2018年湖南省娄底市中考数学试卷含答案

2018年湖南省娄底市中考数学试卷含答案

‎2018年湖南省娄底市中考数学试卷 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）‎ ‎1．（3分）2018的相反数是（　　）‎ A． B．2018 C．﹣2018 D．﹣‎ ‎2．（3分）一组数据﹣3，2，2，0，2，1的众数是（　　）‎ A．﹣3 B．2 C．0 D．1‎ ‎3．（3分）随着我国综合国力的提升，中华文化影响日益增强，学中文的外国人越来越多，中文已成为美国居民的第二外语，美国常讲中文的人口约有210万，请将“210万”用科学记数法表示为（　　）‎ A．0.21×107 B．2.1×106 C．21×105 D．2.1×107‎ ‎4．（3分）下列运算正确的是（　　）‎ A．a2•a5=a10 B．（3a3）2=6a6‎ C．（a+b）2=a2+b2 D．（a+2）（a﹣3）=a2﹣a﹣6‎ ‎5．（3分）关于x的一元二次方程x2﹣（k+3）x+k=0的根的情况是（　　）‎ A．有两不相等实数根 B．有两相等实数根 C．无实数根 D．不能确定 ‎6．（3分）不等式组的最小整数解是（　　）‎ A．﹣1 B．0 C．1 D．2‎ ‎7．（3分）如图所示立体图形的俯视图是（　　）‎ A． B． C．‎ 20‎ ‎ D．‎ ‎8．（3分）函数y=中自变量x的取值范围是（　　）‎ A．x＞2 B．x≥2 C．x≥2且x≠3 D．x≠3‎ ‎9．（3分）将直线y=2x﹣3向右平移2个单位，再向上平移3个单位后，所得的直线的表达式为（　　）‎ A．y=2x﹣4 B．y=2x+4 C．y=2x+2 D．y=2x﹣2‎ ‎10．（3分）如图，往竖直放置的在A处由短软管连接的粗细均匀细管组成的“U”形装置中注入一定量的水，水面高度为6cm，现将右边细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置，则AB中水柱的长度约为（　　）‎ A．4cm B．6cm C．8cm D．12cm ‎11．（3分）如图，由四个全等的直角三角形围成的大正方形的面积是169，小正方形的面积为49，则sinα﹣cosα=（　　）‎ A． B．﹣ C． D．﹣‎ ‎12．（3分）已知：[x]表示不超过x的最大整数．例：[3.9]=3，[﹣1.8]=﹣2．令关于k的函数f（k）=[]﹣[]（k是正整数）．例：f（3）=[]﹣[]=1．则下列结论错误的是（　　）‎ A．f（1）=0 B．f（k+4）=f（k） C．f（k+1）≥f（k） D．f（k）=0或1‎ ‎　‎ 二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．（3分）如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点P是反比例函数y=‎ 20‎ 图象上的一点，PA⊥x轴于点A，则△POA的面积为　 　．‎ ‎14．（3分）如图，P是△ABC的内心，连接PA、PB、PC，△PAB、△PBC、△PAC的面积分别为S1、S2、S3．则S1　 　S2+S3．（填“＜”或“=”或“＞”）‎ ‎15．（3分）从2018年高中一年级学生开始，湖南省全面启动高考综合改革，学生学习完必修课程后，可以根据高校相关专业的选课要求和自身兴趣、志向、优势，从思想政治、历史、地理、物理、化学、生物6个科目中，自主选择3个科目参加等级考试．学生A已选物理，还从思想政治、历史、地理3个文科科目中选1科，再从化学、生物2个理科科目中选1科．若他选思想政治、历史、地理的可能性相等，选化学、生物的可能性相等，则选修地理和生物的概率为　 　．‎ ‎16．（3分）如图，△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于D点，DE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，DE=3cm，则BF=　 　cm．‎ ‎17．（3分）如图，已知半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，半径OC=1，则AE•BE=　 　．‎ 20‎ ‎18．（3分）设a1，a2，a3……是一列正整数，其中a1表示第一个数，a2表示第二个数，依此类推，an表示第n个数（n是正整数）．已知a1=1，4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，则a2018=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19．（6分）计算：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°．‎ ‎20．（6分）先化简，再求值：（+）÷，其中x=．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21．（8分）为了取得贫工作的胜利，某市对扶贫工作人员进行了扶贫知识的培训与测试，随机抽取了部分人员的测试成绩作为样本，并将成绩划分为A、B、C、D四个不同的等级，绘制成不完整统计图如图，请根据图中的信息，解答下列问题：‎ ‎（1）求样本容量；‎ ‎（2）补全条形图，并填空：n=　 　；‎ ‎（3）若全市有5000人参加了本次测试，估计本次测试成绩为A级的人数为多少？‎ 20‎ ‎22．（8分）如图，长沙九龙仓国际金融中心主楼BC高达452m，是目前湖南省第一高楼，和它处于同一水平面上的第二高楼DE高340m，为了测量高楼BC上发射塔AB的高度，在楼DE底端D点测得A的仰角为α，sinα=，在顶端E点测得A的仰角为45°，求发射塔AB的高度．‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ ‎23．（9分）“绿水青山，就是金山银山”．某旅游景区为了保护环境，需购买A、B两种型号的垃圾处理设备共10台．已知每台A型设备日处理能力为12吨；每台B型设备日处理能力为15吨；购回的设备日处理能力不低于140吨．‎ ‎（1）请你为该景区设计购买A、B两种设备的方案；‎ ‎（2）已知每台A型设备价格为3万元，每台B型设备价格为4.4万元．厂家为了促销产品，规定货款不低于40万元时，则按9折优惠；问：采用（1）设计的哪种方案，使购买费用最少，为什么？‎ ‎24．（9分）如图，已知四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD，过O点作EF⊥BD，分别交AD、BC于点E、F．‎ ‎（1）求证：△AOE≌△COF；‎ ‎（2）判断四边形BEDF的形状，并说明理由．‎ ‎　‎ 六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．（10分）如图，C、D是以AB为直径的⊙O上的点，=‎ 20‎ ‎，弦CD交AB于点E．‎ ‎（1）当PB是⊙O的切线时，求证：∠PBD=∠DAB；‎ ‎（2）求证：BC2﹣CE2=CE•DE；‎ ‎（3）已知OA=4，E是半径OA的中点，求线段DE的长．‎ ‎26．（10分）如图，抛物线y=ax2+bx+c与两坐标轴相交于点A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3），D是抛物线的顶点，E是线段AB的中点．‎ ‎（1）求抛物线的解析式，并写出D点的坐标；‎ ‎（2）F（x，y）是抛物线上的动点：‎ ‎①当x＞1，y＞0时，求△BDF的面积的最大值；‎ ‎②当∠AEF=∠DBE时，求点F的坐标．‎ ‎　‎ 20‎ ‎2018年湖南省娄底市中考数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，满分36分，每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请把你认为符合题目要求的选项填涂在答题卡上相应题号下的方框里）‎ ‎1．‎ ‎【解答】解：2018的相反数是：﹣2018．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎2．‎ ‎【解答】解：这组数据中2出现次数最多，有3次，‎ 所以众数为2，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎3．‎ ‎【解答】解：210万=2.1×106，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎4．‎ ‎【解答】解：A、原式=a7，不符合题意；‎ B、原式=9a6，不符合题意；‎ C、原式=a2+2ab+b2，不符合题意；‎ D、原式=a2﹣a﹣6，符合题意，‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎5．‎ 20‎ ‎【解答】解：△=（k+3）2﹣4×k=k2+2k+9=（k+1）2+8，‎ ‎∵（k+1）2≥0，‎ ‎∴（k+1）2+8＞0，即△＞0，‎ 所以方程有两个不相等的实数根．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎6．‎ ‎【解答】解：解不等式2﹣x≥x﹣2，得：x≤2，‎ 解不等式3x﹣1＞﹣4，得：x＞﹣1，‎ 则不等式组的解集为﹣1＜x≤2，‎ 所以不等式组的最小整数解为0，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎7．‎ ‎【解答】解：从上边看立体图形得到俯视图即可得立体图形的俯视图是，‎ 故选：B．‎ ‎　‎ ‎8．‎ ‎【解答】解：根据题意得：，‎ 解得：x≥2且x≠3．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎9．‎ ‎【解答】解：y=2（x﹣2）﹣3+3=2x﹣4．‎ 化简，得 y=2x﹣4，‎ 20‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎10．‎ ‎【解答】解：AB中水柱的长度为AC，CH为此时水柱的高，设CH=x，竖直放置时短软管的底面积为S，‎ ‎∵∠BAH=90°﹣60°=30°，‎ ‎∴AC=2CH=x，‎ ‎∴细管绕A处顺时针方向旋转60°到AB位置时，底面积为2S，‎ ‎∵x•S+x•2S=6•S+6•S，解得x=4，‎ ‎∴AC=2x=8，‎ 即AB中水柱的长度约为8cm．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎11．‎ ‎【解答】解：∵小正方形面积为49，大正方形面积为169，‎ ‎∴小正方形的边长是7，大正方形的边长是13，‎ 在Rt△ABC中，AC2+BC2=AB2，‎ 即AC2+（7+AC）2=132，‎ 整理得，AC2+7AC﹣60=0，‎ 解得AC=5，AC=﹣12（舍去），‎ ‎∴BC==12，‎ ‎∴sinα==，cosα==，‎ ‎∴sinα﹣cosα=﹣=﹣，‎ 故选：D．‎ 20‎ ‎　‎ ‎12．‎ ‎【解答】解：f（1）=[]﹣[]=0﹣0=0，故选项A正确；‎ f（k+4）=[]﹣[]=[+1]﹣[+1]=[]﹣[]=f（k），故选项B正确；‎ C、当k=3时，f（3+1）=[]﹣[]=1﹣1=0，而f（3）=1，故选项C错误；‎ D、当k=3+4n（n为自然数）时，f（k）=1，当k为其它的正整数时，f（k）=0，所以D选项的结论正确；‎ 故选：C．‎ ‎　‎ 二、填空题（木大题共6小题，每小题3分，满分18分）‎ ‎13．‎ ‎【解答】解：∵点P是反比例函数y=图象上的一点，PA⊥x轴于点A，‎ ‎∴△POA的面积为：AO•PA=xy=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．‎ ‎【解答】解：过P点作PD⊥AB于D，作PE⊥AC于E，作PF⊥BC于F，‎ ‎∵P是△ABC的内心，‎ ‎∴PD=PE=PF，‎ ‎∵S1=AB•PD，S2=BC•PF，S3=AC•PE，AB＜BC+AC，‎ ‎∴S1＜S2+S3．‎ 故答案为：＜．‎ 20‎ ‎　‎ ‎15．‎ ‎【解答】解：画树状图如下：‎ 由树状图可知，共有6种等可能结果，其中选修地理和生物的只有1种结果，‎ 所以选修地理和生物的概率为，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎16．‎ ‎【解答】解：在Rt△ADB与Rt△ADC中，‎ ‎，‎ ‎∴Rt△ADB≌Rt△ADC，‎ ‎∴S△ABC=2S△ABD=2×AB•DE=AB•DE=3AB，‎ ‎∵S△ABC=AC•BF，‎ ‎∴AC•BF=3AB，‎ ‎∵AC=AB，‎ ‎∴BF=3，‎ ‎∴BF=6．‎ 故答案为6．‎ ‎　‎ ‎17．‎ 20‎ ‎【解答】解：如图连接OE．‎ ‎∵半圆O与四边形ABCD的边AD、AB、BC都相切，切点分别为D、E、C，‎ ‎∴OE⊥AB，AD⊥CD，BC⊥CD，∠OAD=∠OAE，∠OBC=∠OBE，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠DAB+∠ABC=180°，‎ ‎∴∠OAB+∠OBA=90°，‎ ‎∴∠AOB=90°，‎ ‎∵∠OAE+∠AOE=90°，∠AOE+∠BOE=90°，‎ ‎∴∠EAO=∠EOB，‎ ‎∵∠AEO=∠OEB=90°，‎ ‎∴△AEO∽△OEB，‎ ‎∴=，‎ ‎∴AE•BE=OE2=1，‎ 故答案为1．‎ ‎　‎ ‎18．‎ ‎【解答】解：∵4an=（an+1﹣1）2﹣（an﹣1）2，‎ ‎∴（an+1﹣1）2=（an﹣1）2+4an=（an+1）2，‎ ‎∵a1，a2，a3……是一列正整数，‎ ‎∴an+1﹣1=an+1，‎ ‎∴an+1=an+2，‎ ‎∵a1=1，‎ ‎∴a2=3，a3=5，a4=7，a5=9，‎ ‎…，‎ 20‎ ‎∴an=2n﹣1，‎ ‎∴a2018=4035．‎ 故答案为4035．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）‎ ‎19．‎ ‎【解答】解：（π﹣3.14）0+（）﹣2﹣|﹣|+4cos30°‎ ‎=1+9﹣+4×‎ ‎=1+9﹣2+2‎ ‎=10．‎ ‎　‎ ‎20．‎ ‎【解答】解：原式=•=，‎ 当x=时，原式==3+2．‎ ‎　‎ 四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）‎ ‎21．‎ ‎【解答】解：（1）样本容量为18÷30%=60；‎ ‎（2）C等级人数为60﹣（24+18+6）=12人，n%=×100%=10%，‎ 补全图形如下：‎ 故答案为：10；‎ 20‎ ‎（3）估计本次测试成绩为A级的人数为5000×=2000人．‎ ‎　‎ ‎22．‎ ‎【解答】解：作EH⊥AC于H，‎ 则四边形EDCH为矩形，‎ ‎∴EH=CD，‎ 设AC=24x，‎ 在Rt△ADC中，sinα=，‎ ‎∴AD=25x，‎ 由勾股定理得，CD==7x，‎ ‎∴EH=7x，‎ 在Rt△AEH中，∠AEH=45°，‎ ‎∴AH=EH=7x，‎ 由题意得，24x=7x+340，‎ 解得，x=20，‎ 则AC=24x=480，‎ ‎∴AB=AC﹣BC=480﹣452=28，‎ 答：发射塔AB的高度为28m．‎ ‎　‎ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）‎ 20‎ ‎23．‎ ‎【解答】解：（1）设购买A种设备x台，则购买B种设备（10﹣x）台，‎ 根据题意，得12x+15（10﹣x）≥140，‎ 解得x≤3，‎ ‎∵x为正整数，‎ ‎∴x=1，2，3．‎ ‎∴该景区有三种设计方案：‎ 方案一：购买A种设备1台，B种设备9台；‎ 方案二：购买A种设备2台，B种设备8台；‎ 方案三：购买A种设备3台，B种设备7台；‎ ‎（2）各方案购买费用分别为：‎ 方案一：3×1+4.4×9=42.6＞40，实际付款：42.6×0.9=38.34（万元）；‎ 方案二：3×2+4.4×8=41.2＞40，实际付款：41.2×0.9=37.08（万元）；‎ 方案三：3×3+4.4×7=39.8＜40，实际付款：39.8（万元）；‎ ‎∵37.08＜38.04＜39.8，‎ ‎∴采用（1）设计的第二种方案，使购买费用最少．‎ ‎　‎ ‎24．‎ ‎【解答】（1）证明：∵OA=OC，OB=OD，‎ ‎∴四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AD∥BC，‎ ‎∴∠EAO=∠FCO，‎ 在△AOE和△COF中，‎ ‎，‎ ‎∴△AOE≌△COF．‎ 20‎ ‎（2）解：结论：四边形BEDF是菱形，‎ ‎∵△AOE≌△COF，‎ ‎∴AE=CF，‎ ‎∵AD=BC，‎ ‎∴DE=BF，∵DE∥BF，‎ ‎∴四边形BEDF是平行四边形，‎ ‎∵OB=OD，EF⊥BD，‎ ‎∴EB=ED，‎ ‎∴四边形BEDF是菱形．‎ ‎　‎ 六、解答题（木本大题共2小题，每小题10分，共20分）‎ ‎25．‎ ‎【解答】解：（1）∵AB是⊙O的直径，‎ ‎∴∠ADB=90°，即∠BAD+∠ABD=90°，‎ ‎∵PB是⊙O的切线，‎ ‎∴∠ABP=90°，即∠PBD+∠ABD=90°，‎ ‎∴∠BAD=∠PBD；‎ ‎（2）∵∠A=∠C、∠AED=∠CEB，‎ ‎∴△ADE∽△CBE，‎ ‎∴=，即DE•CE=AE•BE，‎ 如图，连接OC，‎ 设圆的半径为r，则OA=OB=OC=r，‎ 则DE•CE=AE•BE=（OA﹣OE）（OB+OE）=r2﹣OE2，‎ 20‎ ‎∵=，‎ ‎∴∠AOC=∠BOC=90°，‎ ‎∴CE2=OE2+OC2=OE2+r2，BC2=BO2+CO2=2r2，‎ 则BC2﹣CE2=2r2﹣（OE2+r2）=r2﹣OE2，‎ ‎∴BC2﹣CE2=DE•CE；‎ ‎（3）∵OA=4，‎ ‎∴OB=OC=OA=4，‎ ‎∴BC==4，‎ 又∵E是半径OA的中点，‎ ‎∴AE=OE=2，‎ 则CE===2，‎ ‎∵BC2﹣CE2=DE•CE，‎ ‎∴（4）2﹣（2）2=DE•2，‎ 解得：DE=．‎ ‎　‎ ‎26．‎ ‎【解答】解：（1）将A（﹣1，0）、B（3，0）、C（0，3）代入y=ax2+bx+c，‎ ‎，解得：，‎ ‎∴抛物线的解析式为y=﹣x2+2x+3．‎ ‎∵y=﹣x2+2x+3=﹣（x﹣1）2+4，‎ ‎∴顶点D的坐标为（1，4）．‎ ‎（2）①过点F作FM∥y轴，交BD于点M，如图1所示．‎ 设直线BD的解析式为y=mx+n（m≠0），‎ 将（3，0）、（1，4）代入y=mx+n，‎ 20‎ ‎，解得：，‎ ‎∴直线BD的解析式为y=﹣2x+6．‎ ‎∵点F的坐标为（x，﹣x2+2x+3），‎ ‎∴点M的坐标为（x，﹣2x+6），‎ ‎∴FM=﹣x2+2x+3﹣（﹣2x+6）=﹣x2+4x﹣3，‎ ‎∴S△BDF=FM•（yB﹣yD）=﹣x2+4x﹣3=﹣（x﹣2）2+1．‎ ‎∵﹣1＜0，‎ ‎∴当x=2时，S△BDF取最大值，最大值为1．‎ ‎②过点E作EN∥BD交y轴于点N，交抛物线于点F1，在y轴负半轴取ON′=ON，连接EN′，射线EN′交抛物线于点F2，如图2所示．‎ ‎∵EF1∥BD，‎ ‎∴∠AEF1=∠DBE．‎ ‎∵ON=ON′，EO⊥NN′，‎ ‎∴∠AEF2=∠AEF1=∠DBE．‎ ‎∵E是线段AB的中点，A（﹣1，0），B（3，0），‎ ‎∴点E的坐标为（1，0）．‎ 设直线EF1的解析式为y=﹣2x+b1，‎ 将E（1，0）代入y=﹣2x+b1，‎ ‎﹣2+b1=0，解得：b1=2，‎ ‎∴直线EF1的解析式为y=﹣2x+2．‎ 联立直线EF1、抛物线解析式成方程组，，‎ 解得：，（舍去），‎ ‎∴点F1的坐标为（2﹣，2﹣2）．‎ 20‎ 当x=0时，y=﹣2x+2=2，‎ ‎∴点N的坐标为（0，2），‎ ‎∴点N′的坐标为（0，﹣2）．‎ 同理，利用待定系数法可求出直线EF2的解析式为y=2x﹣2．‎ 联立直线EF2、抛物线解析式成方程组，，‎ 解得：，（舍去），‎ ‎∴点F2的坐标为（﹣，﹣2﹣2）．‎ 综上所述：当∠AEF=∠DBE时，点F的坐标为（2﹣，2﹣2）或（﹣，﹣2﹣2）．‎ 20‎ ‎　‎ 20‎