2016年河南省中考数学试卷

2016年河南省中考数学试卷

‎2016年河南省中考数学试卷 一、选择题下列各小题均有四个答案，其中只有一个是正确的.‎ ‎1．﹣的相反数是（　　）‎ A．﹣ B． C．﹣3 D．3‎ ‎【考点】相反数．‎ ‎【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，可得答案．‎ ‎【解答】解：﹣的相反数是．‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了相反数，在一个数的前面加上负号就是这个数的相反数．‎ ‎　‎ ‎2．某种细胞的直径是0.00000095米，将0.00000095米用科学记数法表示为（　　）‎ A．9.5×10﹣7B．9.5×10﹣8C．0.95×10﹣7D．95×10﹣8‎ ‎【考点】科学记数法—表示较小的数．‎ ‎【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎【解答】解：0.00000095=9.5×10﹣7，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10﹣n，其中1≤|a|＜10，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．‎ ‎　‎ ‎3．下列几何体是由4个相同的小正方体搭成的，其中主视图和左视图相同的是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】简单组合体的三视图．‎ ‎【分析】根据从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图，可得答案．‎ ‎【解答】解：A、主视图是第一层三个小正方形，第二层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，故A错误；‎ B、主视图是第一层两个小正方形，第二层中间一个小正方形，第三层中间一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层一个小正方形，第三层一个小正方形，故B错误；‎ C、主视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，左视图是第一层两个小正方形，第二层左边一个小正方形，故C正确；‎ D、主视图是第一层两个小正方形，第二层右边一个小正方形，左视图是第一层一个小正方形，第二层左边一个小正方形，故D错误；‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查了简单组合体的三视图，从正面看得到的图形是主视图，从左边看得到的图形是左视图．‎ ‎　‎ ‎4．下列计算正确的是（　　）‎ A．﹣=B．（﹣3）2=6 C．3a4﹣2a2=a2D．（﹣a3）2=a5‎ ‎【考点】二次根式的加减法；有理数的乘方；合并同类项；幂的乘方与积的乘方．‎ ‎【分析】分别利用有理数的乘方运算法则以及积的乘方运算法则、二次根式的加减运算法则化简求出答案．‎ ‎【解答】解：A、﹣=2﹣=，故此选项正确；‎ B、（﹣3）2=9，故此选项错误；‎ C、3a4﹣2a2，无法计算，故此选项错误；‎ D、（﹣a3）2=a6，故此选项错误；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题主要考查了有理数的乘方运算以及积的乘方运算、二次根式的加减运算等知识，正确化简各式是解题关键．‎ ‎　‎ ‎5．如图，过反比例函数y=（x＞0）的图象上一点A作AB⊥x轴于点B，连接AO，若S△AOB=2，则k的值为（　　）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ ‎【考点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的性质．‎ ‎【分析】根据点A在反比例函数图象上结合反比例函数系数k的几何意义，即可得出关于k的含绝对值符号的一元一次方程，解方程求出k值，再结合反比例函数在第一象限内有图象即可确定k值．‎ ‎【解答】解：∵点A是反比例函数y=图象上一点，且AB⊥x轴于点B，‎ ‎∴S△AOB=|k|=2，‎ 解得：k=±4．‎ ‎∵反比例函数在第一象限有图象，‎ ‎∴k=4．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了反比例函数的性质以及反比例函数系数k的几何意义，解题的关键是找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据反比例函数系数k的几何意义找出关于k的含绝对值符号的一元一次方程是关键．‎ ‎　‎ ‎6．如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，DE垂直平分AC交AB于点E，则DE的长为（　　）‎ A．6 B．5 C．4 D．3‎ ‎【考点】三角形中位线定理；线段垂直平分线的性质．‎ ‎【分析】在Rt△ACB中，根据勾股定理求得BC边的长度，然后由三角形中位线定理知DE=BC．‎ ‎【解答】解：∵在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=8，AB=10，‎ ‎∴BC=6．‎ 又∵DE垂直平分AC交AB于点E，‎ ‎∴DE是△ACB的中位线，‎ ‎∴DE=BC=3．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了三角形中位线定理、勾股定理．三角形中位线的性质：三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．‎ ‎　‎ ‎7．如表记录了甲、乙、丙、丁四名跳高运动员最近几次选拔赛成绩的平均数与方差：‎ 甲 乙 丙 丁 平均数（cm）‎ ‎185‎ ‎180‎ ‎185‎ ‎180‎ 方差 ‎3.6‎ ‎3.6‎ ‎7.4‎ ‎8.1‎ 根据表中数据，要从中选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（　　）‎ A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 ‎【考点】方差；算术平均数．‎ ‎【分析】首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的运动员参加．‎ ‎【解答】解：∵ =＞=，‎ ‎∴从甲和丙中选择一人参加比赛，‎ ‎∵=＜＜，‎ ‎∴选择甲参赛，‎ 故选：A．‎ ‎【点评】此题考查了平均数和方差，正确理解方差与平均数的意义是解题关键．‎ ‎　‎ ‎8．如图，已知菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），若菱形绕点O逆时针旋转，每秒旋转45°，则第60秒时，菱形的对角线交点D的坐标为（　　）‎ A．（1，﹣1） B．（﹣1，﹣1） C．（，0） D．（0，﹣）‎ ‎【考点】坐标与图形变化-旋转；菱形的性质．‎ ‎【专题】规律型．‎ ‎【分析】根据菱形的性质，可得D点坐标，根据旋转的性质，可得D点的坐标．‎ ‎【解答】解：菱形OABC的顶点O（0，0），B（2，2），得 D点坐标为（1，1）．‎ 每秒旋转45°，则第60秒时，得 ‎45°×60=2700°，‎ ‎2700°÷360=7.5周，‎ OD旋转了7周半，菱形的对角线交点D的坐标为（﹣1，﹣1），‎ 故选：B．‎ ‎【点评】本题考查了旋转的性质，利用旋转的性质是解题关键．‎ ‎　‎ 二、填空题 ‎9．计算：（﹣2）0﹣=　﹣1　．‎ ‎【考点】实数的运算；零指数幂．‎ ‎【分析】分别进行零指数幂、开立方的运算，然后合并．‎ ‎【解答】解：原式=1﹣2‎ ‎=﹣1．‎ 故答案为：﹣1．‎ ‎【点评】本题考查了实数的运算，涉及了零指数幂、开立方等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．如图，在▱ABCD中，BE⊥AB交对角线AC于点E，若∠1=20°，则∠2的度数为　110°　．‎ ‎【考点】平行四边形的性质．‎ ‎【分析】首先由在▱ABCD中，∠1=20°，求得∠BAE的度数，然后由BE⊥AB，利用三角形外角的性质，求得∠2的度数．‎ ‎【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，‎ ‎∴AB∥CD，‎ ‎∴∠BAE=∠1=20°，‎ ‎∵BE⊥AB，‎ ‎∴∠ABE=90°，‎ ‎∴∠2=∠BAE+∠ABE=110°．‎ 故答案为：110°．‎ ‎【点评】此题考查了平行四边形的性质以及三角形外角的性质．注意平行四边形的对边互相平行．‎ ‎　‎ ‎11．若关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是　k＞﹣　．‎ ‎【考点】根的判别式；解一元一次不等式．‎ ‎【分析】由方程有两个不相等的实数根即可得出△＞0，代入数据即可得出关于k的一元一次不等式，解不等式即可得出结论．‎ ‎【解答】解：∵关于x的一元二次方程x2+3x﹣k=0有两个不相等的实数根，‎ ‎∴△=32﹣4×1×（﹣k）=9+4k＞0，‎ 解得：k＞﹣．‎ 故答案为：k＞﹣．‎ ‎【点评】本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式，解题的关键是根据根的个数结合根的判别式得出关于k的一元一次不等式．本题属于基础题，难度不大，解决该题型题目时，根据根的个数结合根的判别式得出方程（不等式或不等式组）是关键．‎ ‎　‎ ‎12．在“阳光体育”活动期间，班主任将全班同学随机分成了4组进行活动，该班小明和小亮同学被分在一组的概率是　　．‎ ‎【考点】列表法与树状图法．‎ ‎【分析】利用画树状图法列出所有等可能结果，然后根据概率公式进行计算即可求解．‎ ‎【解答】解：设四个小组分别记作A、B、C、D，‎ 画树状图如图：‎ 由树状图可知，共有16种等可能结果，其中小明、小亮被分到同一个小组的结果由4种，‎ ‎∴小明和小亮同学被分在一组的概率是=，‎ 故答案为：．‎ ‎【点评】本题考查了列表法与树状图，解题的关键在于用列表法或画树状图法列出所有等可能结果，根据：概率=所求情况数与总情况数之比计算是基础．‎ ‎　‎ ‎13．已知A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，该抛物线的顶点坐标是　（1，4）　．‎ ‎【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征．‎ ‎【分析】把A、B的坐标代入函数解析式，即可得出方程组，求出方程组的解，即可得出解析式，化成顶点式即可．‎ ‎【解答】解：∵A（0，3），B（2，3）是抛物线y=﹣x2+bx+c上两点，‎ ‎∴代入得：，‎ 解得：b=2，c=3，‎ ‎∴y=﹣x2+2x+3‎ ‎=﹣（x﹣1）2+4，‎ 顶点坐标为（1，4），‎ 故答案为：（1，4）．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征的应用，能求出函数的解析式是解此题的关键．‎ ‎　‎ ‎14．如图，在扇形AOB中，∠AOB=90°，以点A为圆心，OA的长为半径作交于点C，若OA=2，则阴影部分的面积为　﹣　．‎ ‎【考点】扇形面积的计算．‎ ‎【分析】连接OC、AC，根据题意得到△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，分别求出扇形△COB的面积、△AOC的面积、扇形AOC的面积，计算即可．‎ ‎【解答】解：连接OC、AC，‎ 由题意得，OA=OC=AC=2，‎ ‎∴△AOC为等边三角形，∠BOC=30°，‎ ‎∴扇形△COB的面积为： =，‎ ‎△AOC的面积为：×2×=，‎ 扇形AOC的面积为： =，‎ 则阴影部分的面积为： +﹣=﹣，‎ 故答案为：﹣．‎ ‎【点评】本题考查的是扇形面积计算，掌握等边三角形的性质、扇形的面积公式S=是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．如图，已知AD∥BC，AB⊥BC，AB=3，点E为射线BC上一个动点，连接AE，将△ABE沿AE折叠，点B落在点B′处，过点B′作AD的垂线，分别交AD，BC于点M，N．当点B′为线段MN的三等分点时，BE的长为　或　．‎ ‎【考点】翻折变换（折叠问题）．‎ ‎【分析】根据勾股定理，可得EB′，根据相似三角形的性质，可得EN的长，根据勾股定理，可得答案．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 由翻折的性质，得 AB=AB′，BE=B′E．‎ ‎①当MB′=2，B′N=1时，设EN=x，得 B′E=．‎ ‎△B′EN∽△AB′M，‎ ‎=，即=，‎ x2=，‎ BE=B′E==．‎ ‎②当MB′=1，B′N=2时，设EN=x，得 B′E=，‎ ‎△B′EN∽△AB′M，‎ ‎=，即=，‎ 解得x2=，BE=B′E==，‎ 故答案为：或．‎ ‎【点评】本题考查了翻折的性质，利用翻折的性质得出AB=AB′，BE=B′E是解题关键，又利用了相似三角形的性质，要分类讨论，以防遗漏．‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共8小题，满分75分）‎ ‎16．先化简，再求值：‎ ‎（﹣1）÷，其中x的值从不等式组的整数解中选取．‎ ‎【考点】分式的化简求值；一元一次不等式组的整数解．‎ ‎【分析】先算括号里面的，再算除法，求出x的取值范围，选出合适的x的值代入求值即可．‎ ‎【解答】解：原式=•‎ ‎=﹣•‎ ‎=，‎ 解不等式组得，﹣1≤x＜，‎ 当x=2时，原式==﹣2．‎ ‎【点评】本题考查的是分式的化简求值，分式中的一些特殊求值题并非是一味的化简，代入，求值．许多问题还需运用到常见的数学思想，如化归思想（即转化）、整体思想等，了解这些数学解题思想对于解题技巧的丰富与提高有一定帮助．‎ ‎　‎ ‎17．在一次社会调查活动中，小华收集到某“健步走运动”团队中20名成员一天行走的步数，记录如下：‎ ‎5640 6430 6520 6798 7325‎ ‎8430 8215 7453 7446 6754‎ ‎7638 6834 7326 6830 8648‎ ‎8753 9450 9865 7290 7850‎ 对这20个数据按组距1000进行分组，并统计整理，绘制了如下尚不完整的统计图表：‎ 步数分组统计表 组别 步数分组 频数 A ‎5500≤x＜6500‎ ‎2‎ B ‎6500≤x＜7500‎ ‎10‎ C ‎7500≤x＜8500‎ m D ‎8500≤x＜9500‎ ‎3‎ E ‎9500≤x＜10500‎ n 请根据以上信息解答下列问题：‎ ‎（1）填空：m=　4　，n=　1　；‎ ‎（2）补全频数发布直方图；‎ ‎（3）这20名“健步走运动”团队成员一天行走步数的中位数落在　B　组；‎ ‎（4）若该团队共有120人，请估计其中一天行走步数不少于7500步的人数．‎ ‎【考点】频数（率）分布直方图；用样本估计总体；频数（率）分布表；中位数．‎ ‎【分析】（1）根据题目中的数据即可直接确定m和n的值；‎ ‎（2）根据（1）的结果即可直接补全直方图；‎ ‎（3）根据中位数的定义直接求解；‎ ‎（4）利用总人数乘以对应的比例即可求解．‎ ‎【解答】解：（1）m=4，n=1．‎ 故答案是：4，4；‎ ‎（2）‎ ‎；‎ ‎（3）行走步数的中位数落在B组，‎ 故答案是：B；‎ ‎（4）一天行走步数不少于7500步的人数是：120×=48（人）．‎ 答：估计一天行走步数不少于7500步的人数是48人．‎ ‎【点评】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力．利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题．‎ ‎　‎ ‎18．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，点M是AC的中点，以AB为直径作⊙O分别交AC，BM于点D，E．‎ ‎（1）求证：MD=ME；‎ ‎（2）填空：‎ ‎①若AB=6，当AD=2DM时，DE=　2　；‎ ‎②连接OD，OE，当∠A的度数为　60°　时，四边形ODME是菱形．‎ ‎【考点】菱形的判定．‎ ‎【分析】（1）先证明∠A=∠ABM，再证明∠MDE=∠MBA，∠MED=∠A即可解决问题．‎ ‎（2）①由DE∥AB，得=即可解决问题．‎ ‎②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形，只要证明△ODE，△DEM都是等边三角形即可．‎ ‎【解答】（1）证明：∵∠ABC=90°，AM=MC，‎ ‎∴BM=AM=MC，‎ ‎∴∠A=∠ABM，‎ ‎∵四边形ABED是圆内接四边形，‎ ‎∴∠ADE+∠ABE=180°，‎ 又∠ADE+∠MDE=180°，‎ ‎∴∠MDE=∠MBA，‎ 同理证明：∠MED=∠A，‎ ‎∴∠MDE=∠MED，‎ ‎∴MD=ME．‎ ‎（2）①由（1）可知，∠A=∠MDE，‎ ‎∴DE∥AB，‎ ‎∴=，‎ ‎∵AD=2DM，‎ ‎∴DM：MA=1：3，‎ ‎∴DE=AB=×6=2．‎ 故答案为2．‎ ‎②当∠A=60°时，四边形ODME是菱形．‎ 理由：连接OD、OE，‎ ‎∵OA=OD，∠A=60°，‎ ‎∴△AOD是等边三角形，‎ ‎∴∠AOD=60°，‎ ‎∵DE∥AB，‎ ‎∴∠ODE=∠AOD=60°，∠MDE=∠MED=∠A=60°，‎ ‎∴△ODE，△DEM都是等边三角形，‎ ‎∴OD=OE=EM=DM，‎ ‎∴四边形OEMD是菱形．‎ 故答案为60°．‎ ‎【点评】本题考查圆内接四边形性质、直角三角形斜边中线性质、菱形的判定等知识，解题的关键是灵活运用这些知识解决问题，记住菱形的三种判定方法，属于中考常考题型．‎ ‎　‎ ‎19．如图，小东在教学楼距地面9米高的窗口C处，测得正前方旗杆顶部A点的仰角为37°，旗杆底部B点的俯角为45°，升旗时，国旗上端悬挂在距地面2.25米处，若国旗随国歌声冉冉升起，并在国歌播放45秒结束时到达旗杆顶端，则国旗应以多少米/秒的速度匀速上升？（参考数据：sin37°≈0.60，cos37°≈0.80，tan37°≈0.75）‎ ‎【考点】解直角三角形的应用-仰角俯角问题．‎ ‎【分析】通过解直角△BCD和直角△ACD分别求得BD、CD以及AD的长度，则易得AB的长度，则根据题意得到整个过程中旗子上升高度，由“速度=”进行解答即可．‎ ‎【解答】解：在Rt△BCD中，BD=9米，∠BCD=45°，则BD=CD=9米．‎ 在Rt△ACD中，CD=9米，∠ACD=37°，则AD=CD•tan37°≈9×0.75=6.75（米）．‎ 所以，AB=AD+BD=15.75米，‎ 整个过程中旗子上升高度是：15.75﹣2.25=13.5（米），‎ 因为耗时45s，‎ 所以上升速度v==0.3（米/秒）．‎ 答：国旗应以0.3米/秒的速度匀速上升．‎ ‎【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题．解决此类问题要了解角之间的关系，找到与已知和未知相关联的直角三角形，当图形中没有直角三角形时，要通过作高或垂线构造直角三角形，另当问题以一个实际问题的形式给出时，要善于读懂题意，把实际问题划归为直角三角形中边角关系问题加以解决．‎ ‎　‎ ‎20．学校准备购进一批节能灯，已知1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元．‎ ‎（1）求一只A型节能灯和一只B型节能灯的售价各是多少元；‎ ‎（2）学校准备购进这两种型号的节能灯共50只，并且A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由．‎ ‎【考点】二元一次方程组的应用．‎ ‎【分析】（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，根据：“1只A型节能灯和3只B型节能灯共需26元；3只A型节能灯和2只B型节能灯共需29元”列方程组求解即可；‎ ‎（2）首先根据“A型节能灯的数量不多于B型节能灯数量的3倍”确定自变量的取值范围，然后得到有关总费用和A型灯的只数之间的关系得到函数解析式，确定函数的最值即可．‎ ‎【解答】解：（1）设一只A型节能灯的售价是x元，一只B型节能灯的售价是y元，‎ 根据题意，得：，‎ 解得：，‎ 答：一只A型节能灯的售价是5元，一只B型节能灯的售价是7元；‎ ‎（2）设购进A型节能灯m只，总费用为W元，‎ 根据题意，得：W=5m+7（50﹣m）=﹣2m+350，‎ ‎∵﹣2＜0，‎ ‎∴W随x的增大而减小，‎ 又∵m≤3（50﹣m），解得：m≤37.5，‎ 而m为正整数，‎ ‎∴当m=37时，W最小=﹣2×37+350=276，‎ 此时50﹣37=13，‎ 答：当购买A型灯37只，B型灯13只时，最省钱．‎ ‎【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用等知识，根据题意得出正确的等量关系是解题关键．‎ ‎　‎ ‎21．某班“数学兴趣小组”对函数y=x2﹣2|x|的图象和性质进行了探究，探究过程如下，请补充完整．‎ ‎（1）自变量x的取值范围是全体实数，x与y的几组对应值列表如下：‎ x ‎…‎ ‎﹣3‎ ‎﹣‎ ‎﹣2‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎…‎ y ‎…‎ ‎3‎ m ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎﹣1‎ ‎0‎ ‎3‎ ‎…‎ 其中，m=　0　．‎ ‎（2）根据表中数据，在如图所示的平面直角坐标系中描点，并画出了函数图象的一部分，请画出该函数图象的另一部分．‎ ‎（3）观察函数图象，写出两条函数的性质．‎ ‎（4）进一步探究函数图象发现：‎ ‎①函数图象与x轴有　3　个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有　3　个实数根；‎ ‎②方程x2﹣2|x|=2有　2　个实数根；‎ ‎③关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根时，a的取值范围是　﹣1＜a＜0　．‎ ‎【考点】二次函数的图象；根的判别式．‎ ‎【分析】（1）根据函数的对称性即可得到结论；‎ ‎（2）描点、连线即可得到函数的图象；‎ ‎（3）根据函数图象得到函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；当x＞1时，y随x的增大而增大；‎ ‎（4）①根据函数图象与x轴的交点个数，即可得到结论；②如图，根据y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2的交点个数，即可得到结论；③根据函数的图象即可得到a的取值范围是﹣1＜a＜0．‎ ‎【解答】解：（1）根据函数的对称性可得m=0，‎ 故答案为：0；‎ ‎（2）如图所示；‎ ‎（3）由函数图象知：①函数y=x2﹣2|x|的图象关于y轴对称；②当x＞1时，y随x的增大而增大；‎ ‎（4）①由函数图象知：函数图象与x轴有3个交点，所以对应的方程x2﹣2|x|=0有3个实数根；‎ ‎②如图，∵y=x2﹣2|x|的图象与直线y=2有两个交点，‎ ‎∴x2﹣2|x|=2有2个实数根；‎ ‎③由函数图象知：∵关于x的方程x2﹣2|x|=a有4个实数根，‎ ‎∴a的取值范围是﹣1＜a＜0，‎ 故答案为：3，3，2，﹣1＜a＜0．‎ ‎【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，正确的识别图象是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎22．（1）发现：如图1，点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b．‎ 填空：当点A位于　CB的延长线上　时，线段AC的长取得最大值，且最大值为　a+b　（用含a，b的式子表示）‎ ‎（2）应用：点A为线段BC外一动点，且BC=3，AB=1，如图2所示，分别以AB，AC为边，作等边三角形ABD和等边三角形ACE，连接CD，BE．‎ ‎①请找出图中与BE相等的线段，并说明理由；‎ ‎②直接写出线段BE长的最大值．‎ ‎（3）拓展：如图3，在平面直角坐标系中，点A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），点P为线段AB外一动点，且PA=2，PM=PB，∠BPM=90°，请直接写出线段AM长的最大值及此时点P的坐标．‎ ‎【考点】三角形综合题．‎ ‎【分析】（1）根据点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，即可得到结论；‎ ‎（2）①根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，推出△CAD≌△EAB，根据全等三角形的性质得到CD=BE；②由于线段BE长的最大值=线段CD的最大值，根据（1）中的结论即可得到结果；‎ ‎（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，得到△APN是等腰直角三角形，根据全等三角形的性质得到PN=PA=2，BN=AM，根据当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，即可得到最大值为2+3；如图2，过P作PE⊥x轴于E，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论．‎ ‎【解答】解：（1）∵点A为线段BC外一动点，且BC=a，AB=b，‎ ‎∴当点A位于CB的延长线上时，线段AC的长取得最大值，且最大值为BC+AB=a+b，‎ 故答案为：CB的延长线上，a+b；‎ ‎（2）①CD=BE，‎ 理由：∵△ABD与△ACE是等边三角形，‎ ‎∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，‎ ‎∴∠BAD+∠BAC=∠CAE+∠BAC，‎ 即∠CAD=∠EAB，‎ 在△CAD与△EAB中，，‎ ‎∴△CAD≌△EAB，‎ ‎∴CD=BE；‎ ‎②∵线段BE长的最大值=线段CD的最大值，‎ 由（1）知，当线段CD的长取得最大值时，点D在CB的延长线上，‎ ‎∴最大值为BD+BC=AB+BC=4；‎ ‎（3）连接BM，将△APM绕着点P顺时针旋转90°得到△PBN，连接AN，‎ 则△APN是等腰直角三角形，‎ ‎∴PN=PA=2，BN=AM，‎ ‎∵A的坐标为（2，0），点B的坐标为（5，0），‎ ‎∴OA=2，OB=5，‎ ‎∴AB=3，‎ ‎∴线段AM长的最大值=线段BN长的最大值，‎ ‎∴当N在线段BA的延长线时，线段BN取得最大值，‎ 最大值=AB+AN，‎ ‎∵AN=AP=2，‎ ‎∴最大值为2+3；‎ 如图2，过P作PE⊥x轴于E，‎ ‎∵△APN是等腰直角三角形，‎ ‎∴PE=AE=，‎ ‎∴OE=BO﹣﹣3=2﹣，‎ ‎∴P（2﹣，）．‎ ‎【点评】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，最大值问题，旋转的性质．正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎23．如图1，直线y=﹣x+n交x轴于点A，交y轴于点C（0，4），抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．点P为抛物线上一个动点，过点P作x轴的垂线PD，过点B作BD⊥PD于点D，连接PB，设点P的横坐标为m．‎ ‎（1）求抛物线的解析式；‎ ‎（2）当△BDP为等腰直角三角形时，求线段PD的长；‎ ‎（3）如图2，将△BDP绕点B逆时针旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OAC，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标．‎ ‎【考点】二次函数综合题．‎ ‎【分析】（1）先确定出点A的坐标，再用待定系数法求出抛物线解析式；‎ ‎（2）由△BDP为等腰直角三角形，判断出BD=PD，建立m的方程计算出m，从而求出PD；‎ ‎（3）分点P′落在x轴和y轴两种情况计算即可．‎ ‎【解答】解：（1）∵点C（0，4）在直线y=﹣x+n上，‎ ‎∴n=4，‎ ‎∴y=﹣x+4，‎ 令y=0，‎ ‎∴x=3，‎ ‎∴A（3，0），‎ ‎∵抛物线y=x2+bx+c经过点A，交y轴于点B（0，﹣2）．‎ ‎∴c=﹣2，6+3b﹣2=0，‎ ‎∴b=﹣，‎ ‎∴抛物线解析式为y=x2﹣x﹣2，‎ ‎（2）点P为抛物线上一个动点，设点P的横坐标为m．‎ ‎∴P（m， m2﹣m﹣2），‎ ‎∴BD=|m|，PD=|m2﹣m﹣2+2|=|m2﹣m|，‎ ‎∵△BDP为等腰直角三角形，且PD⊥BD，‎ ‎∴BD=PD，‎ ‎∴|m|=|m2﹣m|，‎ ‎∴m=0（舍），m=，m=，‎ ‎∴PD=或PD=；‎ ‎（3）∵∠PBP'=∠OAC，OA=3，OC=4，‎ ‎∴AC=5，‎ ‎∴sin∠PBP'=，cos∠PBP'=，‎ ‎①当点P'落在x轴上时，过点D'作D'N⊥x轴，垂足为N，交BD于点M，‎ ‎∠DBD'=∠ND'P'=∠PBP'，‎ 如图1，‎ ND'﹣MD'=2，‎ ‎∴（m2﹣m）﹣（﹣m）=2，‎ ‎∴m=（舍），或m=﹣，‎ 如图2，‎ ND'+MD'=2，‎ ‎∴（m2﹣m）+m=2，‎ ‎∴m=，或m=﹣（舍），‎ ‎∴P（﹣，）或P（，），‎ ‎②当点P'落在y轴上时，如图3，‎ 过点D′作D′M⊥x轴，交BD于M，过P′作P′N⊥y轴，‎ ‎∴∠DBD′=∠ND′P′=∠PBP′，‎ ‎∵P′N=BM，‎ ‎∴（m2﹣m）=m，‎ ‎∴m=，‎ ‎∴P（，）．‎ ‎∴P（﹣，）或P（，）或P（，）．‎ ‎【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，锐角三角函数，等腰直角三角形的性质，解本题的关键是构造直角三角形．‎ ‎　‎