2019/6/30 9:55:58；用户：中考培优辅导；邮箱：p5193@xyh.com；学号：27411521‎